分式的约分通分
分式的约分和通分
分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
分式的约分和通分
15 21
=
35 5 37 7
理解应用
a 2bc a2bc ab ac
ab ab ab 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改 变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是： 分式的基本性质.
最简分式:一个分式的分子与分母没有1以外的公 因式，叫做最简分式．
分式的约分和通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是如何约分的? 1、约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
解： (2)
x2
x2 9 6x
9
(
x
3)( x ( x 3)2
3)
x3 x3
约分时,分子或分母若是 多项式,能分解则必须先 进行因式分解.再找出分 子和分母的公因式进行 约分
例：约分 6x2 12xy 6y2
(3) 3x 3y
解：(3) 6x2 12xy 6y2
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式都 要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
理解应用 分式的通分
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
;
(2) 2x 与 3x . x5 x5
分析：为通分要先确定分式的公分母.
1 3xyz
1
2x2z
4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
浅谈分式的约分与通分
案例分析新课程NEW CURRICULUM浅谈分式的约分与通分罗成群（贵州省瓮安县中坪中学）分式的约分与通分是人教版八年级下册第十六章———16.1.2分式的基本性质的后继学习内容。
分式的约分与通分是学习分式运算的奠基石，也是学习解分式方程的基础。
但这一知识点教科书讲解得简略，许多学生学习时都感到困难，为了帮助学生学习这一知识点以及加深学生对该知识点的认识，我对分式的约分与通分作如下解析：一、分式的约分1.理解分式约分的定义与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，像这样的分式变形叫做分式的约分。
如分式4x 2y 3z 6x 2y 2约去分子和分母的公因式2x 2y 2，使4x 2y 3z 6x 2y 2化为2yz 3就叫把分式4x 2y 3z 6x 2y 2约分。
分式的分子和分母都含有的因式叫做分子和分母的公因式。
例如，分式4x 2y 3z 6x 2y 2=2x 2y 2·2yz 2x 2y 2·3，其中2x 2y 2叫做分式4x 2y 3z 6x 2y 2的分子和分母的公因式。
像分式2yz 3这样，分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。
注意：①分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式（单项式与多项式统称为整式）。
②分式约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式。
③公因式的系数是分子与分母的系数的最大公约数；公因式的因式是分子与分母都含有的因式的最低次幂。
④分式约分的目的是把复杂的分式化成最简分数。
2.约分的方法和步骤当分式的分子与分母都是单项式时，先找出分子与分母的公因式，然后约去分子与分母的公因式。
例如，约分：（1）5x 25x2；（2）-32a 2b 3c 24b 2c 解：（1）5x 25x 2=1·5x 5x ·5x =15x （2）-32a 2b 3c 24b 2c =-4a 2b 2·8b 2c 3·8b 2c =-43a 2b 二、分式的通分1.理解分式通分的定义与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
八年级数学《分式的约分和通分》教案
“三部五环”教学模式设计《16.1.2分式的基本性质（2）》教学设计
活动三变式训练，巩固新知 题组一：选择题
1、下列说法错误的是（ ） A ．
a 21与24a b
通分后分别为242a a 与2
4a
b B ．
z xy 231与y
x 2
31
通分后分别为z y x x 223与z
y x yz
2
23 C ．
n m +1与m
n -1
的最简公分母为2
2
n m - D ．
)(1n m a -与m
n -1
最简公分
母为))((m n n m a -- 2、下列约分正确的是（ ） A ．
33
=+m
m B.
022=--y x y x C.
b
a
b x a x =++ D.
1-=-+-y x y x 题组二：快速解答 1、约分
2、通分 （1）
2
261
21xy
y x -与 （2）
6
4312---+x x x
x 与 题组三：挑战自我
【师生活动】
教师相机出示题组，其中题组一口答，题组二、三纸笔演练
（题组二的1题分组练习，交叉评价），生思考并独立完成，
教师巡视指导，相机提名板演，重点关注学困生的表现，
及时辅导、补救。
【设计意图】
培养学生自主学习的思想，观察其成效
板书设计
16.1.2分式的约分和通分（2）。
人教版数学八年级上册15.1.2：分式的基本性质应用：约分、通分教案
§15.1.2 分式的基本性质(2)——分式的约分和通分一、内容分析本节教学内容是人教版八年级上册《15.1.2分式的基本性质》第二课时，即分式的约分和通分。
本节是在学生有小学学习的分数的约分通分、初一学习了因式分解及上节课学习了分式的基本性质的知识基础上，进一步学习分式基本性质的应用。
学生通过类比分数的约分和通分来总结出分式的约分与通分的法则，从中体会数学的类比思想。
同时分式的约分和通分，是进行分式的加减乘除四则运算所必须掌握的分式变形，为后边分式的计算学习做铺垫，在本章中也有着非常重要的地位和作用。
二、教材分析（一）教学目标知识与技能：理解分式约分和通分的基本概念，认识到约分和通分其实是分式基本性质的应用和巩固，并会用分式的基本性质将分式进行正确的约分和通分。
过程与方法：应用分式的基本性质将分式变形，通过复习分数的约分、通分类比分式的约分、通分，从中渗透数学的类比思想方法，并在探究过程中掌握分式约分通分的关键。
情感态度与价值观：通过思考、探究等活动获得学习数学的成功体验，树立学习数学的信心，培养独立思考、合作交流的能力。
（二）教学重难点教学重点：分式的约分和通分教学难点：分式的约分和通分三、学情分析学生已经学过分数的约分和通分，已具备一定的知识基础，因而对于分式的约分和通分理解要相对容易一点。
但学生基础不是很好，无法灵活运用所学知识，在约分过程中先找分子和分母的公因式和在通分过程中先确定最简公分母这两个关键点不能很好地把握，尤其是当分子分母是多项式时要先进行因式分解，这样的变形过程对于学生来说更困难。
四、教学法分析本着以学生为主，教师为辅，充分发挥学生的主体地位，让学生积极主动地参与探索，互动交流学习，体现以“自主、探究、合作”为特征的教与学方式。
五、教学过程设计（一）温故知新分式的基本性质：_________________________________________________________用数学符号怎么表示：_________________________________________________________ 师生活动：学生回忆并举手发言，师展示答案。
分式的通分和约分
分式的通分和约分
今天我来跟大家聊聊分式的通分和约分。
第一节，什么是分式
分式也叫做分数，表示两个不同的大小的数，由分子和分母两部分组成，先定义一下分子分母的含义：分子：是分式的分子部分，表示两个数的比值；分母：是分式的分母部分，表示两个数的大小。
第二节，什么是分式的通分
所谓的分式的通分就是将两个分式的分子和分母都变成同一个数，让它们具有相同的大小，这样就可以比较它们之间的大小，从而挑出最大的和最小的。
第三节，分式的通分怎么做
要想将两个分式通分，首先需要先确定它们的最大公约数（LCD）。
最大公约数就是能够同时整除两个数的最大数。
最后，将分子分别乘以分母与最大公约数的商，将分母分别乘以分子与最大公约数的商，这样两个分式的分子和分母就都变成同一个数，完成了分式的通分。
第四节，什么是分式的约分
所谓的分式的约分，就是通过求出一个分式中分子和分母的最大公约数，并将它们各自化简为最小公分数，以达到求出分式的最简形式，也就是约分的过程。
第五节，分式的约分怎么做
首先计算两个分式的最大公约数，然后将分子各自化简为最小公分数，再将分母也各自化简为最小分数，最后将两个分式的也可以变成最小公分数的形式，完成了分式的约分。
综上所述，分式的通分和约分经常被广泛使用，两个分式的通分可以让它们具有相同的大小，从而比较它们之间的大小；而分式的约分则可以求出这个分式的最简形式。
也希望通过本文，人们能够对分式的通分和约分有更深刻的理解。
分式的基本性质通分、约分
教学内容：分式的基本性质（通分、约分） 知识目标：会用分式的基本性质将分式变形，正确进行分式的通分和约分。
能力目标：灵活应用分式的基本性质将分式通分、约分，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.情感目标: 培养学生学习数学的兴趣教学重点：分式的通分和约分教学难点：最大公因式和最小公分母的确定。
教学准备：小黑板教学方法：类比学习、引导启发、讲练结合、归纳教学过程：一、情境引入二 探索学习1、P6例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.【解题反思】：（1）、约分有几条途径？（一条是逐步约分；另一条是一次性约分。
）（2）、一次性约分，怎样确定公因式？【1.分子分母的系数要找最大公约数；2.字母（或式子）要找分子分母中都有的，且指数要最小的。
】（3）、结果要达到什么形式？（最简分式）小试：约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228mn n m （3）532164xyzyz x - （4）x y y x --3)(2 2、P7例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.讨论：怎样确定公因式？【1.所有分母的系数要找最小公倍数；2.字母（或式子）要找分母中凡是有的，且指数要最高的。
】学生试解，组内交流，谈出每一步的算理。
小试：通分：（1）321ab 和c b a 2252 （2）xy a 2和23x b （3）223ab c 和28bc a - （4）11-y 和11+y三、课后练习1．填空： (1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a （3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()yx -2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228mn nm （3）532164xyz yz x - （4）x y y x --3)(23．通分：（1）321ab 和c b a 2252 （2）xy a2和23x b（3）223ab c 和28bc a- （4）11-y 和11+y4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab yx -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a-- (4) m b a 2)(--答案：1．(1)2x (2) 4b （3） bn +n (4)x+y2．（1）bc a2 （2）n m4 （3）24z x - （4）-2(x-y)23．通分：（1）321ab = c b a ac 32105， c b a 2252= c b a b32104（2）xy a2= y x ax 263， 23x b = y x by262（3）223ab c = 223812c ab c 28bc a -= 228c ab ab（4）11-y =)1)(1(1+-+y y y 11+y =)1)(1(1+--y y y4．(1) 233ab y x (2) 2317b a - （3) 2135x a (4) m b a 2)(--四、课堂小结五、作业1．判断下列约分是否正确：（1）c b c a ++=b a （2）22y x y x --=y x +1 （3）nm n m ++=0 2、课本P133第6、7、12题 板书设计：教学反思：。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成。
在进行数学运算或问题解答时，需要对分式进行约分或通分，以便更方便地进行计算或分析。
本文将介绍分式的约分与通分技巧，并提供一些实例进行说明。
一、分式的约分技巧分式的约分是指将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母的比值保持不变，但分式的表示形式更简洁。
下面是一些常见的约分技巧：1. 找出分子和分母的公共因子，计算它们的最大公约数。
然后将分子和分母同时除以最大公约数。
例如，对于分式6/12，我们可以找到分子6和分母12的最大公约数为6。
将分子和分母同时除以6，得到约分后的分式1/2。
2. 利用质数进行约分。
如果分子分母都可以被同一个质数整除，那么可以直接将分子和分母同时除以这个质数。
例如，对于分式18/24，我们可以发现分子18和分母24都可以被2整除。
将分子和分母同时除以2，得到约分后的分式9/12。
继续约分，我们可以得到3/4。
二、分式的通分技巧通分是指将两个或多个分式的分母统一为相同的数值。
通分可以使得分式之间的比较和运算更加便利。
下面是一些常见的通分技巧：1. 找出两个分式分母的最小公倍数，将两个分式的分母都改为最小公倍数，并使得分子保持不变。
例如，对于分式1/2和2/3，它们的分母分别为2和3。
2和3的最小公倍数为6，因此我们可以将1/2乘以3/3，2/3乘以2/2，得到通分后的分式3/6和4/6。
2. 利用分母之间的因数关系进行通分。
如果两个分数的分母之间存在因数关系，可以根据这个关系进行通分。
例如，对于分式1/3和1/6，我们可以发现6可以整除3。
将1/3乘以2/2，得到通分后的分式2/6。
以上是分式的约分与通分技巧的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和分式的特点选择合适的约分与通分方法。
熟练掌握这些技巧可以提高我们在数学运算和问题解答中的效率和准确性。
通过本文的介绍，我们对分式的约分与通分技巧有了更深入的了解。
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通 通分： 分
3、和分数通分类似，把几个异分母的分 式化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
4、通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
例1 通分：
1
3 2
,
1
2 3
,
1 6 xy
4
2x y z 4x y
,
1 xy y 1
2 2
;
(6)
,
1 x y 1
;
(7 )
1 x xБайду номын сангаас
2
,
x x
;
(8 )
1 x x
2
,
x 2x 1
2
1.各分母系数的最小公倍数 最简公分母 2所有因式的最高次幂
1.使学生掌握分式的基本性质，掌握分式 约分方法，熟练进行约分，并了解最简分 式的意义。 2.使学生理解分式通分的意义，掌握分式 通分的方法及步骤 。 重点:让学生知道通分的依据和作用，学 会分式通分的方法。分子、分母是多项式 的分式约分。 难点：几个分式最简公分母的确定。
2x 4
当分子与分母是多项式：
先因式分解，再约分
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做一做
约分 ：
(1)
16 x y 20 xy
x
2
3
4
(2)
x 4
2
x 4x 4
2
(3)
x xy
2
x
2
2
(4)
x 2x
2
(5 )
2x y
3
4x y
2
2
(6 )
a 6a 9 a 3
1 3 5 1、把下面的分数通分： , , 2 4 6
想一想
分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以） 同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：
A B A M BM , A B AM B M
（ 其中M是不等于零的整式）。
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
分式
解：原式
5 xy 20 x y
2
2
2 x ( 2 x ) 2 x( x 2)
x 4 ( x 2 )( x 2 )
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2 x( x 2)( x 2) 就是这两个分式的最简公分母。
练 习
通分：
（1）
1 x x
2
，2
, x
作业
(1) (3) 1
2
将下列各组分别进行通分:
; ; (2) c ab (4) , a bc 4a
2
, , x
2
1
3 2
, ,
b ac
; , 5b
2
2 a b 3a b y , 2x 3y (5 ) 1 x xy
2
1 4 xy
3c
2
5 b c 10 a b 2 ac ; 1 x y
2 2
1
1
1 y
2
，2 1
x xy
最简公分母
若分母是多项 式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最 简公分母。
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含因式的最高次幂。 3、所得系数与各因式最高次幂的积（其 中系数都取正数）
（2）求分式
1 4x 2x
2
与
1 x 4
2
的最简公分母。
4x 2x
(2)
c
,
a
,
b
;
2 a b 3a b y , 2x 3y
ab bc ac
1 4 xy
公分母如何确定呢？
最简公分母
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含因式的最高次幂。 3、所得系数与各因式最高次幂的积 其中系数都取正数）
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例2、 通分
例题讲解与练习
（1）x y ， y （2）x 2 x 公分母如何确定呢？
5 xy 1
2
可以化简吗？
1 4x
（除1外）没有相同 的因式了！
5 xy 4 x
分式的约分
最简分式
把一个分式分子和分母的相同的因式约去的过程
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漂漂亮亮来完成
约分：
24m n 约 1 ). 6 x y 2 ). 2 4 2 分 8m n 9 xy 的 依 当分子与分母是单项式时如何化简？ 分式的基本性质 据 是 系数的最大公因数 什 相同字母的最低次幂 么 ？ 最简分式或整式
1
x x
（2）
1 (2 x)
2
x
2
— 4
课堂小结
1、分式的通分运算中， 它的意义是怎 样的？通分运算的关键是什么？
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个分式的公分母， 确定公分母的方法：最简公分母 1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含因式的最高次幂。 3、所得系数与各因式最高次幂的积（其 中系数都取正数）
2
3 6
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约分：
1) x y x y
2 2
x y ( x y )( x y )
1 x y
下 列 分 式 与 上 一 环 节 的 分 式 有 何
不 同 ， 如 何 化 简 ？
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• 约分：
2) x 4x 4
2
3)
1 5b 5 a 2 a 6b
分析：
对于三个分式的分母中的系数2， 4，6，取其最小公倍数12；对于三个分 式的分母的字母，字母x为底的幂的因式， 取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式， 取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个 分式的公分母为12x3y4z。
例题讲解与练习
练习: 通分
(1) (3) 1
2
, , x
2
1
3 2
; ;