解析几何：抛物线
抛物线知识点
抛物线知识点抛物线是数学中的一种曲线形式，由于其独特的形状和性质，被广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍抛物线的定义、性质和应用，并对其相关概念进行阐述。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一种曲线，可以由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
抛物线的图像呈现出对称、开口向上或向下的特征。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其顶点对称，即任意一点P在抛物线上，其关于顶点的对称点P'也在抛物线上。
2. 最值点：抛物线的最值点为其顶点，当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
3. 切线性质：抛物线上任意一点处的切线与该点处的斜率有关，斜率等于该点的横坐标对应的导数。
4. 焦点与准线：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的点，而准线是与抛物线上任意一点的距离相等的直线。
5. 弧长：抛物线的弧长可以通过定积分来计算。
三、抛物线的应用1. 物理学：抛物线的运动规律被广泛应用于物理学中的抛体运动和弹道问题，例如抛物线运动的轨迹、抛射物的飞行轨迹等。
2. 工程学：抛物线的形状在工程学中经常被用于设计桥梁、天桥、水利工程等，以保证结构的稳定性和均衡性。
3. 计算机图形学：抛物线的数学模型被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制、三维建模等领域，用于实现平滑曲线的绘制和物体的形状设计。
4. 照明学：抛物面反射器是一种常见的照明设备，其形状为抛物线，可以将光线聚焦到特定的区域，提高照明效果。
5. 天文学：抛物线的轨迹在天文学中被用于描述彗星或行星等天体的运动轨迹。
抛物线作为一种特殊的数学曲线，具有对称性、最值点、切线性质等特点，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
深入理解和掌握抛物线的定义、性质和应用，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题，并推动科学技术的发展。
平面解析几何中的抛物线
平面解析几何中的抛物线展开和解析平面几何中的抛物线一、概念介绍抛物线是平面解析几何中的一种重要图形，它由一个固定点（焦点）和到该焦点到另一个固定直线（准线）的距离相等的所有点的轨迹构成。
抛物线具有对称性、焦准关系和很多重要的性质，对于解决实际问题具有重要意义。
二、基本方程和性质1. 抛物线的基本方程：对于平面直角坐标系下的抛物线，其一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个方程中的参数a决定了抛物线的开口方向，参数b决定了抛物线在x轴上的位置，参数c决定了抛物线与y轴的位置。
2. 焦准关系：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
该性质是抛物线定义的基础，通过焦准关系可以确定抛物线的形状和位置。
3. 对称性：抛物线具有关于准线和焦点的对称性。
即抛物线上任意一点关于准线和焦点对称的点也在抛物线上。
4. 焦点和准线的坐标：对于抛物线方程y=ax^2+bx+c，焦点的坐标为(-b/2a, 1/4a)。
准线的方程为y=-(b^2-4ac)/(4a)。
三、抛物线的标准形式在平面解析几何中，为了便于研究和运算，一般将抛物线的方程转化为标准形式。
标准形式的抛物线方程为y^2=4ax，其中a为常数，表示了焦点到准线的距离。
四、抛物线的性质和应用1. 焦距：抛物线的焦距是焦点到准线的距离，用2a表示。
焦距决定了抛物线的形状，焦距越大，抛物线越扁平。
2. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线斜率等于该点处抛物线的导数，法线斜率等于切线斜率的负倒数。
3. 几何性质：抛物线与x轴和y轴的交点分别是(0,0)和(-c,0)。
抛物线开口向上（a>0）时，顶点为抛物线的最低点；抛物线开口向下（a<0）时，顶点为抛物线的最高点。
5. 应用：抛物线的数学模型在科学、工程和日常生活中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，抛体的运动轨迹可以通过抛物线来描述；在光学中，抛物面用于设计反射望远镜、摄影镜头等；在土木工程中，抛物线拱桥是一种常见的桥梁。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中重要的曲线之一，它具有独特的性质和应用，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
下面是关于抛物线知识点的总结。
1. 抛物线的定义：平面上到一个定点F的距离与到一条固定直线L的距离相等的点的集合，称为抛物线，定点F称为焦点，直线L称为准线。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
该方程的图像是一个开口向上或向下的曲线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，它的横坐标是-x =b/2a，纵坐标是y = c - b^2/4a。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的直线，它的方程是x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于对称轴上，离顶点的距离是p，焦点的横坐标是-x = b/2a，纵坐标是y = c - p，其中p为焦距。
抛物线的准线也位于对称轴上，离顶点的距离也是p，准线的方程是y = c - p。
6. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
7. 抛物线的平移：抛物线y = ax^2 + bx + c关于x轴平移h个单位，得到y = a(x -h)^2 + b(x - h) + c；抛物线y = ax^2 + bx + c关于y轴平移k个单位，得到y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c。
8. 抛物线的对称性：抛物线关于对称轴对称。
9. 抛物线的焦点和准线的性质：焦点到顶点的距离等于焦距的两倍，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
10. 抛物线的切线：抛物线上任意一点的切线斜率等于该点的导数。
11. 抛物线和直线的交点：抛物线和直线的交点是求解方程组y = ax^2 + bx + c和y = mx + n的解。
若有两个交点，直线与抛物线相交；若有一个交点，直线与抛物线相切；若没有交点，直线与抛物线相离。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.7抛物线
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【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的
特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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变式2（1） 设为坐标原点，直线 = 2与抛物线: 2 = 2 > 0 交于，两点.
若 ⊥ ，则的焦点坐标为(
A. 1,0
焦点
准线
叫做抛物线.点叫做抛物线的______，直线叫做抛物线的______.
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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
简单几何性质
标准方程
2 = 2
>0
2 = −2
>0
图形
开口
向右
_____
向左
焦点
,0
_______
2
− ,0
2
准线
=
−
2
=
______
2
范围
对称轴
4 = 4 3,解得 =
3
.故所求抛物线的方程为 2
3
=
2 3
.故选A.
3
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（3）已知是抛物线 2 = 8的焦点，点 4,2 ，为抛物线上一点，点不在直线
上，则△ 的周长的最小值是(
A.4
B.6
)
C.6 + 2
√
2
D.6 + 2
解：抛物线 2 = 8的焦点 2,0 ，准线为 = −2.
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
平面解析几何 抛物线
平面解析几何抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0F ⎝⎛⎭⎫0，p 2F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p 2y 0＋p 2－y 0＋p 2通径长2p拓展1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，因为直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切．思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1 定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4.本例中的B 点坐标改为(3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案 25解析 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝22＋42＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案 32－1解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－12y 或y 2＝16x B ．x 2＝12y 或y 2＝－16x C ．x 2＝9y 或y 2＝12x D ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ， 则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10.① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .(2)(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安四市联考)已知点A (－1,0)是抛物线y 2＝2px 的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则|PF ||P A |的最小值为( ) A.13 B.22 C.45 D.32答案 B解析 由题设知p ＝2，设点P (x ，y )，点P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＝x ＋1. 所以|PF ||P A |＝d|P A |＝x ＋1(x ＋1)2＋4x ＝11＋4x (x ＋1)2＝11＋4xx 2＋2x ＋1＝11＋4x ＋1x ＋2≥22.故当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即当x ＝1时，|PF ||P A |取得最小值22.题型二 抛物线的几何性质例3 (1)(2020·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.(3)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 利用|FP →|＝4|FQ →|转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34.∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.跟踪训练2 (1)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( ) A.627 B.1827 C.427 D.227 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.(2)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.题型三 直线与抛物线例4 (2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题意知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，且|AF |＝2. (1)求p 的值；(2)若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN .记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．解 (1)因为点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，且|AF |＝2， 所以p2＋1＝2，所以p ＝2. (2)由(1)得抛物线方程为y 2＝4x .因为点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.设直线AM 方程为x －1＝m (y －2)(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x 消去x ， 得y 2－4my ＋8m －4＝0， 即(y －2)(y －4m ＋2)＝0， 所以y 1＝4m －2.因为AM ⊥AN ，所以用－1m 代替m ， 得y 2＝－4m －2，所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝⎪⎪⎪⎪4m ×⎝⎛⎭⎫－4m ＝16.。
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
解析几何中的抛物线方程
解析几何中的抛物线方程抛物线是一种特殊的曲线，它在解析几何中起着重要的作用。
在二维平面上，抛物线是一条非直线的曲线，由于它具有一些独特的性质，因此在物理学、数学、天文学等领域中都有广泛的应用。
一、抛物线的定义与性质抛物线是由平面上的一点（焦点）和一条直线（准线）共同确定的一条平面曲线。
其定义可以采用以下几种方式：（1）一个点到直线的距离等于另一个点到同一直线的距离，其中一个点为焦点。
（2）准线上一点到焦点的距离等于该点到抛物线的距离。
（3）一条过焦点且垂直于准线的直线与抛物线的交点和该点到焦点的距离成正比。
抛物线还有一些重要的性质：（1）对称性：抛物线与其准线关于焦点对称。
（2）焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。
（3）方程：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 为常数。
二、求解抛物线方程的方法对于给定的焦点和准线，我们需要求出抛物线的具体方程。
在解析几何中，有几种求解抛物线方程的方法：（1）几何法：通过画图作图的方式来求解。
（2）代数法：通过利用抛物线的性质，利用代数方法求解方程。
（3）微积分法：通过对抛物线进行微积分分析，求解方程。
其中，代数法是最为常用的一种方法。
在解析几何中，可以通过已知点和方程中的参数来求出方程。
例如，当给定抛物线的焦点为F(x1,y1)和准线为y=k时，我们可以根据抛物线的性质列出该方程如下：y = 1/4p(x-x1)²+y1其中，p为焦距，即p=(y1-k)/2，由此可以求出抛物线的具体方程。
三、抛物线的一些应用抛物线具有多种实际应用，以下就是一些典型的应用场景：（1）物理学：在自由落体、抛射运动等物理学问题中，都可以利用抛物线进行模拟和计算。
（2）工程学：在建筑工程中，抛物线可以用于设计拱形和圆顶。
（3）计算机图形学：在计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和表面，以及模拟自然物体的形态等。
（4）天文学：在天文学中，抛物线可以用于描述行星和彗星的轨道。
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第49讲
抛物线
[解析] (1)将方程 x2＋2py＝0 化为 x2＝－2py，则有|p|＝4，所 以 p＝± 4. (2)令 x＝0 得 y＝－2；令 y＝0 得 x＝4.所以抛物线的焦点是 F(4，0)或 F(0，－2)，故所求的抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
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第49讲
抛物线
• ► 探究点一 抛物线的定义 • 考向1 动弦中点到坐标轴距离最短 例 1 已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 问题
的中点到 x 轴的最短距离为( 3 3 A.4 B.2 C．1 D．2 )
[ 思路点拨 ] 利用梯形的中位线的性质，将所求距离 转化为A，B到准线的距离，运用抛物线的定义，再一 次转化为A，B到焦点的距离．
第49讲
抛物线
4．[教材改编] 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3 ，则 |AB| 等于 _______________．
[答案] 8
[解析] 抛物线的准线方程为 x＝－1， 则 AB 中点到准线的距 离为 3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
第49讲
抛物线
►
通性通法
6．应用抛物线定义解题：抛物线上的点到焦点的距离常 用定义转化为点到准线的距离． 1 2 若抛物线 x ＝ay 过点 A(1，4)，则点 A 到此抛物线的焦点 的距离为________． 5 [答案] 4
[解析] 由题意可知，点 A 在抛物线 x2＝ay 上，所以 1 1 ＝4a，解得 a＝4，得 x2＝4y.由抛物线的定义可知，点 A 到 焦点的距离等于点 A 到准线的距离， 所以点 A 到抛物线的焦 1 5 点的距离为 yA＋1＝4＋1＝4.
图形
第49讲
抛物线
标准方程 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其 中 P(x0，y0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p>0) (p>0) O(0，0) y ＝0 x＝0 p p p p (0 ， － ) ( － ， 0) (0 ， ) (2，0) F________ F______ F______ F________ 2 2 2 e＝________ 1 p p p p x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2 2 2 ________ ________ _______ ________ 2 x≥0， y∈R x≤0，y∈R y≥0， x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ p p p p －x0＋2 －y0＋ x0 ＋ y0 ＋ 2 2 2 ________ ________ ________ ________
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第49讲
抛物线
8．直线与抛物线的位置关系：代数法． 直线 x－y＋3＝0 与抛物线 x2＝2py(p>0)相交于 A， B 两点， 若|AB|＝8 2，则 p＝________．
[答案] 2
[解析] 将直线方程与抛物线方程联立，消去 y，得 x2－2px－ 6p＝0.设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2p，x1x2＝－ 6p，所以|AB| ＝ 1＋12· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2× 4p2＋24p ＝8 2，即 p2＋6p－16＝0，解得 p＝2 或 p＝－8(舍去)．
[答案] 2 6
Hale Waihona Puke 第49讲抛物线[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2， －2)，代入方程得 p＝1，则抛物线的方程为 x2＝－2y.当水面 下降 1 m 时，y＝－3，代入抛物线方程得 x＝± 6，所以此时 水面的宽为 2 6 m.
[答案] y2＝8x
[解析] 由抛物线的准线方程为 x＝－2 知 p＝4，且开口向 右，故抛物线方程为 y2＝8x.
第49讲
抛物线
3．[教材改编] 图 7491 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，水位下降 1 m 后，则水面的 宽为________m.
图 7491
抛物线
第49讲
抛物线
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动 相等 ；(3)定点 点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离________ 不在 定直线上． ________ 2.抛物线的标准方程和几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准 (p＞0) (p＞0) (p>0) (p>0) 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
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第49讲
抛物线
7．焦半径公式 过抛物线 y2＝x 的焦点且倾斜角为 45°的直线与抛物 线交于点 A，B，则|AB|＝________．
[答案] 2
1 1 [解析] p＝2，抛物线的焦点为4，0，直线的斜率为 1，所 1 12 以直线方程为 y＝x－4，代入抛物线方程，得 x－4 ＝x，即 3 1 3 2 x － x＋ ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ .所以|AB| 2 16 2 3 1 ＝x1＋x2＋p＝2＋2＝2.
第49讲
抛物线
►
易错问题
5．抛物线问题的易错点：忽视 p的符号；忽视抛物线的类 型；不注意抛物线的方程的标准形式． (1) 抛 物 线 x2 ＋ 2py ＝ 0 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 4 ， 则 p ＝ ________． (2)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标 准方程为________．
y2＝2px (p＞0)
第49讲
抛物线
►
链接教材
3 2 1．[教材改编] 已知抛物线 y＝4x ，则它的焦点坐标 是________．
1 [答案] (0， ) 3
3 2 4 2 1 2 [解析] 由 y＝4x ， 得 x ＝3y， ∴p＝3， ∴焦点坐标为(0， 3).
第49讲
抛物线
2．[教材改编] 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ＝－2，则抛物线的方程是________．