第三章回归分析原理

第三章 回归分析原理3·1、一元线性回归数学模型按理说，在研究某一经济现象时，应该尽量考虑到与其有关各种有影响的因素或变量。

但作为理论的科学研究来说，创造性地简化是其的基本要求，从西方经济学的基本理论中，我们可以看到在一般的理论分析中，至多只包含二、三个 变量的数量关系的分析或模型。

这里所讨论的一元线性回归数学模型，是数学模型的最简单形式。

当然要注意的是，这里模型讨论是在真正回归意义上来进行的，也可称之为概率意义上的线性模型。

在非确定性意义上，或概率意义上讨论问题，首先要注意一个最基本的概念或思路问题，这就是总体和样本的概念。

我们的信念是任何事物在总体上总是存在客观规律的，虽然我们无论如何也不可能观察或得到总体，严格说来，总体是无限的。

而另一方面，我们只可能观察或得到的是样本，显然样本肯定是总体的一部分，但又是有限的。

实际上概率论和数理统计的基本思想和目的，就是希望通过样本所反映出来的信息来揭示总体的规律性，这种想法或思路显然存在重大的问题。

但另一方面，我们也必须承认，为了寻找总体的规律或客观规律，只能通过样本来进行，因为我们只可能得到样本。

在前面我们已经知道，用回归的方法和思路处理非确定性问题或散点图，实际上存在一些问题，亦即只有在某些情况下，回归的方法才是有效的。

因此，在建立真正回归意义上建立其有效方法时，必须作出相应的假设条件。

基本假设条件：（1）假设概率函数)|(i i X Y P 或随机变量i Y 的分布对于所有i X 值，具有相同的方差2σ ，且2σ 是一个常数，亦即)(i Y Var =)(i Var μ=2σ。

（2）假设i Y 的期望值)(i Y E 位于同一条直线上，即其回归直线为 )(i Y E =i X βα+ 等价于 0)(=i E μ这个假设是最核心的假设，它实际上表明)(i Y E 与i X 之间是确定性的关系。

（3）假设随机变量i Y 是完全独立的，亦即。

j i u u Cov Y Y Cov j i j i ≠==,0),(),(3·2、随机项或误差项的含义一元线性回归模型的一般形式为i i i x Y μβα++=i μ是一随机项或误差项，它的存在表明i X 对i Y 的影响是随机的，非确定性的。

所以，对于每一个i X 值来说，i Y 是一个概率分布，而不是一个值或几个值。

正是由于i μ的出现，使我们的方法或思路发生巨大的变化，这是我们必须充分注意的。

那么，i μ究竟包含了什么意义或内容呢？概括地说来主要有： （1） 模型中被忽视了的影响因素；（2） 变量的测量误差，这种误差主要来自统计数据本身的误差； （3） 随机误差。

社会经济现象中涉及到人的主观因素和行为，还有历史的、文化的等因素，这些因素一般来说是难以量化的、多变的；（4） 模型的数量关系误差。

即数学形式所带来的误差。

一般来说，模型中的常数项也可以包含某些较为固定的误差。

但是值得指出的是，如果i μ能够包含上述所有的内容，那它的分布及其性质将是十分复杂的，任意的。

前面的假设条件的核心正是限制了i μ的分布形式，因此，实际上i μ并不能包含如此多的内容或负担。

另外，上面4个方面中，我们最主要的是要第4个问题，这也正是经济学研究所要真正解决的问题。

一般来说，所有的经济数学模型的误差也就是这4个方面，或者说是存在的主要问题，对此我们必须要有清醒和深入的认识。

3·3、一元线性回归模型的参数估计我们已知道，总体意义上真正的回归模型是未知的，我们的任务是如何通过样本观察值.,,2,1),,(n i Y X i i =给出总体真正回归模型的最好估计。

我们必须理解和认识总体回归模型和样本回归模型的区别和关系，必须反反复复地去认识、体会。

假设总体真正的回归直线是i i x Y E βα+=)( 它是由总体回归模型i i i x Y μβα++=显然，上面的模型是想象的、理论上的，实际上是找不到的，它们实际上就是所谓客观规律。

而样本的回归直线为i i X Y βαˆˆˆ+= 它是来自于样本的回归模型ii i e X Y ++=βαˆˆ 注意总体和样本模型的区别和联系，无限和有限，相同和不同等。

下面我们同样根据最小二乘准则，建立真正回归意义上的最小二乘法： 对样本模型i i i e X Y ++=βαˆˆ 假设其估计的回归模型为i i X Y βαˆˆˆ+= 因此，其残差则为i I i i i X Y Y Y e βαˆˆˆ--=-= 所以，其残差平方和为22)ˆˆ(ii i X Y e Q βα--==∑∑ 根据前面的结果，我们有∑∑=iii xyx βˆ 其中 Y Y y X X x i i i i -=-=,X Y βαˆˆ-= 到此样本回归模型的参数就估计出来了。

对于这个结果需要注意的是，这里的αˆ ， βˆ 都是i Y 的函数，而iY 是随机变量，因此，从理论上说αˆ，βˆ随机变量，而不是一个或几个固定的值，是一个概率分布。

正因为如此，回归的结果实际上也不是确定的，而是概率意义上的。

接着我们关心的是，这个估计结果怎么样？是否可用样本回归模型来推断或替代总体回归模型呢？因此，我们必须进一步讨论αˆ，βˆ的性质，亦即讨论样本回归模型的性质。

3．4、估计值的性质（1） 估计值的线性性质。

所谓线性性是指估计值αˆ，βˆ是观测值iY 的线性函数。

证明：∑∑∑∑∑∑∑-=-==222)(ˆiiii iiii ii xx Y Y x x Y Y x xyx β而0=∑i x∑∑∑==∴ii ii i Y w x Y x 2ˆβ其中∑=iii x x w 2 同理可证：αˆ=i i Y k ∑ 其中 X w nk i i -=1所以，αˆ，βˆ是iY 线性函数（应注意线性性的意义和作用）。

（2） 估计值的无偏性。

所谓无偏性是指估计值αˆ，βˆ的期望值等于总体回归模型参数α，β的值。

亦即αα=)ˆ(E ，ββ=)ˆ(E 。

证明：==∑)()ˆ(i i Y w E E β[])()(i i i i i i i i w X w w E X w E μβαμβα∑∑∑∑++=++ 通过计算可知1,0==∑∑i i iX w w)()()()ˆ(ii i i E w E w E E μβμββ∑∑+=+=∴， 其中),.3,2,1(,0)(n i E i ==μ所以有 ββ=)ˆ(E 同理可证 αα=)ˆ(E （3）有效性（或称αˆ，βˆ具有最小方差性）。

所谓有效性主要是指最小二乘估计αˆ，βˆ在所有线性 无偏估计中，其方差是最小的。

证明的基本思路是：)ˆ()~(ααV a r V a r 〉 ，)ˆ()~(ββVar Var 〉 证明（略）。

上面三个性质是最小二乘估计的主要性质，理论上说 已达到最好的结果了。

因此，满足这三条的估计也称作最 优线性无偏估计。

值得注意的是，这里的最优只是相对所有线性估计中而言的，而不包括非线性估计。

也可以说在很多的情况下，肯定存在比最小二乘估计更好的估计值，这一点必须要认识清楚。

还有一点，最小二乘估计的性质实际上与其假设条件是密切相关的，没有这样假设就没有这样的性质，因此，我们还要看看其假设条件到底是什么意思，要进一步去认识假设条件。

3·5、最小二乘估计α，βˆ的显著性检验与置信区间 所谓显著性检验实际上就是对检验估计值与总体参数值差别大小的方法。

也就是数理统计中的“假设检验”的方法一种实际应用。

这里再一次指出，参数估计之所以要进行检验，是因为这里的αˆ，βˆ是随机变量。

根据“假设检验”的要求，我们要想办法求出αˆ，βˆ的概率分布函数，又由于它们是i Y 的线性函数，则首先要知道i Y 的分布。

因此，我们只能假设i Y 服从正态分布（根据大数定理和中心极限定理，在大样本情况下并不失一般性）。

假设i Y 服从正态分布，又因αˆ，βˆ是iY 的线性函数，所以αˆ，βˆ也是服从正态分布的。

只要计算出αˆ，βˆ的方差，我们就可得到αˆ～),(222σα∑∑iix n X N βˆ～),(22∑ixN σβ在上面的分布函数中，除了α， β不可能知道外，我们必须解决未知数2σ估计值，才可能继续进行显著性检验。

1、 建立随机变量i μ方差的估计值采用一定的办法是可以解决2σ估计值的，下面给出其推理过程，并证明其估计值2ˆσ是一个无偏估计。

设：Y Y y i i -= X X x Y Y y i i i i -=-=,ˆˆ 所以i ii i y y Y Y e ˆˆ-=-= 而 （1）μβαμβα++=++=X Y X Y i i i ,)(μμβ-+=∴i i i x y又（2）X Y βαˆˆ-= 代入 ii X Y βαˆˆˆ+=则有 )(ˆˆX X Y Y i i -=-β i x y βˆˆ=∴ 由此我们就有-=i i y e )()ˆ(ˆμμββ-+--=i i i x y 因此，进一步则有)()ˆ(2)()ˆ(222μμββμμββ----+-=∑∑∑∑ii i i i x x e 下面我们分别计算上式右边每一项的期望值：[]2222)ˆvar()()ˆ(σβββ==-∑∑iixxE 其中 ∑=22)ˆv a r (ixσβ[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∑∑∑222)(1)(i i i n E E μμμμ2)1(σ-=n[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=--∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i x x E x x x x E x E 222)(()()ˆ(μμμμμμββ 2222σσ==∑∑ii xx （ 注意其中∑∑∑∑∑∑+=++==222)(ˆiii ii iiiii xx xXx xYx μβμβαβ∑∑=-∴2ˆiii xx μββ）因此，我们最终得到22222)2(2)1()(σσσσ-=--+=∑n n e E i如果我们定义 2ˆ22-=∑n e iσ，那么2ˆσ就是2σ的 无偏估计，亦即有222)2()ˆ(σσ=-=∑n e E E i。

但是我们还不能证明 2ˆσ是最小方差估计，这是十分遗憾的。

2、 最小二乘估计值αˆ，βˆ的显著性检验 现在我们可以开始对αˆ，βˆ检验了。

我们应该认识到，通过样本得到具体估计值αˆ， βˆ只是一个值，或者说只是无穷个可能值中的一个，此时我们并不了解它们的精度和可靠性。

因此，显著性检验实际上是检验αˆ，βˆ与α，β之间的差距和可靠性。

具体的检验方法就是“假设检验”的方法。

我们从数理统计中知道，一般假设检验中用来进行检验的统计量（实际上就是一种随机变量）主要有二个，即Z 统计量和T 统计量。

（1）应用Z 统计量的条件是：已知2σ而无论样本的大小，或者未知2σ但样本足够的大（n 至少大于30）。