2020——2021学年人教版九年级上册二次函数概念、图像基本性质讲义
实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析
实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。
二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。
二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。
3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。
二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。
下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。
例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。
2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。
例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。
3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。
例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。
4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。
例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。
三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。
(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。
2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。
(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。
(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。
同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。
3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(重点练)-2020-2021学年九年级数学上册
22.1.4二次函数y=ax 2+bx+ c 的图像和性质（重点练)1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），其中0＜x 1＜1，有下列结论：①abc ＞0；①﹣3＜x 2＜﹣2；①4a +1＞2b ﹣c ；①4ac ﹣b 2+4a ＜0；①a>13．其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列判断错误的是 ( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．函数有最小值D ．y 随x 的增大而减小3．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．若抛物线2(1)21y k x x =-++的开口向上，则k 的取值范围是（ ）A ．0k >B ．0k ≥C ．1k >D ．1k5．二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点坐标是（2,3），则a ，b ，c 取值可以是（ ）A ．1a =，4b =，7c =B ．1a =，-4b =，1c =C ．2a =，8b =，5c =D ．-2a =，8b =，-5c =6．已知二次函数y=-2x 2+4x -3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（ ）A ．1x >B ．0x >C ．1x >-D ．2x >-7．如图，已知①ABC 的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x 2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．b≤-2B ．b<-2C ．b≥-2D ．b>-28．二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么abc 、24b ac -、2a b +、42a b c -+ 这四个代数式中，值为正的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，正方形ABCD 边长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）A ．甲 乙B ．甲 丙C ．乙 丙D ．丙 丁11．如图，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB BC ⊥，且点C 在x 轴上，若抛物线2y ax bx c =++以C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的关系式为________．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线222y x x =-+上运动，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ．13．如右图，在Rt ①ABC 中，①C ＝90°，①B ＝30°，AB ＝12cm ，点P 是AB 边上的一个动点，过点P 作PE①BC 于点E ，PF①AC 于点F ，当PB ＝___________时，四边形PECF 的面积最大，最大值为_____________.14．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为点D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面五个结论中：①2a －b ＝0；①a ＋b ＋c>0；①c ＝－3a ；①只有当a ＝12时，①ABD 是等腰直角三角形；①使①ACB 为等腰三角形的a 的值有4个．其中正确的结论是________(只填序号)．15．某同学研究抛物线223y ax x =++（a≠0）时发现：①当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；①把它的顶点横坐标减少1a ，纵坐标增加1a，得到A 点的坐标，点A 仍在这条抛物线上． ①请你求出①中直线的解析式；①试证明①中的结论；①试将①中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．。
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
1－(－3)＝4，∴S△PAB＝
1 2
×4×2＝4.
考查角度二 二次函数与水流问题 14.(课本P36例4改编)某公园有一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷 水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下(如图)，假设水流喷 出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. (1)求喷出的水流离地面的最大高度；
解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间 的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流 离地面的最大高度为2.25 m．
(2)求喷嘴离地面的高度；
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25，∴喷嘴离地面的高度为1.25 m．
(3)假设把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水 流不落在水池外？
(3)当y＝0时，0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5(舍 去)，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出 的水流不落在水池外．
拔尖角度一 根据对称轴的位置与最值的关系求待定字母的值
15.二次函数y＝－(x－h)2＋1(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与 其对应的函数值y的最大值为0，那么h的值为( )
y＝2x2
易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆
10.函数y＝2x2的图象是抛物线，假设抛物线不动，把x轴、y轴分别向 上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )
B A.y＝2(x－2)2＋2 B.y＝2(x＋2)2－2 C.y＝2(x－2)2－2 D.y＝2(x＋2)2＋2
11.二次函数y＝－(x－1)2＋m(m是常数)，当x分别取－1，1，2时，对应的
知识点二 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移关系
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
九年级上册数学重点知识归纳
九年级上册数学重点知识归纳一、二次函数1. 二次函数定义。
一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的关系式：(1)一般式：y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
(2)顶点式：y=a(x+h)²+k(a，h，k为常数)，此时二次函数的对称轴是直线x=-h，顶点坐标是(-h，k)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a，x₁，x₂为两交点横坐标)，此时二次函数的图像与x轴有两个交点。
3. 最大(小)值：如果自变量的取值小于或等于对称轴的函数值大于或等于零，那么当x= - b/2a时，y有最大(小)值。
4. 实际应用中的二次函数：(1)已知图象与x轴交点的坐标(有两个)，可求出二次函数的解析式。
(2)已知二次函数的最大值或最小值与图象的顶点坐标，可求出二次函数的解析式。
二、圆的基本性质1. 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA的长度叫做半径。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 圆周角定理：圆中的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
4. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
5. 圆的对称性：圆既是中心对称图形也是轴对称图形。
6. 有关圆的计算公式(1) 垂径分三定理：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②把一个圆看作一系列同心圆的全体点都在这个圆的直径线上③相交弦所得两条弧在圆内部分被这个弦分割的两个部分弧相等。
(2) 圆环的计算公式：外圆面积一内圆面积=π(R²-r²)(其中R表示大圆的半径r表示小圆的半径)。
(3) 扇形的面积公式：S=nπR²/360°(其中n表示扇形所对圆心角的度数R表示扇形的半径)。
二次函数教案(全)
二次函数教案(一)教学目标：1. 理解二次函数的定义和基本性质。
2. 学会如何列写二次函数的一般形式。
3. 掌握二次函数的图像特点。
教学重点：1. 二次函数的定义和一般形式。
2. 二次函数的图像特点。
教学难点：1. 理解二次函数的图像特点。
2. 掌握如何求解二次函数的零点。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入二次函数的概念，让学生回顾一次函数的知识。
2. 提问：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像会是什么样子呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的定义：一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 解释二次函数的各个参数的含义：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3. 举例说明如何列写二次函数的一般形式。
4. 讲解二次函数的图像特点：开口方向、顶点、对称轴等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调二次函数的图像特点。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了二次函数的定义和一般形式，以及图像特点。
在教学中，可以通过举例和互动提问的方式，激发学生的兴趣和思考。
在课堂练习环节，要注意关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
二次函数教案(二)教学目标：1. 学会如何求解二次方程。
2. 理解二次函数的零点与二次方程的关系。
3. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
教学重点：1. 求解二次方程的方法。
2. 二次函数的零点与图像的关系。
教学难点：1. 理解二次方程的解法。
2. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、复习导入（5分钟）1. 复习二次函数的定义和一般形式。
2. 提问：二次函数的图像与x轴的交点有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解如何求解二次方程：公式法、因式分解法等。
2. 解释二次函数的零点与二次方程的关系：零点是二次方程的解。
2021年秋九年级数学上二次函数y=ax2+ bx +c的图象和性质含答案
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.把二次函数y=2x2-4x+1配成y=a(x-h)2+k的形式为,所以其图象的开口向,对称轴是直线,顶点坐标为.2.二次函数y=-x2+2x-3的图象的开口方向、顶点坐标分别是()A.开口向上,顶点坐标为(1,-2)B.开口向下,顶点坐标为(-1,2)C.开口向上,顶点坐标为(-1,2)D.开口向下,顶点坐标为(1,-2)3.[2019·重庆B卷]抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-14.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-35.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图5所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数的图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是()图5A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y26.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线的解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-27.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.[2019·荆州]二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是.9.通过配方分别写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=x2+3x;(2)y=1-6x-x2;(3)y=3x2-2x-4.10.已知:二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(3,0).(1)求b的值;(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(3)在所给直角坐标系中画出该二次函数的图象.图611.已知函数y=4x2-mx+5,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.求当x=1时,y的值.【能力提升】12.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),则2c-4b-9的值是()A.5B.-1C.4D.1813.点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y314.若抛物线y=x2-2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度,再沿竖直方向向上平移3个单位长度,则原抛物线对应的函数解析式应变为()A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2-1D.y=x2+415.将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为()A.y=-x2-2B.y=-x2+2C.y=x2-2D.y=x2+216.已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.答案1．y ＝2(x －1)2－1 上 x ＝1 (1，－1)[解析] 因为y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)＋1－2＝2(x －1)2－1，所以函数图象开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标为(1，－1)．2．D 3.C4．D [解析] 令x ＝0，得y ＝－1，所以图象与y 轴的交点坐标为(0，－1)，故选项A 错误；因为y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3，所以图象的对称轴是直线x ＝－1，当－1＜x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项B ，C 错误；因为y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3，所以抛物线开口向上，有最小值－3，故选项D 正确．5．B [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，开口向下， 故当x ＜1时，y 随x 的增大而增大． 因为x 1＜x 2＜1，所以y 1＜y 2.故选B. 6．D7．A [解析] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a )．因为－b2a＝－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2＋2）－44＝m 2＋1＞0，所以此抛物线的顶点在第一象限．故选A.8．7 [解析] y ＝－2x 2－4x ＋5＝－2(x ＋1)2＋7，即二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是7.9．解：(1)y ＝x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－94， 所以抛物线y ＝x 2＋3x 开口向上，对称轴为直线x ＝－32，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－94. (2)y ＝1－6x －x 2 ＝－x 2－6x ＋1 ＝－(x 2＋6x ＋9－9)＋1 ＝－(x ＋3)2＋10，所以此抛物线y ＝1－6x －x 2开口向下，对称轴为直线x ＝－3，顶点坐标为(－3，10)． (3)y ＝3x 2－2x －4＝3⎝⎛⎭⎫x 2－23x ＋19－19－4 ＝3⎝⎛⎭⎫x －132－13－4 ＝3⎝⎛⎭⎫x －132－133， 所以抛物线y ＝3x 2－2x －4开口向上，对称轴为直线x ＝13，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫13，－133. 10．解：(1)将(3，0)代入函数解析式， 得9＋3b ＋3＝0，解得b ＝－4. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以该二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)， 对称轴是直线x ＝2. (3)略．11．解：由函数的增减性：当x >－2时，y 随x 的增大而增大；当x <－2时，y 随x 的增大而减小，知抛物线的对称轴为直线x ＝－2.由x ＝－b2a ＝－－m 2×4＝－2，解得m ＝－16，所以二次函数的解析式为y ＝4x 2＋16x ＋5.当x ＝1时，y ＝25.12．A [解析] 因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(－2，3)，所以－(－2)2－2b ＋c ＝3. 整理得－2b ＋c ＝7，所以2c －4b －9＝2(c －2b )－9＝2×7－9＝5，故选A.13．D [解析] 因为y ＝－x 2＋2x ＋c ，所以对称轴为直线x ＝1，点P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．因为3＜5，所以y 2＞y 3.根据二次函数图象的对称性可知，点P 1(－1，y 1)与点P 2(3，y 2)关于对称轴对称，故y 1＝y 2＞y 3.14．C [解析] 将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，相当于把原抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，因为y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，所以原抛物线对应的函数解析式应变为y ＝(x －1＋1)2＋2－3＝x 2－1.故选C.15．A [解析] ∵抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴抛物线C 1的顶点为(1，2)． ∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2， ∴抛物线C 2的顶点坐标为(0，2)． ∵抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，∴抛物线C 3的开口方向与抛物线C 2的开口方向相反，顶点坐标为(0，－2)，∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2. 故选A.。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。
下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。
一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。
b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。
c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。
e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。
二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
当a的绝对值越大时，开口越窄。
2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。
当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。
当，h，越大时，平移的距离越大。
3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。
当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。
当，k，越大时，平移的距离越大。
三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。
可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。
2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。
专题05 二次函数的图象与性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05 二次函数的图象与性质【典型例题】1．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx ＋2（k ≠0）的图象大致如图（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线()232y x =-+3可以看作把抛物线23y x =向_______平移_______个单位，向_______平移_______个单位得到． 【答案】右 2 上 33．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知一个二次函数的图象经过点()1,0A -、()3,0B 和()0,3C -三点. （1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）设二次函数解析式为()()13y a x x =+-，∵抛物线过点()0,3C -，∴()()30103a -=+-，解得1a =，∴()()21323y x x x x =+-=--.（2）由（1）可知：223y x x =--， ∵a =1,b =-2,c =-3, ∴对称轴是直线12b x a =-=，244ac ba -=-4,顶点坐标是()1,4-.4．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知一条抛物线分别过点(3,2)-和(0,1)，且它的对称轴为直线2x=，试求这条抛物线的解析式.【答案】解:∵抛物线的对称轴为2x =,∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x b =-+把(3,2)-,(0,1)代入解析式得()()2232=202=1a b a b ⎧-+-⎪⎨-+⎪⎩， 解得1a =,3b =-,∴所求抛物线的解析式为2(2)3y x =-- 【专题训练】一、选择题1．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）函数()221y x ++＝-的顶点坐标是（） A ．(2,-1) B ．(-2,1) C ．(-2,-1) D ．(2,1)【答案】B2．（2020·江苏崇川·期末）抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x +1)2+3 B ．y ＝(x +1)2﹣3 C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3 D ．y ＝(x ﹣1)2+3【答案】D3．（2020·福建省连江第三中学初三月考）二次函数y ＝﹣（x －2）2＋1的图象中，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2【答案】B4．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）若函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为（ ）． A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．-1或2或1【答案】D5．（2021·福建学业考试）若二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像对称轴为直线12x =-经过不同的5点(),A p q ，()00,B y ，()12,C y ，)2D y ，()1,E p q --，则0y ，1y ，2y 的大小关系（ ）A ．012y y y >>B ．012y y y <<C ．021y y y >>D ．102y y y >>【答案】C6．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ＞0；④4a ﹣2b +c ＜0；⑤a +c ＜23，其中正确结论的个数是（ ）A ．②③④B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑤【答案】B7．（2020·台州市椒江区前所中学月考）关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（ ）A．1142t<<B．114t-<≤C．1122t-≤<D．112t-<<【答案】D8．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或315B．6或315或－10C．﹣19或6D．6或315或－19【答案】C9．（2020·湖南长沙·初三开学考试）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D10．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1<y2，（）A．若x1<x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1<x2，则x1+x2﹣2>0C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0【答案】D二、填空题11．（2020·湖南隆回·初三一模）二次函数243y x x =--+的最大值为_________.【答案】712．（2020·湖南广益实验中学开学考试）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是 ．【答案】（1，﹣2）．13．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线(2)(3)y x x =+-的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______． 【答案】向下 直线x =12 11(,6)2414．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知抛物线22y x mx =+-的对称轴为x =1，则m =______． 【答案】-215．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________．【答案】210S x x =-+16．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜x ＜117．（2020·湖南广益实验中学开学考试）在平面直角坐标系中，若点P (a ，b )的坐标满足a ＝b ≠0，则称点P 为“对等点”．已知二次函数y ＝x 2+mx ﹣m 的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_____．【答案】118．（2020·湖南长沙·初三开学考试）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点1(,0)2-，对称轴为直线1,x =下列5个结论：0abc <①；240a b c -+=②；20a b +>③；230c b -<④；()a b m am b +≤+⑤．其中正确的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)【答案】②⑤三、解答题19．（2020·呼和浩特市敬业学校初二期末）直线33y x =-+与x 轴y 轴分别交于点A ,B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A ,B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P , （1）求,a k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ,使ABQ ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求点Q 的坐标；【答案】解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），∴43a ka k+=⎧⎨+=⎩，解得11ak=⎧⎨=-⎩，故a，k的值分别为1，-1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3-m）2，∴m=2，∴Q点的坐标为（2，2）．20．（2020·云南昆明·初三学业考试）如图，抛物线y ＝ax 2+bx 过点P （﹣1，5），A （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上有一点B ，当P A ⊥PB 时，求点B 的坐标．【答案】（1）由题意，把点(1,5),(4,0)P A -代入2y ax bx =+得51640a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，则抛物线的解析式为24y x x =-；（2）如图，过P 点作PD x ⊥轴于D ，BE PD ⊥于E ， ∵(1,5),(4,0)P A -，∴5,1,4PD OD OA ===，∴145AD OD OA =+=+=，∴5PD AD ==， 45APD DAP ∴∠=∠=︒，设2(,4)B m m m -，则21,45BE m PE m m =-=+-，点B 在第一象限内的抛物线上，4m ∴>，∵PA PB ⊥，即90APB ∠=︒，∴18045BPE APD APB ∠=︒-∠-∠=︒，∴PBE △是等腰直角三角形，∴BE PE =，即2145m m m -+=-，整理得：2560m m --=，解得6m =或14m =-<（舍去），此时22464612m m --=⨯=，故点B 的坐标为(6,12)B ．21．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知二次函数的图像过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点．(1)求二次函数的解析式(2)判断点A （-2，5）是否在这个二次函数的图像上 ．【答案】解：(1)2223(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（-1，2）设2(1)2(0)y a x a =++≠，代入（0，0）得，02a =+，解得，2a =-∴二次函数的解析式为22(1)2y x =-++(2)当x =-2时，y =0，∴点A （-2，5）不在这个二次函数的图像上22．（2020·江苏如东·初三二模）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a >0）的对称轴为直线x =1，且与x 轴只有一个公共点．（1）试用含a 的式子表示b 和c ；（2）若（x 1，y 1），（3，y 2）是该抛物线上的两点，y 2<y 1，求x 1的取值范围；（3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p ≤x ≤q 时，新抛物线对应的函数有最小值2p ，最大值2q ，求p ﹣q 的值．【答案】（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1， ∴b =﹣2a ，∵抛物线与x轴只有一个公共点．∴b2﹣4ac=0，即(﹣2a)2﹣4ac=0，∴c=a；（2）∵（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为x=1，∴（3，y2）关于对称轴的对称点为（﹣1，y2），∵a＞0，抛物线开口向上，∴y2＜y1时，x1的取值范围是x1＞3或x1＜﹣1；（3）由（1）知：抛物线y=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2（a＞0），将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线为y=a(x﹣1)2+2，∵经过点（3，6），∴6=4a+2，解得a=1，∴新抛物线为y=(x﹣1)2+2，∴当x=1时，抛物线有最小值为2，∴2p=2，解得p=1，∴1≤x≤q，∵对称轴为x=1，∴当x=q时，在p≤x≤q范围内有最大值2q，∴2q=（q﹣1）2+2，解得q=3或1（舍去），∴p﹣q=1﹣3=﹣2．23．（2020·浙江金华·初三其他）已知：等腰△ABC的底边在x轴上，其中点C与平面直角坐标系原点重合，点A为（4，0），点B，点D是AB边的中点．抛物线y＝ax2+bx+c始终经过A，C两点，（1）当△ABC是正三角形时，点B在抛物线上（如图）．求抛物线的函数表达式；个单位后，发现抛物线经过点D，求n的值；（2）若将（1）中抛物线向下平移4（3）若将△ABC ABC n的值．【答案】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴AC＝BC＝AB＝4，∴点B（2，），设抛物线y＝ax（x﹣4）且过（2，），∴＝2a （2﹣4），∴a∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+； （2）∵AB ＝AC ，点A 为（4，0），点C （0，0），∴点B （2 n ）， ∵点D 是AB 边的中点，∴点D （3n ），个单位，∴平移后的抛物线解析式为：y ＝﹣2x 2+﹣4， ∵平移后的抛物线经过点D ，∴2n ＝﹣2×9+3﹣4， ∴n ＝32；（3）∵△ABC 的重心坐标为（2），∴△ABC 向上平移3个单位后，重心坐标为（2，3 n +3），∵y2+x﹣2）2+∴顶点坐标为（2，，个单位，∵平移后△ABC的重心与抛物线顶点也相距3∴|∴n＝4或6．24．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过A (1，0)，B (3，0)，∴设抛物线解析式为：y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)，∵抛物线y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)(a ≠0)的图象经过点C (0，6)，∴6＝a (0﹣1)(0﹣3)，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2(x ﹣1)(x ﹣3)＝2x 2﹣8x +6；（2）∵y ＝2x 2﹣8x +6＝2(x ﹣2)2﹣2，∴顶点M 的坐标为(2，﹣2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称，∴点N (2，2)，设直线AN 解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得：022=+⎧⎨=+⎩k b k b ， 解得：22k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线AN 解析式为：y ＝2x ﹣2，联立方程组得：222286=-⎧⎨=-+⎩y x y x x ， 解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2246=⎧⎨=⎩x y ，∴点D （4，6），∴S △ABD ＝12×2×6＝6， 设点E (m ，2m ﹣2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，∴S △ABE ＝13S △ABD ＝2或S △ABE ＝23S △ABD ＝4， ∴12×2×(2m ﹣2)＝2或12×2×(2m ﹣2)＝4， ∴m ＝2或3，∴点E (2，2)或(3，4)；（3）若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD ＝PQ ，∴x D ﹣x A ＝x P ﹣x Q 或x D ﹣x A ＝x Q ﹣x P ，∴x P ＝4﹣1+2＝5或x P ＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)；若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD 与PQ 互相平分， ∴22++=P Q A D x x x x ，∴x P ＝3，∴点P 坐标为(3，0)，综上所述：当点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．25．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）如图1，抛物线()21y x a x a -++＝与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，若AB ＝4． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ∥AC 交抛物线于点F ，过E 作EG ⊥x 轴交AC 于点M ，过F 作FH ⊥x 轴交AC 于点N ，当四边形EMNF 的周长最大值时，求点E 的横坐标；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q 、C 、B 、O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）依题意得：()21x a x a ++-=0，则12121,x x a x x a +=+=，则AB 4==，解得：a ＝5或﹣3，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，故a ＝5舍去，则a ＝﹣3，则抛物线的表达式为：223y x x +＝﹣…①；（2）由223y x x +＝﹣得：点A 、B 、C 的坐标分别为：()3,0-、()()1,00-3、，， 设点E ()2,23m m m +﹣，OA ＝OC ，故直线AC 的倾斜角为45°，EF ∥AC ，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣3，则设直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +b ，将点E 的坐标代入上式并解得：直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +()233m m +﹣…②，联立①②并解得：x ＝m 或﹣3﹣m ，故点F ()23,4m m m --+，点M 、N 的坐标分别为：(),3m m --、()33m m --+，，则EF ))23F E x x m MN -=--=，四边形EMNF 的周长C ＝ME +MN +EF +FN ＝(226m m --+-∵﹣2＜0，故S 有最大值，此时m ＝32+-，故点E 的横坐标为：32+-； （3）①当点Q 在第三象限时，当QC 平分四边形面积时， 则1Q B x x ==，故点Q ()1,4--；当BQ 平分四边形面积时， 则1111,133222OBQ Q Q QCBO S y S x =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯四边形，则11121133222Q Q y x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭， 解得：32Q x =-，故点Q 315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②当点Q 在第四象限时，同理可得：点Q ⎝⎭；综上，点Q 的坐标为：()1,4--或315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或⎝⎭．。
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二次函数
一、二次函数的概念.
形如y =ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function )．其中，x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
例题1： 下列函数是否是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数和常数
项．
（1）y =3(x －1)2＋1； （2）y =x ＋； （3）s =3－2t 2；
（4）y =(x ＋3)2－x 2； （5）y =－x ； （6）v =8πr 2． 例题2．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是( )． A ．y =(m －1)2x 2 B ．y =(m ＋1)2x 2 C ．y =(m 2＋1)x 2 D ．y =(m 2－1)x 2
例题3．若函数是二次函数，则m 的值是 ．
21x
2922(4)m m y m x
-+=-
y=x 2 y O x 图22-1-1 y=x 2 y O x 图22-1-2 y=x 2
y=2x 2 二、 二次函数的图象和性质
①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.
例题1：已知a
≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是
( )
例题2：若二次函数y=m 的图象开口向下，则m 的值为
例题3．已知抛物线2
:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、m m x -2
C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）
． A ．将抛物线C 向右平移52
个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位
例题4．二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．2
40b ac ->
例题5．已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值大于0的个数为( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
例题6：.二次函数y=-6x 2，当x 1＞x 2＞0时，y1与y2的大小关系为____ .
例题7：在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，
所得抛物线的解析式是( )
A ．2(1)2y x =-++
B ．2
(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++
例题8．如图所示，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM ＝x ，则y 关于x 的函数关系式是( )．
A ．214y x x =+
B ．214y x x =-+
C ．214y x x =--
D ．214y x x =-
例题9．如图所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112
y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ．
⑩综合题：如图所示，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为
A ，现将它向右平移m(m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ．
(1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；
(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们
的长度(可用含m 的式子表示)；若不存在，请说明理由；
(3)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．。