几种特殊行列式的巧算
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A •=0， nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换） （3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。
行列式计算7种技巧
行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧:【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212n n n n n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面1111121111121221222222122211212n n nn n n i n n n n n nnn n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212nnn t t t t tn tn t t tn t t tn n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212n n s s sns t s t sn tnt t tn t t tn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000m m nm mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.7种手段:【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学1212121112121222()1212(1)n nnn n p p p p p np p p p n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A = [ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b *l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p +i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn iii nna a a a a a a ==∏,11212211200niii n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零手段4:若行列式中有两行( 列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f j c c g k ddhl =手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f j c g k dhl =手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f j c kc g k dkdhl =手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥>≥---=-∏三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值: 习题1:120114318---解答:1201141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--[手段1] 习题2:0000000000b f d a ce解答:123412341234()12341234123433112432400000(1)0000004,3,1,4,2,()(3142)3,00000(1)00000p p p p p p p p p p p p b f d a a a a a ce p p p p p p p p bf d a a a a abcda ceτττ=-=======-=-∑观察行列式中元素的位置及由级排列中各数不能相等知因此[手段2]习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-[技巧5,手段4] 习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:4122131414233333333333333333333333333333133313331333001333001333001333000000ii x x x x x x c c x x x x x x x r r x x x x r r x x x x r r xx x xr r xx x x x=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑[技巧2,技巧3,技巧5,手段3] 习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏[技巧7,手段1,手段6]习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==[技巧2,手段7] 习题7:12211000010000000001nn n x x x x a a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)000011,,,,,,n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n D x D xD a xx DxD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:[技巧7,手段3]习题8:()ab a bc dc d 其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)00()()()n n n n nn n D n n n n n n a bc dabD ab c d c d D D ad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得[技巧2,技巧6]。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
行列式的计算技巧
行列式的计算技巧行列式的计算技巧很多，在这里，我们介绍常见的一些行列式的计算技巧,主要包括 行和或列和相等，爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）法等等。
方法1 行（列）和相等这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行，或者把所有的列全部加到第一列，习惯上，我们可以全部加到第一列，提取公因子后，第一列全部变成1，从而方便我们植1造0，或者在此时观察行列式的特点， 进一步化成上三角或者下三角来进行计算。
例1 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。
求如下行列式的值。
12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次。
解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑对行列式xa a a a a a a x a a a n nn 32322211111 进行观察，此时一般有两种途径，一种是在第一列造0，把第二行开始后的每一行都减去第一行，或者利用第一列的1，把第一列的倍数加到其他列来造0，具体采用哪个看具体问题，在本题中，可以考虑把第一列的1a -倍加到第2列， 第一列的2a -倍加到第3列，，第一列的n a -倍加到最后一列，。
从而有)())()((1010010001)(1111)(2112312231211323222111n n i i nni i n n n ni i n a x a x a x x a a x a a a a a a a a a x x a xa a a a a a a xa a a x a D ---+=------+=+=∑∑∑===+方法2 爪（歪爪）型行列式此类行列式有三条线构成，类似一个爪子，或者歪爪，可以采用去爪的方法来做，特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子，在去爪的过程中，利用主对角线上的元素来去爪子，层层递进即可。
关于求解行列式的几种特殊的方法
关于求解行列式的几种特殊的方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在计算机科学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
在求解行列式的过程中，存在一些特殊的方法，可以帮助我们简化计算和提高效率。
本文将介绍几种常见的特殊方法，包括拉普拉斯展开、三角形展开和行列式性质的运用等。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种基本方法，适用于任意阶的矩阵。
其核心思想是通过分解矩阵，将复杂的行列式转化为多个较小规模的行列式的代数和。
具体步骤如下：1)选择一个行(列)展开，将行(列)按照一些特定的顺序展开。
2)对每一个元素a[i][j]，构造一个以该元素为顶点的代数余子式M[i][j]，即划去第i行和第j列后剩下的矩阵所构成的行列式。
3)计算每一个代数余子式的值M[i][j]，并与对应的元素a[i][j]相乘，得到M[i][j]*a[i][j]。
4)将所有得到的乘积相加，该结果即为原行列式的值。
>例如，对于一个3阶矩阵A，可以选择按照第一行展开，则拉普拉斯展开为：>，A，=a11*M11-a12*M12+a13*M13>其中，M11，M12，M13分别是以元素a11，a12，a13为顶点的代数余子式。
拉普拉斯展开法的优点是适用于任意规模的矩阵，但是对于高阶矩阵来说，计算量较大，效率较低。
2.三角形展开法三角形展开法是求解上三角行列式的一种特殊方法，适用于上三角矩阵，即矩阵的主对角线以下的元素都为0。
该方法通过逐步消元来简化计算，减少了矩阵的规模。
具体步骤如下：1)将上三角矩阵A拆分为一个上三角矩阵B和下三角矩阵C的乘积，即A=BC。
2) 计算上三角矩阵B的主对角线上的元素的乘积，即B =b11*b22*...*bnn。
3)将下三角矩阵C的主对角线上的元素分别除以上一步得到的乘积，得到新的下三角矩阵C'。
4) 计算新的下三角矩阵C'的主对角线上的元素的乘积，即C' =c'11*c'22*...*c'nn。
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1.上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2.以副对角线为标准的行列式000a1na a a00a11121n1n00a a2,n12na a00a021222,n10000a a an1,2n1,n1n1,na000a00 nn n1a a a an1n2n,n1nnn(n1)(1)2a a a1n2,n1n13.分块行列式（教材P14例10）一般化结果：A C A0n n m n n m 0B C B m n m m n m A B n m0A C An m n n m n mn(1)B C B0m m n m m n A Bn m4.范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式；2)利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3)利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；4)递推法或数学归纳法；5)升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】5.利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200D019990002000000000002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法D(n1,n2,...,2,1,n)012 (19990)(1)2001!(1)2001!2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,⋯,2,1行交换（这里n=2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
几种特殊类型行列式及其计算
几种特殊类型行列式及其计算特殊类型行列式是指其中元素满足一定的特殊规律或形式的行列式。
下面将介绍几种常见的特殊类型行列式及其计算方法。
1.对角行列式：对角行列式是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的行列式。
对角行列式的计算非常简单，只需将主对角线上的元素相乘即可。
例如，行列式a00b00的值为a*b*c。
2.上三角行列式：上三角行列式是指除了主对角线及其上方的元素外，其余元素都为0的行列式。
上三角行列式的计算方法是将主对角线上的元素相乘。
例如，行列式120400的值为1*4*6=243.下三角行列式：下三角行列式是指除了主对角线及其下方的元素外，其余元素都为0的行列式。
下三角行列式的计算方法与上三角行列式相同，将主对角线上的元素相乘。
例如行列式708910111的值为7*9*12=7564.三角行列式：三角行列式是指一个矩阵的主对角线两侧的元素相同。
例如，行列式122334的值可以通过利用矩阵的对称性进行计算。
首先，将第二行减去第一行得到121134然后，再将第三行减去第一行的三倍得到12110-2-然后，再将第三行减去第二行的两倍得到121100-最后，将主对角线上的元素相乘，即1*1*(-2)=-2，即该行列式的值为-25.雅可比行列式：雅可比行列式是指一种特殊的三阶行列式形式。
∂(f1,f2,f3)---------∂(x,y,z)表示函数f1,f2,f3关于x,y,z的偏导数。
以上介绍了几种特殊类型的行列式及其计算方法。
了解不同类型的行列式有助于我们更好地理解和应用线性代数的相关理论和方法。
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几种特殊行列式的巧算摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。
计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。
对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。
关键词：“三对角”行列式分离线性因子法“爪型”行列式范德蒙行列式等.引言：n阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a是所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和，其中12n j j j 是一个n 阶排列，每个项1212n j j nj a a a 前面带有正负号.当12n j j j 是偶排列时，项1212nj j nj a a a 前面带有正号，当12n j j j 是奇排列时，项1212n j j nj a a a 前面带有负号.即111212122212n n n n nna a a a a a a a a =121212()12()(1).n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑这里12()n j j j ∑表示对所有的n 阶排行求和.行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下：一 三对角行列式的计算形如 ba ba ba b a b ab a ba b a D n +++++=00000000000的行列式称为“三对角”行列式.该类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行列式. 当b a ≠时b a ba ba b a b aba b a bD b a D n n ++++-+=-000000000000)(1=21)(---+n n abD D b a .即有递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ,为了得到n D 的表达式,可先设b a ≠,采用以下的归纳法:,221b a b a b a D --=+=,)(332222b a b a ab b a ab b a b a b ab a D --=++=-+=++=.)(2)(004433ba b a b a ab b a ba ba b a b a ba D --=+-+=+++=由此我们可以猜想:.11b a b a D n n n --=++下面用数学归纳法对上面的猜想进行证明．当1=n 时上式显然成立．假设当阶数小于n 时公式成立．下面证明当阶数等于n 时也成立．.)()(111121b a b a b a b a ab b a b a b a abD D b a D n n n n n n n n n --=--⋅---⋅+=-+=++----所以由数学归纳法可知ba b a D n n n --=--11.当b a =时==aaa aa a aa a a a D n 2020000020002000221000121000002100012100012n a.)1(10001100000340000123000012n na n nn n na+=+-=注：猜想法证明行列式，分两步进行，第一步是猜想出行列式的值，第二步是证明猜想的正确性.由此看出用猜想法解这类型行列式并不简单.下面给出一种巧妙的算法: 差分法.解：由21)(---+=n n n abD D b a D ,令b a p +=,ab q -=. 由特征方程02=--q px x 得两特征根为：a x =1,b x =2. 当b a ≠时 则[][]ba b a b a b b a a ab b a a b a b ab b a D n n n n n--=-+--+-+--+=----111212)()()()(.当b a =时则[]2)()2())(1(-+--+-=n n a b a a n b a n D .由此看出解三对角行列式用差分法比用猜想法更简单快捷，因此我们在今后的计算中一定要很好的掌握这种方法.二 分离线性因子法因行列式的结果其实就是一个数，若其中含有字母或是未知数，也就是一个多项式，而多项式与方程则是紧密相连的。
以下来介绍用方程的解的方法来计算行列式---分离线性因子法.这种方法是把行列式D 看成关于某一字母a 的多项式，然后对行列式实行某些变换，求出)(a f 的互素的线性因式，使)(a f 与这些线性因式之积)(a g 只相差一个常数因子k,由多项式相等的定义，比较)(a f 与)(a g 的某一项的系数，求出k 的值，从而得解，对于含有n 个变量的行列式也可作类似处理.下面给出一个例子：例1 计算abcdb a d cc d a b d c b a D =解：把D 看成关于a 的4次多项式，令D=)(a f .因为abcdb a d cc d a bd c b a=（a+b+c+d ）abcdb a dc cd a b 1111 所以（a+b+c+d ）|)(a f ，同理（a+b-c-d ）|)(a f , （a+c-b-d ）|)(a f ,（a+d-b-c ）|)(a f .∴)(a f =k （a+b+c+d ）（a+b-c-d ）（a+c-b-d ）（a+d-b-c ）又4a 的系数为1，所以k=1.( 未完：对于含有n 个变量的行列)三 各行（列）元素相等行列式的计算ba a a a a a ba a a a a ab a a a a a a b a a a a a a b a D n n n n n n n n n n n +++++=-----13211321132113211321对于各行（列）元素相等行列式的计算，在高等代数课本中已经给出了化三角形这种解法，下面给出它的解答过程：将行列式的第i )2(n i ≤≤列加到第１列上，然后把∑=+ni iab 1提取出来，并把第1列的-1倍加到第i )2(n i ≤≤行上可得：).(00000000000001)(11132113211321132113211321∑∑∑∑∑∑∑=--=-=-=-=-=-=+=+=+++++++++=ni i n n n ni i n n n i in n n i i n n n i in n ni in n ni i n a b bbb b b a a a a a b ba a a a ab a b a a a a b a a b a a a b a a a b a a b a a a a a b D这是一种常规的做法，这里不再做更进一步的研究，下面给出另一种解法：加边法. 这种方法是把n 阶行列式适当的添加一行一列，得到一个其值不变的并易求出的n+1阶行列式.这种方法表面上看起来把问题复杂化了，但只要加边加的巧妙，反而会有意想不到的效果.行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的，更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定，具有随意性.=++++=-----ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a a a a a D n n n n n n n n n n n 12112112112112100001b b b b a a a a n n 010001000100011121-----将行列式的第i )2(n i ≤≤行乘以ba i 1--加到第１行，可得到： ).(0010001000001000100001111b a b b b b b b aD ni i n ni in +=----+=∑∑=-=我们还可以利用矩阵行列式公式来求解这类型题：令矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=-----b a a a a a a b a a a a a a ba a a a a ab a a a a a a ba A n n n n n n n n n n 13211321132113211321则可得：[]nn n n n n n n n n n n n n n n n C B bE a a a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a bE A ⨯⨯------+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=1113211321132113211321132111111其中[]Γ⨯=111111 n B ，[]n n n a a a a a C 13211-⨯=CBb b BC bE D n n n +=+=-1又[]∑=-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ni i n n a a a a a a CB 1132111111 ∴可得：)(11∑=-+=ni i n n b a b D .问题推广：当上面的行列式的主对角线上的元素为,,,,21n x x x n 个任意数，可得一般的行列式：nn n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D 13211321132113211321-----=下面我们用加边法进行计算。
112112112112112100001+-----=n nn n n n n n n n n n x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a D1112211121010001000100011+-----------=n nn n n n n a x a x a x a x a a a ann n n n n ni ii ia x a x a x a x a a a a a x a -----+=---=∑000000000000011122111211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅+-=-⋅-+∏∏∏∑≠====ni j j j j i ni i i ni i i ni i i i a x a a x a x a x a 1111)()()()1( 特别地，当),,2,1(n i b a x i i =+=时,)(11∑=-+=ni i n n b a bD .关于各行（列）元素相等行列式的计算，还有递推法、归纳法和利用矩阵特征值与行列式的关系这些方法，这里就不一一列举了.四 范德蒙行列式的另一种计算首先来证明一下范德蒙行列式的标准形式：1)(1111111111312112212322212212322211321--=∏≤≤--------------nj i i jn nn n n n n n n n n n n n nn nn a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a(2≥n )当2=n 时，)(11),(1221212a a a a a a V -==结论成立。