中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)

1. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2

()D X σ=，则由契比雪夫不等式

{}≤

≥-σμ3X P 1

9

。 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据契比雪夫不等式{}

≤

≥-6Y X P 1

12

。 3. 在一次试验中，事件A 发生的概率为2

1

，

利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内？ 解： X 表示在1000次重复独立试验中事件A 发

生的次数,则1~1000,2X B ?

? ??

?.于是:

1

()1000500,

2E X np ==?=11

()100025022

D X =??=

(400600)(500100)P X P X <<=-<

2

250

(100)10.975100

P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内.

4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%？ 解：设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则1(,)2n

B n μ，1()2n E n μ=，1()4

n D n μ=

{0.40.6}{

0.50.1}n

n

P P n

n

μμ≤

≤=-≤

2()

25110.90.1n

D n n

μ≥-

=-≥250n ?≥ 注：事实上，由中心极限定理

{0.40.6}{0.40.6}n

n P

P n n n

μμ

≤

≤=≤≤≈

Φ-Φ

(210.9=Φ-≥

(()0.95 1.96Φ≥=Φ 1.96≥

解之得 96.0365n ≥，所以，至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%。

5.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作，求整个系统工作的概率。

解：设整个系统中有X 个部件能正常工作，

则()~100,0.9X B ，系统工作的概率为

()()85

184P X P X ≥=-≤ 1≈-Φ

()()1220.9772=-Φ-=Φ=

6.设 ,,,,21n X X X 为独立随机变量序列，且(1,2,

)i X i =服从参数为λ的指数分

布，试求：???

?

???

???????≤-∑=∞

→x n n X P n i i n 1lim λ。

解：因i X 服从参数为λ的指数分布,故:

211,.i i EX DX λλ==

2

11

(),().

n

n

i i i i n

n

E X D X λ

λ

===

=

∑∑

??????????????≤-∑=∞

→x n n

X P n i i n 1lim λ lim n i n n

X P x →∞??-???

=

≤??

??∑ lim n n i i n X E X P x →∞??????- ??=≤??

??

∑∑

2

2

d ()t x t x -==Φ?

.