第二章函数小结与复习
第二章 复习与小结课件 (共23张PPT)华东师大版(2024)数学七年级上册
顺水时 船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度
逆水时 船的速度＝船在静水中的速度－水流速度
针对训练
2.（深圳·期中）长方形的周长为 20 米，其中一边长
x 米，则面积为 ( B ) 平方米.
A. x(20 - x)
B. x(10 - x)
x
x
C. x(20 - 2x)
D. x(10 - 2x)
3. 三个连续的偶数，中间的数是 a，则 a 的前边和后 边分别是 _a_-__2_ 和 _a_+__2_.
2×3 - 1 3×4 - 1 4×5 - 1 5×6 - 1 11×12 - 1
针对训练
8. (埇桥期末) 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正
多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 20 个图
需要黑色棋子的个数为 440 .
22×20
3×1
4×2
5×3
6×4
9. 用棋子摆出如图所示的一组 “口” 字，按照这种方法 摆下去，则摆第 n 个 “口” 字需用棋子 ( A )
A. 省略乘号，数字写在字母前面 5x
C. 数字写在字母前面
2mn
D.除号用分数线代替
m n
2 列代数式
例2 河上游的码头甲与下游的码头乙相距 s km，轮船
在静水中的速度为 x km/h，水流的速度为 y km/h，则
轮船从甲码头到乙码头往返一次航行所需时间 t
=
x
s
y
x
s
y
h
.
分析：行船问题
D. 2 个
代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接起来 的式子，注意不能含有 =、<、 >、≤、≥、≈、≠ 等符号. S = πr2，a > 0 中含有 = 和 >，不是代数式.
唐山龙泉中学九年级下《二次函数》小结与复习教案
学生活动：学生，回顾例题所涉及的知识点，让学生分析解题方法，以及涉及的知识点。
教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。
(1)使y?(m?2)x是关于x的二次函数，则m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2m2?m?4m2?m?4
3.使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。重点难点：
重点：1.用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数
y＝ax2图象的性质。
2.用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
3.利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。难点：1.二次函数图象的平移。
《二次函数》小结与复习
唐山龙泉中学高辉
教学目标：
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。
2会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
2.会运用二次函数知识解决有关综合问题。
3.将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学过程：
一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点
1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质。例：已知函数y?(m?2)x是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
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6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图象特征。
2. 掌握二次函数的解析式、顶点式及标准式之间的转换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
4. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质1.1 二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0）1.2 二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等。
2. 二次函数的图象特征2.1 开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.2 对称轴：x=-b/(2a)2.3 顶点：(-b/(2a), c-b^2/(4a))2.4 与y轴的交点：x=0时，y=c。
3. 二次函数的解析式3.1 一般式：y=ax^2+bx+c3.2 顶点式：y=a(x-h)^2+k3.3 标准式：y=a(x-α)^2+β4. 二次函数的转换4.1 一般式与顶点式的转换：4.2 顶点式与标准式的转换：5. 实际问题中的应用5.1 抛物线与坐标轴的交点问题5.2 实际问题转化为二次函数问题，求最值等。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质及图象特征。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象与性质之间的关系。
3. 运用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4. 结合实际例子，让学生感受二次函数在生活中的应用。
四、教学准备1. PPT课件：二次函数的性质、图象、实际应用等。
2. 练习题：涵盖本节课的主要知识点。
3. 小组讨论：分组安排。
五、教学过程1. 导入：复习一次函数和反比例函数，引出二次函数。
2. 讲解：介绍二次函数的定义、性质、图象特征等。
3. 演示：利用PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受开口方向、对称轴等。
4. 练习：让学生完成一些简单的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：布置一道实际问题，让学生分组讨论，运用二次函数解决问题。
高一数学《第二章小结与复习》
高一数学《第二章小结与复习》教学目标（一）知识与技能目标1.知识的网络结构.2.重点内容和重要方法的归纳.（二）过程与能力目标1.熟练把握本章的知识网络结构及相互关系.2.明白得映射、函数的概念.（三）情感与态度目标培养学生归纳、整理所学知识的能力，从而激发学生的学习爱好、求知欲望，并培养良好的学习品质.教学重点本章知识的网络结构，及知识间的相互关系.教学难点知识间的相互关系及应用.教学过程一、本章知识框架：—函数的概念 _——函数的图象-- 函数的性质—反函数对应---- ►映射 --- ►函数一一二次函数——一指数函数—对数函数二、本章的要紧概念：1、映射2、函数3、函数的单调性4、反函数5、分数指数幕与根式6、指数函数7、对数8、对数函数三、本章的要紧方法：1、相同函数的判定方法：①泄义相同：②值域相同；③对应法那么相同.2、函数解析式的求法：①换元法；②配方法；③待泄系数法：④方程组法.3、反函数的求法：①求解x：②互换的位置：③注明反函数的泄义域.4、函数泄义域的求法：（通常考虑以下六个方面）①分式中分母不为零：②偶次方根被开方数（式）非负：③2中xHO：④对数中貞•数大于零；⑤指、对数函数中底数大于零且不等于1:⑥实际咨询题要考虑实际意义.5、函数值域的求法：①观看法：②配方法；③图象法；④分离常数法：⑤反函数法；⑥判不式法：⑦换元法.6、函数单调性的判泄法：证明的步骤：①取值：②作差：③泄号④作结论.7、解应用题的一样步骤：①审题：②建模；③求模；④还原.8、图象的变换规律：①平移变换SO）、 X \向右平移“\ 八\向左平段八 \宀八八小；个单衲“个单位》T(+).小y = f(x)———► y = f(x) + a9y = f(x)—/ TT »y = f(x)-a. a个单位“个单位②对称翻转变换：“)互为反函数的两个函数图象关于直线J对称.即y = /-*(X)的函数图象与函数歹=f(X)的图象关于J = X对称；b)j = /(x)的函数图象与函数y = f(-x)的图象关于丿轴对称；c)y = f(x)的函数图象与函数y = -f(x)的图象关于X轴对称；d)y = f(x)的函数图象与函数y = -f(-x)的图象关于原点对称.9、抽象函数(即不给岀解析式，只明白/(“)具备的条件)的研究：(1)假设f(a + x) = f(a - X)那么f(x)关于直线x = 对称：(2)假设对任意的x.yeR.都有f(x+y) = f(xY f(y),那么/(x)可与指数函数类比；(3)假设对任意的x』e(0,+oo),都有f(xy) = f(x) + f(y),那么/*(x)可与对数函数类比.例1：设集合A和B差不多上坐标平而内的点集{(x,y)lxe/?.ye/?},映射f.A^B把集合A 中的元素(x,y)映射成集合B的元素(x+y.x-y),那么在映射下象(2,1)的原象是(B ) A. (3,1) B. C.丄) D. (1,3)2 2 2 2例厶设A = {x\0<x<2}, B = {y\0<y<2},图中表示集合A到集合B的函数关系的图彖是例3：函数y = Jlog , (/ _ 1)的定义域是A•[一V2-l)U(hV2] B.(一血,—l)U(l,逅)C.例4：设f(x) = a x(a>OB.a^l)关于任意的实数儿A. f(xy)^f(x)f(y) B・f(xy)^f(x) + f(y)[-2-l)U(L2] D・(-2-l)U(L2)c ・ f(x + y)^f(x)f(y) D. f(x + y) = f(x) + f(y)例5：方程4x +2x-2 = 0的解是 _____________ 解:设2" =f ，那么『2+/_2 = 0=>/ = 1或一2(舍去)，那么2x = l,/.x = 0例 6：方程log 4(3x-1) = log 4(x-1) + log 4(3 + x)的解是 ______________解：原方程化为3x-l = (x-l)(3 + x)3x -1 > 0x-l>03 + x > 0 例7.假设关于x 的方程4v -G/ + l)x2r +9 = 0有实数根，求"的取值范畴。
函数小结与复习 教材教法
函数小结与复习教材教法
对学过的内容在回顾的基础上进行反思，是学生学习活动的一个重要组成部分，是思维的再加工、再提炼、再概括的过程，是认识的又一次飞跃。
“没有反思，人是不可能获得本质上的进步的”。
通过对本章的反思活动，使学生不断丰富建立模型和“数学化”的体验，对函数模型的理解进一步深化，并使本章内容进一步条理化。
建议按下面的问题串展开本节的教学：
1．举出现实生活中含有常量和变量的例子，并说明常量和变量的特征。
2．举出现实生活中具有函数关系的例子，并指明自变量及自变量的取值范围。
3．谈谈你对确定函数自变量取值范围的体会。
4．你能用几种方式表示一个函数？举例说明。
5．给定自变量的一个值，你是怎样求函数的值的？举例说明。
6．通过实例说明你是怎样画函数图像的。
7．从函数图像中你能获得哪些信息？举例说明。
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
九年级数学上册第二章一元二次方程小结与复习教学
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系(guān xì)是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意(tí yì)可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
第九页，共二十四页。
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个(yī ɡè)根，则菱形ABCD的周长为（ A）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
12/11/2021
第十页，共二十四页。
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求(yāoqiú)写出必要解题步骤）.
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28
元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多 少元？
12/11/2021
第十七页，共二十四页。
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系(guān xì)用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
x1
x2
b a
x1
x2
c a
一元二次方 几何问题、数字问题 程 的 应 用 营销问题、平均变化率问题
第二十二页，共二十四页。
2021/12/11
第二十三页，共二十四页。
内容(nèiróng)总结
小结与复习。课堂小结。(2)未知数的最高次数为2。（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需 要恰当选取设元法．。（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能 否顺利解决实际问题．。解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方(píngfāng)。4.用公式法和配方法分别解
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较指数式,对数式的大小,求单调区间; 较指数式,对数式的大小, 单调区间; 初等函数的三要素及图象变换. 初等函数的三要素及图象变换. 的三要素及图象变换 求抽象函数的三要素 抽象函数的三要素
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课堂作业: 课堂作业: 1.指出下列函数的单增区间和单减区间: 指出下列函数的单增区间和单减区间: 指出下列函数的单增区间和单减区间
1.映射概念 映射概念 2.函数概念 函数概念 3.函数单调性 函数单调性 4.函数奇偶性 函数奇偶性 5.反函数 反函数
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1.映射概念 映射概念 是有序的对应; ⑴.映射 f : A → B 是有序的对应; 映射 映射f 一对一" ⑵.映射 是特殊的对应,必须是"多对一"或"一对一",且 映射 是特殊的对应,必须是"多对一" 一一对应的映射是一一映射 一一映射; 一一对应的映射是一一映射; 映射f ⑶.映射 可以建立在任意两个集合间. 映射 可以建立在任意两个集合间. 2.函数概念 函数概念 ⑴函数是特殊的映射(数集上),表现形式有解析式,图象 函数是特殊的映射(数集上),表现形式有解析式, ),表现形式有解析式 和表格 ⑵函数三要素:定义域,对应法则,值域 函数三要素:定义域,对应法则, ①会求三要素;②各类初等函数函数的定义域,值域和最值. 会求三要素; 各类初等函数函数的定义域,值域和最值. 三要素 初等函数函数的定义域
3.函数单调性 函数单调性 ⑴函数的单调性是针对区间而言的,必须指明区间,如 函数的单调性是针对区间而言的,必须指明区间, 指明区间 函数y=1 / x; 函数 ; ⑵会运用函数单调性定义判断和证明函数在某区间的单 会运用函数单调性定义判断和证明函数在某区间的单 判断和证明函数在某区间的 调性; 调性; ⑶图象在某区间上是上升的函数是该区间的单增函数, 单增区间. 该区间为单增区间.
(第二章)函数小结与复习 函数小结与复习
引言: 一.引言: 引言 函数这一章是高中数学的重中之重,函数思想应用 函数思想应用在高 函数 函数思想应用 考题中的份量越来越大,是考查的重点,所以大家一定 要重视,将其学好,将基础夯实.
二.讲授新课: 讲授新课: 讲授新课 (一).函数知识网络 函数知识网络 (二).深刻理解函数的有关概念及考查范围 深刻理解函数的有关概念及考查范围 初等函数的基础知识及运用( (三).初等函数的基础知识及运用(特别是二次函数, 初等函数的基础知识及运用 特别是二次函数, 指数函数, 指数函数,对数函数及其复合函数)
4.函数奇偶性 函数奇偶性
5.反函数 反函数 ⑴是一一映射的函数存在反函数,如单调函数; 是一一映射的函数存在反函数,如单调函数; ⑵互反函数间的关系:①对应法则;②定义域,值域;③ 互反函数间的关系: 对应法则; 定义域,值域; 图象; 单调性. 图象;④单调性. ⑶求反函数的步骤:①②③ 求反函数的步骤: 判断题: 判断题: (T / F ) ①y = f(x)与x = k至多有一个交点.( 与 至多有一个交点.( 至多有一个交点 至多有一个交点.( ②y = f-1(x)与y = k至多有一个交点.( 与 至多有一个交点 ③y = 2的反函数是 x = 2.( 的反函数是 .( ④y = x (x∈N) 是单增函数.( ∈ 是单增函数.( 是同一函数.( ⑤y=2lgx与y=lgx2是同一函数.( 与 ) ) ) ) )
(一).函数知识网络 函数知识网络 A,B f:A B 函数 函数 函数 函数 函数 函数 函数 数 函数 数函数 数函数 数 数
*
图 象 变 换
映 射 一 函
(二).深刻理解函数的有关概念及考查范围 深刻理解函数的有关概念及考查范围
概念是数学理论的基础,概念性强是中学数学中 概念是数学理论的基础, 函数理论的一个显著特征
(1 f (x) = x + x 6; )
2
(2) f (x) = x; 2 x (3) f (x) = ; x 3 (4) f (x) = x +1.
�
初等函数的基础知识及运用( (三).初等函数的基础知识及运用(特别是二次函数, 初等函数的基础知识及运用 特别是二次函数, 指数函数, 指数函数,对数函数及其复合函数)
会求二次函数的单调区间和最值; 会求二次函数的单调区间和最值; 二次函数的单调区间和最值 抛物线与x轴的关系; 轴的关系; 指数函数,对数函数的图象及性质(比 指数函数,对数函数的图象及性质( 的图象及性质