15.3_分式方程与实际问题 第3课时
第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题【习题课件】八年级上册人教版数学
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第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
基础通关
能力突破
素养达标
8. 某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10
％，则这种商品每件的进价为
240
元.
9. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种
畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1 200元，购进乙种粽子的
2 400 元.
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3 600 元，每台笔记本电脑的价格是
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第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
基础通关
能力突破
素养达标
其他问题
3. 某实验室现有浓度为30％的盐酸50克，要配制浓度为25％的稀盐
酸，需加入 x 克水.下面是小华所在的学习小组所列的关于 x 的方程，你
认为正确的是(
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款
每件让利 m 元，采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相
同，试求 m 值.
解：(3)设购买资金为 W 元，
由题意，得 W ＝0.7×50 a ＋(40－ m )(300－ a )＝( m －5) a ＋12 000－300
m，
由题意，得14 750≤50 a ＋40(300－ a )≤14 800，
解得275≤ a ≤280.
∵ a 是正整数，
∴ a 的取值可以为275，276，277，278，279，280.
15.3 分式方程【教案】八年级上册数学
第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;(2)顺流航行90千米的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米的时间为6030−v小时;(3)根据题意可列方程为9030+v =6030−v.想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1 分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的? 学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数. 问题2:下列关于x 的方程中哪些是分式方程? (1)1x =5;(2)x5=1;(3)x 2-x +13=0; (4)2x+2-1x ;(5)4x +3y =7;(6)12x 2-2a =1. 学生独立完成.探究2 分式方程的解法 1.解方程:2x -13-3x -12=116.请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程. 解:去分母,得2(2x -1)-3(3x -1)=11. 去括号,得4x -2-9x +3=11. 移项,得4x -9x =11+2-3. 合并同类项,得-5x =10. 系数化为1,得x =-2. 2.解分式方程:9030+v =6030−v .分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+v =6030−v去分母,两边同乘(30+v )(30-v )90(30-v )=60(30+v )去括号2 700-90v =1 800+60v移项-90v -60v =1 800-2 700合并同类项-150v =-900系数化为1v =6思考:v =6是原分式方程的解吗?将v =6代入原方程中,左边=52=右边,因此v =6是原分式方程的解.总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3 增根 解方程:1x -5=10x 2-25.解:方程两边同乘最简公分母(x -5)(x +5),得整式方程x +5=10. 解得x =5.将x =5代入原分式方程检验,分母x -5和x 2-25的值都为0,相应的分式无意义. 所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v =6030−v ①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x -5=10x 2-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲 例 解方程:(1)2x -3=3x ; (2)xx -1-1=3(x -1)(x+2).解:(1)方程两边同乘x (x -3),得2x =3x -9.解得x =9. 检验:当x =9时,x (x -3)≠0. 所以,原分式方程的解为x =9.(2)方程两边同乘(x -1)(x +2),得x (x +2)-(x -1)(x +2)=3.解得x =1. 检验:当x =1时,(x -1)(x +2)=0,因此x =1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题. 学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1x -2+1=x+12x -4.2.列方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 .3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则顺水航行的速度为 x +3 千米/时,逆水航行的速度为 x -3 千米/时,顺水航行的时间为 40x+3 小时,逆水航行的时间为 30x -3 小时,根据题意,可得方程 40x+3=30x -3 .解:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则40x+3=30x -3,解得x =21. 检验:当x =21时,(x +3)(x -3)≠0, 所以,x =21是原分式方程的解. 答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x .记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12x =1.方程两边乘6x ,得2x +x +3=6x.解得x =1. 检验:当x =1时,6x ≠0. 所以,原分式方程的解为x =1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快.例2 某次列车平均提速v km/h .用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km 所用时间为s xh;提速后列车的平均速度为(x +v )km/h,提速后它行驶(s +50)km 所用时间为s+50x+vh .根据行驶时间的等量关系,得s x =s+50x+v .方程两边乘x (x +v ),得s (x +v )=x (s +50).解得x =sv50. 检验:由v ,s 都是正数,得x =sv50时,x (x +v )≠0. 所以,原分式方程的解为x =sv 50. 答:提速前列车的平均速度为sv 50 km/h .设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.2.作业.第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、例题讲解.教学反思第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题课时目标1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力. 学习重点会列分式方程解决销售问题. 学习难点销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.列分式方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 ;2.销售问题中基本量之间有什么关系? 利润= 售价-进价 ;利润率= 利润进价;总价= 单价×数量 ;打折后的销售价= 单价×折扣 ;……设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.探究新知问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.分析:设甲的进货价为x 元,则乙的进货价为 x -10 元,150元可以购买甲的数量为 150x 个,90元可以购买乙的数量为 90x -10 个,根据题意,可得方程150x=90x -10 .解:设甲的进货价为x 元/个,则150x=90x -10,解得x =25.经检验,当x =25时,x (x -10)≠0,所以x =25是原分式方程的解. x -10=25-10=15.答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.典例精讲例 某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11 000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x 元. 根据题意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x =5.经检验,x =5是原分式方程的解.答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元. (2)试销时购进苹果的数量为50005=1 000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1000=2 000(千克).赢利为(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元). 答:超市两次销售该品种苹果共赢利4 160元.设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.巩固训练某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6 000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?解:设此商品的进价为每件x 元.根据题意,得6000+40025%x =600025%x +80,解得x =500.经检验,x =500是原分式方程的解.6000+40010%×500=128(件).答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?2.销售问题中常见量之间有什么关系?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第155页习题15.3第7,8题.2.作业.第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、销售问题中常见量之间的关系.三、例题讲解教学反思。
人教版八年级数学上册同步教案15.3分式方程(第3课时)
15.3 分式方程(第3课时)一、内容和内容解析1．内容列分式方程解实际问题．2．内容解析列分式方程解实际问题的关键是：将实际问题中的等量关系用分式方程表示，探索建立分式方程的模型，发展学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的应用意识，体会数学建模的实际价值．确定本节课的教学重点是列分式方程解实际问题．二、目标和目标解析1．目标列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．2．目标解析达成目标的标志是学生能够根据题意，探索建立分式方程的模型，将实际问题中的等量关系用分式方程表示，利用分式方程解决实际问题，体会数学建模的实际价值．三、教学问题诊断分析学生在理解题意的过程中，可能提炼不出列方程所需要的等量关系，因而列不出方程．教学时，教师可引导学生认真审题，抓住关键词，找出可用来列分式方程的句子，并通过相应的练习培养学生提炼信息、解决问题的能力．本节课的教学难点是准确找出实际问题中的等量关系，恰当设出未知数，列出方程．四、教学过程设计1．探究列分式方程解实际问题的步骤例1某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4元/件，他用17 600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示不同的求解过程．为了理清两次购进衬衫的情况，可列下表帮助学生分析．再根据“单价比上一次贵4元/件”很容易列出方程．设计意图：借助表格整理信息，对正确解答比较复杂的实际问题大有益处．通过师生共同分析，归纳概括列分式方程解实际问题的一般步骤．例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考．如果有学生出现解题的障碍，教师可以提示学生尝试从以下几个角度加以思考：(1)这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？(2)你想怎样解决这个问题？关键是什么？通过解答(1)让学生清楚：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量)．通过解答(2)让学生学会寻找解题思路，并且能够表达．分析完之后，由一名学生口述解题过程，教师板书，让学生明晰解用字母表示已知数据的实际问题和数字已知数的实际问题方法基本一样，所不同的是要考虑字母已知数的实际意义，通常都是正数．设计意图：让学生体会在实际问题中也会出现用字母表示已知数据的情形；同时巩固分式方程的解法．2．巩固列分式方程解实际问题(1)华联超市用50 000元从外地采购回一批“T恤衫”，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的“T恤衫”，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件衬衫．(2)八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．设计意图：使学生进一步巩固列分式方程解实际问题的方法，训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．3．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)将某些实际问题转化为方程模型时，应把握哪些主要问题？(2)本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．4．布置作业教科书习题15.3第6，7，8题．五、目标检测设计1．A，B两地相距80 km，甲骑车从A地出发1 h后乙也从A地出发，以相当甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时甲比乙先到20 min，求甲、乙速度．设计意图：检测学生对列分式方程解实际问题的掌握情况．2．在“情系水灾”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45；信息三：甲班比乙班多2人．请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？设计意图：检测学生从实际问题中提炼信息建模的能力．。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
15.3分式方程(3)
所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
2、甲、乙两人每时共能做35个零件，当甲做了90 个零件时，乙做了120个。问甲、乙每时各做多少个机 器零件？
解：设甲每小时做X个，乙每小时做（35-x)个， 则
90 120 x 35 x
1.填空： (1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要 n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是 mn 小时； 1 1 ______ 1 （ ) mn m n (2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤， 现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数 mb m m 是 ______; a (a b) a -b a (3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
sv 解得 x 50 sv sv 检验：x 时，x(x+v) ≠0, x 是方程的解。 50 50 sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/小时。 50
s s 50 x xv
1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比 乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件
解之得： x
1
经检验知 x = 1 是原方程的解. 由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务， 所以乙队施工速度快.
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
复习： 解分式方程的一般步骤是什么？
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
最简公分母为0 a不是分式 方程的解
数学人教版八年级上册15.3分式方程与实际问题
课后作业
1.课本P154 2.习题15.3 练习1、2 3、4
不要将过去看成是寂寞的，因为这是再也不 会回头的。应想办法改善现在，因为那就是你， 毫不畏惧地鼓起勇气向着未来前进。 —— 朗费罗
【拓展提升】 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍 托着乒乓球从起跑线 起跑，绕过P点跑回到起跑线 （如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球 处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急， 掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后， 甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙 同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的 1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
我们所列的是一个分式方程由x18得x612两个工程队共同参与一项筑路工程甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一这时增加了乙队两队又共同工作了半个月总工程全部完成
课程名称：15.3 分式方程 学 科：数 学 年 级：八年级 · 上册 版 本：新人教版（2011课程标准） 授课教师：师春晓 单 位：竹山县擂鼓镇中学
2. 已知一个汽船在顺流中航行46千米和逆流中航行 34千米共用去的时间正好等于它在静水中航行80千米 用去的时间，并且水流的速度是每小时2千米，求汽 船在静水中的速度。 3、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利 25%，求这种服装的成本价。
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们 1.会列出分式方程解决简单的实际问题 ，并能根据实际问题的
解：设自行车的速度为x km/h，那么汽车的速度是3x km/h， 依题意得：
15 15 3x x
可解得x=15. 由x＝15得3x=45.
2 , 3
得到结果记 住要检验.
经检验，x=15是原方程的解，并符合题意， 答：自行车的速度是15 km/h，汽车的速度是45 km/h.
八年级数学上册第十五章《分式》15.3分式方程15.3.1分式方程及其解法课时作业新人教版(202
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15.3分式方程第1课时分式方程及其解法知识要点基础练知识点1分式方程的概念1.下列方程中，不是分式方程的是(B)A。
x—=1 B.=xC。
D.x+2.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③—3=0;④=0。
属于分式方程的有（B)A.①②B。
②③C。
③④D。
②④知识点2分式方程的解法3。
小明解方程=1的过程如下，他的解答过程中从第(A)步开始出现错误。
解：去分母，得1-（x-2）=1,①去括号,得1-x+2=1，②合并同类项,得—x+3=1,③移项,得—x=—2,④系数化为1，得x=2。
⑤A。
①B。
②C。
③ D.④4.解分式方程—2=,去分母得1—2(x-1)=-3。
5.解下列分式方程：（1)；解:方程两边同乘x(x-3),得2x=3x—9，解得x=9。
检验:当x=9时，x（x-3）≠0，所以x=9是原分式方程的解.(2)；解:方程两边同乘3（3x—1)，得2(3x-1）+3x=1，解得x=.检验：当x=时,3（3x-1)=0，因此x=不是原分式方程的解,所以原分式方程无解。
（3）.解:方程两边乘（x+2）（x-2），得x+2(x-2）=x+2，解得x=3.检验:当x=3时，（x+2)（x—2）≠0,所以x=3是原分式方程的解.综合能力提升练6。
15.3分式方程与实际问题(教案)-人教版八年级数学上册
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有分数的方程，它可以帮助我们解决涉及比例、分配等问题。分式方程在生活中的应用非常广泛，如行程、价格、浓度等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某人以一定速度行驶，行驶时间与路程的关系可以表示为分式方程。通过这个案例，我们可以了解分式方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
（4）检验解的正确性：部分学生可能对解的检验过程理解不深，容易忽视这一步骤。
举例：在解分式方程后，要强调对解进行检验，确保解符合原方程的要求，避免无效解或错误解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式方程与实际问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要分配或计算比例的情况？”比如，如何分配时间进行学习与休息，或者如何按比例调配饮料。这个问题与我们将要学习的分式方程密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式方程在生活中的应用。
五、教学反思
在上完这节课后，我对教学过程进行了深入思考。首先，我发现学生们对于分式方程的应用还是相当感兴趣的，他们在日常生活中能够找到很多与之相关的问题。例如，在讨论价格问题时，学生们能够联想到购物时如何计算折扣，这让我觉得很有成就感，因为他们能够将所学知识与实际生活联系起来。
然而，我也注意到在讲解分式方程的解法过程中，部分学生对于去分母这一步骤感到困惑。在课后，我反思了自己的教学方法，意识到可能需要更多地通过具体例子来引导学生理解这一过程。在接下来的课程中，我打算增加一些更具针对性的练习题，让学生们在实际操作中掌握这一技巧。
具体内容包括：
人教版数学八年级上册15.3分式方程及其解法优秀教学案例
3.互动评价：学生之间进行互动评价，取长补短，共同提高。
（四）反思与评价
反思与评价教学策略有助于培养学生自我反思的习惯，提高他们的自我评价能力。具体包括：
1.自我反思：学生在学习过程中进行自我反思，发现自己的不足，明确改进方向。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入生活实例，使学生能够更好地理解分式方程的实际意义，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向的教学策略：通过设计具有启发性的问题，引导学生主动探究分式方程的解法，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
3.小组合作学习：通过组织学生进行小组合作探讨，培养学生的团队合作意识和沟通能力，提高学生的学习效果。
（四）总结归纳
在学生小组讨论结束后，我会对所学内容进行总结归纳。我会强调分式方程的基本概念和解法，以及解题时的一些注意事项。通过总结归纳，学生可以更好地梳理所学知识，形成体系。
（五）作业小结
最后，我会布置一些具有针对性的作业，让学生巩固所学知识。同时，我会提醒学生在做作业时要注意检查，培养他们的细心和耐心。在作业批改过程中，我会及时给予学生反馈，帮助他们发现并改正错误，提高他们的数学能力。
2.问题情境：我将设计一些具有启发性的问题，引导学生主动探究分式方程的解法，激发他们的思考。
3.操作情境：我将组织学生进行一些实际操作，如实验、演示等，让学生在操作过程中体验数学知识的具体应用。
（二）问题导向
问题导向教学策略旨在培养学生的问题意识，引导学生主动探究数学问题。具体包括：
1.问题发现：我将引导学生从实际情境中发现问题，激发他们提出问题的兴趣。
人教版数学八年级上册15.3分式方程及其解法优秀教学案例
人教版八年级上册 15.3《分式方程与实际问题》课件(共21张PPT)
真题在线
3.（2018•衡阳）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树， 原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改 良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产 量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原 来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ）
1.解分式方程
m n mn,mn0
x x1
2.改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量 a
吨，原来产m 吨玉米的一块土地，现在的总产量增加
了20吨，原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多 少？
真题在线
1.（2018•昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发 相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙 船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度 均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
20
4.（2018•徐州）从徐州到南京可乘列车A与列车B，已 知徐州至南京里程约为350km，A与B车的平均速度之 比为10：7，A车的行驶时间比B车的少1h，那么两车的 平均速度分别为多少？
21
即： 5 15 2 x x3
15＝45－2x
得到结果记
2x=30
住要检验．
x=15 经检验，x=15是原方程的根，并符合题意
由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
选一选
甲乙两班参加校园植树活动，已知甲班每天
比乙班多植树10棵，甲班植100棵树所用的天
引例： 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比 乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件 所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
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15.3 分式方程
第3课时 分式方程与实际问题
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6 个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相 等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x－6）个零件， 由题意得： 90 60
x
x6
解得：x=18 检验：当x=18时，x(x-6)≠0 ∴x=18是原分式方程的解. 则x－6=18-6=12 答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数.（可直接设，也可间接设） 3.找:找等量关系
4.列:列方程.
5.解:解方程. 6.验:①验根；②验题意. 7.答:
例1、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个 月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 工程问题中的基本关系：工作总量=工作效率x工作时间 工程问题中的等量关系：总量=各分量之和 1 ，由题意得： 解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 x 1 1 1 1 ( ) 1 3 3 x 2 解得：x=1 检验:当x=1时，6x≠0 ∴x=1是原分式方程的解。
1 ∵1＞ 3
∴乙队的施工速度快。 答：乙队的施工速度快。
例2、某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前 行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平 均速度为多少？
练习 课本 P154 第1题
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂小结：
1、列分式方程解应用题的一般步骤。 2、注意：分式方程求出解后一定要及时检验。