湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析)
20届下长郡中学-理数答案
2020
数学（理科）试卷参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B A B B C A D B D C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．－2
14．4
（Ⅱ）（i）第 n 天被感染人数为 1 apn1 ，第 n－1 天被感染人数为 1 apn2 ．
由题目中均值的定义可知，
En 1 ap n1 1 ap n2 ap 1 ap n2 ．…………………（6 分）
则
En En1
1 ap
，且 E1
ap ．
∴En 是以 ap 为首项，1＋ap 为公比的等比数列．………………（7 分）
故在 , ln t2 和 ln t2, 上，h（x）各有 1 个零点．……………（6 分）
m＝1
时，
h
x
2
ex
1 2
ex 1
．
h（x）最小值为 h（0）＝0，故 h（x）仅有 1 个零点．
0＜m＜1 时， h x 2 ex t1 ex t2 ．
其中 t1＜0＜t2，同 m＞1，h（x）在 ,ln t2 与 ln t2, 上，
点 B 的直角坐标为 B（－2 3 ，2），
点 C 的直角坐标为 C（0，－4）．…………………………………………（2 分）
设圆 C2 的直角坐标方程为 x2 y m2 r2 ，
代入
A，C
可得
12 2 m2
4
m2rΒιβλιοθήκη 2r2，∴m＝0，r＝4．
∴圆 C2 的直角坐标方程为 x2 y2 16 ．………………………………（4 分）
湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题 Word版含答案
绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（理科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{|2,}C x x n n ==∈N ，则()A B C ⋃⋂=（ ） A ．{0,2,4}B ．{2,4}C ．{0,2}D ．{2}2．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况．适合采用的抽样方法依次为（ ） A ．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B ．①用抽签法；②③均用系统抽样C ．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D ．①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样3．已知i 是虚数单位，复数122,2z i z i =+=-，给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数．其中是假命题的为（ ） A ．24,p pB ．123,,p p pC ．34,p pD ．23,p p4．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且,a p 互质，那么a 的(1)p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理若在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） A ．1120 B ．35C ．920D ．255．已知某几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图水平放置的直观图如图2中粗线部分所示，其中其中四边形A B C D ''''为平行四边形，244B C A B O A ''''''===，则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．816π+C ．1616π+D ．88π+6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为800元、640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则衰分比与丁所获得的奖金分别为（ ） A ．20%，14580元B ．10%，14580元C ．20%，10800元D ．10%，10800元7．在二项式8ax x ⎛+ ⎝的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab 的值为（ ） A ．2或-4B ．2C ．2或-2D ．-48．已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A ．12πB ．2π C ．3π D ．512π 9．设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”．已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]--B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．[1,2]10．已知双曲线2221(0)x y a a-=>22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点F 重合，其准线与双曲线交于点(),0,2M M N y MF FQ >=u u u u r u u u r，点R 在x 轴上．若||||RN RQ -最大，则点R 的坐标为（ ）A ．(6,0)B ．(8,0)C ．(9,0)D ．(10,0)11．若01x <<，则22ln3111,,3x x x x e e+++的大小关系是（ ）A ．221ln 3113x xx x ee +++>>B ．2211ln 313x xx x e e +++>>C ．22ln 31113x x x x e e+++>>D ．22ln 31113x x x x e e+++>>12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈． 给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ； ③四棱锥1C EGFH -的体积为；④点1B 到平面EGFH 其中命题正确的序号为（ ）A ．②③④B ．②③C ．①②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r 与向量a r 的夹角为90°，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________.14．设222:(,,0)p x y r x y r +≤∈>R ；1:40(,)0x q x y x y x y ≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R ，若p 是q 的必要不充分条件，则r 的取值范围为________.15．正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶函数是奇函数，已知64a =，{}n a 的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=________.16．母线长为233O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入_______个． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三月考试卷(一)理数试题+答案+全解全析
炎德英才大联考长郡中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230x x P x --≥=，{}|14Q x x =<<，则P Q =（ ）A.()1,3-B.[)3,4C.()[),34,-∞-+∞D.()(),13,-∞-+∞2.设复数z 满足4z i z i -++=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ） A.22143x y -= B.22143x y += C.22143y x -= D.22143y x += ★3.若01x y <<<，01a <<，则下列不等式正确的是（ ） A.log log 23a a x y <B.cos cos ax ay <C.x y a a <D.a a x y < 4.A4纸是生活中最常用的纸规格.A 系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2、…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同.②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推.这是因为A 这一特殊比例，所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米，118.984.1 1.41÷≈≈A4纸的长度为（ ） A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米★5.函数()sin 2f x x x x =-的大致图像是（ ）A. B.C. D.6.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1~15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ） A.1910 B.3910 C.3455 D.4455★7.已知向量,a b 满足2a =，2b =，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ） A.1 B.-1D. 8.已知函数()7sin ,0,63f x x m x ππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ）A.103πB.4πC.113πD.不能确定9.若数列12,,,a x x b 与123,,,,a y y y b 均为等差数列（其中a b ≠），则2121x x y y -=-（ ） A.23 B.43 C.32 D.34 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若126F F OM =，则2OMF △与12AF F △的面积之比为（ ）A.481B.427C.25144D.51811.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A.1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.13ln 2ln 6,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.13ln 2ln 6,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.已知SC 是球O 的直径，A 、B 是球O 球面上的两点，且1CA CB ==，AB =S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为（ ）A.52πB.16πC.13πD.4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线()0y kx k =≠是曲线()322f x x x =-的一条切线，则k =__________________. 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为__________.15.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为______________.16.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，若1PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为__________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说眀、证明过程演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分★17.（本小题满分12分）如图，D 是直角ABC △斜边BC 上一点，AC =.（1）若60BAD ∠=︒，求ADC ∠的大小；（2）若2BD DC =，且AB =AD 的长.。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡双语实验中学高三数学理模拟试卷含解析
2019-2020学年湖南省长沙市长郡双语实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。
【详解】设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，所以得，故选B。
【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。
2. 函数f(x)＝a| x－b |＋2在[0, ＋∞)上为增函数，的充分必要条件是（）A．a＝1且b＝0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b≤0 D．a＞0且b<0参考答案：C3. 函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．4. 已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时z max=3×4﹣2=10；当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数对应的是（）(A) ①，②，③，④(B) ①，②，③，④(C) ①，②，③，④(D) ①，②，③，④参考答案：B略6. 当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D7. 点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.１B.２C.３ D.０C8. 已知，则的值为（）A．2B．－2 C．D．参考答案：B9. 设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D10. 若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为A．24 B．48 C. 72 D．78参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______________．因为偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，所以当时,.所以所求不等式的解集为.12. 设，，若是的真子集，则的取值范围是．参考答案：试题分析：如图，作直线，直线，显然集合表示的平面区域在内部（含边界），而集合是以原点为圆心，5为半径的圆，直线过原点，要满足题意，它与直线的交点必在点上方（可重合），同样它与直线的交点必在点上方（不可重合），所以，即．考点：二元一次不等式组表示的平面区域．【名师点睛】求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时,要以数形结合思想方法为核心,充分利用函数图象与曲线方程的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等),与平面区域的位置和形状联系起来,对参数的取值情况分析讨论,进行求解.13. 如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA= ，AC= ．参考答案：4；5．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用切割线定理求PA，利用相交弦定理求出CE，即可求出AC．【解答】解：由题意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理可得PA2=PD?PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案为：4；5．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．14. 已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．15. 已知向量，满足＝3，＝2，＝5，则在方向上的投影是______。
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析
A．1695
B．1696
C．1697
D．1698
11． ABC 中，所有内角都不是钝角，有以下命题：① sin 2 A sin 2B A B ； ② sin 2 A sin 2B A B ；③ cos 2 A cos 2B A B ；④ sin A cos B .其中正确命
23．已知函数 f x 2x 7 2x 5 .
(1)解不等式 f x 6 ；
(2)设函数
f
x
的最小值为
m，已知正实数
a，b，且 k
max
a
1
b
,
a2 a
b2 b
，证明：k 2m
1.
5
解析
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考
2020 年 2 月高考数学（理）试卷
一、单选题
1．已知集合 A x N x2 x 2 0 ，则满足条件 A B A 的集合 B 的个数为( )
(2)若数列
cn
的通项 cn 满足 cn
bn 4S
n
，前 n 项和为 Qn ，当数列
cn
是等差数列时，对任
意的 n N ，均存在 m N ，使得 8a12Qn a14n2 16cm 成立，求满足条件的所有整数 a1 构
成的集合.
20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若
2
又
0
sin 2xdx
1 cos 2x 2
2 0
1 2
1 2
1，
所以 a4 a8 a62 4 ，又 a4 0 ，所以 a6 0 ，所以 a6 2 ，
所以则
tan
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由图知，直线
平移经过点
时， 有最小值为
，故答
案为 .
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函
数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或
最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的
பைடு நூலகம்
试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8. 若二项式
展开式的各项系数之和为 ，则含 项的系数为
A. 560 B. 【答案】A
C. 280 D.
【解析】因为二项式
展开式的各项系数之和为 ，所以
为整数）上递增，则 不满足；对
于 .函数为奇函数，由于
，则在 上递增，则 满足；对于 .函数为偶函数，则 不
满足；对于 .函数既不是奇函数，也不是偶函数，则 不满足，故选 C.
7. 执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的结果为
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】执行程序框图，第一次循环，
与
有两个交点，
，故选 A.
【方法点睛】判断方程
零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负
直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数
零点个数就是方程
根
的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点
个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，
画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的
交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.
第Ⅱ卷（90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 若实数 满足
，则
的最小值为__________．
【答案】 【解析】画出
表示的可行域如图，
D.
【答案】B
【解析】由古典概型概率公式，可得选取的 人恰为一男一女的概率为
，
故选 B.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则
A. 23 B. 96 【答案】D
C. 224
D. 276
【解析】
是等差数列，可设首项为 ，公差为 ，由
，
可得
，
，故选 D.
5. 已知 为双曲线
的一个焦点，其关于双曲线 的一条渐近线
的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 的离心率为
A.
B.
C. 2 D.
【答案】C
【解析】设右焦点
关于渐近线：
的对称点为 ，则 在
上 交于
，由点到直线距离公式可得
，
为直角三角形，三边分别为
，由
对称性知，
，
，故选 C.
6. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对于 .函数是奇函数，在
；第二次循环，
；
第三次循环，
；第四次循环，
；结束循环，输出
，
故选 B.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时
一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构
还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时
，所以
，设
，令
,当且 时取等号，
，即 的最大值为
，故答案为
.
三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在锐角
中， 分别为角
的对边，且
．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
（ 为三棱的长）；②若
面（
），则
（为
外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可
以直接找出球心和半径.
12. 已知函数
在区间
上有两个零点，则实数 的
取值范围为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数
在区间
上有两个零点，等价于
与 的图象有两个交点，设
与 的图象相切，切点为
，则
，解得
，因为关于 的方程，
，
的通项为
，
令
项的系数为
，故选 A.
9. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组
合体，且直三棱柱底面为两直角边为 和 的直角三角形，高为 ，半圆柱的底面半径为 ，
高为 ，所以该几何体的体积为
，故选 C.
10. 已知椭圆
，若直线经过
则直线的方程为
A.
B.
【答案】B
【解析】设直线斜率为 ，
，与椭圆交于 C. ，
两点，且 D.
， ，由
与
联立可得，
，则
，解得
，故选 B.
11. 已知三棱锥
的每个顶点都在球 的表面上，
底面
，且二面角
的正切值为 4，则球 的表面积为
A.
B.
长郡中学 2020～2020 学年新高三实验班选拔考试
理科数学试卷
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分，时量 120 分钟，满分 150 分 第Ⅰ卷（60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数
（其中
，为虚数单位）的虚部为 1，则
A. 1 B. 2 C.
D.
【答案】C
【解析】
, 的虚部为 ，
，故选 C.
2. 已知集合
A.
B.
C.
【答案】B
【解析】
，集合 D.
，则 ,
,故选 B.
3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的 3 位男教师和 2 名女教师中，任选 2 人参加 说课比赛，则选取的 2 人恰为一男一女的概率为
A.
B.
C.
14. 设
，
，且
，则
__________．
【答案】
【解析】由
，可得
，故答案为 .
15. 已知
，
，则
__________．
【答案】
【解析】
，
，
故答案为 .
16. 在数列 中，首项不为零，且
， 为 的前 项
和．令 【答案】 【解析】数列
，则 的最大值为__________．
首项 ，
，所以数列
是公比为 的等比数列， ，
C.
D.
【答案】D
【解析】设 中点为 ，可得
，则
是“二面角
” 的平面角，由于
“二面角
” 的正切值为 ，
，由余弦定理知，
，由正弦定理知，
外接圆直径
，设
外接球半径为 ，则
，
球 的表面积为
，故选 D.
【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和 体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用