合肥市高三上学期期末数学试卷A卷
数学名校-安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期教学质量检测(11月)数学试题
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.如图是函数 的部分图象，A是图象的一个最高点，D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 的面积等于 ，则下列说法正确的是（）
A.函数 的最小正周期为
B.函数 图象关于直线 对称
C.函数 图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D.函数 与 在 上有2个交点
11.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，且 是奇函数，令 ，则下列说法正确的是（）
A.函数 是奇函数B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知幂函数 在 上单调递减，则 ______.
13.已知 ，且 ，则 ________．
14.设函数 ，下列说法正确的有________．
7.已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8.已知正数x，y满足 ，则 的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（）
18.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A取值的范围；
（2）若 ，求 周长的最ຫໍສະໝຸດ 值；（3）若 ，求 的面积．
19.已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数 在 上零点的个数.
第一学期高三年级教学质量检测
安徽省合肥市六校联盟2024届高三上学期期末数学试题含答案
合肥市普通高中六校联盟2024届高三第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=A.{1} B.{12}， C.{0123}，，， D.{10123}-，，，，【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,3}A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A.1B.5C.7D.25【答案】B 【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =A.−8B.−6C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l ⊂α，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.5.若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A.x=26k ππ-（k ∈Z ）B.x=26k ππ+（k ∈Z ）C.x=212k ππ-（k ∈Z ）D.x=212k ππ+（k ∈Z ）【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．6.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.若2233x y x y ---<-，则（）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB. C. D.2e【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数()f x 的解析式，再利用基本不等式可求得()f x 的最小值.【详解】因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()e e x x f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3e x x f x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知,,a b c ∈R ，则（）A.若0a b >>，则11a b> B.若22ac bc >，则a c b c ->-C.若0a b >>，则a b>> D.若1a b <<，则11a b a b <--【答案】BC 【解析】【分析】由列举法可判断A 项错误；由不等式性质可判断BC 正确；由作差法可判断D 项错误.【详解】对于A ，若0a b >>，令2a =，1b =，则112a =，11b=，11a b <，故A 错误；对于B ，显然20c >，则a b >，则a c b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b >>1=>，所以a >b >，即a >b >，故C 正确；对于D ，(1)(1)11(1)(1)(1)(1)a b a b b a b aa b a b a b -----==------，因为1a b <<，所以10a -<，10b -<，0b a ->，故0(1)(1)b a a b ->--，即11a ba b >--，故D 错误．故选：BC10.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.1212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.6f x π⎛-⎫⎪⎝⎭为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】首先根据函数的图象求A 的值；然后根据()03f =求ϕ的值；根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和32T π<求出2ω=，从而可求出函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后再逐个判断选项即可.【详解】由图知2A =，由()02sin 3f ϕ==，得3sin 2ϕ=，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=，由233k πωπππ+=+得26k ω=+，又32T ππω<=，所以3ω<，所以2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故T π=，选项A 正确；又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12x π=为函数的一条对称轴，故选项B 正确；由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ，()f x 在7,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错误；2sin 22sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确.故选：ABD .11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2<d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.已知{}n a 是等差教列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.10a d >B.10a d < C.40dS > D.40dS <【答案】BD 【解析】【分析】由3a ，4a ，8a 成等比数列，求得153a d =-，再求得4S ，从而判断14,a d dS 与0的关系.【详解】由3a ，4a ，8a 成等比数列知，2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++，化简得153a d =-，（0d ≠），则21503a d d =-<，故A 错误，B 正确；4152464()633S a d d d d =+=⨯-+=-，故24203dS d =-<，故C 错误，D 正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14.已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.15.若3sin sin (cos cos )3αββα+=-，且(0,π),(0,π)αβ∈∈，则αβ-=________．【答案】2π3【解析】【分析】由已知，可以和差化积可得2sincos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而tan2αβ-=，可求值.【详解】因为(0,π),(0,π)αβ∈∈，所以sin sin 0αβ+>，又3sin sin (cos cos )3αββα+=-，所以cos cos 0βα->，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以βα<，则0παβ<-<，所以π022αβ-<<，由已知可得2sin cos 2sin sin 22322αβαβαββα+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan2αβ-=，所以π23αβ-=，所以2π3αβ-=.故答案为：2π3.16.已知90ACB ∠=︒，M 为平面ABC 外一点，M C ，点M 到ACB ∠两边,AC BC ，那么M 到平面ABC 的距离为__________．【答案】1【解析】【分析】通过空间垂直关系的转化，找到点M 在平面ABC 内的射影在ACB ∠的平分线上，利用勾股定理即可得解.【详解】作,MD ME 分别垂直于,AC BC ，MO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD MD CD MO ⊥⊥，=MD OD M ，MD ⊂平面MDO ，MO ⊂平面MDO ，CD \^平面MDO ，OD ⊂平面MDO ，CD OD ∴⊥，又CD DM ⊥，==MD ME M C所以1CD ==，同理1,CE =所以Rt Rt CDO CEO ，则CO 为ACB ∠平分线，45OCD ︒∴∠=，1,OD CD OC ===，又M C ，1MO ∴==．故答案为：1四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-．（1）求角B ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理实现边角互化，求出cos B 的值即得；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立边的关系，整体求得a c +即得.【小问1详解】因()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-，由正弦定理得，()()()a c c a b a b -=+-，化简得：222a c b ac +-=，由余弦定理得，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因0πB <<，故π3B =.【小问2详解】由ABC 1πsin 23ac =4ac =，由余弦定理，22π2cos 43a c ac +-=，即：224a c ac +-=，从而，222()()316a c a c ac ac +=+-+=，则4a c +=.故ABC 的周长为：42 6.a b c ++=+=18.已知函数()()e 1,R x f x x a a =+∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若2()f x x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）)2e ,∞-⎡+⎣【解析】【分析】（1）由给定条件求出()f x 的导数，进而求得切线斜率即可得解；（2）分离参数得1e x x a -≥，设1()e x x g x -=，利用导数得2max ()(2)e g x g -==，可得a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()()1x f x x e =+，()()e 11x f x x '=++，则(0)2f '=，而(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =；【小问2详解】(0,)∀∈+∞x ，由2()f x x ≥，得1ex x a -≥，设1()e xx g x -=，则2()e x x g x -'=，令2()0e x x g x -'==，得2x =，则()0,2x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()2,x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故2max ()(2)e g x g -==，故2e a -≥,即实数a 的取值范围为)2e ,∞-⎡+⎣.19.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF 交CD 于点G ，其中2DG DE DF ==，．（1）证明：平面AEF ⊥平面ABCD ；（2）判断母线BC 上是否存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，若存在，求CP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，4CP =.【解析】【分析】（1）将面面垂直转化为EF ⊥平面ABCD ，根据圆和圆柱的性质可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.【小问1详解】由题意可知：在下底面圆中，CD 为直径．因为DE DF =，所以G 为弦EF 的中点，且EF CD ⊥．因为,,、EF AD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂平面ABCD ．所以EF ⊥平面ABCD ，因为EF ⊂平面AEF ．所以平面AEF ⊥平面ABCD ．【小问2详解】分别以下底面垂直于DG 的直线、、DG DA 为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系如图所示．因为2DG =，底面圆半径为3，所以EG FG ==．则(0,0,6),2,0),(2,0)A E F -，设(0,6,)(06)P m m <≤．所以6),(6),()AE AF EP m =-=--=- ，设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =．由00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：260260y z y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩即：03x y z =⎧⎨=⎩令1z =则(0,3,1)m =．设直线PE 与平面AEF 所成的角为θ，所以||4sin |cos ,|5||||m EP m EP m EP θ⋅=<>==⋅ ，解得4m =，所以存在点P ，使得直线PE 与平面AEF 所成的角的正弦值为45，CP 的长为4．20.已知函数()22sin cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()g x 的图象，若π22127g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．【答案】（1）πT =（2）1114【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据6si ππsin n 6θθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算可得.【小问1详解】因为()22sin cos 1f x x x x =+-1cos 21x x =-+-132cos 2sin222x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】将函数()f x 图象向右平移π6个单位长度得到()πππ2sin 22sin 22cos 2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则πππ22cos 22cos 21221267g θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πcos 671θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 67θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6s πin πππππsin sin cos cos sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111727214=⨯-⨯=.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*11,2,N n n n a S a a n ==+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)2nn n n n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 【答案】（1）n a n=（2）1221n n T n +=-+【解析】【分析】（1）利用1nn n a S S -=-整理可得1n n a a -=-（舍）或11n n a a --=，即可根据数列类型求出通项公式；（2）利用裂项相消法即可求出.【小问1详解】因为22n n n S a a =+，0n a >，当1n =时，11a =，当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，则1n n a a -=-(舍)，或11n n a a --=，所以11n n a a --=时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+-⨯=；【小问2详解】因为n a n =，所以()11(1)2(1)22211n n n nn n n n n b a a n n n n++--===-++，所以2324311222222222221324311n n n n T n n n ++=-+-+-++=-++ .22.已知函数()ln(1),R f x x a x a =-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：对于任意正整数n ，都有11111ln(21)35212n n ++++>+-L ．【答案】22.答案见解析23.证明见详解.【解析】【分析】(1)由1()1x a f x x +-'=+，又()f x 的定义域为(1,)-+∞，讨论1a -与1-的大小关系，即可判定函数的单调性；(2)当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()(0)f x f ≥，即()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，即可得证．【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()111a x a f x x x +-'=-=++，若0a ≤，当()1,x ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增；若0a >，当()1,1x a ∈--，则()0f x '<，所以()f x 在()1,1a --上单调递减；当()1,x a ∞∈-+，则()0f x '>，所以()f x ()f x 在()1,a ∞-+上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当0a >时，()f x 在()1,1a --上单调递减，()f x 在()1,a ∞-+上单调递减.【小问2详解】由(1)知当1a =时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，min ()(0)0f x f ==，即当()1,x ∞∈-+时，()ln 10x x -+≥，对于任意正整数n ，令221x n =-，有()()22ln 1ln 21ln 212121n n n n ⎛⎫>+=+-- ⎪--⎝⎭，所以()()11121ln 3ln1ln 5ln 3ln 21ln 213521n n n ⎛⎫++++>-+-+++-- ⎪-⎝⎭ ，即()11121ln 213521n n ⎛⎫++++>+ ⎪-⎝⎭，即11111ln(21)35212n n ++++>+-L .【点睛】关键点点睛：本题的关键是令1a =，用已知函数的单调性构造()ln 10x x -+≥，再令221x n =-,恰当地利用对数求和进行解题．。
安徽省合肥市六校联盟2025届数学高三上期末检测模拟试题含解析
安徽省合肥市六校联盟2025届数学高三上期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 2．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3404．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉5．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-9．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．410．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i -11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 31B 21C 51-D ．21212．已知i 为虚数单位，若复数12i 12i z +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i -C ．1i +D ．i - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2025届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62562．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B4．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}AB x x =-<<5．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24e D ．21e 6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变10．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若m α且n α，则m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n11．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-12．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．82．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦3．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1BCD4．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–206．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 7．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1699．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．3C ．32D ．210．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}11．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．154C ．265D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
合肥市高三上学期期末数学试卷(理科)A卷(测试)
合肥市高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在中，“”是“为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分）已知向量， =（1，m）， =（3，﹣2），且（ + ）∥ ，则m=（）A .B .C . ﹣8D . 84. （2分）(2017·绵阳模拟) 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A .B .C . 4D . 35. （2分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB . α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC . m⊥α，m⊥n⇒n∥αD . m∥n，n⊥α⇒m⊥α6. （2分）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位7. （2分） (2017高三下·武邑期中) 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A . 18B . 20C . 21D . 258. （2分）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A . 2B .C .D .二、填空题． (共7题；共8分)9. （2分）(2016·浙江理) 已知a＞b＞1，若logab+logba= ，ab=ba ，则a=________，b=________．10. （1分）(2018·辽宁模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 ________．11. （1分） (2016高一上·启东期末) 设函数f（x）= ，则f（f（2））=________．12. （1分） (2019高一上·忻州月考) 已知是上的奇函数,对都有成立,若 ,则 ________．13. （1分） (2016高一上·东海期中) 设方程x2﹣mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为________15. （1分） (2017高一下·长春期末) 如图所示，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于________．三、解答题． (共5题；共45分)16. （5分） (2017高二上·玉溪期末) 已知△ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为 sinC，求角C的度数．17. （5分）(2017·泰安模拟) 如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点．（Ⅰ）求证：FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．18. （10分） (2017高一上·长春期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．19. （10分） (2016高二上·邗江期中) 已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．20. （15分） (2017高三上·蓟县期末) 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}的前n项和为Bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Cn；（3）证明：．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题． (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题． (共5题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
安徽省合肥市2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题含解析
2022-2023学年度第一学期高三年级期末联考数学（答案在最后）本试卷共4页，22题。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A B =，{}1,2,3,4A B =，则（）A.2A ∈，2B ∉B.3A ∈，3B ∈C.4A ∈，4B ∉D.5A ∉，5B ∉2.已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（） A.1-B.2-C.1D.23.2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办.由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1-11月份说法错误的是（）A.有5个月平均气温在30℃以上B.有4个月平均降水量为0mmC.7月份平均气温最高D.3月份平均降水量最高4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差不为0，若510S S =，则（） A.50S =B.80S =C.150S =D.170S =5.一般地，声音大小用声强级I L （单位：dB ）表示，其计算公式为：1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中I 为声强（单位：)2W /m .若某种物体的发出的声强为1025W /m -，其声强级约为（lg 20.30≈）（） A.50dBB.55dBC.60dBD.70dB6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为11A B ，11B C 的中点，过M ，N 的平面截正方体所得截面为四边形，则该截面最大面积为（） A.22 B.25310D.927.已知222:O x y r +=，直线2:23l x y r +=，若l 与O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上 C.点(2,3)P 在O 内 D.点(2,3)P 在O 外8.已知函数()e (sin cos )xf x x x =+在区间(2,0)π-内有两个极值点1x ，2x 且12x x <，则（） A.12x x π+=B.()f x 在区间()12,x x 上单调递增C.()()120f x f x +>D.()()121f x f x -<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在ABC △中，已知32A C π==，3CD DB =，则（）A.AB AC BC +=B.2AC AD =C.1344AD AB AC =+ D.AD BC ⊥10.已知121326a b ++==，则（） A.1a b <<B.1b a <<C.12ab >D.2a b +>11.已知抛物线E 的焦点为F ，顶点为O ，过F 做两条互相垂直的直线1l ，2l ，它们分别与E 相交于A ，B 和C ，D ，则（） A.AOB ∠为锐角B.COD ∠为钝角C.OA OB OC OD ⋅=⋅D.FA FB FC FD ⋅=⋅12.已知球O 的表面积为36π，三棱锥P ABC -的顶点都在球面上，该棱锥体积取最大值时，下列结论正确的是（） A.32PA =B.26AB =C.PA PB ⊥，PB PC ⊥D.PA BC ⊥，PB AC ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.社区从甲乙等5名志愿者中随机选3名到A 地参加服务工作，则甲乙都入选的概率为_____. 14.已知函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象过点(0,1)-，则8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 15.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，P 为C 上一点满足123F PF π∠=，则C 的离心率取值范围是_____.16.已知函数1()ln f x x x=+，过点(0,)m 有两条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，等比数列{}n b 满足211b a =-，321b a =-. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求满足(410)n m T S n =<≤的所有数对(,)n m . 18.（12分）为落实国家全民健身计划，提高居民身体素质和健康水平，某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长60分钟，每天固定时间播放.为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取150名，将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.（1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在选取的150位观众中，男女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满意，低于30分钟为不满意.据统计有48位男士满意，请列出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“满意度与性别有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K K ≥ 0.100.05 0.0100K2.7063.841 6.63519.（12分）在ABC △中，点D 在BC 上，满足AD BC =，sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅. （1）求证：AB ，AD ，AC 成等比数列；（2）若2BD DC =，求cos B . 20.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -3，底面是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是BC ，1AA 的中点，DE BC ⊥.（1）求证：侧面11BCC B 是矩形；（2）若1DE AA ⊥，求直线1AA 与平面11AC D 所成角的余弦值. 21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是1，记点P 的轨迹为C .（1）求证：曲线C 是双曲线的一部分；（2）设直线l 与C 相切，与其渐近线分别相交于M ，N 两点，求证：OMN △的面积为定值. 22.（12分） 已知函数1()e x f x x=+. （1）求()f x 的导函数()f x '的单调区间；（2）若方程()()f x ax a =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且12301x x x <<<<，求实数a 的取值范围.高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 【解析】由已知选D.2.A 【解析】设i z a b =+，则2222(2)a b a b ++=+，故1b =-，故选A. 3.D 【解析】由图可知，选D.4.C 【解析】由已知得80a =，故158150S a ==，故选C.5.A 【解析】由已知得1012510lg 10(1210lg5)10(210lg 2)5010I L --⎛⎫==⨯-=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故选A.6.D 【解析】最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中2MN =，22AC =5AM CN ==，高为13252h =-=132922)222⋅=，所以选D. 7.C 【解析】由已知：圆心到直线的距离大于半径，即不妨设0r >213r >，故13r OP >=，故选C. 8.D 【解析】由()2cos 0xf x e x '==，故132x π=-，22x π=-，所以122x x π+=；由3,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在区间()12,x x 上单调递减；()321f x e π-=，()22f x eπ-=-，所以()()322120f x f x eeππ--+=-<，()()322121f x f x eeππ---=+<，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD 【解析】由已知AB AC AB AC CB BC +=-==；131444AD AC BC AB AC =+=+；234AD AB AB ⋅=，214AD AC AC ⋅=，因为223AC AB =，所以AD AB AD AC ⋅=⋅；故()0AD AB AC ⋅-=，即AD BC ⊥，所以2AC AD =.故选ABD.10.AD 【解析】3log 2a =，4log 3b =，故01a <<，01b <<，12ab =.22a b ab +>=，223333334log 2log 2log 4log 8log 2log 41log 322a b +⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a b <<.故选AD. 11.BC 【解析】设抛物线E 方程为22(0)y px p =>，1:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立得2220ky py kp --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122p y y k +=，212y y p =-.()212212121223044y y OA OB x x y y y y p p ⋅=+=+=-<，故AOB ∠为钝角.所以21:2p l y x k ⎛⎫=--⎪⎝⎭，与抛物线联立得2220y pky p +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则342y y pk +=-，234y y p =-.同理可得234OC OD p ⋅=-，故COD ∠为钝角，所以212121222111122p p OA OB OC OD FA FB x x y y y y p k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=--+=+=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2223434341122p p FC FD x x y y k y y p k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故1k ≠±时，FA FB FC FD ⋅≠⋅.所以选BC.12.BD 【解析】由已知设球O 的半径为R ，则2436R ππ=，所以3R =.设底面ABC 的外接圆心为1O ，可知当ABC △为正三角形时，其面积最大.设正三角形ABC 的底面边长为a ，1OO d =，三棱锥的高为h .则22393a d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故()2239a d =-.所以三棱锥的体积：()222313133(3)279334344V a h a d d d d ≤⋅≤⋅+=+--.令232793M d d d =+--，由3(1)(3)0M d d '=--+=，得1d =.因为[)0,3d ∈，故当1d =时，M 取最大值，即三棱锥的体积取的最大值.此时可求得：6a =即26AB BC AC ===26PA PB PC ===.三棱锥P ABC -为正四面体，故PA BC ⊥，PB AC ⊥，故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.310【解析】甲入选的概率为1335310C P C ==. 62-()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以622sin 8462f πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 15.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，11PF r =，22PF r =，则122r r a +=，由余弦定理得22212124r r r r c +-=，故()221243r r a c =-，因为2212122r r r r +≥，即22121212r r r r r r +-≥，故()222443c a c ≥-，解得12e ≥，由01e <<，所以C 的离心率取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16.(ln 2,)+∞【解析】由1()ln f x x x =+，21()x f x x -'=，设切点为0001,ln x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线方程为：()00020011ln x y x x x x x ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，故0021ln m x x =-+有两根.令2()1ln g x x x =-+，22()x g x x -'=，()g x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增.因为min ()ln 2g x =，故实数m 的取值范围是(ln 2,)+∞.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解】（1）由21n a n =+，所以13a =，25a =，故22b =，34b =. 所以等比数列{}n b 的公比为322b q b ==，…………2分 故11b =，所以12n n b -=，即等比数列{}n b 的通项公式为12n n b -=…………4分（2）由已知得：(321)(2)2m m mS m m ++==+由（1）可知122112nn n T -==--…………6分 由(410)n m T S n =<≤，所以21(2)nm m -=+即222121(2)n n m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故221nm =-…………8分 因为m 正整数，410n <≤，所以6n =，3217m =-=，8n =，42115m =-=，10n =，52131m =-=故满足条件所有数对为(6,7)，(8,15)，(10,31).………………10分18.【解】（1）由频率分布直方图可知：样本数据在[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分 故调查表平均值为：50.1150.12250.16350.28450.20550.14⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.5 1.849.897.732.8=+++++=所以该节目收看观众的平均时间为32.8分钟.………6分 （2）由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：0.280.200.140.62++=所以观看平均时间不低于30分的样本数为：1500.6293⨯=.……8分 由已知可得22⨯列联表如下：不满意 满意 总计 男 27 48 75 女 30 45 75 总计5793150……10分22150(30482745)1500.2547 2.70675759357589K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”.………12分 19.【解】（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin BC ACBAC B=∠①…………2分 由已知得：sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅②由①②联立得：AD BC AB AC ⋅=⋅ 因为AD BC =，所以2AD AB AC =⋅. 故AB ，AD ，AC 成等比数列.…………4分（2）在ABC △中，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 故AD BC a ==.由（1）知：2a bc =③ 在ABD △中，设ADB α∠=，由已知得23BD a =， 由余弦定理得222244cos 93c a a a α=+-④…………6分 在ACD △中，设ADC πα∠=-，由已知得13CD a =，由余弦定理得222212cos 93b a a a α=++⑤由⑤+④2⨯整理得：2221123c b a +=⑥…………8分由③⑥联立整理得：2261130b bc c -+= 解得：32b c =或13b c = 当13b c =时，可求得3a =，所以a b c +<故舍去.…………10分 当32b c =时，可求得62a c =，在ABC △中由余弦定理得222222239624cos 22462c c ca cb B ac c +-+-===⋅. 综上：6cos B =…………12分 20.【解】（1）连接AD ，由已知ABC △为等边三角形，所以AD BC ⊥. 由已知DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，…………2分 又1AA ⊂平面ADE ，1BC AA ⊥. 因为11AA BB ∥，所以1BC BB ⊥，又侧面11BCC B 为平行四边形，所以侧面11BCC B 是矩形.……4分 （2）取AD 中点O ，连接1OA .由已知得13AA AD ==. 因为1DE AA ⊥，所以13A D AD ==1ADA △是等边三角形. 故1A O AD ⊥，由（1）可知1A O BC ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC .……6分以O 为原点，以OD ，1OA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图. 故30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1332AA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，11(13,0)AC AC ==-，1330,2DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则110AC n ⋅=，10DA n ⋅=.故3030x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，3y =1z =，则3,1)n =…………9分 直线1AA 与平面11AC D 所成角为α， 则11139sin cos ,133AA n AA n AA n α⋅====⋅…………11分 故2130cos 1sin αα=-=所以直线1AA 与平面11AC D 130.…………12分 21.【解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由已知得2x ≠±， 则直线AP ，BP 的斜率分别为：2AP y k x =+，2BP yk x =-…………2分 由已知122y yx x ⋅=+-，化简得224x y -=. 故曲线C 的方程为：224(0)x y y -=≠ 所以曲线C 是除去顶点的双曲线.…………4分（2）设直线l 与C 相切的切点坐标为()()000,0x y y ≠，斜率为k 则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-，与224x y -=联立整理得：()()()22200001240k x k y kx x y kx ------=由已知21k ≠，且上方程有两个相等的实数根， 故()()()2222000044140ky kx k y kx ⎡⎤-+--+=⎣⎦化简得：()22200004240x k x y k y --++=①…………6分 又22004x y -=，即22004x y -=，22004y x +=②由①②得，222000020y k x y k x -+=，即()2000y k x -=，所以0x k y =故直线l 的方程为：004x x y y -=…………8分双曲线C 的两条渐近线方程为y x =，y x =-，所以OMN △为直角三角形.不妨设004x x y y -=与y x =交点为M ，解得000044,M x y x y ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理，设004x x y y -=与y x =-交点为N ，解得000044,N x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.…………10分 可求得：0042OM x y =-，0042ON x y =+， 所以OMN △的面积2200000011424216422S OM ON x y x y x y ====+-- 故OMN △的面积为定值.…………12分22.【解】（1）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，21()x f x e x '=- 记()()g x f x '=，则33322()x x x e g x e x x+'=+=.…………2分 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增.…………3分当(,0)x ∈-∞时，记3()2x x x e ϕ=+，2()(3)xx x x e ϕ'=+. 所以(,3)x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减；(3,0)x ∈-时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增.()x ϕ的极小值为33(3)20e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故()0x ϕ>. 故()0g x '<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减.综上：故()f x '在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减.……5分（2）令1()()x F x f x ax e ax x =-=+-，21()()x F x f x a e a x''=-=-- 问题等价于()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<当0a ≤时，因为0x >，故()0F x >，此时()F x 在(0,)+∞无零点；……6分 当0a >时，由（1）可知()F x '在(0,)+∞上单调递增.由指数函数性质可知：0x →，()F x '→-∞；x →+∞，()F x '→+∞故存在00x >，使得()00F x '=.()00,x x ∈，()0F x '<，()F x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增.①若1a e =+，则(1)10F e a =+-=，不符合题意；……8分 ②若01a e <<+，(1)10F e a =+->.当01x ≥时，(0,1)x ∈，()0F x >，不符合题意.当01x <时，(1,)x ∈+∞，()0F x >，不符合题意.……9分③若1a e >+，则(1)10F e a =+-<，(1)10F e a '=--<，所以01x >. 又0x →，()F x →+∞；x →+∞，()F x →+∞，故存在2301x x <<<，使得()()230F x F x ==.……10分 此时当0x <时，()10xF x e a a '<-<-<，故()F x 在(,0)-∞上单调递减，由1(1)10F e a --=-+>，11110a a F e a e e a --⎛⎫-=-+<-< ⎪⎝⎭ 故存在10x <，使得()10F x =所以当1a e >+时，()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<. 综上：实数a 的取值范围是(1,)e ++∞，……12分。
2024学年安徽省合肥市第一中学数学高三上期末质量检测试题含解析
2024学年安徽省合肥市第一中学数学高三上期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．43．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．34．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ∈∈，且 5．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．128．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919B ．1009C ．1189D ．12799．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 210．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A ．33B ．72C ．3D ．711．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．152D ．6212．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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合肥市高三上学期期末数学试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分） (2017高一上·金山期中) 若全集U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合A=________．
2. （1分）(2019·天津) 是虚数单位，则的值为________.
3. （1分）已知双曲线的一条渐近线为，则________ .
4. （1分）(2017·成都模拟) 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．
5. （1分） (2017高一下·郑州期末) 已知向量 =（2，3）， =（﹣4，1），则向量在向量方向上的投影为________．
6. （1分）执行右侧的程序框图，若输入，则输出 ________.
7. （1分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数y=的值域为________
8. （1分）高一班班委会由名男生和名女生组成，现从中任选人参加某社区敬老务工作，则选
出的人中至少有一名女生的概率是________．（结果用最简分数表示）
9. （1分） (2018高二上·吕梁月考) 已知圆锥的母线长是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________．
10. （1分）求值=________
11. （1分）(2018·临川模拟) 已知，数列满足
，则 ________．
12. （1分） (2017高三上·古县开学考) 已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦长为6，则实数a的值为________．
13. （1分） (2017高一下·河北期末) 若方程x+m= 有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为________．
14. （1分） (2019高二上·沈阳月考) 设等差数列的前项和为，，，则
取得最小值的值为________．
二、解答题 (共10题；共90分)
15. （5分） (2016高二上·商丘期中) 已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长的最小值．
16. （5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AA1 ，D，E，F分别是B1A，CC1 ， BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B1F⊥平面AEF．
17. （15分） (2018高三上·西安模拟) 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线
的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；
（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
18. （5分）(2017·宝鸡模拟) 已知F1 ， F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积SABCD的最大值．
19. （5分） (2016高三上·崇礼期中) 数列{an}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2 ， a4 ， a8成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．
20. （10分）解答题
（1）函数y= 的单调区间，并求极值；
（2）求函数y=4x3+3x2﹣36x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值．
21. （10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O 交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．
22. （20分） (2016高三上·苏州期中) 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M；
（3）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．
（4）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．
23. （5分）(2017·佛山模拟) 在极坐标系中，射线l：θ= 与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=
，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求• 的取值范围．
24. （10分）(2017·长春模拟) 已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
三、必做题 (共2题；共15分)
25. （10分）(2017·长沙模拟) 随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．
（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；
（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：
方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．
26. （5分）如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1 ， S2 ， S3 ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、答案：略
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、答案：略
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共10题；共90分)
15-1、
16-1、
17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略
18-1、
19-1、
20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略
23-1、
24-1、答案：略
24-2、答案：略
三、必做题 (共2题；共15分)
25-1、答案：略
25-2、答案：略
26-1、
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