2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析版
2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
第 5页（共 27页）
20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
第 2页（共 27页）
D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB
2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年高考数学试卷及解析山东卷(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数x 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 2. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 3. 设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,...,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）155. 已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- 6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
2012年全国高考北京理科数学试题详细解析
B. 7 A. 5 8.【答案】C
C. 9
D. 11
【解析】若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P ( S , n ) 点则前 n 年的年平均产量即为直 线 OP 的斜率由图易得当 n = 9 时，直线 OP 的斜率最大，即前 9 年的年平均产量最高. 【点评】 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义， 其中正确分析出平均 产量的几何意义是解答本题的关键．
【解析】当 a = 0 时，如果 b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数，不是纯虚数，因此不
1
是充分条件；而如果 a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ， 因此为必要条件。 【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识 的掌握程度． 4．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
x
① ∀x ∈ R ， f ( x) < 0 或 g ( x) < 0 ； ② ∀x ∈ (−∞,−4) , f ( x) g ( x) < 0 。 则 m 的取值范围是_______。 14.【答案】 m ∈ (−4,−2) 【解析】根据 g ( x) = 2 − 2 < 0 ，可解得 x < 1 。由于题目中第一个条件的限制 ∀x ∈ R ，
A. 28 + 6 5
B. 30 + 6 5
C. 56 + 12 5
D. 60 + 12 5
7.【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度， 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 所求 表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，
2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2012年高考数学试题（理） 第1页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A =｛1, 2， 3， 4， 5},B ={(x ,y ）｜ x ∈A ， y ∈A , x —y ∈A },则B 中所含元素的个数为（ ）A 。
3B. 6C. 8D 。
102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种B. 10种C 。
9种D 。
8种3。
下面是关于复数iz +-=12的四个命题中,真命题为( ）P 1： |z |=2， P 2: z 2=2i ， P 3： z 的共轭复数为1+i ， P 4： z 的虚部为-1 。
A 。
P 2，P 3B 。
P 1,P 2C 。
P 2，P 4D. P 3,P 44。
设F 1，F 2是椭圆E ： 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形,则E 的离心率为（ ） A 。
21B 。
32 C.43 D 。
54 5。
已知｛a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a5 a6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. —5D. —76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2）和实数a 1， a 2，…,a N ,输入A 、B ,则（ ) A 。
A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B 。
2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最大的数和最小的数D 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）2012年高考数学试题（理） 第2页【共10页】A 。
2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N. 2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为yA.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为 【答案】D【解析】由回归方程为y y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ． [ -2 ,2] C.[-1,1 ] , ] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin cos sin )226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为].【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =.C.【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅，解得BC =. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角. 8．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m变化时，ba的最小值为 A．B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，从而求得圆的半径. (二)必做题（12~16题）12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =求得.13.(6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160 【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,则输出的数S = . 【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 . 【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，2）时cos36πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．分钟的概率. （注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得X 的分布为X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．分钟的概率. 18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ； （Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为 解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得5h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，……（1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式. （2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列. 【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则()(),()()B n qA n C n qB n ==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则 1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011.（3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知， 当2000750100x x=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分13分）已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠， 故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
2012年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)答案与解析数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=UUA B 痧 ( )A ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过列举法给出全集与子集，求两集合的交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】()()U UA B痧即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案,()()(){}==7,9U UU A B A B 痧?.2.复数2i=2i -+ （ ） A ．34i 55- B ．34+i 55 C ．41i 5- D ．31+i 5【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法形式，考查复数的代数形式的四则运算.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()()()22i 2i 34i 34===i 2+i 2+i 2i 555----- 3. 已知两个非零向量a,b 满足+=-a b a b ，则下面结论正确 （ ） A ．a b B ．⊥a bC ．=a bD ．+=-a b a b【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出两个非零向量满足的关系式，求两向量的线性关系. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量a,b 为邻边做平行四边形，对角线长分别为,+-a b a b ，若=+-a b a b ，则说明四边形为矩形，所以⊥a b ；也可由已知得22+=-a b a b ，即22222+=+2+=0-∴∴⊥a ab b a ab b ab a b 4. 已知命题()()()()122121:,,0p x x f x f x xx ∀∈--R …，则p ⌝是 （ ）A ．()()()()122121,,0x x f x f x xx ∃∈--R … B ．()()()()122121,,0x x f x f x xx ∀∈--R … C ．()()()()122121,,<0x x f x f x xx ∃∈--R D ．()()()()122121,,<0x x f x f x xx ∀∈--R【测量目标】简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词. 【难易程度】容易【考查方式】给出命题形式求其非命题形式. 【参考答案】C【试题解析】全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()21210f x f x xx --…”改为“()()()()2121<0f x f x x x --”.5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （ ） A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43! D ．9!【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出排列组合的条件，求不同的方案数量. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S （ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 【测量目标】等差数列的性质，等差数列前n 项和.【考查方式】给出等差数列中两项的和，利用等差数列的性质求数列的前几项和. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a 7.已知()sin cos 0,πααα-∈，则tan α= （ ） A ．1- B．2-C．2D ．1【测量目标】同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出sin α与cos α满足的关系，求tan α的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】方法一：()sin cos 0,πααα-∈，两边平方得1sin 2=2,α-()sin 2=1,20,2π,αα-∈3π3π2=,=,24ααtan =1α∴- 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =1ααα∴-8. 设变量,x y 满足100+20015x y x y y -⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则2+3x y 的最大值为 （ ）A ．20B ．35C ．45D ．55 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最大值.【考查方式】给出不等式组，画出不等式表示的范围，求解目标函数的最值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】如图所示过点()5,15A ，2+3x y 的最大值为55第8题图9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 （ ） A ．1- B ．23 C ．32D ．4第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，最后输出. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】当=1i 时，经运算得2==124S --；（步骤1） 当=2i 时，经运算得()22==213S --；（步骤2） 当=3i 时，经运算得23==2223S -；（步骤3） 当=4i 时，经运算得2==4322S -；（步骤4） 当=5i 时，经运算得2==124S --；（步骤5） 从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 （ ） A ．16B ．13 C ．23D ．45【测量目标】几何概型.【考查方式】给出围成长方形的方式，求其面积大于一定值时的概率. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==1232S xy x x -….解得0<48<12x x 或剟，该矩形面积小于322cm 的概率为82=123第10题图11. 设函数)(x f ()x ∈R 满足()()()(),=2f x f x f x f x -=-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x .又函数()()=cos πg x x x ，则函数()()()=h x g x f x -在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【测量目标】偶函数的性质，函数的周期性，函数零点的求解与判断，函数图象的应用. 【考查方式】给出函数式，求复合函数在某区间上的零点数. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】()(),f x f x -=所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2=2f x f x f x --，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数(步骤一) 且()()0=0,1=1f f ，而()()=c o s πg x x x 为偶函数， 且()1130====0222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系下作出两函数（步骤二）在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，发现在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内图象共有6个公共点，（步骤三） 则函数()()()=h x g x f x -在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为6.（步骤四）第11题图12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．2e 1++xx x …B2111+24x x -…C ．21cos 12x x -… D ．()21ln 1+8x x x -… 【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出未知数的范围，判断不等式的正确性. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】验证A ，当332=3e >2.7=19.68>1+3+3=13x 时，，故排除A ；（步骤一） 验证B ，当1=2x，而111113391+===<=22441648484848-⨯⨯，故排除B ；（步骤二）验证C ，令()()()21=cos 1+,=sin +,=1cos 2g x x x g x x x g x x '''---，显然()>0g x ''恒成立 所以当[)0,+x ∈∞，()()0=0g x g ''…，所以[)0,+x ∈∞，()21=cos 1+2g x x x -为增函数，所以()()0=0g x g …，恒成立，故选C ；（步骤三）验证D ，令()()()()()2311=ln 1++,=1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x -'--， 令()<0h x '，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立（步骤四）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．第13题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】38【试题解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体，中心去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2π2π=38⨯⨯⨯⨯-14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ____________．【测量目标】等比数列的的通项，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列通项之间满足的关系，求等比数列的通项公式 【难易程度】容易 【参考答案】2n【试题解析】令等比数列{}n a 的公比为q ，则由()+2+12+=5n nn a a a 得，222+2=5,25+2=0q q q q -，解得1=22q q =或，（步骤一） 又由2510=a a 知，()24911=a qa q ，所以1=a q ，（步骤二）因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n n a （步骤三）15. 已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,2-，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程，求抛物线上两点的切线交点的纵坐标. 【难易程度】容易 【参考答案】4- 【试题解析】21=,=2y x y x '，所以以点P 为切点的切线方程为=48y x -，以点Q 为切点的切线方程为=22y x --，联立两方程的=1y=4x ⎧⎨-⎩16. 已知正三棱锥P ABC -，点,,,PABC若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ． 【测量目标】正三棱锥的性质.【考查方式】通过球内接正三棱锥的性质，求球心到截面的距离.【参考答案】3【试题解析】如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，令===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，==AB BC CA ，（步骤一）所以'=3CO a ，'=3PO a ，22+=333a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，解得=2a ，（步骤二）所以PO a ，OO （步骤三）第16题图三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列. （1）求cos B 的值；（2）边,,a b c 成等比数列，求sin sin A C 的值【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】通过角成等差，求角的余弦值；在给出边成等比数列，求两角正弦的乘积. 【难易程度】容易【试题解析】（1）由已知π12=+,++=π,=,cos =32B AC A B C B B ∴（步骤一） （2）解法一：2=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB （步骤二）解法二：2=b ac ，222221++=cos ==222a c b a c acB ac ac--，由此得22+=,a c ac ac -得=a c （步骤二）所以π===3A B C ，3sin sin =4A C （步骤三） 18. （本小题满分12分）如图，直三棱柱'''ABC A B C -，=90BAC ∠，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点（1）证明：''MNAACC 平面 ；（2）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值第18题图【测量目标】线面平行的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量及其运算. 【考查方式】给出线段的关系，用线线平行推导线面平行，根据二面角为之二面角求未知数. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠ 三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点（步骤一） 所以'MN AC ，又MN ⊄平面''A ACC'AC ⊂平面''A ACC ，因此''MN AACC 平面 （步骤二）（2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示，设'=1,AA 则==AB AC λ，于是()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,'0,0,1,',0,1,'0,,1A B C A B C λλλλ， 所以1,0,,,,12222M N λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（步骤三） 设()111=,,x y z m 是平面'A MN 的法向量，由'=0,=0A M MN ⎧⎪⎨⎪⎩ m m 得11111=0221+=022x z y z λλ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=1,1,λ-m （步骤四）设()222=,,x y z n 是平面MNC 的法向量，由=0,=0NC MN ⎧⎪⎨⎪⎩ n n 得22222+=0221+=022x y z y z λλλ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可取()=3,1,λ--n （步骤五） 因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,3+11+=0λ--⨯- 即m n，解得λ（步骤六）第18题图19. （本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷“22⨯抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X附：()21122122121+2++1+2=n n n n n n n n n χ-，第19题图【测量目标】频率分布直方图,用样本估计总体，离散型随机变量的期望与方差.【考查方式】通过频率分布直方图，完成联表，判断相关性；给出随机抽样的方式求分布列期望与方差.【难易程度】中等 【试题解析】22⨯将列联表中的数据代入公式计算，得()()221122122121+2++1+210030104515100=== 3.0307525455533n n n n n n n n n χ-⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯（步骤一）因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.（步骤二） 由题意13,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而X 的分布列为()==3=44E X np ⨯，()()=1=3=4416D X np p -⨯⨯.（步骤三）20. （本小题满分12分）如图，椭圆()22022:+=1>b>0,,x y C a a b a b为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点,1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，证明：2212+t t 为定值第20题图【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题，圆锥曲线中的定值问题.【考查方式】给出椭圆与动圆的函数表达式，求其上两直线交点的轨迹方程；再根据两动圆形成的矩形面积相等，证明两未知数的平方之和为定值. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）设()()1111,,,A x y B x y -，又知()()12,0,,0A a A a -，则 直线1A A 的方程为 ()11=++y y x a x a① 直线2A B 的方程为()11=y y x a x a--- ②（步骤一） 由①②得 ()22221221=y y x a x a--- ③（步骤二） 由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1x y b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入③得()2222=1<,<0x y x a y a b--（步骤三）（2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，得2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以2222221212221=1x x b x b x a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（步骤四）由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a .（步骤五）从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值（步骤六） 21. （本小题满分12分）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b a b ∈R 为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x 【测量目标】导数的几何意义，均值不等式，利用导数解决不等式问题.【考查方式】通过曲线与直线相切求函数表达式中未知数；再限定x 的定义域证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）由()=y f x 的图象过()0,0点，代入得=1b - 由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为32，又=0=013'==++12x x y a a x ⎛⎫⎪⎝⎭，得=0a （步骤一）（2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2xx +12x（步骤二）记()()9=+6xh x f x x -， 则()()()()()22215454+654=<+14+1+6+6+6x h x x x x x x '-- ()()()()32+6216+1=4+1+6x x x x -，（步骤三） 令()()()3=+6216+1g x x x -，则当0<<2x 时，()()2=3+6216<0g x x '-因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()<0h x '（步骤四） 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，于是当0<<2x 时，()9<+6xf x x （步骤五） （证法二）由（1）知()()=ln +1+1f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x，故+12x（步骤一）令()()=ln +1k x x x -，则()()10=0,'=1=<0+1+1xk k x x x --，故()<0k x ，即()l n +1<x x ，由此得，当>0x 时，()3<2f x x ，记()()()=+69h x x f x x -，（步骤二） 则当0<<2x 时，()()()()()31=++69<++692+1h x f x x f x x x x ⎛''-- ⎝()()()(()()()()()11=3+1++618+1<3+1++63+18+12+12+12x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()=718<04+1xx x -（步骤三）因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6xf x x （步骤四） 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E .证明：（1）=AC BD AD AB ； （2）=AC AE第22题图【测量目标】圆的性质的应用. 【考查方式】给出两圆中直线位置关系，证明直线的比例关系. 【难易程度】中等 【试题解析】 证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，（步骤一）所以ACB DAB △∽△.从而=AC ABAD BD，即=AC BD AD AB （步骤二） （2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得EA D AB D △∽△（步骤三）从而=AE ADAB BD，即=AE BD AD AB ，（步骤四） 综合（1）的结论，=AC AE （步骤五）23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:2+=4C x y -（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出直角坐标系下两圆的方程，求极坐标方程，并求出两圆公共弦的参数方程. 【难易程度】容易 【试题解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ，（步骤一） 解=2=4cos ρρθ⎧⎨⎩得π=2,=3ρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为ππ2,,2,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（步骤二）注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,1,故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1=x t y t⎧⎨⎩（或参数方程写成=1=x y y y ⎧⎨⎩（步骤三） （解法二） 将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ（步骤三）于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1ππ=tan 33x y θθ⎧-⎨⎩剟（步骤四） 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()()=+1f x ax a ∈R ，不等式()3f x …的解集为{}21x x -剟（1）求a 的值 （2）若()22x f x f k ⎛⎫-⎪⎝⎭…恒成立，求k 的取值范围 【测量目标】不等式恒成立问题.【考查方式】给出不等式的函数表达式及其解集，求函数式中的未知数；给出不等关系求k 的取值范围.【难易程度】中等 【试题解析】（1）由+13ax …得42ax -剟，又()3f x …的解集为{}21x x -剟，所以当0a …时，不合题意当>0a 时，42x a a-剟，得=2a （步骤一） （2）记()()=22x h x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()1,11=43,1<<211,2x h x x x x ⎧⎪-⎪⎪----⎨⎪⎪--⎪⎩……，所以()1h x …，因此1k …（步骤二）。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
2012年高考数学理科陕西卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析【解析】{|M x ={|1M N x =【提示】根据集合的表示法（描述法）即可求出集合的交集． 【考点】集合的基本运算（交集）1(2,2,1)AB ∴=-，1(0,2,BC =11cos ,AB BC =故选A ．【提示】根据空间直角坐标系用空间向量即可求出异面直线夹角的余弦值．【解析】()(1f x '=1,)-+∞递增，．12)20C =．【解析】15r r T C +=【提示】根据二项式定理及其性质求出【考点】二项式定理【解析】1()f x x'=其中最优解是(0,1)-【提示】根据导函数求出切线方程，【解析】Rt DEF △DF BD ， 又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=，5DF BD ∴=．DF DB ，然后根据相交弦定理求出结果．（坐标系与参数方程）【答案】3 【解析】（Ⅰ）13A +=又函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，π，（Ⅱ）2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭62α-=⎪⎭π02α<<， 6α∴-<πα∴-=【答案】（Ⅰ）5a ，3a ，3q ，10a ≠（Ⅱ）证法一：（等差中项法）k +∈N ，证法二：（公式法）2(1)21k k a q S q-=-，21)(1k q a q ++0(2)q =-，【答案】（Ⅰ）证法一：（向量法）如图过直线b 上任一点作平面方向向量分别为a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面，使c b n λμ=+， 0a c a b n a b a n λμλμ∴=+=+=（）（）（）， πa ⊂，πn ⊥， 0a n ∴=， 0a c ∴=，a c ∴⊥；证法二：（利用垂直关系证明）如图，c b A =，a b ⊥，PO b P =， c ⊂平面a c ∴⊥；32e =，21a ∴-216a ∴=，2OB OA =，O ∴，A ，∴设直线AB 方程为14k +2OB OA =，214x x ∴=216164k ∴=+1(1)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴在又当x ∈。
2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 .A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 44. 设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a5 a6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1， a 2，…，a N ，输入A 、B ，则（ ） A. A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B.2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6B. 9C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ） A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A.B.C.D.11. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A.62B. 63C. 32D. 22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D. )2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N (1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.C BADC 1A 1B 121. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围.24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.G2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理 科 数 学【参考答案】一、选择题： 1．【答案：D 】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法. 2．【答案：A 】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224C C 种安排方案. 3．【答案：C 】解析：经计算2221,||(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =，复数z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，综上可知P 2，P 4正确.4．【答案：C 】解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22a c c -=， 所以34c e a ==. 5．【答案：D 】解析：472∵a a +=，56478a a a a ==-，4742a a ∴==-，或4724a a =-=，，14710∵，，，a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6．【答案：C 】解析：由程序框图判断x >A 得A 应为a 1，a 2，…，a N 中最大的数，由x <B 得B 应为a 1，a 2，…，a N 中最小的数. 7．【答案：B 】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为113932V =⨯⨯=. 8．【答案：C 】解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (4,-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.9．【答案：A 】 解析：由322,22442k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，15024∵，∴ωω>≤≤.10．【答案：B 】解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A 】解析：易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O -ABC 是棱长为113O ABC V -==，2S ABC O ABC V V --==. 12．【答案：B 】 解析：因为12xy e =与ln(2)y x =互为反函数，所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称，故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A ，则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122x x y e e ''===，2x e ∴=，即ln 2x =，故切点A 的坐标为(ln 2,1)，因此，切点A 点到直线y =x距离为d ==，所以||2ln 2)PQ d ==-. 二、填空题： 13．【答案：解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+24|||10b b =-+=，解得||32b =.14．【答案：[3,3]-】解析：画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时，Z 取最小值-3；当直线2Z x y =-经过点(3,0)时，Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-. 15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228--⨯=. 16．【答案：1830】解析：由1(1)21nn n a a n ++-=-得2212124341①②k k k k a a k a a k -+-=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由②-①得,21212k k a a +-+=③ 由①得, 2143656059()()()()奇偶S S a a a a a a a a -=-+-+-++-(1117)30159********+⨯=++++==.由③得, 3175119()()()奇S a a a a a a =++++++5957()21530a a ++=⨯=，所以60()217702301830奇奇奇偶偶S S S S S S =+=-+=+⨯=.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin A C A Csin sin 0B C --=，sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=sin cos sin A C A C -sin 0C -=，sin 0C >，cos 10A A --=，2sin()106A π∴--=，1sin()62A π-=，0A π<<，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=，3A π∴=.（Ⅱ）ABCS=，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=，2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=，228b c ∴+=，解得2b c ==.18．解析：（Ⅰ）当n ≥16时，y =16×(10-5)=80，当n ≤15时，y =5n -5×(16-n )=10n -80，得1080,(15)()80,(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩ .（Ⅱ）（ⅰ）X 可能取60，70，80. P (X =60)=0.1，P (X =70)=0.2，P (X =80)=0.7， X 的分布列为：X X 的方差D (X ) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为X因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ） 证明：设112AC BC AA a ===，直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC . BC ⊂平面BDC ，1DC BC ∴⊥.（Ⅱ）由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，BD =，,90AD a DAB =∠=，AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=，C BADC 1 A 1 B 1AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. 在1Rt C DE △中，1111sin 2C E C DE C D ∠===，130C DE ∴∠=. 即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . (),,DB a a a =--，()1,0,DC a a =-,设平面1DBC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令11x =，得112,1y z ==，故可取1(1,2,1)n =.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =. 设1n 与2n 的夹角为θ，则12123cos ||||6n n n n θ⋅===⋅⨯, 30θ∴=. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11C BD A --的大小为30.20．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，BFD △为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长2BD p =. 点A 到准线l 的距离d FB FD===.由ABD S =△得，11222BD d p ⨯⨯=⨯= 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=. （Ⅱ） 由对称性，不妨设点(,)A A A x y 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直径，90oADB ∠=，2BDp ∴=，32A y p ∴=，代入抛物线:C py x22=得A x =.直线m 的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x +=. 由pyx 22= 得22x y p=,x yp '=. 由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为)6p，直线n的方程为0x -=. 所以坐标原点到m ，n 3=.21．解析：（Ⅰ） 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+，令x =1得，f (x )=1，再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，∴()1xf x e x '=-+，易知()1xf x e x '=-+是R 上的增函数，且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>，()00f x x '<⇔<，所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞.（Ⅱ） 若b ax x x f ++≥221)(恒成立，即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥ 恒成立，()(1)x h x e a '=-+.(1)当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，且当x →-∞时，()h x →-∞，不合题意；(2)当10a +=时，()0h x >恒成立，则0b ≤，(1)0a b +=；(3)当10a +>时，()(1)xh x e a '=-+为增函数，由()0h x '=得ln(1)x a =+，故()0ln(1)f x x a '>⇔>+，()0ln(1)f x x a '<⇔<+，当ln(1)x a =+时，()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥，即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，10a +>，22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++，令22()ln 0u x x x x x =-> ()，则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-，()00()0u x x u x ''>⇔<<<x ⇔>x =()u x取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e. 综上，若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .22．解析：（Ⅰ） ∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC . ∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB =CF =BD ，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD .23．解析：（Ⅰ）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （Ⅱ） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.G24．解析：（Ⅰ） 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323x x x ≤⎧⎪⇔⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥. 所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.（Ⅱ）()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 故a 的取值范围为[]3,0-.。
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第I 卷（共60分）2012年12月26日星期三一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2）， （5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D 。
【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【解析】先安排甲组，共有122412C C ⋅=种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A 。
【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。
3．下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-。
其中的真命题为（ ） A ．2p ，3p B ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p【解析】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以||z =22(1)2z i i =--=，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C 。
【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。
4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C 。
【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。
5．已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．－5D ．－7 【解析】因为{n a }为等比数列，所以由已知得47475628a a a a a a +=⎧⎨==-⎩，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩，所以1312a q =⎧⎨=-⎩或13812a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此110a a +=91(1)7a q +=-，【点评】6．如果执行右边和程序框图，输入正整数N （实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2A B+为1a ，2a ，…，N a C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，N a 中最大的数，B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，故选择C 。
【点评】本题主要考察程序框图的应用。
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，AO ⊥底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B 。
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。
8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C 。
【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。
9．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，34]C ．（0，12] D ．（0，2]【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444x ππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减， 所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A 。
【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。
10．已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-，所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数。
排除A 、C ，故选择B 。
【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。
11．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） AB C D 【解析】如图所示，根据球的性质，知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥。
在直角C OO 1∆中，1=OC ，331=C O ， 所以36)33(122121=-=-=C O OC OO 。
因此三棱锥S －ABC 的体积6236433122=⨯⨯⨯==-ABCO V V ，故选择A A ．B ．D ．【点评】本题主要考察锥体和球的性质。
12．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称。
问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d 。
（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2xy e =，所以根据导数的几何意义， 得112te =，ln 2t =， 所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-， 所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x = 的距离的最小值d 为直线1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =min ||2ln 2)PQ d ==-，故选择B 。
【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。
第Ⅱ卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a = ，|2|a b -= ||b =_________。
【答案】23。
【解析】由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅。
因为|2|a b -=10||4||422=+⋅-b b a a ，即06||22||2=--b b ， 解得23||=b 。
【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。
【答案】83。
【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为21。
因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为8321)411(=⨯-=P 。
【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。
16．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为____________。
【答案】1830。
【解析】因为1(1)21n n n a a n ++-=-，所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，……，5857113a a -=，5958115a a +=，6059117a a -=。
由211a a -=，323a a +=可得132a a +=； 由659a a -=，7611a a +=可得572a a +=； ……由5857113a a -=，5958115a a +=可得57592a a +=；从而1357575913575759()()()21530a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=⨯= 。
又211a a -=，435a a -=，659a a -=，…，5857113a a -=，6059117a a -=， 所以2466013559()()a a a a a a a a ++++-++++2143656059()()()()a a a a a a a a =-+-+-++-= 159117++++3011817702⨯==。
从而24660a a a a ++++ 135591770a a a a =+++++ 3017701800=+=。
因此6012345960S a a a a a a =++++++ 13592460()()a a a a a a =+++++++3018001830=+=。
【点评】本小题主要考察递推数列的知识。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。