大工2018年春高等数学期末复习题

机 密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2018年春《高等数学》

期末考试复习题

☆ 注意事项：本复习题满分共：400分。

一、单项选择题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）

1、设x

x x x f 2)(,)(2==?，则=)]([x f ?( )

A 、2

2x B 、x

x 2

C 、x

x 2

D 、x

22

答案：D

2、下列结论正确的是( )

A 、函数x

y 5=与x

y 5-=关于原点对称 B 、函数x y 5=与x

y -=5关于x 轴对称 C 、函数x

y 5=与x

y 5-=关于y 轴对称 D 、函数x y 5=与x y 5log =关于直线y=x 对称

答案：D

3、设)(x f 在()+∞∞-,内定义，则下列函数中必为奇函数的是( )

A 、|)(|x f y =

B 、|)(|x f y -=

C 、c y =

D 、)(2

x xf y =

答案：D

4、下列极限存在的有( ) A 、2

)

1(lim

x x x x +∞→

B 、1

21

lim

0-→x x

C 、x

x e 1

lim →

D 、x

x x 1

lim

2++∞

→ 答案：A

5、当0→x 时，与x x --+11等价的无穷小量的是( ) A 、x B 、x 2 C 、2

x D 、2

2x

答案：A

6、当∞→n 时，为了使n 1sin 2

与k n

1

等价，k 应为( ) A 、

2

1 B 、1

C 、2

D 、3

答案：C

7、已知三次抛物线3x y =在点1M 和2M 处的切线斜率都等于3，则点1M 和2M 分别为( ) A 、（-1,-1）及（1,1） B 、（-1,1）及（1,1）

C 、（1,-1）及（1,1）

D 、（-1,-1）及（1,-1）

答案：A

8、根据函数在一点处连续和可导的关系，可知函数????

???≥<<≤+=1,1

10,20,2)(2

x x

x x x x x x f 的不可导点是( )

A 、1-=x

B 、0=x

C 、1=x

D 、2=x

答案：C 9、设x

x y 2

212--=，则='y ( ) A 、

()2

22

214x x -- B 、

()2

22

212x

x +-- C 、

()2

22

212x

x -- D 、

()2

22

214x

x +- 答案：D

10、=)(arccos x d ( ) A 、xdx 2

sec B 、xdx 2

csc C 、

dx x

2

11-

D 、dx x

2

11--

答案：D

11、在区间[-1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是( ) A 、1)(2

-=x e x f

B 、)1ln()(2

x x f +=

C 、x x f =)(

D 、2

11

)(x x f +=

答案：C

12、下列极限中能使用罗必达法则的有( )

A 、x x x x sin 1sin

lim

20

→

B 、??

?

??-+∞

→x x x arctan 2lim π C 、x

x x

x x sin sin lim +-∞→

D 、2

sin lim

x x

x x ∞

→ 答案：B

13、下列函数对应的曲线在定义域内为凹的是( ) A 、x

e y -=

B 、)1ln(2

x y +=

C 、3

2x x y -=

D 、x y sin =

答案：A

14、下列函数中原函数为)0(ln ≠k kx 的是( )

A 、

kx

1 B 、

x

1 C 、

x

k D 、

2

1k 答案：B 15、若

C x F dx x f +=?)()(，则=--?dx e f e x x )(( )

A 、C e F x +)(

B 、

C e F x +--)(

C 、C e F x +-)(

D 、

C x

e F x +-)

( 答案：B

16、设函数)(x f 在[a,b]上是连续的，下列等式中正确的是( ) A 、)()(x f dx x f b

a

='

??

?

??? B 、

()C x f dx x f +='?)()(

C 、)()(x f dt t f x

a ='??

? ??? D 、

)()(x f dx x f ='?

答案：C

17、设函数)(x f 仅在区间[0,3]上可积，则必有=?

dx x f 2

)(( )

A 、??--+2

11

0)()(dx x f dx x f

B 、??

+2

4

4

0)()(dx x f dx x f

C 、

??

+23

3

)()(dx x f dx x f D 、

??

+1

2

1

)()(dx x f dx x f

答案：C

18、已知)()(x f x F ='，则=+?

dt a t f x

a

)(( )

A 、)()(a F x F -

B 、)()(a F t F -

C 、)2()(a F a x F -+

D 、)2()(a F a t F -+

答案：C

19、设1)(='x f 且0)0(=f ，则=?dx x f )(( )

A 、C

B 、

C x + C 、C x +2

2

D 、C x +2

答案：C

20、设?

??≤<≤≤=21,11

0,)(x x x x f ，则=?dx x f 20)(( )

A 、

21 B 、1 C 、2

3

D 、2 答案：C

21、若y

x u sin

=，则=??y u ( )

A 、

y x

y x cos 2 B 、y

x

y x cos 2-

C 、

y

x

y cos 1 D 、y

x

y cos 1-

答案：B

22、若325y x z =，则=??-)

1,1(y

z ( )

A 、10

B 、-10

C 、15

D 、-15

答案：C

23、若函数22),(y x y x y x f -=-+，则=??+??y

y x f x y x f )

,(),(( ) A 、y x - B 、y x + C 、y x 22+ D 、y x 22-

答案：B 24、设函数y

x y

x z -+=

，则=dz ( ) A 、

2

)()

(2y x ydx xdy -- B 、

2

)

()

(2y x xdy ydx -- C 、

2

)

()

(2y x ydy xdx -- D 、

2

)

()

(2y x xdx ydy -- 答案：A

25、设)ln(y x x z +=，则=??22y

z

( )

A 、

2

)

(y x x

+ B 、2

)

(y x x

+-

C 、

y

x x + D 、y

x x +-

答案：B

26、二元函数)2(2

2y y x e z x

++=的驻点为( ) A 、??

?

??-1,21 B 、??

?

??-

1,27 C 、??

?

??-1,27 D 、??

?

??1,21

答案：A 27、行列式01

2

32≠--k k 的充要条件是( )

A 、1-≠k

B 、3≠k

C 、1-≠k 且4≠k

D 、1-≠k 且3≠k

答案：C

28、设行列式

n a a a a m a a a a ==21

23

111322

2112

11,

，则行列式

=++23

222113

1211a a a a a a ( )

A 、n m +

B 、)(n m +-

C 、n m -

D 、)(n m -- 答案：C

29、设???

?

??=???? ??=y x B A 21,3421，当x 与y 满足( )时，有BA AB =。

A 、72=x

B 、1+=x y

C 、x y =2

D 、1-=x y 答案：B

30、设线性方程组???

??=++=++=++5

103228

3232

1321321bx x x x x ax x x ax 有唯一解，则b a ,的值满足( )

A 、0,0≠≠b a

B 、0,2

3

≠≠

b a C 、2

3,23≠≠

b a D 、2

3

,0≠

≠b a 答案：D

31、函数)1,1(2

≠>+=

-a a a a y x

x 是( ) A 、奇函数 B 、非奇非偶函数

C 、偶函数

D 、奇偶性取决于a 的取值

答案：C 32、函数2

2)(2

++=x x x

x f 的定义域是( ) A 、),(+∞-∞ B 、（-1,1）

C 、),0(+∞

D 、)0,(-∞

答案：A

33、函数)1sin(2)(+=x x f π的周期是( ) A 、

2

3

B 、1

C 、2

D 、

2

1 答案：C

34、下列函数对中为同一个函数的是( ) A 、x y =和()2

x y =

B 、2

lg x y =和x y lg 2= C 、12

+=x y 和x

x

x y +=3

D 、||x y =和2x y =

答案：D

35、下列函数中不是初等函数的为( )

A 、x x y 2sin 2+=

B 、x

x y = C 、)1ln(2++=x x y D 、??

?>≤=0

,10

,0)(x x x f

答案：D 36、级数

∑=n

n n 1

2

sin

π

( ) A 、是正项级数 B 、一般项趋于零

C 、收敛

D 、发散

答案：D 37、级数∑∞

=1

2

1

sin

n n ( ) A 、发散 B 、的敛散性不能确定

C 、收敛

D 、的部分和无极限

答案：C 38、设1

12)(-=x x f ，则==--

→)(lim )01(1

x f f x ( ) A 、∞ B 、0 C 、1 D 、2

答案：B

39、设22e y x

+=，则='y ( ) A 、1

2

-x x

B 、62ln 2+x

C 、2ln 2x

D 、x 2

答案：C

40、设x y cos =，则=)0()

12(y ( )

A 、-1

B 、1

C 、0

D 、2

答案：B

41、函数x y ln =在],1[e 上使拉格朗日中值定理结论成立的c 是( )

A 、21-e

B 、1-e

C 、2

1e +

D 、

3

1

+e 答案：B

42、函数x x y ln =单调减少的区间是( ) A 、),1(+∞e

B 、]1,0(e

C 、),0(+∞

D 、（0,1）

答案：B

43、曲线x

e x y ++=4

)1(( ) A 、拐点为)1

,1(e

-

B 、拐点为1-=x

C 、没有拐点

D 、拐点为0=x

答案：C

44、=+

→x x x ln lim 0

( ) A 、不存在 B 、∞ C 、1 D 、0

答案：D

45、在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的函数是( )A 、x

x

y sin =

B 、x

e y =

C 、12

+=x y

D 、2

11

x

y -=

答案：C

46、设)(x f 是区间[a,b]上的连续函数，则dt t f dx x f b

a

b

a

??

-)()(的值( )

A 、小于0

B 、大于0

C 、等于0

D 、不确定

答案：C 47、dx e x ?

-π

2

与dx e x ?-π

π

22

相比为( )

A 、dx e

dx e

x x ??-->π

π

π

20

2

2

B 、

dx e

dx e

x x ??

--<π

π

π

20

2

2

C 、

dx e dx e x x ??

--=π

π

π

20

2

2

D 、不确定

答案：A

48、下列等式中不正确的是( )

A 、)()(x f dt t f dx d x

a =????

??? B 、)()]([)()

(x b x b f dt t f dx d x b a '=????

??? C 、)()(x f dx x f dx d b

a =????

??? D 、)()(x F dx x F dx d x

a '=????

??'? 答案：C

49、=?dx x 31

( ) A 、C x +44

1

B 、

C x +-

2

21

C 、2

21x -

D 、

44

1x 答案：B

50、设函数)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得=?

dx x f b

a

)(( )

A 、)(ξf

B 、)(ξf '

C 、))((a b f -'ξ

D 、))((a b f -ξ

答案：D

51、设2

2

32y xy x z -+=，则

=???y

x z

2( ) A 、6 B 、3 C 、-2 D 、2

答案：B 52、设2

2sin xy e

z -=，则

=??y

z

( )

A 、2

2sin xy e

--

B 、2

2cos xy e

--

C 、2

2

sin 2)2sin(2xy e xy xy --

D 、)sin(42xy xy -

答案：C

53、设y e z x sin =，则=dz ( ) A 、)cos (sin ydy ydx e x + B 、)(cos dy dx y e x + C 、)(sin dy dx y e x + D 、)cos (sin ydy ydx e x -

答案：A 54、二重积分

=??≤≤≤≤dxdy xy y x 1

010( )

A 、1

B 、21

C 、4

1

D 、2 答案：C

55、若D 是平面区域}1,10{e y x ≤≤≤≤，则二重积分

=??

dxdy y

x

D

( ) A 、2e B 、

2

1 C 、e

D 、1

答案：B

56、设01,10:≤≤-≤≤y x D ，则=??dxdy e

x xy

D

( )

A 、e

B 、

e 1 C 、0

D 、e

11+

答案：B

57、设D 是区域10,11≤≤≤≤-y x ，则=+??

dxdy y x D

)2(3( )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

答案：C

58、行列式=-0

03050

1

02

( ) A 、15 B 、-15

C 、6

D 、-6

答案：A

59、已知矩阵等式???

?

??-=????? ??10113121A ，则A=( )

A 、?

??

?

??-0113 B 、?

??

?

??-1301 C 、?

??

?

??-3110 D 、?

??

?

??-1031

60、如果齐次线性方程组??

?

??=+=++=++0

020*********x x x x x x x x λλ仅有零解，则一定有( )

A 、1=λ

B 、1-=λ

C 、1≠λ

D 、1-≠λ

答案：D

二、判断题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）

1、设函数???≤<≤≤=2

1,21

0,1)(x x x f ，则函数)2()2()(-+=x f x f x g 在[2,4]上有意义。

A 、正确

B 、错误

答案：B

2、函数x y )1(-=的值域是{-1,1} A 、正确 B 、错误

答案：A

3、函数1

+=x x

e e y 的反函数是x x y -=1ln

A 、正确

B 、错误

答案：A

4、21

211lim e x x

x =??

? ??

+∞

→

A 、正确

B 、错误

答案：A

5、21

)

1sin(lim

21=--→x x x A 、正确 B 、错误

答案：A

6、)0(0+x f 与)0(0-x f 都存在是函数)(x f 在点0x x =处有极限的一个充要条件 A 、正确 B 、错误

答案：B

7、函数)(x f y =在a x =点连续是)(x f 在a x =点有极限的充要条件 A 、正确 B 、错误

答案：B 8、12tan )

21ln(lim 0

=++

→x

x x

A 、正确

B 、错误

9、设函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(2)

()2(lim

0000

x f h

x f h x f h '-=--→。

A 、正确

B 、错误

答案：A

10、若v u ,都是x 的二阶可导函数，则v u v u v u uv ''+''+''=''2)(。 A 、正确 B 、错误

答案：A 11、函数)(2

1x

x e e y --=在区间（-1,1）内递增 A 、正确 B 、错误

答案：A

12、函数2|1|+-=x y 的极小值点为1 A 、正确 B 、错误 答案：A

13、函数12+=x y 在区间(-1,1)上的最大值是1 A 、正确 B 、错误 答案：B 14、设0≠b ，则C bx a b bx a xdx ++=+?2

2ln 21。

A 、正确

B 、错误

答案：A

15、C x

dx x

+-=?

2

cos 22sin A 、正确 B 、错误

答案：A

16、C x x x xdx ++-=?

)1ln(2

1

arctan arctan 2 A 、正确 B 、错误

答案：A

17、ππ

π2sin sin 2-=

'

???

?

??x x dx x x （其中，2π>x ） A 、正确

B 、错误

答案：A 18、若

2)32(0

=-?

dx x x a

，则1-=a 。

A 、正确

B 、错误

答案：A 19、

1ln 1

=?dx x e

A 、正确

B 、错误

20、

()

e

e dx e e

x x

1

10

-=+?-

A 、正确

B 、错误

答案：A

21、设y x x z --=33，则它在点（1,0）处无极限。 A 、正确 B 、错误

答案：A

22、已知区域D 由x y x y ==2,所围成，则二重积分15

1

=

=??dxdy x I D

。 A 、正确 B 、错误

答案：A

24、当1|||:|≤+y x D 时，032=??dy dx y x D

。 A 、正确 B 、错误

答案：A

25、当积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，()()σσd y x d y x D

D

????+≥+3

2。 A 、正确

B 、错误

答案：A

26、已知}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则()

13323

=++??σd y y x x

D

。

A 、正确

B 、错误

答案：A

27、交换二次积分的积分次序dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx y

y

y

x

x ?

??

??

?

----+=arcsin arcsin 10

arcsin 201

sin 2

sin

),(),(),(ππ

π

A 、正确

B 、错误

答案：A

28、利用极坐标计算643arctan 2

πσ=??d x y D

A 、正确

B 、错误

答案：A

29、行列式3

53

412

2

31

--中(3,2)元素的代数余子式832-=A A 、正确 B 、错误

答案：A

30、设???? ??--=?

???

?

??-=042132,121043021B A ，则????? ??=103101868T

AB 。 A 、正确

B 、错误

答案：A 31、设2sin lim 0=→kx x

x ，则=k 2

1

A 、正确

B 、错误

答案：A

32、曲线x

e x y +=在点（0,1）处的切线斜率k=2。 A 、正确 B 、错误

答案：A

33、设函数x

e y 2=，则='')0(y 4。 A 、正确 B 、错误

答案：A 34、设x

e y -=，则=''y x

e

--。

A 、正确

B 、错误

答案：B

35、函数x x y sin =，则=''y x x x sin cos 2-。 A 、正确 B 、错误

答案：A 36、211211

lim 21=??? ?

?---→x x x

A 、正确

B 、错误

答案：A 37、1||lim 1

=→x x

A 、正确

B 、错误

答案：A

38、12

1

sin

)4(lim 22

=--→x x x A 、正确 B 、错误

答案：B

39、???

?

??+=C x d xdx 22

A 、正确

B 、错误

答案：A

40、

()C x d dx x

+=ln 1

A 、正确

B 、错误

答案：A 41、函数x

x

y ln =的单调增加区间是e x > A 、正确 B 、错误

答案：A 42、曲线13

12

3+-=x x y 的拐点坐标=),(00y x )31,1(

A 、正确

B 、错误

答案：A

43、设322

++=ax x y 在点1=x 取得极小值，则4-=a 。 A 、正确

B 、错误

答案：A

44、C x x x xdx +-=?

ln ln A 、正确 B 、错误 答案：A 45、

=?

-dx x x 1

1

2cos 0

A 、正确

B 、错误

答案：A

46、C x e dx e x ++=+?

22)1(

A 、正确

B 、错误

答案：B 47、???<≥=0

,0,)(x x x x x f ，则

3

2

)(1

=?

dx x f

A 、正确

B 、错误

答案：A 48、

2

10

2

π

=+?

+∞

x dx A 、正确

B 、错误

答案：A 49、如果C x dx x

x f +='?

2)

(ln ，则x e x f 2)(=。 A 、正确 B 、错误

答案：A

50、设函数dt e x x t ?

=Φ2

1

)(，则2

2)(x xe x =Φ'。

A 、正确

B 、错误

答案：A

51、函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极大值点是（2,-2） A 、正确 B 、错误

答案：A

52、函数)1ln(2

2

y x z -+=的全微分=dz 2

21)

(2y x ydy xdx -+-

A 、正确

B 、错误

答案：A

53、若积分区域D 是由1,0,1,0====y y x x 围成的矩形区域，则=??

+dxdy e D

y

x 2)1(+e 。 A 、正确

B 、错误

答案：B

54、设???

? ??=5321A ，则=

-1

A ???

? ??--1325。 A 、正确

B 、错误

答案：A

55、设齐次方程组??

?

??=+=++=++0

3020

32321321x kx x kx x x kx x 仅有零解，则K 满足的条件是0≠k 。

A 、正确

B 、错误

答案：A

56、若)0(),ln(),(22>>--=y x y x x y x f ，则)ln(2),(y x y x y x f -=-+。

A 、正确

B 、错误

答案：A 57、设y

x e z =，则y

x e

ydx xdy dz )(+=。

A 、正确

B 、错误

答案：A

58、设2

yx e z xy +=，则12)

2,1(+=??e y

z 。

A 、正确

B 、错误

答案：A

59、设xy

e z =，则e dz 2)1,1(=。

A 、正确

B 、错误

答案：B

60、设积分区域D 是由2

1

||,21||==y x 所围成，则0=??dxdy y x D 。 A 、正确 B 、错误

答案：A

三、填空题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）

1、函数x x y sin =，则=''y 。 答案：x x x sin cos 2-

考点：复合函数的求导方法及二阶导

课件出处：第2章导数与微分，第二节函数的求导法则 2、函数3

2

1

-1

x y =的间断点为________

答案：±1

考点：了解函数的间断点

课件出处：第1章函数与极限，第六节函数的连续性与间断点

3、=++∞→4

2-35

-32lim 2

2x x x x x ________ 答案：

3

2 考点：极限四则运算法则

课件出处：第1章函数与极限，第四节极限运算法则 4、设区域21,10:≤≤≤≤y x D ，则=??dy dx D

________。

答案：1

考点：直角坐标系下二重积分的计算

课件出处：第6章二元函数微积分及其应用，第五节二重积分 5、设2

3

y x z =，则===2

1y x dz ________________。

答案：dy dx 412+ 考点：求全微分

课件出处：第6章二元函数微积分及其应用，第二节偏导数与全微分 6、设区域0),0(:2

2

2

≥>≤+y a a y x D ，则??D

dxdy 化为极坐标系下的表达式为________________。

答案：

dr r d a

??

π

θ

考点：极坐标系下二重积分的计算

课件出处：第6章二元函数微积分及其应用，第五节二重积分

7、=+

∞

→n

n n

)211(lim ________ 答案：2

1e

考点：极限存在的两个准则

课件出处：第1章函数与极限，第五节极限存在准则—两个重要极限 8、不定积分

=+?x dx

1________________

答案：C x ++|1|ln

考点：利用基本积分公式求不定积分

课件出处：第4章不定积分的概念和性质，第一节原函数与不定积分的概念 9、不定积分

=?dx x 1-31

________________

答案：C x +|1-3|ln 3

1

考点：利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分

课件出处：第4章不定积分的概念和性质，第一节原函数与不定积分的概念

10、

=?dt t dx d x 2

sin ________________ 答案：2

sin 2x x

考点：会计算积分上限函数的导数

课件出处：第5章定积分，第二节定积分与原函数的关系

11、设函数??

?

??>-=<+=1,11,21,32)(2x x x x x x f ，则=→))(lim (0

x f f x ____________

答案：8 考点：分段函数

课件出处：第1章函数与极限，第六节函数的连续性与间断点 12、=+-→1

1

lim

21

x x x ____________ 答案：0

考点：极限四则运算法则

课件出处：第1章函数与极限，第四节极限运算法则 13、设x

e y --=，则=''y ____________

答案：x

e --

考点：高阶导数的求导方法

课件出处：第2章导数与微分，第四节高阶导数

14、设x

e y x

=，则='y ____________

答案：

2)1(x e x x

-

考点：基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则 课件出处：第2章导数与微分，第二节函数的求导法则 15、?

=-dx x )21(____________ 答案：C x x +-2

考点：基本积分公式求不定积分

课件出处：第4章不定积分的概念和性质，第一节原函数与不定积分的概念 16、

=?

dx x

π

2

cos ____________

答案：2

考点：换元积分法求定积分

课件出处：第5章定积分，第三节定积分的换元积分法与分部积分法 17、函数x y 2cos =的周期=T ____________ 答案：π

考点：函数的特性周期性

课件出处：第1章函数与极限，第一节映射与函数

18、函数x u u y ln ,2

==形成的复合函数为=y ____________ 答案：x 2

ln

考点：复合函数的概念

课件出处：第1章函数与极限，第一节映射与函数

20、设?

??==t y t x cos 2，则=dx dy ____________

答案：

t

t

2sin -

考点：参数方程求导

课件出处：第2章导数与微分，第二节函数的求导法则

四、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1、求方程sin()0xy

e

x y ++=所确定的隐函数的导数

dy dx

解：等式两边同时对x 求导，得（)cos()(1)0xy

e y xy x y y ''+++?+=（5分）

整理得cos()-cos()

xy xy

dy ye x y dx xe x y ++=++（5分） 考点：隐函数的求导法则

课件出处：第2章导数与微分，第二节函数的求导法则 2、利用微分计算0330sin '

的近似值

解：已知0330'

3606 ππ+=

,6 0π=x ,360

π

=?x (2分）

000cos sin )sin(0330sin x x x x x ?+≈?+=' 360

6 cos 6 sin π

ππ?

+=（4分） 5076.0360

2321=?+=

π

，即5076.00330sin ≈' （4分）

。 考点：微分在近似计算中的应用

课件出处：第2章导数与微分，第三节函数的微分

3、设函数sin (0)2()2()2

x x f x x x πππ?≤≤??=??<≤??，求0

()f x dx π

?。 解：

20

2

()()()

f x dx f x dx f x dx π

π

π

π=

+

?

?

?2

2

sin 2xdx xdx π

π

π=+

??（5分）

2

2

2

2

3(cos )

14

x x π

π

ππ=-+=+

（5分） 考点：定积分的性质

课件出处：第5章定积分，第一节定积分的概念及性质 4、求函数22z x y xy xy x y =

+-+-的全微分

解：由微分运算法则，得22()()()dz d x y d xy d xy dx dy =+-+-（5分）

2222xydx x dy y dx xydy ydx xdy dx dy =+++--+-22(21)(21)y y xy dx x x xy dy =-+++-+-（5分）

考点：全微分的计算

课件出处：第6章二元函数的微积分及其应用，第二节偏导数与全微分

五、应用题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）

1、计算二重积分??D

xydxdy ，其中D 为直线x y =与曲线2

x

y =所围成的区域。（如图中阴影所示）

解法1：若先对y 积分，后对x 积分 原式=

?

?x

x

xydy dx 21

（5分）dx x x dx x x y x )(21215

10

3221

0-=?=

??（5分）24

1=（5分） 解法2：若先对x 积分，后对y 积分 原式=

?

?y

y

xydx dy 10

（5分）dy y y dy y

y x

y )(2121310221

0-=?=??（5分）241

=（5分） 考点：直角坐标系下二重积分的计算

课件出处：第6章二元函数微积分及其应用，第五节二重积分

2、设曲线2,==y y x 及0=x 所围成的平面图形为D ,求平面图形D 的面积S （如下图阴影部分）。

解：解法1：由???==2

y y

x 解得2=x （5分）

于是0

2

)32()2(32

2

x x dx x S -=-=

?

（5分）

2

3

4

23222=-=（5分） 解法2：dy y S ?

=

2

（5分）

02

3

223

y =（5分）234=（5分）

考点：直角坐标系下二重积分的计算

课件出处：第6章二元函数微积分及其应用，第五节二重积分 3、计算由抛物线x y =，直线x y -=2及x 轴所围图形的面积（如下图阴影所示）。

解：由??

?-==x

y y x 2得交点(1,1)（5分）

面积dx x dx x A ?

?

-+=

2

1

10

2

)2(（5分）213112)22(01323+=-+=

x x x 6

5

=（5分） 考点：定积分的几何意义

课件出处：第5章定积分，第一节定积分的概念及性质 4、计算

dxdy y x

)(2D

2

+??，其中D 为曲线122=+y x 与x 轴，y 轴在第一象限围成的平面区域。（如图

中阴影所示）