mathematic积分与应用
mathematica二重积分
mathematica二重积分摘要：一、Mathematica软件简介1.背景介绍2.功能概述二、二重积分概念及应用1.二重积分的定义2.几何意义3.实际应用场景三、Mathematica实现二重积分的方法1.基本语法2.参数设置3.实例演示四、Mathematica二重积分的优势与局限1.优势2.局限五、实际问题求解1.例题解析2.步骤演示正文：一、Mathematica软件简介1.背景介绍Mathematica是一款由Wolfram Research公司开发的数学软件，自1988年问世以来，广泛应用于科学、工程、数学等领域。
它具有强大的计算和可视化功能，可以帮助用户解决复杂的数学问题。
2.功能概述Mathematica的主要功能包括：符号计算、数值计算、图形绘制、数据分析、编程等。
用户可以通过Mathematica进行各种数学运算、绘制三维图形、构建动态交互式界面、处理大数据等。
二、二重积分概念及应用1.二重积分的定义二重积分是指在二维平面上的积分，它可以用来求解空间曲线下面的面积。
设平面区域D由直线或曲线围成，函数f(x,y)在D上有定义，则二重积分表示为：∫∫Df(x,y)dxdy2.几何意义二重积分的几何意义是曲线下面的面积。
在进行二重积分时，可以将平面区域D划分为无数小矩形，每个小矩形的面积为dxdy，求和后即可得到整个区域D的面积。
3.实际应用场景二重积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域。
例如，在物理学中，利用二重积分求解物体受力的功；在化学中，计算反应物质的摩尔面积；在经济学中，分析市场需求与价格的关系等。
三、Mathematica实现二重积分的方法1.基本语法在Mathematica中，二重积分的表示为：Integral[f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}]其中，f(x, y)为待求函数，a、b、c、d分别为x、y的积分区间。
2.参数设置Mathematica二重积分命令中，用户可以设置以下参数：- EvaluateBy：指定积分方式，如“Recursive”、“Parallel”等。
mathematic积分与应用
mathematic积分与应⽤实验三积分与应⽤3.1实验⽬的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算⽅法。
熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进⾏简单数学建模和求解。
3.2 实验准备3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]功能：计算函数f(x)的⼀个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值?badxx f )(．3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的⼀个原函数：1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -3） x asin 4）1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 22cos sin 12.计算下列定积分： 1） ?-+422)123(dxx x 2）+1)sin 1(dxx e x3）+edx x x131dx x x x5）-21dx x 6） ?+-+22/11)11(dx e x x xx3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）xadtt 2sin 2）-221x dtt 3）dtt a x x+24）-+xxdtt f sin )2(4. 标准正态分布函数为：.2221)(π画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限1）→xt xt x dte t dt e 022)()(lim222）1)(arctan lim202+?+∞→x dt t xx6.计算积分x xd ?1sin sin ．3.3.2 探索实验本实验探索定积分的近似计算⽅法。
mathematica 反常积分
mathematica 反常积分摘要：一、引言- 介绍Mathematica 软件- 阐述反常积分的概念二、Mathematica 中反常积分的应用- 计算反常积分- 求解反常积分的极限- 分析反常积分的性质三、Mathematica 中反常积分的函数操作- 常见反常积分函数- 反常积分函数的性质- 反常积分函数的实例四、总结- 概括Mathematica 在反常积分中的应用- 强调Mathematica 在解决反常积分问题中的优势正文：Mathematica 是一款强大的数学软件，广泛应用于各个领域的数学计算。
在数学分析中，反常积分是一个重要的概念，它涉及到许多复杂数学问题的求解。
本文将介绍如何在Mathematica 中处理反常积分问题。
首先，我们需要了解什么是反常积分。
在常规积分中，被积函数在积分区间内可积，而反常积分则针对那些在积分区间内不可积的函数。
反常积分的概念有助于我们解决一些复杂数学问题，例如求解函数的极限、研究函数的性质等。
在Mathematica 中，反常积分可以通过使用相关的内置函数进行计算。
这些函数可以方便地处理各种反常积分问题，包括计算反常积分的值、求解反常积分的极限等。
此外，Mathematica 还可以用于分析反常积分的性质，如可积性、可微性等。
Mathematica 中包含许多用于处理反常积分的函数。
例如，常见的不定积分函数如DiracDelta、Hypergeometric1F1 等，它们可以用于表示各种反常积分。
这些函数具有特定的性质，例如在某些区间内可积、可微等。
通过使用这些函数，我们可以在Mathematica 中轻松地完成反常积分的计算和分析。
总之，Mathematica 在反常积分问题中发挥着重要作用。
它不仅可以用于计算反常积分、求解极限，还可以用于分析函数的性质。
Mathematica中微积分使用
一个返回的是y[x]的表达式，并不能给出y[0],y’[x] 一个返回的是y的纯函数
例：
DSolve[y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y, x] DSolve[{y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y[1]==2E}, y, x]
2
1 (1 x )
2
dx
0
分段函数的积分
Hale Waihona Puke 2| x 1 | dx
0
原函数无法用初等函数表示的积分
sin x x
dx
极限概念的理解
方法：列表、作图、动画
数列极限的直观说明
观察数列 an=1/n2在n趋于无穷时的变化趋势
函数极限的直观说明
考察函数f(x)=sinx/x当x趋向于0时的变化趋势
它有时求不出，可结合极限存在的条件 有时需对被求极限的式子作一变形 无穷振荡处极限的表示方法
导数和微分
导数： D[f,x] 计算偏导数 D[f,x1,x2,…] 计算多重导数 D[f,{x,n}] 计算n阶导数 微分 Dt[f] 计算全微分 Dt[f,x] 计算全导数 Dt[f,x1,x2,…] 计算多重全导数 Dt[f,x, constants—>{c1,c2,…}] ， 其中c1,c2,…为常数
求最值所对应的程序
f[x_] = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 zhudian = Solve[f'[x] == 0, x] fxyvalue = Union[({x, f[x]}/.zhudian), {{a,f[a]}}, {{b, f[b]}}] fvalue = Transpose[fxyvalue][[2]] fmax = Max[fvalue] fmin = Min[fvalue] xx1 = Position[fxyvalue, fmax] xx2 = Position[fxyvalue, fmin] xmax = fxyvalue[[xx1[[1, 1]]]] xmin = fxyvalue[[xx2[[1, 1]]]]
Mathematica求定积分以及相关应用问题
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问6. 1用Mathematica求定积分1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。
Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下(1)Integrate[f, {x,下限，上限}](2)J ? f(x)dx例6.1计算定积分解Zn[l]:= J,Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.2数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。
数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。
用Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NIntegrateEf, {x, a, b}] x 从d 到b，做/(x)的数值积分。
(2)N[J力(x)心] 求定积分表达式的数值例 6. 3 求定积分J f sin(sin x)dx。
解用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分,用NIntegrate命令即可求得其数值积分。
In[l]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi/3}]Out[l]=O. 466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。
In[2] := N|J ^3Sin[Siii[A]]dx]0ut[2]=0. 466185例6. 4求定积分J詁的近似值。
解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。
In[3]:=NIntegrate[Exp[~x~2], {x, 0, 1}JOut[3]二0. 7468243近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点a <x Q< %! < =b将区间[a,方]分成"个长度相等的小区间，每个小区间长度为人b-a (b-a)i b-a「、5=——=a + ——x/+1 = x{------ 儿=/(x)n n n矩形法公式：[^f{x)dx« 上上(旳+ y i + …+ 儿-)J nf afMdx «^-(>'1 + 乃…+ 儿)J n梯形法公式：f afWdx Q [；(〉'o + 儿)+〉'l +〉'2 + …+ y,i-\ ]J n 2抛物线法公式：f a f(x)dx «—^[(JO + 儿)+ 2(〉，2 +〉'4 + …+ y n-2) + 4(” +『3 + …+ y n-\ )1J 3/7例6. 5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分Jh?必。
最新6Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答汇总
6M a t h e m a t i c a求定积分以及相关应用问题练习解答§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a2220-⎰;(5) dx x ba )log(⎰2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx x x sin 0⎰π 3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x ta y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰-Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解 In[2]:= dx xSinx ⎰π0 Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰πOut[3]=2π (4) 解 In[4]:=dx x a x a 2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解 In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*)ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*)s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=31 6. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y cos sin , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示→Automatic]图3Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a8. 解圆的参数方程为{b t a x ta y +==cos sin , )20(π≤≤t首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a2b 2。
mathematica求中求导数的不定积分
mathematica求中求导数的不定积分不定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数的原函数（也称为反导函数）。
求不定积分的过程称为求导数的逆过程，也称为反求导。
在数学中，有许多方法可以求解不定积分，其中包括基本积分法、分部积分法、换元积分法等。
Mathematica是一种功能强大的数学软件，它可以通过内置的求解器准确、快速地求解不定积分。
下面，我将介绍Mathematica中的不定积分处理函数以及如何使用它们求解不定积分。
1. Integrate函数Mathematica中的Integrate函数可以用于求取不定积分。
它的基本语法如下：Integrate[被积函数,变量]其中，被积函数是需要求解的积分式，变量是求解积分的变量。
例如，我们要求解函数f(x) = x^2的不定积分，可以使用以下代码：Integrate[x^2, x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：1/3 x^3 +常数其中，常数表示任意常数，由于这是不定积分，所以结果需要加上常数项。
2.常见的不定积分在Mathematica中，我们可以方便地求解许多常见的不定积分。
例如，我们要求解不定积分∫(3x^2 + 2x + 1) dx，可以使用以下代码：Integrate[3x^2 + 2x + 1, x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：x^3 + x^2 + x +常数同样地，我们得到了函数的原函数，也需要加上常数项。
3.分部积分法Mathematica中的Integrate函数还支持分部积分法。
例如，我们要求解不定积分∫x*sin(x) dx，可以使用以下代码：Integrate[x*sin(x), x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：-x*cos(x) + sin(x) +常数这里，Mathematica使用了分部积分法，将积分式分解为两个函数的乘积。
4.换元积分法Mathematica中的Integrate函数也支持换元积分法。
Mathematica软件定积分以及相关应用问题
实习六 定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
实习作业1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx ex x 211)5cos(3⎰-; 输入：Integrate[3Cos[5x]/Exp[2x],{x,-1,1}]输出：(2)dx xx ⎰sin ; 输入：Integrate[Sin[x]/x,x]输出：SinIntegral[x] (3)dx xsin 35120+⎰π; 输入：Integrate[1/(5+3Sin[x]),{x,0,2Pi}]输出：2 (4) dx x a x a2220-⎰;输入：Integrate[x^2*Sqrt[a^2-x^2],{x,0,a}]输出：(5) dx x ba )log(⎰输入：Integrate[Log[x],{x,a,b}]输出：2. (1)dx x ⎰+1)(sin 310;输入：NIntegrate[Sqrt[Sin[x]^3+1],{x,0,1}]输出：1.08268(2)dx xx sin 0⎰π输入：NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]输出：1.851943. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x ex f x ，求dx x f )1(20-⎰输入：4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.矩形法输入：Clear y ,x,s1,n,b,a ;n 40;a 0;b 1;y x _ : 2x ^23;s1 b a n Sum y a i b a n , i ,0,n 1 N;s2 b a n Sum y a i b a n , i ,1,n Print "s1 ",s1"s2 ",s2 输出：s1= 1.32177 s2= 1.32632梯形法输入：Clear y ,x,a,b,ss3,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;ss3 Sum y a ib a n , i ,1 s3 y a 2y b 2ss3 b a Print "s3 ",s3 输出：s3= 1.32409输入;Clear y ,,x,a,b,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;m 10;ss1 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss1 2y 22y 4¡2y n 2 ss2 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss2 2y 12y 3¡2y n 1 s4 N y a y b ss12ss2 b a 3 n ,2 Print "s4 ",s4输出：s4= 1.3240274507181334834 5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.输入：Plot[{x^2,Sqrt[x],-Sqrt[x]},{x,0,1.5}]输出：输入：Solve[{y-x^2==0,x-y^2==0},{x,y}]输出：x 0,y 0 , x 1, x 1 1 3,y 1 x 1 2 3,y1 输入：Integrate[-x^2+Sqrt[x],{x,0,1}]输出： 3 6. 求半径为r 的圆的周长.输入：v=D[r*Sin[t],t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 输入：u=D[a*Cos[t]^3,t];v=D[a*Sin[t]^3,t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.令a=b=1输入：ParametricPlot[{Cos[t]+1,Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] 输出：Graphics输入：x[t_]:=a*Cos[t]+b;y[t_]:=a*Sin[t];dx=D[x[t],t];V=Integrate[Pi*(y[t])^2 *dx,{t,0,Pi}]输出：。
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实验三 积分与应用3.1实验目的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算方法。
熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进行简单数学建模和求解。
3.2 实验准备3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]功能：计算函数f(x)的一个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值⎰badxx f )(．3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的一个原函数：1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -3） x asin 4）1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 22cos sin 12.计算下列定积分： 1） ⎰-+422)123(dxx x 2）⎰+1)sin 1(dxx e x3）⎰+edx x x1ln 1 4）⎰++2131dx x x x5）⎰-21dx x 6） ⎰+-+22/11)11(dx e x x xx3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）⎰xadtt 2sin 2）⎰-221x dtt 3）dtt a x x⎰+24）⎰-+xxdtt f sin )2(4. 标准正态分布函数为：.dte x x t ⎰-=Φ02221)(π画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限1）⎰⎰→xt xt x dte t dt e 022)()(lim222）1)(arctan lim202+⎰+∞→x dt t xx6.计算积分x xd ⎰1sin sin ．3.3.2 探索实验本实验探索定积分的近似计算方法。
1．定积分的基本思想是化整为零、以不变代变，积零为整，再取极限四个部分。
⎰badxx f )(的几何意义是由b x a x y x f y ====,,0),(围成的曲边梯形的面积（代数和）。
矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。
试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。
图1定积分的几何意义3.3.3应用实验（ 转售机器的最佳时间问题）1.人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。
通常是把购买的机器使用一段时间后再转售出去买更好的机器。
那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获得最大的利润是使用机器者最想知道的。
现有一种机器由于折旧等因素其转售价格R(t)服从如下函数关系9643)(teA t R -=（元），这里t 是时间，单位是周，A 是机器的最初价格。
此外，还知道在任何时间t,机器开动就能产生484teA P -=的利润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？机器卖了多少钱？ 3.4本实验的参考命令与输出结果、相关说明 1.1）In[1]:= Integrate[x*Sqrt[x]+2,x]Out[1]=xx 2525+2）In[2]:= Integrate[Sec[x]*(Sec[x]-Tan[x]),x]Out[2]=]2[]2[]2[2x Sin x Cos x Sin + 3）In[3]:= Integrate[a/Sin[x],x]Out[3]=]]2[[]]2[[x Sin aLog x Cos aLog +- 4）In[4]:= Integrate[Log[x ＋1]/Sqrt[x ＋1],x] Out[4]=]1[1214x Log x x ++++- 5）In[5]:= Integrate[x^2*ArcTan[x],x]Out[5]= ]1[61][316232x Log x ArcTan x x +++-6）In[6]:= Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x] Out[6]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x])2.1）In[1]:= Integrate[3x^2+2x-1,{x,2,4}] Out[1]=662）In[2]:= Integrate[Exp[x]*(1+Sin[x]),{x,0,1}] Out[2]=2])1[]1[2(21Sin Cos E +-+-3）In[3]:= Integrate[(1+Log[x])/x,{x,1,E}]Out[3]=234）In[4]:= Integrate[(1+x)/(x+x^3),{x,1,2}] Out[4] =2]5[2]2[3]2[4Log Log ArcTan Pi -++-5）In[5]:=Integrate[1－x,{x,0,1}]＋Integrate[x －1,{x,1,2}] Out[5]=16）In[6]:=Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x], {x,1/2,2}]Out[6]=2325E3.1）In[1]:=D[Integrate[Sin[t^2],{t,a,x}],x] Out[1]=Sin[x 2]2）In[2]:= D[Integrate[Sqrt[1-t^2],{t,0,x^2}],x]Out[2]= 2/]1[2]1[2]1[24454x xSqrt x Sqrt x x Sqrt x -+---In[3]:=Simplify[%] Out[3]= ]1[24x xSqrt -3）In[4]:= D[Integrate[Sqrt[a+t],{t,x,x^2}],x]Out[4]= -Sqrt[a + x] + 2 x Sqrt[a + x 2]4）In[5]:= D[Integrate[f[t+2],{t,-x,Sin[x]}],x]Out[5]= f[2 - x] + Cos[x] f[2 + Sin[x]]4.In[1]:= fai[x_]:=Integrate[Exp[-t^2/2],{t,0,x}]/Sqrt[2Pi]In[2]:= Plot[fai[x],{x,-3,3}]输出的图形为Out[2]= -Graphics-In[3]:= {fai[-1],fai[-0.5],fai[3],fai[10]}//NOut[3]= {-0.341345, -0.191462, 0.49865, 0.5}因此函数在x=-1,0.5,3,10的函数值依次为-0.341345, -0.191462, 0.49865, 0.5。
5.1）In[1]:= Limit[Integrate[Exp[t^2],{t,0,x}]^2/Integrate[t Exp[t^2]^2,{t,0,x}], x->0]Out[1]=22）In[2]:=Limit[Integrate[ArcTan[t]^2,{t,0,x}]/Sqrt[1+x^2],x->+Infinity]屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On::none: Message SeriesData::csa not found.……………………………………………………ComplexInfinity + <<1>> encountered.说明不能得出正确结果。
此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限: In[3]:= Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x->Infinity]Out[3]=42Pi6.In[1]:= Integrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On::none: Message SeriesData::csa not found. Out[1]= Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, 1}]说明不能得出正确结果，转用数值积分命令：In[2]:= NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]Out[2]= 0.4306067.1) 问题分析 如果定积分⎰badxx f )(存在，则由定义，我们可以选择特殊的小区间和函数值，特别，可以选择n ab x i -=∆，)()(i i x f f =ξ，于是我们有n a b h ih a x x f n a b x f n a b dx x f i ni i ban i i n -=+=-≈-=∑⎰∑==∞→,;)()(lim )(11得到求定积分的矩形公式n a b h ih a x x f n a b dx x f i ban i i -=+=-≈⎰∑=,;)()(1下面选择定积分⎰10sin xdx x 并用矩形公式计算来做实验。
2）求解过程In[1]:= f[x_]:=x*Sin[x] In[2]:= a=0;b=1;h=b-a;In[3]:= s[n_]:=h*Sum[f[a+i*(b-a)/n],{i,1,n}]/n In[4]:= Table[{n,N[s[n]-s1,10]},{n,100,250}]Out[4]=: {{100, 0.004218869744}, {101, 0.004176985876}, {102, 0.004135925453}, {103, 0.004095664426}, {104, 0.004056179676}, {105, 0.004017448967}, {106, 0.003979450903}, {107, 0.003942164891}, {108, 0.003905571101}, …………………………………………………………………………………. {238, 0.001769829021}, {239, 0.001762415408}, {240, 0.001755063646}, {241, 0.001747772964}, {242, 0.001740542603}, {243, 0.001733371818}, {244, 0.001726259876}, {245, 0.001719206056}, {246, 0.001712209647}, {247, 0.001705269951}, {248, 0.001698386283}, {249, 0.001691557966}, {250, 0.001684784335}}计算使用了细分积分区间份数从100到250份，然后采用矩形公式进行计算。