空间中直线与直线之间的位置关系经典例题
212空间中直线与直线的位置关系
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
BACK
NEXT
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如பைடு நூலகம்：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
BACK
NEXT
合作探究二
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
A1 D
B1 C
A
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
BACK
NEXT
3.异面直线所成的角
(1)复习回顾
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开
程度, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
∴EH ∥BD且EH = 1 BD
同理，FG
2 ∥BD且FG
1
=
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那
么四边形EFGH是什么图形?
A
菱形 E
分析：
在例题2的基础上 B
我们只需要证明平行四
F
边形的两条邻边相等。
H D
夹角).
异面直线所成的角的范围( 0o , 90o ]
高二-06-直线与直线的位置关系
知识点一、公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）；符号表示：a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .作用：判断或证明空间中两条直线平行.知识点二、 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.注：等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补.推论：1. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．2. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等．知识点三、空间中两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.题型一、平行线的传递性【例1】如图，△ABC 的各边对应平行于△111A B C 的各边，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且1,3AE AB AF ==13AC ，则EF 与11B C 的位置关系是________. 第6讲 直线与直线的位置关系 知识梳理例题分析模块一：空间直线的位置关系 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【难度】★题型二、等角定理【例1】已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对【难度】★【例2】给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【难度】★【例3】若111AOB A O B ∠=∠，且11OA O A ∥，OA 与11O A 方向相同，则下列结论正确的有（ ）A ．11OB O B ∥且方向相同B ．11OB O B ∥，方向可能不同C ．OB 与11O B 不平行D ．OB 与11O B 不一定平行 【难度】★题型三、空间直线的位置关系【例1】已知三条直线1l ，2l ，3l 满足12l l ∥且23l l ⊥，则1l 与3l （ ）A ．平行B ．垂直C ．共面D ．异面【难度】★【例2】若直线//a b ，直线c a A =，则直线b 、c 的位置关系为______.（用文字表述）【难度】★【例3】若直线a 与直线b ，c 所成的角相等，则b ，c 的位置关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上答案都有可能【难度】★★【例4】如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是平行直线的图是________(填序号).【难度】★★【例5】如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【难度】★★【例6】如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中（1）BM 与ED 平行； （2）CN 与BE 是异面直线； （3）CN 与BM 成60︒； （4）DN 与BM 垂直其中正确的序号是_____________．【难度】★★知识点一、异面直线的定义把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；画法：（通常用平面衬托）知识点二、异面直线的判定1. 判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线.符号表示：A α∉, B α∈，B a ∉，a AB α⊂⇒与l 是异面直线（如图）.2. 异面直线的判定方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面；③判定定理法知识点三、异面直线所成的角1. 定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角.2. 范围：两条异面直线所成角的范围是0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（090θ︒<≤︒）. 3. 异面垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．记作a ⊥b ．模块二：异面直线 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理4. 平移法求异面直线所成角①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②证明：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，取它的补角.题型一、异面直线的判定【例1】正方体1111ABCD A B C D −中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系是_________.【难度】★【例2】若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则（ ）A ．a ∥cB ．a ，c 是异面直线C ．a ，c 相交D ．a ，c 平行或相交或异面【难度】★★【例3】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是1AB AA ､的中点.求证： （1）1CE D F DA ､､三线共点；（2）直线BC 和直线1D F 是异面直线.【难度】★★例题分析【例4】已知：平面α平面a β=，b α⊂，b a A ⋂=，c β⊂且c ∥a ，求证：b 、c 是异面直线．【难度】★★题型二、异面直线所成的角【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是_________.【难度】★【例2】在正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 相交于点O ，则异面直线1B O 与1A D 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★【例3】已知，点A 是BCD △所在平面外一点，且AB AD AC BC BD CD =====，点E 是边BC 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为___________.【难度】★★【例4】在正方体1111ABCD A B C D −中，与1AD 成60°角的面对角线的条数是________【难度】★★【例5】已知点M 是正方体1111ABCD A B C D −的与1BB 上的中点，求异面直线1MD 与1A B 所成的角．【难度】★★题型三、空间四边形【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则MN 12(AC ＋BD ).【难度】★【例2】已知空间四边形ABCD ，连接AC 和BD ，且1AB AC AD BC CD BD ======，点N 是线段AD 的中点，则异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值是______．【难度】★★【例3】如图，在空间四边形ABCD 中，E ，G 分别为,AB CD 的中点且6,8===EG AC BD ，则异面直线AC 和BD 所成角是_________．【难度】★★题型四、综合问题【例1】如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.（1）求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小；【难度】★★【例2】如图，已知正方体ABCD A B C D −''''的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D −''''中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若,M N 分别是A B '，BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.【难度】★★【例3】如图所示，点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，当EF ＝22AD 时，求异面直线AD 和BC 所成的角． 【难度】★★师生总结1. 空间中有两个角α、β，且角α、β的两边分别平行.若60α=，则β=________.【难度】★2. 如图，在正方体中，A 、B 、C 、D 分别是顶点或所在棱的中点，则A 、B 、C 、D 四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．【难度】★3. 如图是正方体的表面展开图，E ，F ，G ，H 分别是棱的中点，则EF 与GH 在原正方体中的位置关系为______.【难度】★4. 若a ，b 为两条异面直线，α，β为两个平面，a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列结论中正确的序号是 .①l 至少与a ，b 中一条相交②l 至多与a ，b 中一条相交③l 至少与a ，b 中一条平行④l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行【难度】★5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 .【难度】★★巩固练习6. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝________.【难度】★★7. 在空间中，直线AB 平行于直线EF ，直线BC EF 、为异面直线，若120ABC ∠=︒，则异面直线BC EF 、所成角的大小为______．【难度】★★8. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为_________.【难度】★★9. 设A 、B 、C 、D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（ ）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定 【难度】★★10. 已知直线a、b是正方体上两条面对角线所在的直线，且a、b是异面直线，则直线a、b所成的角的大小为_____．【难度】★★11. 已知a，b是异面直线，直线//c a且c不与b相交，求证：b、c是异面直线.【难度】★★12. 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是PC、PD的中点，已知=.PD CDPD CD⊥，且2（1）求证：A、B、E、F在同一平面上；（2）求异面直线PC与AB所成角的大小.【难度】★★13. 已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， （1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【难度】★★14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为AB 中点，F 为1AA 中点，（1）求证：E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）求异面直线1C E 与1CD 所成的角.【难度】★★1. 正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成120 的二面角，则异面直线EF与AG所成角的正切值为（）A．32B．34C．72D．74【难度】★★★能力提升。
2.4.1空间中直线与直线之间的位置关系
A F B
空间两直线的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线 ：不同在任何一个 平面内的两条直线
公理4：在空间平行于同一条直线的两条直
线互相平行．（平行线传递性） 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角
异面直线所成角的求法: 一作(找) 二证 三求
D1
G
A1
E B1
C1
D
F
C B
求异面直线所成的角的步骤是: 一作：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异面 直线所成的角 三算：在一恰当的三角形中求出角
2 5 5
A
例3 四边形ABCD是空间四边形，E、 G分别是边AB、 CD的中点，H、F分别是边AD、CB的中点，求证：四 边形EFGH是平行四边形. A
A B F G C E
D G
C
A D B
H
H
E F
二、异面直线的画法
说明: 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点， 常借助一个或两个平面来衬托. 如图：
b A b
(2)
a
a b
(3)
a
(1)
在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么 这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察: 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …之间有何关系？
600
A
A H E E G
D
C B
D G H C
B
注意：在求作异面直线所成角的平移过程中，经 常移到其中一条线段的端点或线段的中点处。
练习 1如图, 长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
人教版数学高一-人教A版必修2练习 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础梳理1．空间两条直线的位置关系．空间两条直线的位置关系有且只有三种．(1)从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交(2)从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？答案：三对2．异面直线．(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ．4．等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角．(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？答案：平行或相交►思考应用1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？解析：从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线．2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？解析：如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角(或补角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．解析：在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．自测自评1．下列说法中正确的是(B)A．不在一个平面内的两条直线是异面直线B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D．两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(D)A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(C)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.4．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能解析：∵两个平面的位置不确定，∴两条直线的位置关系不确定，题型一空间直线位置关系的判定题型二证明两直线是异面直线题型三求异面直线所成的角基础达标1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(D)A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(D) A．90°B．45°C．60°D．30°3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(D)A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．4．如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点．将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(B)A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将三角形折成三棱锥如图所示B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线．在三棱锥ADEF中，IJ綊12AD，HG綊12DF，所以∠ADF即为所求，可知△ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60°.5．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(D)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．答案：60°巩固提升7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(C)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GE＝12BC，GF＝12SA，且GE ∥BC ，GF ∥SA ，则∠GFE 就是EF 与SA 所成的角(或补角)．若设此空间四边形边长为a ，那么GF ＝GE ＝12a ，EA ＝32a ， EF ＝EA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝22a ， 因此△EFG 为等腰直角三角形，∠EFG ＝45°，所以EF 与SA 所成的角为45°.8．如图，a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，E ，F 分别是线段AC 和BD 的中点，判断EF 和a ，EF 和b 的位置关系，并证明你的结论．解析：假设EF 和a 共面，设这个平面为α，则EF ⊂α，a ⊂α，∴A ，B ，E ，F ∈α，∴BF ⊂α，AE ⊂α.又∵C ∈AE ，D ∈BF ，∴C ，D ∈α.于是b ⊂α.从而a ，b 共面于α，这与题设条件a ，b 是异面直线相矛盾． ∴EF 和a 共面的假设不成立．∴EF 和a 是异面直线．同理可得EF 和b 也是异面直线．9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解析：(1)连接DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°.(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角为60°.1．异面直线的对数用分类的方式记数．2．异面直线所成的角不可能为钝角．3．求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角．。
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固一、选择题1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[答案] D[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°[答案] D[解析] 由等角定理知α、β相等或互补．所以β＝60°或120°.5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°[答案] A[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．6．下列命题中，正确的结论有( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] ②④是正确的．二、填空题7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案] 3[解析] AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A 1F 1与BD 所成角的度数为________. (2)C 1F 1与BE 所成角的度数为________. [答案] 30° 60° 三、解答题9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1，DD 1中点．求证：∠BGC ＝∠FD 1E . [分析]利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．[解析] 因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点，所以CE 綊GD 1，BF 綊GD 1.所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形．所以GC ∥D 1E ，GB ∥D 1F .因为∠BGC与∠FD 1E 的方向相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .10．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE (或CD )．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)． 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 能力提升一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交[答案] D[解析] 如图所示，a 、b 是异面直线，AB 、AC 都与a 、b 相交，AB 、AC 相交；AB 、DE 都与a 、b 相交，AB 、DE 异面．2．已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也是异面直线 [答案] C[解析] 由平行公理可知C 正确，而其他可举反例说明错误．3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形 [答案] D[解析] ∵E 、F 、G 、H 分别为中点，如图． ∴FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC ，又∵BD ⊥AC 且BD ＝AC ，∴FG ⊥HG 且FG ＝HG ，∴四边形EFGH 为正方形．4．点E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°[答案] D[解析] 如图，取PB 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝12AB ＝3，FG ＝12PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°.二、填空题5．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[答案] 1[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1，B 1C ，BD ，BA 1，C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.6．如图所示，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若BD ＝2，AC ＝4，则四边形EFGH 的周长为________.[答案] 6[解析]⎭⎪⎬⎪⎫EH 綊12BDFG 綊12BD ⇒EH ＝FG ＝12BD ＝1， 同理EF ＝GH ＝12AC ＝2，∴四边形EFGH 的周长为6. 三、解答题7．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．[解析] 如图，取BD 的中点M ，连接EM 、FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角．AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt △MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin ∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠FMH ＝120°.所以异面直线AD 、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°. 8．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23. (1)求证：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．[分析]用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似．[解析] (1)证明：因为AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23，所以AB ∥A ′B ′.同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解：因为A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′，且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′方向相反． 所以∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. 所以S △ABCS △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.[点评] 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证明三角形相似．解答时要注意角的两边是否平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回答时要作出说明．。
两直线的位置关系习题附答案
两直线的位置关系习题附答案1.已知直线l1：mx+y-1=0与直线l2：(m-2)x+my-2=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件。
2.当0<k<2时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在第二象限。
3.若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(0,2)。
4.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2之间的距离为3.5.光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=ax+2射出，则有a=-1/3，b=-6.6.求关于直线x=1对称的直线方程已知直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1)，直线上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0)。
因此，直线方程为y-x-3=0，即x+2y-3=0.答案：x+2y-3=07.求四边形ABCD的面积根据向量叉积的公式，四边形ABCD的面积为：S = 1/2 |AB × AD| = 1/2 |(4-1,1-5,0-2) × (1+3,5-2,-1-2)|S = 1/2 |(-3,-4,-2) × (4,3,-3)| = 1/2 |(-6,-6,-21)|S = 1/2 × 9√13 = 9/2√13答案：9/2√138.求直线l1的方程由于l1和l2是平行直线，所以它们的斜率相等。
设l1的方程为y=ax+b，则l2的方程为y=ax+c，其中b≠c。
由于l1过点A(1,1)，所以1=a+b，即b=1-a。
同理，l2过点B(0,-1)，所以-1=a+c，即c=-1-a。
两直线间的距离为|b-c|/√(1+a^2)，要求它最大，就要求|b-c|最大。
因为b=1-a，c=-1-a，所以|b-c|=2+2a。
因此，要使距离最大，就要使2+2a/√(1+a^2)最大。
对其求导数，得到a=-1/√3.代入b=1-a=-1/√3+1，得到直线l1的方程为y=-x/√3+1/√3.答案：y=-x/√3+1/√39.求过点P(2,-1)的直线方程1) 过点P且与原点的距离为2的直线，可以看作以原点为圆心、以2为半径的圆与点P的交点所连成的直线。
立体几何直线与直线之间的关系典型例题有答案
立体几何的典型例题精炼一、直线与直线的位置关系两直线的位置关系有哪些？什么是异面直线？什么是异面直线所成角？求异面直线所成角时要注意哪些问题？三垂线定理？证明三垂线定理。
平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
[例1]在正方体ABCD-A B C D中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、D C的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.1111111[例2]如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点，G,H 分别是BC,CD 上的点,且,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.解：证明：、F 分别是AB,AD 的中点, ∥BD,EF=BD,又,GH ∥BD,GH=BD,四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,平面ABC,FH 平面ACD,T 面ABC,且T 面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC 相交于一点T.[例3]判断：若a,b 是两条异面直线，P 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行.正解：假命题．[例4] 如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E ，AB β， E α，E β，即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F ，G ，H 四点必定共线．点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．2==HC DH GC BG E EF ∴212==HC DH GC BG∴31∴⊂EG ⊂∴∈∈ AC T ∈∴∴∴∈∈[例5] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）。
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
2013-1-29 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 2
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
2013-1-29
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
A'
A'
B
D
A
D
A
∠ADC=∠A′D′C′
2013-1-29
∠ADC+∠B′A′D′=1800
17
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
思考3 如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明 ∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？ C´ E´ A´ B´ D´ C E A
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
a
a b
b
2.异面直线的图示
2013-1-29 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线. 2.如何画异面直线
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解如图，连接BD、A1D，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴DD1綉BB1，
∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，
△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.
4．下面四种说法：
①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；
③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()
A．4B．3
C．2D．1
答案D
解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．
∴CE与HF共面，又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且 ＝ ＝ ＝ .
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求 的值．
(1)证明∵AA′∩BB′＝O，
且 ＝ ＝ ，
∴AB∥A′B′，
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
答案①③
解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、基础达标
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A．一定平行B．一定相交
C．一定异面D．相交或异面
答案D
解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．()
12.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝ AD.又BC∥AD，
答案D
解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉 AB，FG綉 CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF.
当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.
10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
5.(2014·威海高一检测)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案C
解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.
9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()
A．15°B．30°
C．75°D．15°或75°
AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，
∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．
如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，
C1N⊥A1B，垂足为N.
BC＝ AD，∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：
由BE∥FA，BE＝ FA，G为FA中点知，
BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
A．①②③B．①③④
C．②③D．①④
答案D
解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
3．(2014·郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
答案C
解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且 ＝ ＝ ，
∴ ＝ 2＝ .
∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
二、能力提升
8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案C
解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
由已知可设A1B1＝1，
则AA1＝BB1＝2，
∴A1B＝BC1＝ ，
A1C1＝ .∴点M是A1C1中点，
∴A1M＝ .
∴cos∠BA1C1＝ ＝ ＝ .
∵在Rt△A1NC1中，
A1N＝A1C1cos∠BA1C1＝ ，
∴BN＝A1B－A1N＝ － ＝ .
∴cos∠A1BC1＝ ＝ × ＝ .
三、探究与创新
6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
一定成立的是________．
答案③
解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.