高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学常用概念及公式极限的概念当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x0（x→x）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x时，以常数A为极限，记作：lim∞→x f(x)=A 或limxx→f(x)=A导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx＝x- x，函数有增量Δy=f(x)-f(x0)，如果增量比xy∆∆当Δx→0时有极限，则称函数f(x)在点x可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f’(x)，即f’(x0)＝lim→∆xxy∆∆=limxx→0)()(xxxfxf--也可以记为y’=|x=x0，dxdy|x=x0或dxxdf)(|x=x0函数的微分概念设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+Δx都在此区间内，如果函数的增量Δy=f（x+Δx）-f(x)可表示成Δy=AΔx+αΔx其中A是常数或只是x的函数，而与Δx无关，α当Δx→0时是无穷小量( 即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而A Δx叫函数y=f（x）在点x的微分。

记作dy，即：dy=AΔx=f’(x)dx不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。

不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。

其中“⎰”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。

定积分的概念设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1<x i <…<x n-1<x n =b ，把区间[a ，b]任意分成n 个小区间[x i-1，x i ]（i=1,2, …,n ）每个小区间的长度为Δx i = x i - x i-1（i=1,2, …,n ），在每个小区间[x i-1，x i ]上任取一点ξi ，作和式 I n =∑=∆ni i i x f 1)(ξ当分点无限增加(n →∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δx i }→0时，和式I n 的极限，叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰badx x f )(=∑=→∞→∆ni iin x f 1)0()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，b 和a 分别称为定积分的上限和下限，区间[a ，b]叫积分区间，x 为积分变量。

极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时的极限为零，则称f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷小量，简称无穷小。

须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。

无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。

性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。

推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。

无穷大的概念：若当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷大量，简称无穷大。

注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。

无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1x f 就为无穷大。

极限运算法则：法则1：lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A ·B 特别的：lim cf(x)=c ·lim f(x)=c ·A (c 为常数)法则3：lim )()(x g x f =)(lim )(lim x g x f =BA（其中B ≠0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。

两个重要极限：重要极限1：x xx sin lim→=1 ==》 ()sin()lim 0()→=1重要极限2：lim ∞→x (1+x 1)x=e =》 lim ()∞→(1+()1)（）=e 或lim 0()→（）＋（）1)1(=e 等价无穷小(x →0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sin ~x x ；tan ~x x ；arcsin ~x x ；arctan ~x x ；ln(1)~x +x ；1~x e -x ； 1cos ~x -212x ；11~x +-12x ；1~x a -ln x a . 导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x 0的某邻域内有定义，当x →x 0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x 0处的函数值f(x 0)即lim 0x →x f(x)=f(x 0)则称函数在x 0处是连续的。

连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x 0处可导，则函数在点x 0处连续。

(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导)导数的计算步骤(按定义计算)：第一步 求增量，在x 处给自变量增量Δx ，计算函数增量Δy ，即 Δy=f(x+Δx)-f(x)；第二步 算比值，写出并化简比式：x y ΔΔ=xx x f ΔΔ)(f -)x (＋；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有Δx 项，避免出现00或∞∞) 第三步 取极限，计算极限lim→∆x xyΔΔ=f ’(x) 常用基本初等函数的导数公式：()/x μ=1x μμ-； ()/x a =ln x a a ； ()/x e =x e ；()/log a x =1ln x a ； ()/ln x =1x； ()/sin x =cos x ； ()/cos x =sin x -； ()/tan x =2sec x ； ()/cot x =2csc x -；()/sec x =sec tan x x ； ()/csc x =csc cot x x -； ()/arcsin x =21x-；()/arccos x =()/arctan x =211x +； ()/arccot x =211x-+ 导数的四则运算法则：设u=u(x)，v=v(x)，则 （u ±v ）’= u ’ ±v ’； （cu ）’=cu ’；（uv ）’=u ’v+uv ’； （vu）’=2''v uv v u -. 反函数的导数：y=f(x)是x=φ(y)的反函数，则 y ’='1x ，即f ’(x)=)(1y ‘φ 复合函数求导法则:设y=f(u),u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dx dy =du dy dxdu或y ’x =f ’u ·φ’x 隐函数求导方法：隐函数的概念 针对因变量y 写成自变量x 的明显表达式的函数y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量x 和y 的对应关系是由一个方程F(x,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。

求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y 看成中间变量y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y 对x 的导数。

例：求方程x 2+y 2=1所确定的函数的导数。

解 在方程的两端对x 求导，并将y 2看作x 的复合函数，则(x 2+y 2)’=(1)’ 即2x+2yy ’=0，y y ’=-x 得y ’= -yx 参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t 为参数x=φ(t) y=ψ(t)设函数φ(t)和ψ(t)都可导，且函数φ(t)存在连续反函数t=φ-1(t)，当φ-1(t)≠0时，这个反函数也可导；这时y 是x 的复合函数 y=ψ[φ-1(t)]=f(x) 它可导，由复合函数求导法则知y ’x =dx dy =dt dy dx dt =dtdx dt dy=)(')('x x φψ罗必塔法则：当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式)()(x g x f 的极限可能存在，也可能不存在。

我们称其为未定式，并记作00型或∞∞，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。

未定式00(罗必塔法则一)：limx x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =A(或无穷大)。

若其中x →∞时，结论仍然成立。

使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。

未定式∞∞(罗必塔法则二)：lim 0x x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =A(或无穷大)。

若其中x →∞时，结论也成立。

未定式0·∞型及∞-∞型：这两类未定式可转化为00型或∞∞型。

未定式00,∞0,1∞型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。

微分的运算及法则由微分的的概念dy=f ’(x)dx 可知，求一个函数的微分，只要求出导数f ’(x)再乘以dx 就得到微分dy ，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。

例，对于y=sinx ，有y ’=cosx ，从而dy=cosxdx 。

微分的法则：设u=u(x)，v=v(x)，则d(cu)=cdu ； d(u ±v)=du ±dv ； d(uv)=udv+vdu ； d(vu )=2vudvvdu - 不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质： 性质一：[⎰dx x f )(]’=f(x)或d[⎰dx x f )(]=f(x)dx ； 性质二：⎰dx x F )('=F(x)+c ；性质三：⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )((k 是不为0的常数)； 性质四：⎰±dx x g x f )]()([=⎰dx x f )(±⎰dx x g )(。