2016-2017学年人教A版选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案
第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质
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人教A版数学·选修2-1
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直线与双曲线的位置关系 [典例] (本题满分 12 分)设双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)与直线 l：x＋y ＝1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B，求 a 的值．
人教A版数学·选修2-1
[解析] (1)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则4298mm＋＋792nn＝＝11，， 解得nm＝＝－2157，15， 所求双曲线方程为2x52－7y52 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 16x2－9y2＝λ(λ≠0)， 将 M8，1313代入，得 λ＝16×82－9×13132＝－576， 所求双曲线方程为 16x2－9y2＝－576， 即6y42 －3x62＝1.
D．y＝±2x
解析：y2－x2＝2 的渐近线方程为 y＝±x.
答案：A
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2．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝________. 解析：a2＝16，b2＝m，c2＝16＋m， ∴1＋1m6＝4，∴1m6＝3，m＝48. 答案：48
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人教A版数学·选修2-1
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求双曲线的离心率的方法技巧 (1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝ac得解； (2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋ba2得解； (3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
高中数学选修2-1人教A版：2.3.2直线与双曲线的位置关系课件(1)
注:
①相交两点:
△＞0
同侧：x1 x2＞0
异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解 不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法 四、对称与垂直问题 五、综合问题
1 ,
1
两式做差得：３（x1
ｘ2）（x1
＋ｘ）＝（ｙ
2
1
ｙ2）（ｙ1
＋ｙ） 2
x1＋ｘ2 2m,
ｙ 1
＋ｙ 2
2n,
ｙ 1
ｙ2
x1ｘ2
2
即：ｎ＝－３ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在直线ｙ＝１ｘ上，那么
２
２
ｎ＝２１ｍ，显然不符合上式，所以这样的a不存在。
五、综合问题
1、设双曲线C：
x2 a2
y2
1(a
0)与直线
y 1 2(x 1)
方程组无解，故满足条件的L不存在。
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :
y 1 k(x 1)
x
2
y
2
1
2
韦达定理
消y得 (2 k 2 )x2 2k(1 k)x k 2 2k 3 0
2k2 0
（8 3 - 2k） 0
练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x2 - y2 =1的左支交于A,B
两点, 直线l过点P -2,0和线段AB的中点. 1 求k的取值范围. 2 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件
（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22－by22 ＝1(a>0，b>0)．则 2a＝8，∴a＝4.
由 e＝ac＝54得 c＝5. ∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∴所求双曲线方程为1x62 －y92＝1. (2)当焦点在 x 轴上时，
设所求双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,－__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(－__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,－__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离心率 是54； (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； (3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点 F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°， 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并 求出线段AB的长． 【思路点拨】 先写出直线方程，代入双曲线方 程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2. 由y3＝x2－x－y22＝3 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
高中数学人教A版选修2-1课件：2-3-2 双曲线的简单几何性质
������2 故所求双曲线的标准方程为 4
������2 综上可知所求双曲线的标准方程为 9
������2 − 9
= 1.
������2 − 4
=1
������2 或 4
������2 − 9
= 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标 准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定 系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关 于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的 对应.
2
= 1(������ > 0, ������ > 0).
∵c =a +b ,∴a +b =13.
������ 2
2
2
2
2
2
∵渐近线的斜率为 ������ = 3 或 ������ = 3,
������
������2 + ������ 2 = 13. ������2 + ������ 2 = 13 ������2 = 4, ������2 = 9, ∴ 2 或 2 ������ = 9. ������ = 4 2 ������ ������2 ������2 ������2 故所求双曲线的标准方程为 − = 1 或 − = 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条 件的双曲线方程: (1)双曲线过点(3,9 2), 离心率������ = (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=±3x.
人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质(第2课时)》教学设计
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； （5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。
新课标人教A版选修2-1辅导资料—双曲线的简单几何性质(含答案)
双曲线的简单几何性质一、要点精讲1．双曲线的标准方程和几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为()022≠=-λλy x ，离心率2=e ，渐近线方程x y ±=。
3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22ax ()022≠=λλb y ，若0>λ，则双曲线的焦点在轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在轴上。
4、共焦点的双曲线系方程：与-22ax 22b y =1焦点相同的双曲线系方程可设为()2222221,+x y k b k a a k b k -=<<-二、基础自测1.（15安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 2．（2013湖北）已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 4.（15广东）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D. 14322=-y x 5．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22221x y a b-=(a >0，b>0)的两个焦点。
人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.2双曲线的简单几何性质
-
y2 b2
=1
渐近线为 x ± y = 0 ab
B2
F’1 A1
o
B1
则它的共轭双曲线方程是
y2 x2 b2 - a2 = 1
F2
x
A2 F’2
渐近线为
y ± x = 0 显然,它可化为 ba
x ±y = 0 ab
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线.
第八页，编辑于星期日：六点 十五分。
证明:(2)设已知双曲线的焦点为F1 (c,0),F2(-c,0)
F2
第九页，编辑于星期日：六点 十五分。
练习
一、选择题:
A
B
C
D
第十页，编辑于星期日：六点 十五分。
A
B
C
D
第十一页，编辑于星期日：六点 十五分。
A
B
C
D
第十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
A
B
C
D
第十三页，编辑于星期日：六点 十五分。
A
B
C
D
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
二、填空题
它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),
y
因为 c a2 b2 c a2 b2
F1
所以 c=c'.
故四个焦点 F1 ,F2, F1, F2在同一
个圆 x2 + y2 = a2 + b2上.
B2
F’1
A1
o
B1
x
A2 F’2
问:有相同渐近线的双曲线方程 一定是共轭双曲线吗?
82
4
|x|≥ 4 2
4 2,0
6,0
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课件
y2 6
1的右焦点F2 , 倾斜角
为30 的直线交双曲线于A, B两点，求 AB . y
解：由双曲线的方程得，两焦点
分别为F1(-3,0),F2(3,0).
·
·
因为直线AB的倾斜角是30°， F1 O B F2 x
且直线经过右焦点F2，所以，直
A
线AB的方程为
y 3 (x 3).
(1)
3
3
由
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．
【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，求点M的轨迹.
5离，根
H d.M
据题意，所求轨迹就是集合
P
M
|
MF d
|
5 4
1a
0, b
0 ,令点C的
坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y 55）.
因为点B,C在双曲线上 ,所以
252 y 552
122
b2
1,
132 122
y2 b2
1.
由方程 2 ,得y 5b 负值舍去 ,
12
y
（1） C ' 13 C
A'
12 OA
x
（2）
B'
25 B
代入方程（1），得
y
x2
3
(x 3), 3
y2 1,
6
消去y，得
5x2 6x 27 0.
解这个方程，得
x1
3,
x2
9 5
.
将
x1
,
x
的
2
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§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
制作人：王亚丽 审核人：王凯 2016.12.5
【学习目标】
1． 理解并掌握双曲线的几何性质 【重点】双曲线的几何性质 【难点】双曲线的几何性质 一、自主学习
1.预习教材56-58页，完成下列问题
1．双曲线位于四条直线__________________________围成的矩形外。
2．线段2121,B B A A 分别称为双曲线的_______________，其长分别为__________。
3．参数c b a ,,的名称分别是______________________________________，在直角三角形________中可反映出它们的勾股关系，这说明以_____________为圆心，_______为半径画弧，可以确定焦点的位置。
4．双曲线离心率e 的范围是___________，离心率e 反映双曲线的_____________，当e 越大时，双曲线 越______；当e 越小时，双曲线 越______。
5
二、典型例题
1．求双曲线22169144-=y x 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
2．求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；
⑵离心率e =(5,3)M -；
⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9
(,1)2
M -．
三、拓展探究
1．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠1
2
PFQ π
=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．
1 B. C. 1 D. 2
2．设双曲线22
21(0)9
x y a a -
=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
四．高考小测
1.（15北京理科）已知双曲线()2
2210x y a a
-=>0y +=，则a =
．
2. 【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）
的一个焦点，则b = ．
3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )
（A ）22
14y x -= （B ）2
214
x y -= （C ）22
12y x -= （D ）2
212
x y -=。