量子场论简单介绍

pi = ∂L & ∂q i i = 1,2,3,..., n
& & H (q , p ) = ∑ p i q i − L(q , q )
i
然后， 然后，动力系的哈氏量是
从哈密顿量的定义,利用拉格朗日方程可以推导出正则运动方程 从哈密顿量的定义 利用拉格朗日方程可以推导出正则运动方程
& qi =
∂H ∂p i
量子场论的基本思想
一般地说,所有的相对论性波动方程都不能严格地用 一般地说 所有的相对论性波动方程都不能严格地用 来描述单粒子微观运动.而只能看作经典意义 的场方程,在 来描述单粒子微观运动 而只能看作经典意义 的场方程 在 通过量子化之后,可以反映某种多粒子系统的微观运动规 通过量子化之后 可以反映某种多粒子系统的微观运动规 律. 按照量子场论的观点,每一类型的粒子由一个相应 按照量子场论的观点 每一类型的粒子由一个相应 的 量子场来描述,不同粒子之间的相互作用就是这些量子场 量子场来描述 不同粒子之间的相互作用就是这些量子场 之间的适当的相互耦合, 之间的适当的相互耦合 从这个观点发展起来的粒子相互作用理论已取得一定 的成功,这在电磁相互作用方面 量子电动力学)特别显著 这在电磁相互作用方面(量子电动力学 特别显著. 的成功 这在电磁相互作用方面 量子电动力学 特别显著 但也有很大的局限性,点粒子模型和由此所导致的发 但也有很大的局限性 点粒子模型和由此所导致的发 散困难,微扰法对强相互用用不能适用等 都还没有令人满 散困难 微扰法对强相互用用不能适用等,都还没有令人满 微扰法对强相互用用不能适用等 意的解决. 意的解决 但是量子电动力学能够非常精确地反映电磁现象的微 观运动规律这一事实,显示了量子场论的基本思想具有一 观运动规律这一事实 显示了量子场论的基本思想具有一 定层次性的正确性. 定层次性的正确性
[ q i (t ), q j (t )] = [ p i (t ), p j (t )] = 0 [ q i (t ), p j (t )] = iδ ij
i = 1, 2, 3 ,..., n
系运动的量子 化规则。 化规则。
量子场论简单介绍
量子场论是早期量子力学的继续和发展。 量子场论是早期量子力学的继续和发展。它 的实验基础仍然是微观物质运动的波粒二重性， 的实验基础仍然是微观物质运动的波粒二重性， 其内容能够反映微观物质运动的一部分重要客观 规律， 规律，进一步解决由波粒二重性所提出的物理理 论课题。 论课题。
§1
宏观电动力学基本方程
定义电磁场张量： 定义电磁场张量：
Fµν
∂Aν ∂Aµ = − ∂x µ ∂xν
Fµν
0 − B 3 = B2 iE 1 c
B3 0 − B1 i E2 c
− B2 B1 0 i E3 c
i − E1 c i − E2 c i − E3 c 0
h2 2 ∂ ih Ψ = ( − ∇ + V )Ψ 2µ ∂t
薛定谔方程可以导出几率守恒 其中
r ∂ ρ +∇⋅J = 0 ∂t
r r 2 ρ (r , t ) = ψ (r , t )
r ih J= [ψ∇ψ * −ψ * ∇ψ ] 2µ
m 2c 2 ∂ 2ϕ )ϕ = 0 = c 2 (∇ 2 − 2 2 h ∂t
r mc ∂ Ψ + c(α ⋅ ∇ + i β )Ψ = 0 h ∂t r ψ 1 这里 α , β 是四个 这里Ψ r 这里Ψ是四分 ψ 2 反对易的4-4厄密矩阵 厄密矩阵. 反对易的 厄密矩阵 量旋量波函数: 量旋量波函数: Ψ (r , t ) = ψ3 ψ 4
动力系运动的量子化； §2 动力系运动的量子化；广义坐标和共轭动量
对场进行量子化，我们将采用正则方法， 对场进行量子化，我们将采用正则方法，亦即采用量 子力学中动力系运动量子化的类似方法， 子力学中动力系运动量子化的类似方法，首先回顾一下这 个方法的一般规律。 个方法的一般规律。 1. 广义坐标：广义速度 广义坐标： 假设有一个自由度为n的动力系 的动力系。 假设有一个自由度为 的动力系。 qi(t) 是它的坐标 (i=1,2,3,…n)。它们可以是一个粒子的直角坐标，球坐标 。它们可以是一个粒子的直角坐标， 或柱坐标(n=3)；也可以是 个粒子耦合系统的坐标 或柱坐标 ；也可以是N个粒子耦合系统的坐标 (n=3N)，或者是一根绳子或一面鼓皮上各点的坐标（自 ，或者是一根绳子或一面鼓皮上各点的坐标（ 由度分别是∞ ）；也可以是一个三维场各点的坐 由度分别是∞1 和∞2 ）；也可以是一个三维场各点的坐 自由度∞ ）。一般 称为动力系的广义坐标， 标（自由度 3 ）。一般 qi(t) 称为动力系的广义坐标，对 q 应的速度称为广义速度& i (t ) = dqi dt ，
2. 拉氏量；运动方程 拉氏量；
动力系的运动可由一个拉氏量
& L = L(q , q )
& 来描述，q代表所有的广义坐标， 代表所有的广义速度。假设动力系是 来描述， 代表所有的广义坐标， 代表所有的广义速度。 代表所有的广义坐标 q 一个孤立系或守恒系，则 L 不是 t 的显函数。还假设 L 与 q 的高次微商 一个孤立系或守恒系， 的显函数。 无关，于是这 个动力系的运动方程是 无关， p代表所有的正则动 代表所有的正则动 d ∂L ∂L 必须注意： 量 pi 。 必须注意： (i = 1,2,3L n) ∂q − ∂q = 0 dt & i L 中的独立力学变 i 量是广义坐标 广义 3. 共轭动量；哈氏量；正则方程 共轭动量；哈氏量； 速度.而 速度 而 H 中的独立 & 变量是广义坐标和 qi 广义动量。 广义动量。 可定义动力系的共轭动量（ 由L可定义动力系的共轭动量（即正则动量） 可定义动力系的共轭动量 即正则动量）
严格讲这个克莱因—戈登方程不能描述单个粒子的 严格讲这个克莱因 戈登方程不能描述单个粒子的 微观运动. 微观运动 后来认识到可以把它看作类似宏观电磁场方程的经 典方程之后可以描述一个多粒子系统的运动. 典方程之后可以描述一个多粒子系统的运动 场的量子化可以正确反映π介子K介子 实践证明 φ 场的量子化可以正确反映π介子 介子 等一类微观粒子的运动规律. 等一类微观粒子的运动规律 狄拉克找到了另一个相对论性方程---狄拉克方程 狄拉克找到了另一个相对论性方程 狄拉克方程: 狄拉克方程

& 显然 H = 0 , H是一个守恒量，它是动力系的能量。 是一个守恒量， 是一个守恒量 它是动力系的能量。
4. 动力系的量子化 以上是经典力学中动力系的宏观运动规律。 以上是经典力学中动力系的宏观运动规律。 动力系的微观运动规律在量子力学中已有详细阐述。 动力系的微观运动规律在量子力学中已有详细阐述。首先 不再是c数而是 数而是q数 力学变量 qi , pi 不再是 数而是 数，是一个线性矢量空间 的厄米算符，并有对易关系: 的厄米算符，并有对易关系 左边就是动力
∂Fµν ∂x λ
∂Fνλ ∂Fλµ + + =0 ∂x µ ∂xν
首先建立了非相对论性量子理论
在微观电磁现象的波粒二重性被发现并确立以后，有 在微观电磁现象的波粒二重性被发现并确立以后， 人推想， 人推想，电子以及其它微观粒子的运动也可能具有类似的 特征。起初仅仅是理论性的探讨， 特征。起初仅仅是理论性的探讨，但是不久就得到了实验 的确切验证。 的确切验证。 同时， 同时，在理论上又找到了能够反映微观粒子运动规律 的一种具体数学形式，即波动方程，开始时， 的一种具体数学形式，即波动方程，开始时，波动方程是 非相对论的，即薛定谔波动方程： 非相对论的，即薛定谔波动方程：
具体可以表示为: 具体可以表示为
0 σ α = r σ 0 r
其中
0 1 ˆ σx = 1 0
r
I 0 β = 0 − I
0 − i 1 0 ˆy = σz = σ i 0 ˆ 0 − 1
利用电磁场张量，麦克斯韦方程组可以写为如下两个方程： 利用电磁场张量，麦克斯韦方程组可以写为如下两个方程：
r ρ ∇⋅E =
ε0 r⇒ r r ∂E ∇ × B = µ 0 J + µ 0ε 0 ∂t
∂Fµν ∂xν
= µ0 J µ
r ∇⋅B = 0 r r ∂B ⇒ ∇× E = −化开始,微观物质运动的波粒 量子场论最早是从电磁场量子化开始 微观物质运动的波粒 二重性首先是在电磁和光的现象中发现的。二十世纪初， 二重性首先是在电磁和光的现象中发现的。二十世纪初， 在对黑体辐射所进行的实验和理论分析中， 在对黑体辐射所进行的实验和理论分析中，人们提出了电 磁辐射机制的量子假说；对光电效应的分析研究， 磁辐射机制的量子假说；对光电效应的分析研究，又进一 步提出了具有确定能量hv 的光量子概念，并且推断出光 的光量子概念， 步提出了具有确定能量 后来， 量子还具有确定的动量 。后来，二十年代初期的光和电 子的散射实验明确地证实了这一点， 子的散射实验明确地证实了这一点，由此充分提示光量子 的粒子性。这样，就确立了静质量为零的光子的概念。 的粒子性。这样，就确立了静质量为零的光子的概念。 可是对光和电磁现象的理论认识，直到二十年代中期， 可是对光和电磁现象的理论认识，直到二十年代中期， 基本上还仅仅局限于宏观电磁场理论，即经典电动力学。 基本上还仅仅局限于宏观电磁场理论，即经典电动力学。 因此人们迫切要求在宏观电磁理论的基础上建立起能够反 映微观电磁现象的粒子（光子）理论。 映微观电磁现象的粒子（光子）理论。这就需要对经典电 磁场进行“量子化” 磁场进行“量子化”。
& pi = −
∂H ∂q i
i = 1, 2 ,3 ,..., n
是动力系的一个物理量（如动能、势能、角动量等）， ），由正 若 F(q,p) 是动力系的一个物理量（如动能、势能、角动量等），由正 则运动方程可推得