2012高考数学【创新方案】(新课标人教A版)：第八章 第八节 抛物线 课件
【人教A版】2012高三数学(文)《优化方案》总复习课件第8章2012高考导航
第8章 立体几何
2012高考导航
浙江考纲解读
1．空间几何体 (1)了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特 征，理解柱、锥、台、球的结构特征． (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆 锥、棱柱等的简易组合)的三视图，会用斜二测法 画出它们的直观图．
(3)会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图 形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式． (4)能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直 观图的联系，并能进行转化． (5)会计算球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积(不要求 记忆公式)． 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解相关可 以作为推理依据的公理和定理．
2012高考数学【创新方案】(新课标人教A版)：第三章 第八节 解三角形应用举例 课件
考点三
测量角度问题
(2010· 福建高考)某港口O要将一件重要物品用小
艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于 港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇 沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时
与轮船相遇．
解析：∵∠CAB＝30° ，∠CBA＝75° ， ∴∠ACB＝180° －30° －75° ＝75° ， d ∴AC＝AB＝120 m，设河的宽度为 d，则AC＝sin30° 1 ∴d＝ ×120＝60 m. 2
答案：60 m
5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙
2 又 t＝ 时，v＝30. 3 2 故 v＝30 时，t 取得最小值，且最小值等于 . 3 此时，在△OAB 中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30° ，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间 与轮船相遇．
法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小， 又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行 方向为正北方向． 设小艇与轮船在 C 处相遇．在 Rt△OAC 中，OC＝20cos30° ＝10 3， AC＝20sin 30° ＝10.又 AC＝30t，OC＝vt. 10 1 10 3 此时，轮船航行时间 t＝ ＝ ，v＝ ＝30 3. 30 3 1 3 即，小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
如图，由(1)得 OC＝10 3，AC＝10；故 OC>AC， 且对于线段 AC 上任意点 P，有 OP≥OC>AC.而 小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，故 小艇与轮船不可能在 A，C 之间(包含 C)的任意位置相遇． 设∠COD＝θ(0° <θ<90° )，则在 Rt△COD 中， 10 3 CD＝10 3tan θ，OD＝ . cos θ
【高考调研】2012届新课标高考数学(人教A版理)总复习单元能力测试第8章立体几何
第八章 单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1.如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35C.105D.55 答案 C 解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2.∴cos ∠EGF ＝105.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3 答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.3.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.13cm 3B.23cm 3C.43cm 3D.83cm 3 答案 C解析 由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示，其中AC ＝AD ，平面ACD ⊥平面BCD ，E 为CD 的中点，则AE ⊥平面BCD ，且BE ＝AE ＝2，DC ＝2，∴V ＝13×12×BE ×DC ×AE ＝13×12×2×2×2＝43cm 3，故选C.4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中真命题的序号是( )A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③ 答案 B解析 若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能相交、平行或m 在平面β内，故①错；m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α与β可能平行，可能相交，故④错．故选B.5．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.6.如右图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 连结AC 、BD 交于点O ，连结OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝2，∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C. 7.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105 答案 D解析 连结A 1C 1，交B 1D 1于O ，依题意得，A 1C 1⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1C 1，又B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D .连结BO ，则∠C 1BO 为所求角，又OC 1＝2，BC 1＝5，∴sin C 1BO ＝C 1O BC 1＝25＝105，选D.8．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．23π C.736π D.733π 答案 D解析 上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.故选D.9．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有( )A ．1<d 1<d 2B ．d 1<d 2<1C ．d 1<1<d 2D ．d 2<d 1<1 答案 D解析 ∵CD ∥平面P AB .∴C 到平面P AB 的距离等于D 到平面P AB 的距离．过D 作DE ⊥P A ，则DE ⊥平面P AB ，d 1＝DE ＝22. B 与D 到平面P AC 的距离相等．设AC ∩BD ＝O ，则平面PDO ⊥平面P AC ，∴d 2等于D 到PO 的距离，可计算d 2＝33，∴d 2<d 1<1.10．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 C解析 设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22) ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12×4R 2＝12×4×42＝32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．11．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 C解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112答案 B解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP→＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________． 答案 6＋2 3解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱．则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6，上、下底面面积都为34×22＝3，所以此三棱柱的表面积为6＋2 3.14．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AA 1＝AB ＝1，则截面ACC 1A 1的面积为________；异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为________．答案 3 24解析 截面ACC 1A 1为矩形．AA 1＝1，AC ＝3，其面积S ＝3；BD ＝1，BD 1＝2，在△BCD 1中，BC ＝1，CD 1＝2，cos ∠BCD 1＝24.则异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为24. 15.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为P A 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为P A 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于______．答案 20π解析 设球心为O ，球半径为R ，△ABC 的外心是M ，则O 在底面ABC 上的射影是点M ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∠ABC ＝12(180°－120°)＝30°，AM ＝AC2sin30°＝2.因此，R 2＝22＋(AA 12)2＝5，此球的表面积等于4πR 2＝20π.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在下面三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥平面EFG .解析 (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连结AD ′，则AD ′∥BC ′. 因为E 、G 分别为AA ′、A ′D ′的中点， 所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′.又BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG . 18．(本小题满分12分)(2010·新课标全国，文)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ； (2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 解析 (1)因为PH 是四棱锥P －ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ， 故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1. 可得PH ＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.19．(本小题满分12分)在几何体ABCDE 中，∠BAC ＝π2，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝BE ＝2，CD ＝1.(1)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ； (2)设F 是BC 的中点，求证：平面AFD ⊥平面AFE ； (3)求几何体ABCDE 的体积．解析 (1)∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥BE .∵CD ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴CD ∥平面ABE . 又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .(2)在△DFE 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3. ∴FD ⊥FE .∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AF ，又BC ⊥AF ，CD ∩BC ＝C ，∴AF ⊥平面BCDE ， ∴AF ⊥FD ，∵EF ∩AF ＝F ， ∴FD ⊥平面AFE .又FD ⊂平面AFD ，∴平面AFD ⊥平面AFE .(3)∵DC ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，∴DC ∥BE∵AB ＝AC ＝2，且∠BAC ＝π2 ∴BC ＝2 2∴SBEDC ＝12(DC ＋BE )×BC ＝3 2由(2)知AF ⊥平面BCED∴V E －BCDE ＝13S BEDC ·AF ＝13×32×2＝2. 20．(本小题满分12分)如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1.(1)求证：BF ∥平面ACGD ； (2)求二面角D -CG -F 的余弦值．解析 方法一 (1)设DG 的中点为M ，连接AM ，FM . 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形．∴MF ∥DE ，且MF ＝DE .∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AB ∥DE ， ∵AB ＝DE .∴MF ∥AB ，且MF ＝AB ，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF ∥AM .又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ， 故BF ∥平面ACGD .(2)由已知AD ⊥平面DEFG ，∴DE ⊥AD .又DE ⊥DG ，∴DE ⊥平面ADGC .∵MF ∥DE ，∴MF ⊥平面ADGC .在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则∠MNF 为所求二面角的平面角．连接CM .∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AC ∥DM ，又AC ＝DM ＝1，所以四边形ACMD 为平行四边形，∴CM ∥AD ，且CM ＝AD ＝2.∵AD ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥DG.在Rt △CMG 中，∵CM ＝2，MG ＝1，∴MN ＝CM ·MG CG ＝25＝255.在Rt △FMN 中，∵MF ＝2，MN ＝255，∴FN ＝4＋45＝2305.∴cos ∠MNF ＝MN FN ＝2552305＝66.∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.方法二 由题意可得，AD ，DE ，DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系． 则A (0,0,2)，B (2,0,2)，C (0,1,2)，E (2,0,0)，G (0,2,0)，F (2,1,0)． (1)BF→＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，CG →＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴BF →＝CG →，所以BF ∥CG .又BF ⊄平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD . (2)FG→＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)． 设平面BCGF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CG →＝y －2z ＝0，n 1·FG →＝－2x ＋y ＝0.令y ＝2，则n 1＝(1,2,1)．则平面ADGC 的法向量n 2＝i ＝(1,0,0)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1×112＋22＋12×12＋02＋02 ＝66.由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.21．(本小题满分12分)(2010·重庆卷，理)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．解析 解法一：(1)如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥AB ，由P A ＝AB 知ΔP AB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE ，从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离．在Rt ΔP AB 中，P A ＝AB ＝6，所以AE ＝12PB ＝12P A 2＋AB 2＝ 3.(2)过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE ，从而DE ＝AE 2＋AD 2＝ 6.在Rt ΔCBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 6.由CD ＝6，所以ΔCDE 为等边三角形，故F 点为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，知FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG ，则在Rt ΔADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)．因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →(6，a ，－6)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC . 又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，又AE →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故⎩⎨⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0，所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1，可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)． 设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0.又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)，故⎩⎨⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2.可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63.22．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB >1，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为2 2.(1)求证：D 1E ⊥A 1D ；(2)求AB 的长度；(3)在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角D 1－EC －D 的大小为π4，若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解析 方法一：(1)连结AD 1，由长方体的性质可知：AE ⊥平面AD 1，∴AD 1是ED 1在平面AD 1内的射影．又∵AD ＝AA 1＝1，∴AD 1⊥A 1D ，∴D 1E ⊥A 1D (三垂线定理)．(2)设AB ＝x ，∵四边形ADD 1A 1是正方形，∴小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，可能有四种途径，如图甲、乙的最短路程为|AC 1|＝x 2＋4，如图丙、丁的最短路程为|AC 1|＝(x ＋)2＋1＝x 2＋2x ＋2，∵x >1，∴x 2＋2x ＋2>x 2＋2＋2＝x 2＋4， ∴x 2＋4＝22，∴x ＝2.(3)假设存在，连结DE ，设EB ＝y ，过点D 在平面ABCD 内作DH ⊥EC ，连结D 1H ，则∠D 1HD 为二面角D 1－EC －D 的平面角，∴∠D 1HD ＝π4，∴DH ＝DD 1＝1，在Rt △EBC 内，EC ＝y 2＋1，而EC ·DH ＝DC ·AD ， 即y 2＋1＝2解得y ＝ 3.即存在点E ，且离点B 为3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.方法二：(1)如图建立空间直角坐标系，设AE ＝a ，则E (1，a,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∴DA 1→＝(1,0,1)，D 1E →＝(1，a ，－1)， ∴DA 1→·D 1E →＝0∴D 1E ⊥A 1D ，(2)同方法一．(3)假设存在，平面DEC 的法向量n 1→＝(0,0,1)，D 1C →＝(0,2，－1)， 设平面D 1EC 的法向量n 2→＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1C →·n 2→＝0D 1E →·n 2→＝0 即⎩⎨⎧ 0·x ＋2y －z ＝0x ＋ay －z ＝0， 解得⎩⎨⎧ z ＝2y x ＝－ay ，∴n 2→＝(2－a,1,2)， 由题意得cos n 1→，n 2→＝2(2－a)2＋12＋22＝22. 解得a ＝2－3或2＋3(舍去)，即当点E 离B 为3时，π二面角D1－EC－D的大小为4.。
2012高考数学【创新方案】(新课标人教A版)：第五章__第一节__课下冲关作业
知荣辱学做人
尊敬的各位领导、老师、同学：
“父亲舍身拦惊马”的情节，并浓墨重彩地进行描绘、议论、抒情，收到了极好的
艺术效果，
二、请联系自己对生活的感受和认识，以“修养”为话题，写一篇不少于800字的议论文，文体特征
鲜明
[写作提示] “修养”是一个传统话题，每一位考生对此都不会陌生。然而要写得出彩，必须深入体
悟“修养”的内涵、外延。考生若能站在时代发展需要的高度，站在人应肩负的历史使命的高度，讨论加
第3页 你们好！
清代思想家龚自珍说：“士皆知有耻，则国家永无耻矣；士不知耻，为国之大耻。”可见，个体的荣
辱观，不仅关系到个人的尊严，还关乎民族和国家的兴旺。小至个人，大至整个民族、国家和社会，树立
正确的荣辱观，都是十分重要的。作为新世纪的青年，更应该从自身做起，这就是我今天的演讲题目
通过感悟生活达到修身养性的目的，到时写诗自然手到擒来。所以学诗并非主要在工技巧，反而是要学会
安静地审视生活，不断完善自身。这与我们的学习有着相通之处，学习并非简单地从书本上获取知识，更
重要的是在书本之外提高自己的综合素质，陶冶自己的情操，磨炼自己的意志，为以后的发展打下良好的
基础。我想这就是素质教育提倡成才先成人的原因吧！
人人荣辱分明，社会和谐，国事兴；人人文明自强，校园和谐，空气净！同学们，我们要知荣辱，学
做人。牢固树立社会主义荣辱观，争做新世纪的主人，让青春在报效祖国、振兴中华的宏伟大业中熠熠闪
光！让面向世界的中国更加强大、更加昌盛！让世界因为中国的发展和强大更加和平！
[名师点评] 演讲稿与一般的书信和议论文相比，既有相似之处，更有较大的差别。这篇演讲稿的主
最新2012高考数学【创新方案】(新课标人教a版：第八章第九节曲线与方程课件
[自主解答] (1)因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，－1)． 设点 P 的坐标为(x，y)， 由题意得xy－＋11·xy＋－11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点 P 的坐标为(x0，y0)，点 M，N 的坐标分别为 (3，yM)，(3，yN)， 则直线 AP 的方程为 y－1＝xy00－＋11(x＋1)， 直线 BP 的方程为 y＋1＝xy00＋－11(x－1)． 令 x＝3 得 yM＝4y0x＋0＋x01－3，yN＝2y0x－0－x01＋3. 于是△PMN 的面积 S△PMN＝12|yM－yN|(3－x0)＝|x0＋|xy020|－31－| x02.
即动点 M 的轨迹是焦点为 O1(－2,0)，O2(2,0)，实轴长为 3 的 双曲线的左支， ∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为：49x2－47y2＝1(x<0)．
考点二 用相关点法求轨迹方程
设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 MN ＝ 2 MP ， PM ⊥ PF ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方 程．
x0＝－x ，即y0＝12y
.
∴－x＋y42＝0，
即 y2＝4x.
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
已知 A(－1,0)，B(1,4)，平面上一动点 P 满足 PA·PB＝4，点 Q 是点 P 关于直线 y＝2(x－4)的对称点，求动点 Q 的轨迹方程．
2012高考数学【创新方案】 （新课标人教A版）：第八 章第九节曲线与方程课件
4．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在 直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____________．
《创新方案》高考人教版数学(理)总复习课件：第八章 解析几何 课时作业_5
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解析：由题意知 a＝1，如图，
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2， |BF1|－|BF2|＝2a＝2， ∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4， |BF1|＝2＋|BF2|.
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解：(1)若双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点， 则方程组xy2＝－kyx2－＝11， 有两个不同的实数根， 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以1Δ－＝k42k≠2＋0，81－k2＞0， 解得－ 2＜k＜ 2且 k≠±1. 即双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是 (－ 2，－1)∪(－1,1)∪(1， 2)．
解得 x＝73a，所以|PF2|＝13a，
所以在△PF1F2 中，由余弦定理得
4c2＝73a2＋13a2－2×－12×73a×13a，整理可得 e＝ac＝
57 6.
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11．已知双曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积 为 2，求实数 k 的值．
点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
y＝±
2 2x
.
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解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为 4|OF|＝|AF|＋|BF|，
【创新方案】2012高考数学 第八章第九节 课下冲关作业 新人教A版
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.答案：C2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. 答案：D3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC ＝2CB ，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9① 又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3xb ＝32y ②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.答案：C4．(2011·某某模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y221＝1 解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |. ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案：D5．(2011·某某模拟)圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． 答案：B6．(2010·某某高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD 与D 1C 1是异面垂直的两条直线， 过直线AD 与D 1C 1平行的平面是面ABCD ，设在平面ABCD 内动点M (x ，y )满足到直线AD 与D 1C 1的距离相等，作MM 1⊥AD 于M 1，MN ⊥CD 于N ，NP ⊥D 1C 1于P ，连结MP ，易知MN ⊥平面CDD 1C 1，MP ⊥D 1C 1，则有MM 1＝MP ，|y |2＝x 2＋a 2(其中a 是异面直线AD 与D 1C 1间的距离)，即有y 2－x 2＝a 2， 因此动点M 的轨迹是双曲线． 答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2011·某某模拟)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x8．若双曲线x 24－y 2＝1上一动点P ，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________________．解析：设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求． 答案：x 2－4y 2＝19．点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，则圆心M 的轨迹方程为____________．解析：已知圆为(x －3)2＋y 2＝64， 其圆心C (3,0)，半径为8， 由于动圆M 过P 点，所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r .又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差即|MC |＝8－r ， 从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |， 所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7， 因此M 点的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.答案：x 216＋y 27＝1三、解答题(共3小题，满分35分)10．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，P 是l 上满足PA ·PB ＝1的点，求点P 的轨迹方程．解：如图，设P 点的坐标为(x ，y )，则由方程x 2＋2y 2＝4， 得2y 2＝4－x 2，∴y ＝±4－x22， ∴A 、B 两点的坐标分别为(x, 4－x22)，(x ，－ 4－x22)， 又PA ·PB ＝1，∴(0,4－x22－y )·(0，－ 4－x22－y )＝1， 即y 2－4－x 22＝1，∴x 26＋y 23＝1，又直线l 与椭圆交于两点，∴－2＜x ＜2， ∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2＜x ＜2)．11．(2011·某某模拟)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，某某数a 的最小值；(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点G 在圆F 内，且满足|MG |·|NG |＝|OG |2(O 为坐标原点)，求MG ·NG 的取值X 围．解：(1)由题意得|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2， ∴动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1，x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a )2＋y 2＝1，∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， ∴a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2得：x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴MG ·NG ＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16， ∴0≤(y －1)2<16⇒－3<y <5⇒0≤y 2<25， ∴－2≤2(y 2－1)<48，∴MG ·NG 的取值X 围为[－2,48)．12．(2010·某某高考)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)．在直线x ＝2的右侧，考察X 围为到点B 的距离不超过655km 的区域；在直线x ＝2的左侧，考察X 围为到A ，B 两点的距离之和不超过4 5 km 的区域．(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P 1P 2，P 2P 3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0. 2 km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍．求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．解：(1)设边界曲线上点P 的坐标为(x ，y )． 当x ≥2时，由题意知(x －4)2＋y 2＝365.当x <2时，由|PA |＋|PB |＝45知，点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为2a ＝45的椭圆上． 此时短半轴长b ＝252－42＝2.因而其方程为x 220＋y 24＝1.故考察区域边界曲线(如图)的方程为C 1：(x －4)2＋y 2＝365(x ≥2)和 C 2：x 220＋y 24＝1(x <2)，(2)设过点P 1，P 2的直线为l 1，过点P 2，P 3的直线为l 2，则直线l 1，l 2的方程分别为y ＝3x ＋14，y ＝6.设直线l 平行于直线l 1，其方程为y ＝3x ＋m ， 代入椭圆方程x 220＋y 24＝1，消去y ，得16x 2＋103mx ＋5(m 2－4)＝0.由Δ＝100×3m 2－4×16×5(m 2－4)＝0，解得m ＝8，或m ＝－8.从图中可以看出，当m ＝8时，直线l 与C 2的公共点到直线l 1的距离最近， 此时直线l 的方程为y ＝3x ＋8，l 与l 1之间的距离为d ＝|14－8|1＋3＝3.又直线l 2到C 1和C 2的最短距离d ′＝6－655， 而d ′>3，综上可知所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式， 得0.22n－12－1≥3，所以n ≥4.故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．。
【创新方案】2012高考数学 第八章第三节 课下冲关作业 新人教A版
(时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2， ∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)．答案：C2．(2011·某某模拟)已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12. 答案：A3．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n ＝1的距离等于( )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.－m 2＋n 2D.m 2±n 2解析：因为直线x m ＋y n＝1可化为nx ＋my －mn ＝0，则由点到直线的距离公式得 d ＝|m －n n ＋－m m －mn |n 2＋m2＝m 2＋n 2. 答案：A4．(2011·某某模拟)直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－32B.32C.23D ．－23解析：设l 与直线x －y －7＝0交于P (x ′，y ′)，由中点坐标公式：－1＝1＋y ′2，y ′＝－3，将y ′＝－3代入x －y －7＝0得x ′＝4，即l 与x －y －7＝0的交点为(4，－3)，所以k PQ ＝－1－－31－4＝－23. 答案：D5．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值X 围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－k k ＋2y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2. 答案：C 6．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝2x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝－12x ＋52解析：点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理，得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0.由点线距离公式，得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1和4x －3y ＋5＝0.答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝08．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为______________．解析：显然l 1∥l 2，可设l 的方程为2x －y ＋m ＝0， 由题意知|3－m |5＝|m ＋1|5，解得m ＝1， 从而直线l 方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．(2011·某某模拟)已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－2，得C (－3，－2)．∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题(共3小题，满分35分)10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k2，解得：k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k 1＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 12．已知点P (2，－1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程．(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)若所求直线斜率k 不存在，则所求直线l ：x ＝2.∵原点到l 的距离为2，∴直线x ＝2即为所求．若l 斜率存在，则设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|2k ＋1|k 2＋1＝2， ∴k ＝34.∴直线l ：y ＋1＝34(x －2)， 即3x －4y －10＝0.∴所求直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)由题设条件知，所求直线与直线OP 垂直时，过点P 的直线与原点距离最大，且最大值|OP |＝5，此时k OP ＝－12，∴k l ＝2. ∴l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，所以这样的直线不存在．。
【创新方案】2012高考数学 第八章第六节 课下冲关作业 新人教A版
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由题意知a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：B3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C4．(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)解析：设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.答案：D6．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0，∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝19．(2010·湖北高考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________，直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．解析：依题意得点P 位于椭圆C 的内部(异于原点O )，因此有|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a ，即22－1≤|PF 1|＋|PF 1|＜22，2≤|PF 1|＋|PF 2|＜22，|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)；依题意，可考虑取特殊点P (－1,0)，相应的直线为x ＝－2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆的公共点的个数为0.答案：[2,2 2 ) 0三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2＝1，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式，得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3，∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，∴4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－3m2，x 1·x 2＝3m 2－14，∴y 1＋y 2＝m2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋y 1＋12＝x 22＋y 2＋12∴－3m 2＝－(m2＋2)，∴m ＝2，此时判别式Δ＝0，∴满足条件的m 的值不存在．11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP u u u r|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP u u u r＝(x －m ，y )，所以|MP u u u r |2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP u u u r|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP u u u r |2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．12．(2010·全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1.即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.。
【创新方案】高考数学 第八章第八节 抛物线课件 新人教A
抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛 物线的位置关系等是高考的热点，题型既有选择、填空 又有解答题，属中低档题，2010年山东高考以抛物线的 几何性质，直线与抛物线的位置关系命题，考查了学生 的基本运算能力和逻辑推理能力．
[考题印证] (2010·山东高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，
解：(1)抛物线 y2＝2px 的准线为 x＝－p2， 于是 4＋p2＝5，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y2＝4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝43. 又 MN⊥FA，∴kMN＝－34，
则 FA 的方程为 y＝43(x－1)， MN 的方程为 y－2＝－34x，
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
A．10
B．8
C．6
D．4
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
B 的任一直线，都有FA·FB＜0，且 m 的取值范围是(3－2 2，3＋2 2)．
已知椭圆 C1：xa22＋by22＝1 的左，右两个焦点为 F1，F2，离心 率为12，又抛物线 C2：y2＝4mx(m＞0)与椭圆 C1 有公共焦点 F2(1,0)． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设直线 l 经过椭圆的左焦点 F1 且与抛物线交于不同两点 P、Q，且满足F1P ＝λF1Q，求实数 λ 的取值范围．
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得 y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，
y ＋y ＝4t， 1 2 于是 y1y2＝－4m.
①
又 FA＝(x1－1，y1)， FB ＝(x2－1，y2)， FB FA· ＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0， ②
点)的面积为4，则抛物线方程为
A．y2＝±4x C．y2＝4x B．y2＝±8x D．y2＝8x
(
)
(2)(2010· 浙江高考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点 A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准
线的距离为________．
a [自主解答] (1)不论 a 值正负，抛物线的焦点坐标都是( ，0)， 4 a 故直线 l 的方程为 y＝2(x－ )， 4 a 令 x＝0 得 y＝－ ， 2 1 a a a2 故△OAF 的面积为 ×| |×|－ |＝ ＝4，故 a＝± 8. 2 4 2 16
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， p 由抛物线定义知，|－ ＋3|＝5，解得 p＝－4， 2 ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( A．10 B．8 )
4 (x－m)， 4－m
|2m＋8| 2， 16＋m－4
∴当 m＞1 时， 直线 AK 与圆 M 相离； m＝1 时， 当 直线 AK 与圆 M 相切； 当 m＜1 时，直线 AK 与圆 M 相交．
考点三
直线与抛物线的位置关系
(2010· 湖北高考)已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程； (2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任 一直线，都有 FA· ＜0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请 FB 说明理由．
抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛
物线的位置关系等是高考的热点，题型既有选择、填空
又有解答题，属中低档题，2010年山东高考以抛物线的 几何性质，直线与抛物线的位置关系命题，考查了学生 的基本运算能力和逻辑推理能力．
[考题印证] (2010· 山东高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)， 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段
1．(2010· 四川高考)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离 是 ( )
A．1
C．4
B．2
D．8
解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4.
答案：C
2．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上 一点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ( A．y2＝8x B．y2＝－8x )
抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
图
形
范围 对称轴
x≥0，y∈R x轴
x≤0，y∈R
顶点坐标 焦点坐标 准线方程 离心率 焦半径 p |PF|＝x0＋ 2
原点 O(0,0)
p ( ，0) 2 p x＝－ 2
解析：设抛物线方程为 y2＝ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 则 y1＋y2＝4，y1＝ax1， 2 y2＝ax2， 2 2 ∴①－②得 y1－y2＝a(x1－x2)，
① ②
y1－y2 ∴(y1＋y2)· ＝a， x1－x2 ∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做
p 解：(1)抛物线 y2＝2px 的准线为 x＝－ ， 2 p 于是 4＋ ＝5，∴p＝2. 2 ∴抛物线方程为 y2＝4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 4 又∵F(1,0)，∴kFA＝ . 3 3 又 MN⊥FA，∴kMN＝－ ， 4
4 则 FA 的方程为 y＝ (x－1)， 3 3 MN 的方程为 y－2＝－ x， 4 4 y＝3x－1， 解方程组 y－2＝－3x， 4 8 x＝5， 得 y＝4. 5
y2 又 x＝ ，于是不等式②等价于 4 y2 y2 y2 y2 1 2 1 2 · ＋y1y2－( ＋ )＋1＜0 4 4 4 4
y1y22 1 ⇔ ＋y1y2－ [(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0， 16 4 由①式知不等式③等价于 m2－6m＋1＜4t2，
③
④
对任意实数 t,4t2 的最小值为 0，所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2－6m＋1＜0，即 3－2 2＜m＜3＋2 2. 由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A， B 的任一直线， 都有 FA· ＜0， m 的取值范围是(3－2 2， 且 3＋2 2)． FB
8 4 ∴N( ， )． 5 5
(3)由题意得，圆 M 的圆心是点(0,2)，半径为 2， 当 m＝4 时，直线 AK 的方程为 x＝4， 此时，直线 AK 与圆 M 相离．
当 m≠4 时，直线 AK 的方程为 y＝ 即为 4x－(4－m)y－4m＝0， 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d＝ 令 d＞2，解得 m＞1，
[答案]
已知如图，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦 点为F，A是抛物线上横坐标为4，且 位于x轴上方的点，A到抛物线准线的
距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂
足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线方程； (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标； (3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动 点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．
(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，
交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝ |BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． |PB|＋|PF|的最小值即为 B、 F 两点间的距离． ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5.
C．6
D．4
解析：因线段AB过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|. 又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.
答案：B
4．(2010· 重庆高考)已知过抛物|＝2，则|BF|＝________. 解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意
法二：设动圆圆心坐标为 O′(x，y)，动圆半径为 r，
|OO′|＝r＋1， 据题意有 |x－－1|＝r，
⇒ x－22＋y2＝x＋2(x>－1)， 化简得 y2＝8x， 即动圆圆心的轨迹方程为 y2＝8x.
考点二
抛物线的标准方程及几何性质
(1)(2011· 天津模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2 ＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原
x2 y2 已知椭圆 C1： 2＋ 2＝1 的左，右两个焦点为 F1，F2，离心 a b 1 率为 ，又抛物线 C2：y2＝4mx(m＞0)与椭圆 C1 有公共焦点 2 F2(1,0)． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设直线 l 经过椭圆的左焦点 F1 且与抛物线交于不同两点 P、Q，且满足 F1 P ＝λ F1Q ，求实数 λ 的取值范围．
[自主解答] (1)设 P(x，y)是曲线 C 上的任意一点，那么点 P(x，y)满 足： x－12＋y2－x＝1(x＞0)． 化简得 y2＝4x(x＞0)． (2)设过点 M(m,0)(m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2， y2)，l 的方程为 x＝ty＋m，
消去 y，整理得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0. 因为直线和抛物线有两个交点，
k≠0， 所以 2 2k －42－4k4＞0.
解得－1＜k＜1 且 k≠0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 4－2k2 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝1. k2
x ＋1＝λx ＋1， 1 2 又 F1 P ＝λ F1Q ，所以 y1＝λy2.
AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(
A．x＝1 C．x＝2 B．x＝－1 D．x＝－2
)
p [规范解答] 抛物线的焦点 F( ，0)，所以过焦点且斜率为 1 2 p p 的直线方程为 y＝x－ ，即 x＝y＋ ，将其代入得：y2＝2px 2 2 y1＋y2 p 2 2 2 ＝2p(y＋ )＝2py＋p ，所以 y －2py－p ＝0，所以 ＝p 2 2 ＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
1 解：(1)椭圆中 c＝1，e＝ ，所以 a＝2，b＝ a2－c2＝ 3， 2 x2 y2 椭圆的方程为： ＋ ＝1； 4 3 4m 抛物线中 ＝1，所以 m＝1，抛物线的方程为：y2＝4x. 4 (2)设直线 l 的方程为：y＝k(x＋1)，和抛物线的方程
y＝kx＋1， 联立得 2 y ＝4x，
考点一
抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[自主解答]
(1)如图，易知抛物线的焦点为
F(1,0)，准线是 x＝－1. 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的 距离等于点 P 到焦点 F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的 距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小． 显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.