高数第一章深刻复习资料
高等数学复习第一章
高等数学复习第一章第一篇：高等数学复习第一章高等数学复习第一章一，函数的概念与性质1函数定义有两个要素；○2构成复合函数的条件；○3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，○且能用一个解析式子来表示的函数；4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。
○二，极限1，数列和函数极限的定义2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；3，极限四则运算法则；4，复合函数极限运算；5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。
（证明题中最常用）三，无穷小与无穷大1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；2，无穷小的比较：看两者之商的极限。
3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函数的连续性1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在此点连续； 2，间断点的分类：第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。
（比如sinx-1在x=0处）3，介值定理和零点定理。
（用于证明根的存在性问题，相当有用）总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一第二篇：高等数学复习高等数学2考试知识点总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；证明题型：证明与偏导数有关的等式；第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）；证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；第三篇：高等数学复习教程高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限3.连续二、题型与解法 A.极限的求法函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解：（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.（洛必达）2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分2.微分中值定理3.应用二、题型与解法 A.导数微分的计算B.曲线切法线问题C.导数应用问题D.幂级数展开问题导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求 2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
大一高数笔记第一章知识点
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f xA ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=?==2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =（2）有界性（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ?>使得对,n N+∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0lim ()x x f xA →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=? (iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=?（0B ≠）（2）设（i ）00()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0 0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== 5、两个重要极限（1）0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01 lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞?+= )()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=?=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim ()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠?=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim 0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
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3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。
2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。
(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。
(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。
二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。
2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。
3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。
(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。
(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。
三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。
3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。
(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。
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第一章 预备知识一、定义域1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。
答案：(0,1)2. 求32233()6x x x f x x x +--=+- 的连续区间。
提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。
答案：()()(),33,22,-∞--+∞二、判断两个函数是否相同？1. 2()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同()2ln 1(1) (),()11(2) (),()sin arcsin (3) (),()xx f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性1. 判断()2x xe ef x --= 的奇偶性。
答案：奇函数四、有界性, 0∀∈∃>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。
有界函数既有上界，又有下界。
1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界？答案：无界2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2211<+x x五、周期性1. 下列哪个不是周期函数（C ）。
A ．sin , 0y x λλ=>B ．2y =C ．tan y x x =D ．sin cos y x x =+注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。
六、复合函数1. 已知[]()fx ϕ ，求()f x例：已知10)f x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，求()f x 解1：(111111()1f x x xf x x⎛⎛⎛⎫==+ ⎪ ⎝⎭⎝⎝= 解2： 令1y x = ，1x y =，1()f y y =，(11()1f x x x =+=2. 设2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，求()f x 提示：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3. 设(sin )cos 21f x x =+ ，求(cos )f x 提示：先求出()f x4. 设22(sin )cos 2tan f x x x =+ ，求()f x 提示：2222sin (sin )12sin 1sin xf x x x=-+- 七、函数图形熟记arcsin ,arccos ,arctan ,cot ====y x y x y x y arc x 的函数图形。
第二章 极限与连续八、重要概念1. 收敛数列必有界。
2. 有界数列不一定收敛。
3. 无界数列必发散。
4. 单调有界数列极限一定存在。
5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。
九、无穷小的比较1. 0→x 时，下列哪个与x 是等价无穷小（A ）。
A ．tan x B ．sin -x x C ．sin +x xD ．23x十、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
arctan lim0x x x →∞= ，cos lim 1x x x x →∞-= ，1lim sin 0x x x →∞= ，201lim sin 0x x x→=，2lim 01x x x →+∞=+2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式例如：22323lim 4354→∞-=++x x x x 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。
3. 出现根号，首先想到有理化limlim0x x →+∞==1232111312x x x x x →→++==- 补充练习： （1）limn →∞（2）1x →（3）)lim x x →+∞（4）)lim x xx →+∞（5）0x →4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限例：2211sinsin1lim lim 121(21)2x x x x x x x x x x→∞→∞=⨯=++作业：P497 （1）~（3）5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限例：22221222122212lim lim 111x x x x x x x e x x +--⨯+-→∞→∞⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭作业：P49 7 （4）~（6）6.00 、∞∞、0∞ 、∞-∞ 、00 、1∞ 、0∞ ，可以使用洛必达法则 作业：P995 （1）~（8）7. 分子或分母出现变上限函数提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例：2232 0001sin 1lim sin lim 33xx x x t dt xx →→==⎰ 补充练习： （1）sin 0arcsin limsin xx tdtx x→⎰（2）2limxt x e dt x→⎰（3）()2223sin limsin x xx t dt t t dt→⎰⎰（4）111lim1xtx e dtx →-⎰十一、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。
分段函数可能的间断点是区间的分界点。
若00lim ()()x x f x f x →= ，则()f x 在0x 处连续，否则间断。
第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。
第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。
1. 设22, 0(), 0x x e e x f x xk x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x = 处连续，求?k = 解：200002lim ()lim lim lim 122x x x x x xx x x x e e e e e e f x x x ---→→→→+--+==== ()f x 在0x = 处连续， 1k ∴=2. 作业：P49 4、10 P5011、123. 补充练习：（1）研究函数的连续性：21 1() 111 1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，2 01()2 12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（2）确定常数, a b ，使下列函数连续：0() 0x e x f x x a x ⎧≤=⎨+>⎩ ，2 0() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩ ，()ln 13 0() 2 0sin 0x x bx f x x axx x -⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：2322 1 145, , cos , 45 156sin x x x x y y y y x x x x x x -≤⎧-====⎨->-+⎩ 十二、闭区间上连续函数的性质零点定理：()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b < ，则在(,)a b 内至少存在一点ξ ，使得()0f ξ= 1. 补充练习：（1）证明方程sin 2x x =+ 至少有一个不超过3的正实根。
（2）证明方程5310x x --= 在(1,2) 内至少有一个实根。
（3）证明方程2x x e =- 在(0,2) 内至少有一个实根。
（4）证明方程32x x = 至少有一个小于1的正根。
第三章 导数与微分十三、重要概念1. 可导必连续，但连续不一定可导。
2. 可导必可微，可微必可导。
3. 函数在0=x x 处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。
十四、导数的定义作业：P75 2十五、对于分段函数，讨论分界点是否可导？例：()f x x = 在0x = 处，连续但不可导 1. 作业：P75 4、52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数2 0() 0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 答案：在0x = 处连续、不可导 1arctan 0()0 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 答案：在0x = 处连续、不可导 sin(1)1()10 1x x f x x x -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 答案：在1x = 处不连续、不可导 3. 设 0()cos 0ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，为使()f x 在0x = 处连续且可导，,a b 应取什么值？答案：0,1a b ==十六、求导数1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数 作业：P756、102. 利用对数求导法求导数 作业：P76133. 求隐函数的导数 作业：P76124. 求由参数方程所确定的函数的导数 作业：P76145. 求高阶导数 作业：P75116. 求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率k ，则法线的斜率为1k- 例：求曲线cos y x x =- 在2x π=处的切线方程。
解：'1sin y x =+ 切线斜率2'2x k y π=== ，切线经过点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭切线方程：222y x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 作业：P7537. 求变上限函数的导数 作业：P156 4十七、求微分(), '()y f x dy f x dx ==1.(ln 1y =，'dy y dx ===2. 21arctan ln(1)ln 32y x x x =-++ ，求dy 解：222'arctan arctan 12(1)arctan x xy x x x x dy xdx =+-=++= 作业：P7615十八、利用微分进行近似计算公式：()()()000'f x x f x f x x +∆≈+∆ 作业：P76 16第四章 中值定理与导数的应用十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ ，使得()()()'f b f a f b aξ-=-证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数()f x （2）叙述函数()f x 满足定理条件 （3）根据定理证明出不等式。
1. 作业：P99 42. 补充练习：证明下列不等式： （1）当0a b >> 时，()()233233ba b a b a a b -<-<-（2）arctan arctan a b a b -≤- （3）当1x > 时，xe xe >二十、单调性与极值1. 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论()'f x 在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间 作业：P9962. 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点） （2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论()'f x 在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值 例：确定8()2f x x x=- 的单调区间及极值点 作业：P100 9二十一、求闭区间上连续函数的最值步骤：（1）求出所有可能的极值点 （2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值 （3）上述各值中最大的为max ，最小的为min 作业：P100 10 （1）二十二、最值的应用问题步骤：（1）写出目标函数()f x （2）求出可能的极值点0x （应用问题只有一个可能的极值点） （3）分析是最大值问题还是最小值问题。