特殊行列式的计算 guotao

特殊行列式的计算摘 要： 运用行列式的定理、性质及推论对一些复杂、特殊行列式进行化简，总结出了一些特殊行列式的计算方法及公式，改变了以往遇到行列式总是通过初等变化按其某行（或某列）展开进行逐次降阶化成阶梯型行列式或依据Laplace 定理进行行列式计算的方法；使行列式的计算更为简洁、灵活，并使得特殊行列式的计算公式化.关键词： 行列式；行列式的计算；特殊可列阶行列式1 预备知识面对一些复杂而又特殊行列式的计算我们往往会不知所措、无从下手，更不知道应该用什么方法去进行化简或计算，就像一只无头的苍蝇只能用各种方法去进行试探.为此我们多么希望一些特殊的可列阶行列式的计算能像一元二次方程一般有其计算公式和特殊的化简方法，从而提高特殊、复杂的行列式的计算效率，简化其计算步骤，改变其算法的冗长性，使之公式化、方法化.现就有关知识做以预习.定理1.1（Laplace 定理） 设在行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 性质1.1 行列式与其转置行列式相等.性质1.2 交换行列式的某两行（或某两列）行列式改变符号.性质1.3 把行列式某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数k ，等于以k 乘以该行列式.性质1.4 把行列式的某一行（或某一列）的所有元素乘以同一个数k 后加到另一行或另一列的对应元素上行列式值不变.性质1.5 如果行列式中有两行（或两列）元素相同,行列式值为0.性质1.6 行列式中某一行（或某一列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外边.性质1.7 行列式中如果有一行(或一列)的元素全为零,则行列式为0.性质1.8 如果行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例,则行列式等于0. 引理1.1 行列式的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的项，而且符号也一致.2 特殊行列式的计算2.1 二条线型行列式的计算定义2.1.1 形如1D =nn n a cb a b a b a 112211--（或2D =ca ab a b a b nn n 112211--）的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出))1()1(()1(112)2)(1(12322111112∏∏∏∏-=--=+--=+=-+-=-+=n i i n n ni in n n i i n ni ib c aD b c aD例2.1.1 列式1D =102010nn -和2D =nn 01021-的值.解 观察行列式1D =102010nn -和2D =nn 01021-可知它是二线型行列式，且由定义知其中),,2,1(n i a i =全为0.故代入公式可得出1D !)1()1(11111n b c an n i i n ni i+-=+=-=-+=∏∏2D !)1()1()1(2)2)(1(112)2)(1(12322n b c an n n i i n n ni in n ---=--=+--=-+-=∏∏类似的二条线型行列式还有=A ,=B ,=C 和=D （其中定义中给出的的二线型行列式为1D =,2D =，在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），它们均可以按定义2.1中的方法进行计算展开进行降阶，再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式.2.2 三对角型和次三对角型行列式的计算定义 2.2.2 形如=1D 和=2D 的行列式称为三对角或次三对角型行列式（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），其行列式的值等于按第1行（或第1列）或按第n 行(或第n 列)展开，从而得到两项的递推关系式以导出其计算公式.例2.2.2 计算n 级行列式=n D 2112000002100012100012------的值.解 观察行列式=n D 211200000210012100012------可知其为定义2.2.2中所定义的三线型行列式，则可以按照定义给出的方法按其第一行展开知=n D 211)1)(1(2+---+n D 2112000002100012000011------212---=n n D D直接递推不易得到结果（阶较低阶时则可以）,变形得-n D 1-n D =-=-=--1221D D D D n n 122112=---于是有=n D 1)1(21121+=-+=+=+--n n D D D n n同理可知行列式θθθθcos 210001cos 2000001cos 210001cos =nD 的计算公式为θθθθcos 211cos 2000001cos 210001cos=nD]sin )1sin(cos )1[cos(cos )1cos(2αααααα-+---=n n nααααsin )1sin(cos )1cos(---=n nαcos =也可得出行列式=n D βααββαβααββααββα+++++10000010001000的公式为=n D βααββαβααββααββα+++++10000010001000=)(βα+--1n D βααββααβ++100010000=)(βα+--1n D αβ2-n D于是可得出=-=-=------)()(322211n n n n n n D D D D D D βαβαβ )(122D D n βα-=-nα=所以知=n D βαβα--++11n n2.3 “两岸”行列式的计算方法定义2.3.1 形如ax aaa a a a a x a a a a ax D n ---=(或nn a aaa a a a a a a a a a D21=)的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于1)]()1([---+=n n a x a n x D (或=n D )1(1∑=-+ni i aa a ∏=-ni ia a1)注：对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第1,3,2-n ，列(行)都加到第1 （行）（或第)1,3,2-n ，列（行）加到第n 列（行））,则第1（或n ）列(行)的元素相等，再进一步化为三角或次三角型行列式. 2.4 奇数阶反对称行列式的计算定义2.4.1 形如=n D 00021212112nnn n a a a a a a ---的行列式称为是奇数阶反对称行列式( 其中n 为奇数)，此行列式值为0. 2.5 Vandermonde 行列式的计算定义 2.5.1 形如=⨯n n D 113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a的行列式称为是Vandermonde 行列式，其值为=⨯n n D )(1∏≤<≤-ni j j ia a例2.5.1 计算行列式=n D nnn n n nn nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a4321224232221224232221432111111-----的值.解 观察可知此行列式貌似定义中的行列式，因此可以想办法构造Vandermonde 行列式然后利用定义中的公式进行计算.令 =)(y fnnnnnnn n nn n n n n nn n n n yx x x x yx x x x y x x x x y x x x x321111312112223222132111111----------∏∑≤<≤=--=ni j j ini ix xx y 11)()(易知原行列式是多项式=)(y f 的项系数的1-n y项系数的反号，而由上式知1-n y项系数为 ∏∑≤<≤=--ni j j ini ix xx 11)(故所求行列式的值为 =n D ∏∑≤<≤=-ni j j ini ix xx 11)(2.6 上三角形（或下三角形）行列式的计算定义2.6.1 形如=n D nnn n a a a a a a022211211（或=n D nnn n a a a a a a21222111000）的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式，其值为=n D nn a a a a 332211 2.7 次三角形行列式的计算定义 2.7.1 形如=n D nnn n n n n a a a a a a2121,2100000-或=n D 00012,2222111,11211n n n n a a a a a a a a --的行列式称为次三角形行列式，其值为=n D 11,212)1()1(n n n n n a a a ---2.8 分块三角形行列式的计算定义 2.8.1 形如=1D rr kr r k kk B C O A ⨯⨯⨯⨯（或=1D rr Tkr Tr k k k B O C A ⨯⨯⨯⨯）和=2D kr rr k k r k C B A O ⨯⨯⨯⨯（或=2D Tkr rr k k Tr k O B A C ⨯⨯⨯⨯）的行列式称为分块三角形行列式，行列式值为=1D B A ⋅和-=2D B A ⋅（其中kk A ⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=kk k k a a a a1111，r k O ⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000，rr B ⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=rr r r b b b b1111，k r C ⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rk r k c c c c1111）. 2.9 二条线叉型行列式的计算定义2.9.1 形如=⨯n n D 22nnn n n n nnd c d c d c b a b a b a 11111111----的行列式为二条线叉型行列式.例2.9.1 计算二线型行列式=⨯n n D 22nnn n n n nnd c d c d c b a b a b a 11111111----的值.解 方法一：可将此行列式按照第一行展开，则=⨯n n D 22nn n n n n d od c d c b a b a a 00011111111----⋅-(-1)12+n c n011111111----n n n n n d c d c b a b a b然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开，则 =⨯n n D 22n a 1-n d )1(2-n D )1(2--n n n D b c=n a ()())(11111111d c b a b c d a b c d n n n n n n n ------- ∏=-=ni i i iib c da 1)(方法二：利用Laplace 定理，先取定第一行和最后一行找出它们的所有二阶子式，则可知只有一个二阶子式nn n n d c b a 0≠，其余全为零，再依次取定第二行和倒数第二行时，找他们的代数余子式只有1111----n n n n d c b a 0≠，其余全为零.依次下去,有1111d c b a 0≠,其余全为零,则：=⨯n n D 22n a ()())(11111111d c b a b c d a b c d n n n n n n n ------- ∏=-=ni i i iib c da 1)(例2.9.2 计算行列式=⨯n n D 22a ba ba的值.解 可直接利用定义2.9.1中的公式代入知 nn n b a D )(2222-=⨯2.10 箭型行列式的计算定义2.10.1 形如，，，的行列式称为箭型（或爪型）行列式，可直接利用行列式性质将其一条边化为零，从而可根据三角形或次三角形的结果求（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）.例2.10.1 计算行列式=⨯n n D 1101012001111onn -的值.解 可给该行列式第)1,,2,1(-=n i i 行分别乘以i1-加到第n 行则知原行列式=⨯n n D )1211(!12)1(nn n n ----- ）（例2.10.2 计算行列式)1()1(+⨯+n n D =na oa a a1001001111210的值.解 同理与例2.10.1可知=+⨯+)1()1(n n D n a a a a 321)1(10∑=-ni ia a参考文献：【1】丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2002.【2】王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003. 【3】钱吉林.高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2002. 【4】徐仲，陆全.高等代数三导丛书[M].陕西：西北工业大学出版社,2006.【5】张秦龄，王凤瑞，王廷桢.高等代数思考与训练[M].四川：成都科技大学出版社，1991.Special Determinant of CalculationAbstract: In this paper applies the theorems,characters and corallaries of determinant to some complicated and special determinants, which are simplified in the process.Some methods and formulas of solving the particular determinant are summarized.In this way,the traditional means of calculating determinants,always by expanding primary change according to certain rows(colums) to reduce exponent to step determinants successively or in accordance with Laplace- Theorem, are changed. It makes the calculation of determinants more concise and flexible, and the special deter- minants formulize.Key words: Determinant ; Determinant of Calculation ; Enumerable Dxponent Determinant高代选讲论文作业题目特殊行列式的计算学院数统学院专业数学与应用数学作者姓名郭涛班级06 级五班学号261010509日期2009 年 6 月。