09集合的基数
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离散数学 实数集合与集合的基数
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
...
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
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1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
《离散数学》 第六章 集合的基数
6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
（3）card X = card Y。
6.3 基数的比较
定理6.3.3 设X、Y为任意两个集合， 如果cardX ≼· cardY，cardY ≼· cardX， 则cardX=cardY。
例6.3.1
证明[0，1]和（0，1）有相同的基数。
解 根据定理6.3.3，我们只需构造两个单射函数：
f：（0，1） → [0，1]，f（x）=x
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.5
证明 为：
可数个可数集的并集仍然是一可数集。
设S1，S2 ， S3，……是可数个可数集，分别表示 S1={a11，a12，a13，…，a1n，…} S2={a21，a22，a23，…，a2n，…} S3={a31，a32，a33，…，a3n，…} …………
6.1 基数的概念
定义 6.1.3 设 X 为任意集合，称 card X 为集合 X 的基数，并作 以下规定： （ 1 ）对于任意的集合 X 和 Y ，规定 card X = card Y ，当且仅当 X≈Y； （2）对于任意有限集合X，规定与X等势的那个唯一的自然数n为X 的基数，记作 card X = n （3）对于自然数集合N，规定 card N = （读作阿列夫零） （4）对于开区间（0，1），规定 card（0，1）= （读作阿列夫）
⑵ 若X≈Y，则X≼· Y且Y≼· X。
离散数学结构 第9章 集合基数复习
第九章集合基数主要内容1. 集合的等势与优势2. 集合的基数学习要求1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法3. 掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质4. 掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质9.1 集合的等势与优势一．集合的等势通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。
集合的势越大，所含的元素越多。
定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。
如果A不与B等势，则记作A B。
下面给出一些集合等势的例子。
例9.1 (1) Z≈N。
回顾上一章例8.6(3)，令f：Z→N，则f是Z到N的双射函数。
从而证明了Z≈N。
(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。
N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。
如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。
按照图中箭头所标明的顺序，从<0，0>开始数起，依次得到下面的序列：<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…↓↓↓↓↓↓0123 4 5设<m，n>是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。
考察m，n，k之间的关系。
首先计数<m，n>点所在斜线下方的平面上所有的点数，是1+2+…+(m+n)=然后计数<m，n>所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于<m，n>点之前的点数，是m.因此<m，n>点是第+m+1个点。
这就得到k=+m根据上面的分析，不难给出N×N到N的双射函数f，即f：N×N→Nf(<m，n>)=+m(3) N≈Q。
【精品】离散数学(集合、关系、函数、集合的基数)PPT课件
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算
定理1.3
设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
定理1.4 设A，B为两个集合，则下列关系式成立： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
A＝B，C＝D
第1章 集合
1.2 集合之间的关系
定理1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。 定义1.3 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
A⊂B 或 B⊃A 例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集
A∩B＝｛1，3，5｝
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是A∩B。
U
A
B
第1章 集合
1.3 集合的运算
1.3.2 集合的交运算 由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：A∩A＝A （2）同一律：A∩U＝A （3）零律：A∩＝ （4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （5）交换律：A∩的运算
1.3.2 集合的交运算 定义1.7 任意两个集合A、B的交记作A∩B，它也是一个集合， 由所有既属于A又属于B的元素构成，即
A∩B ＝｛x | x属于A且x属于B｝ 例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
A∩B＝｛b，c｝ 又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则
定义1.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论 问题的完全集，简称全集。
《集合的基数》课件
集合论与其他学科的交叉研究
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
未来，集合论将与更多学科进行交叉研究，例如计算机科学、物理学和 哲学等。这些交叉研究将有助于深入理解无穷的概念和数学的本质。
03
集合论教育的重要性
随着集合论在各个领域的广泛应用，教育界将更加重视集合论的教育。
未来，将会有更多的教材和课程资源涌现，以帮助学生们更好地学习和
理解集合论。
尽管集合论已经取得了很大的进展，但 仍存在一些未解决的问题和挑战。例如 ，关于无穷的深刻问题、集合论与物理 学的关系等。
未来展望
01 02
集合论的进一步发展
随着数学和其他学科的发展，集合论将会继续发展并应用到更广泛的领 域中。未来，数学家们将进一步探索无穷的奥秘，并试图解决一些长期 存在的数学问题。
03
集合的基数在数学中的应用
在实数理论中的应用
01
实数集合的基数是可数无穷，这 为实数理论中的许多概念和性质 提供了基础。
02
例如，实数轴上的连续性、极限 、连续函数等概念都与集合的基 数有关。
在概率论中的应用
概率论中，样本空间的基数表示所有 可能结果的个数，是概率计算的基础 。
例如，在概率论中，事件的概率是该 事件所包含的样本点个数与样本空间 中样本点个数的比值。
为了解决早期集合论的问题，数学家们 开始对集合论进行公理化。其中，ZF（ Zermelo-Fraenkel）公理系统是最著名 的集合论公理系统之一。
2
集合论的应用
随着现代数学的发展，集合论的应用越 来越广泛。它不仅在数学领域中有着重 要的应用，还涉及到计算机科学、物理 学和哲学等领域。
3
集合论的挑战
数据挖掘与机器学习
在数据挖掘和机器学习中，集合基数用于描述数据集的大 小和多样性。例如，在分类或聚类算法中，集合基数可以 影响算法的性能和结果。
第六章集合的基数
iA iA
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第六章 集合的基数
定义g:[0,1]→P(N)。如下： 对每一[0,1]中数的二进制表示(如果这种表示不唯
一，则取定其中之一)。 0.x0 x1x2 (xi为0或1) g(0.x0 x1x2 ) {i | xi 1}
• 定理6.15：(康托定理)设M为任意集合，记M的幂
y 的M
，使得g(y)=B，而
y B y {a | a M a g(a)} y g( y) y B
矛盾。 ∴g不存在，即|M| |S|， ∴ |M|<|S|
➢定理说明：没有最大的基数，也没有最大的集合
。
17/73
➢(2)对以上自然数n, n< ，即|{0,1,2, …,n-
1}| ≤|{0,1,2, …}|;
➢(3) <c，即|{0,1,2, …}|<|R|; ➢(4)是否存在无限集B，使得 <|B|<c，至今尚解
决的理论问题。
• 定理6.12：对任意集合A，B，C有(1)|A|≤|A|；
(2)|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C|。
• 定义6.1：设S为任意集合，S∪{S}称为S的后继集
合，记为 S ，显然 S S , S S 。
例：令 S ，则 可以构造出集合序列：
0 1 { } 2 { }{{ }} { ,{ }}
将上面 的集合依次命名为0,1,2，…，就可构造出自 然数，用“:=”来命名；即
6/73
第六章 集合的基数
一个集合是可数集的充要条件是它的元素可以排成 一个无穷序列的形式。
• 定理6.5：整数集为可数无限集。
证：建函数：f:Z→N：
第六章集合的基数
2012-12-4
17
6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
2012-12-4
12
6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
2012-12-4 2
6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
2012-12-4
14
6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
从1到10哪些是基数
从1到10哪些是基数
1、3、5、7、9是奇数，而基数则是一个集合里的所有元素，例如在一到十的这个集合,记作集合a,则1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、10都是集合a的基数。
基数（cardinal number）在数学上，是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。
两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。
例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。
扩展资料：
基数可以比较大小。
假设A，B的基数分别是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。
如果 a≤β，但a≠β（即A与B不对等），就称A的基数小于B的基数，记作a<β，或β>a。
在承认选择公理的情况下，可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。
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定义9.1 设A, B是集合，如果存在着从A到B 的双射函数，就称A和B是等势（same cardinality）的，记作≈A≈B。 如果A不与B等势，则记作A B。
2020/3/17
等势集合的实例(1)
（1）Z≈N。
2x x0 f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
即P(A) 中≈存在元素B，在A中找不到原像。
所以，g不是满射的。
说明所以，根综据合A这前个面定的P理结(A可果)。以，知可道知NN
≈ ≈
P(N)。 {0,1}N 。
2020/3/17 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
2020/3/17
等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开
区间0和闭1 区2 1间。2 1 2
1
23
1 2n
1 2
1 1 1 1
2 2 23 24 25
…
2020/3/17
f(n1)…=0.a1(n≈)a2(n)…
康托定理
• 假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双 射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B 。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。
2020/3/17
等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
2
2020/3/17
等势集合的实例(3)
（3）N≈Q。
把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成 以一0/张1作表为第。一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中
2020/3/17
例9.2
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明 构造f：P(A)→{0,1}A，
复习
f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。
(2)对于任意的 g∈{0,1}A，
那么有 g：A→{0,1}。令
B={x| x∈A∧g(x)=1}
分析
P(A)。
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N≈ R。 只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。 构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。
或者使用反证法。 2020/3/17
康托定理
若bB，则b 2020/3/17 f (b)，于是由B的定义知，
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如 下构造集合B：
B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。
但是对任意x∈A，都有
x∈B xg(x)
所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g
2020/3/17
若干等势集合
• N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N • R ≈ [0,1] ≈(0,1) • 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半
开半闭的区间）都与实数集合R等势。 • 问题：N和R是否等势？
2020/3/17
康托定理
定理9.2 康托定理
（1）N≈ R。
（2）对任意集合A都≈ 有A
（1）首先规定[0,1]中数的表示。
对任意的x∈[0,1]，令x ≤ 9）
=
0.x1x2…
,
（0 ≤ xi
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到 0.24999…，则将x表示为0.25000…。
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的 所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)…
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。
2020/3/17 由等势定义得P(A)≈{0,1}A。
等势的性质
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。 （2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。 （3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。
2020/3/17
本章说明
本章的主要内容
–集合的等势及其性质 –重要的等势或不等势的结果 –集合的优势及其性质 –自然数与自然数集合 –集合的基数 –可数集
2020/3/17
本章内容
9.1 集合的等势与优势 9.2 集合的基数
本章小结 习题 作业
2020/3/Leabharlann 79.1 集合的等势与优势
通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
[8]
1/3
[9]
2/3 3/3 …
[15]
-1/4 0/4
[14]
1/4
2/4
[13]
3/4 …
等势集合的实例(4)
（4）(0,1)≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。
f:(0,1 ) R , f(x)tan2x1
所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
[18]
[5]
… -3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
[16]
…2020/3/-173/4
-2/4
[4]
[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
[10]
[11]
2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
1 2n2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(x)
1/ 22 1/ 2n12
x
2020/3/17
x0 x 1 x 1/ 2n,n 1,2,... 其它x
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
2020/3/17
等势集合的实例(1)
（1）Z≈N。
2x x0 f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
即P(A) 中≈存在元素B，在A中找不到原像。
所以，g不是满射的。
说明所以，根综据合A这前个面定的P理结(A可果)。以，知可道知NN
≈ ≈
P(N)。 {0,1}N 。
2020/3/17 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
2020/3/17
等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开
区间0和闭1 区2 1间。2 1 2
1
23
1 2n
1 2
1 1 1 1
2 2 23 24 25
…
2020/3/17
f(n1)…=0.a1(n≈)a2(n)…
康托定理
• 假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双 射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B 。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。
2020/3/17
等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
2
2020/3/17
等势集合的实例(3)
（3）N≈Q。
把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成 以一0/张1作表为第。一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中
2020/3/17
例9.2
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明 构造f：P(A)→{0,1}A，
复习
f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。
(2)对于任意的 g∈{0,1}A，
那么有 g：A→{0,1}。令
B={x| x∈A∧g(x)=1}
分析
P(A)。
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N≈ R。 只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。 构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。
或者使用反证法。 2020/3/17
康托定理
若bB，则b 2020/3/17 f (b)，于是由B的定义知，
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如 下构造集合B：
B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。
但是对任意x∈A，都有
x∈B xg(x)
所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g
2020/3/17
若干等势集合
• N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N • R ≈ [0,1] ≈(0,1) • 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半
开半闭的区间）都与实数集合R等势。 • 问题：N和R是否等势？
2020/3/17
康托定理
定理9.2 康托定理
（1）N≈ R。
（2）对任意集合A都≈ 有A
（1）首先规定[0,1]中数的表示。
对任意的x∈[0,1]，令x ≤ 9）
=
0.x1x2…
,
（0 ≤ xi
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到 0.24999…，则将x表示为0.25000…。
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的 所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)…
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。
2020/3/17 由等势定义得P(A)≈{0,1}A。
等势的性质
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。 （2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。 （3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。
2020/3/17
本章说明
本章的主要内容
–集合的等势及其性质 –重要的等势或不等势的结果 –集合的优势及其性质 –自然数与自然数集合 –集合的基数 –可数集
2020/3/17
本章内容
9.1 集合的等势与优势 9.2 集合的基数
本章小结 习题 作业
2020/3/Leabharlann 79.1 集合的等势与优势
通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
[2]
1/2
2/2
[12]
3/2 …
[7]
-1/3 0/3
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1/3
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2/3 3/3 …
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-1/4 0/4
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1/4
2/4
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3/4 …
等势集合的实例(4)
（4）(0,1)≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。
f:(0,1 ) R , f(x)tan2x1
所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
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… -3/1 -2/1
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… -3/2 -2/2
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-1/1 0/1
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-1/2 0/2
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双射函数
f
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[0,1](0,1)，
f
(x)
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x
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x0 x 1 x 1/ 2n,n 1,2,... 其它x
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。