抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题
微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用． 考向1 抽象函数的单调性【例1】（2019秋•静宁县校级期末）已知偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则满足(21)()f x f x -的x 取值范围是( )A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]C ．(-∞，1][13，)+∞D ．1[3，1]解：根据题意，偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则()f x 在[0，)+∞上为增函数， 则22(21)()(|21|)(||)|21|||(21)f x f x f x f x x x x x -⇒-⇒-⇒-，解可得：113x ， 即x 取值范围是1[3，1]；故选：D ．【例2】（2019秋•武汉期末）若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小顺序为( ) A ．f （b ）f <（a ）f <（c ） B ．f （c ）f >（b ）f >（a ） C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）解：根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数， 则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）．故选：B ．【变式训练】（2020•南开区模拟）已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，若f （a ）(31)f a +，则实数a 的取值范围是()A ．13[,]24-B ．[2-，1]-C ．1(,]2-∞-D ．3(,)4+∞【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =+为偶函数，则函数()f x 的图象关于2x =对称，()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 在[2，)+∞上为减函数， 则f （a ）(31)|2||312|f a a a +⇔-+-，即|2||31|a a --，解可得：1324a-，即a 的取值范围为1[2-，3]4．故选：A ． 考向2 抽象函数的周期性【例3】（2020•汉中一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，33()()22f x f x +=-，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2020)(f = )A ．4B ．2log 7C ．2D ．2-解：根据题意，()f x 满足33()()22f x f x +=-，即(3)()f x f x +=，函数()f x 是周期为3的周期函数，则(2020)(12019)f f f =+=（1），又由()f x 为奇函数，则f （1）2(1)log (31)2f =--=-+=-，故选：D ．【例4】（2020春•天心区校级月考）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)(f f += ) A ．34B ．2C ．52D ．4解：根据题意，(1)()(2)f x f x f x +=+，则有(2)(1)(3)f x f x f x +=++， 变形可得(2)()(2)(3)f x f x f x f x +=++，又由()0f x >，则有()(3)1f x f x +=，变形可得1(3)()f x f x +=， 则有1(6)()(3)f x f x f x +==+，即函数()f x 是周期为6的周期函数；()(6)f x f x =+，即函数()f x 的周期为6，则有(2019)(33366)f f f =+⨯=（3），(2020)(43366)f f f =+⨯=（4）， 则(2019)(2020)f f f +=（3）f +（4）， 对于1(3)()f x f x +=，令1x =可得f （4）11(1)4f ==； 对于(1)()(2)f x f x f x +=+和(2)()f x f x +=-，令0x =可得f （1）(0)f f =（2）4=且(0)f f =（2），()0f x >， 则有(0)f f =（2）2=，则f （3）11(0)2f ==；故f （3）f +（4）113424=+=故选：A ． 【变式训练】（2019秋•胶州市期末）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[0，1]上单调递增，若2(log 3)a f=，b f =，(2020)c f =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<解：因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 关于1x =对称， 又因为()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)(1)f x f x f x +=-=--，令1x x =-，则()(2)f x f x =--①令2x x =-，则(2)(4)f x f x -=--②，由①②得，()(4)f x f x =-，即函数()f x 的周期为4． 又因为()f x 在[0，1]上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象，而2log 3(1,2)∈(3,4)，所以0a >，0b <，(2020)(5054)(0)0f f f =⨯==，所以0c =， 因此b c a <<．故选：D ． 考向3 抽象函数的零点问题【例5】（2019秋•水富市校级期末）若偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-，且[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解：因为()(2)f x f x =-以及函数为偶函数，所以函数()f x 是周期为2的函数． 因为[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，所以作出它的图象，利用函数()f x 是周期为2的函数，如图，可作出()f x 在区间[5-，5]上的图象，再作出函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图象，可得函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为6个，故选：B ．【例6】（2019秋•珠海期末）若偶函数()f x 的图象关于32x =对称，当3[0,]2x ∈时，()f x x =，则函数20()()log ||g x f x x =-在[20-，20]上的零点个数是( )A ．18B ．26C ．28D ．30解：令20()log ||h x x =，则()h x 为偶函数且0x ≠，因为()f x 是偶函数，所以()g x 是偶函数且0x ≠， 由20()()log ||0g x f x x =-=得20()log ||f x x =，当0x >时有20()log f x x =， 因为偶函数()f x 的图象关于32x =对称，所以()()f x f x -=且()(3)f x f x =-， 则(3)[3(3)]()()f x f x f x f x +=-+=-=，即()f x 是3T =的周期函数，32kx =，k Z ∈为()f x 的对称轴， 又因为当3[0,]2x ∈时，()f x x =，所以(20)(211)(1)f f f f =-=-=（1）1(20)h ==当(0x ∈，20]，()f x ，()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(0，20]上有13个交点，即()g x 在(0，20]上有13个零点， 又因为()g x 是偶函数，所以()g x 在[20-，20]上共有26个零点．故选：B ．【变式训练】（2019秋•益阳期末）已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)9B ．11(,)95C ．(1,5)D ．(5,9)解：()f x 是在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-，函数关于1x =对称，()(2)f x f x =--，可得(4)()f x f x +=，函数的周期为4，且[0x ∈，1]时，函数()21x f x =-，函数的图象如图：当1a >时，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，就是方程()log a f x x =的解个数为3，可得()y f x =与log a y x =由3个交点，两个函数的图象夹在蓝色与红色，之间满足条件，所以log 51a <，并且log 91a >，解得(5,9)a ∈．故选：D ．课后训练1．（2020•模拟）函数()f x 满足3()()()()(f x f y f x y f x y x =++-，)y R ∈，且f （1）13=，则(2020)(f =) A ．23B ．23-C ．13-D ．13【解答】解：取1x =，0y =，得3(0)f f （1）f =（1）f +（1）23=，2(0)3f ∴=， 取x n =，1y =，有3()f n f （1）(1)(1)f n f n =++-，即()(1)(1)f n f n f n =++-， 同理：(1)(2)()f n f n f n +=++，(2)(1)f n f n ∴+=--，()(3)(6)f n f n f n ∴=--=- 所以函数是周期函数，周期6T =，故(2020)(33364)f f f =⨯+=（4）． 3()()()()f x f y f x y f x y =++-令1x y ==，得23f （1）f =（2）(0)f +，可得f （2）13=-，令2x =，1y =，得3f （2）f （1）f =（3）f +（1），解得f （3）23=-，令3x =，1y =，得3f （3）f （1）f =（4）f +（2），解得f （4）13=-．1(2020)3f ∴=-；选：C ．2．（2019秋•北碚区校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足2(1)(1)f x f x +=--，f （1）2<且f （1）0≠，则(2019)f 的取值范围为( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞解：由题意，令1t x =-，则12x t +=+，故2(2)()f t f t +=-． 22(4)()2(2)()f t f t f t f t +=-=-=+-．∴函数()f x 是以4为最小正周期的周期函数．201945043÷=⋯，(2019)f f ∴=（3）22(21)(21)(1)f f f =+=-=--． f （1）2<且f （1）0≠，∴10(1)f <，或11(1)2f >，则20(1)f ->，或21(1)f -<-． (2019)f ∴的取值范围为(-∞，1)(0-⋃，)+∞．故选：D ．3．（2020•许昌一模）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，1(2)()f x f x +=，当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，则(923)(f = )A ．16B ．923C ．4D ．1解：因为定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数， 又因为1(2)()f x f x +=，所以11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+，所以函数()f x 的周期是4， 所以(923)(42303)f f f =⨯+=（3）(1)f f =-=（1），因为当[0x ∈，2]时，2()2log (3)f x x =+，所以(923)f f =（1）22log 44==，故选：C ．4．（2019秋•大理市校级期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则(2017)(2019)(f f += )A ．1B ．2C ．1-D ．2-解：根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有33()()22f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，(2017)(16723)f f f =+⨯=（1），(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，3(,0)2x ∈-时，12()log (1)f x x =-，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则f （1）(1)1f =--=；故(2017)(2019)(0)f f f f +=+（1）1=；故选：A ．5．（2020•宝鸡二模）已知函数1()3()3x x f x =+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．1(3-，1)D ．1(,)(1,)3-∞-+∞解：根据题意，函数1()3()3x x f x =+，有1()3()3x x f x -=+，则函数()f x 为偶函数，其导数()3333(33)30x x x x f x ln ln ln --'=-=-，即函数()f x 在[0，)+∞上为增函数， 若(2)(1)f x f x >+，则有(|2|)(|1|)f x f x >+，即|2||1|x x >+，解可得：13x <-或1x >，即不等式的解集为(-∞，1)(13-⋃，)+∞；故选：D ．6．若函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f （a ）f （b ）0>，不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=B ．若f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=C ．若f （a ）f （b ）0<，存在且只存在一个实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=D ．若f （a ）f （b ）0<，有可能不存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0= 解：首先，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如下图：上图满足f （a ）f （b ）0>，有可能存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，故A 错误，B 正确； 其次，设函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象如图： 上图满足f （a ）f （b ）0<，但C 都错误，D 、根据零点存在定理，一定存在实数(,)c a b ∈使得f （c ）0=，所以D 错误，故选：B ．7设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[1x ∈-，0]时，2()f x x =，若()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3，5] B ．.[2，4]C ．.(3,5)D ．.(2,4)解：())()0f x f x --=，()()f x f x ∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示()()log (||1)a g x f x x =-+在R 上有且仅有五个零点，又log (||1)a y x =+也是偶函数且都过(0,0)()y f x ∴=和log (||1)a y x =+在(0,)+∞上只有2个交点，∴(11)1(31)11a a log log a +'<⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得24a <<．故选：D ．8．（2019秋•上饶期末）若函数2()1af x lg x =+在(0,)+∞内存在两个互异的x ，使得(1)()f x f x f +=+（1）成立，则a 的取值范围是( ) A．(3-+B．(3C．(1,3 D．(2,3+解：根据条件可得f （1）2alg=，0a >， 且在(0,)+∞上，存在两个不同的x 使得22(1)112a a alglg lgx x =++++成立， 即存在两个互异的(0,)x ∈+∞，使得2222(2)2(22)0a a x a x a a -++-=成立， ①若220a a -=，即2a =时，方程可化为840x +=，解得12x =-，不满足条件，②若220a a -≠时，2()20i a a ->，即2a >时，要想满足条件，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩， 此时因为20a >，220a a ->，故22202a a a-<-矛盾；2()20ii a a -<，即02a <<时，则422222244(2)(22)02022202a a a a a a a a a aa a⎧⎪=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎪-⎩，此时(1,3a ∈-，故选：B ． 9．（2019秋•安徽期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且当[0x ∈，2]时，()f x x =，则(2019)f 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2解：根据题意，()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，又由(4)()f x f x -=，则有(4)()f x f x -=-，变形可得(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，又由[0x ∈，2]时，()f x x =，则()f x 的图象如图所示， 则(2019)(20194505)(1)f f f f =-⨯=-=（1）1=，故选：C ．10．（2019秋•运城期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-，且()f x 在[1，)+∞上单调递增，则( )A ．0.3 1.13(0.2)(log 0.5)(4)f f f <<B ．0.3 1.13(0.2)(4)(log 0.5)f f f <<C ． 1.10.33(4)(0.2)(log 0.5)f f f <<D ．0.3 1.13(log 0.5)(0.2)(4)f f f <<解：因为由(32)(21)f x f x -=-，所以函数()f x 关于1x =对称， 又因为()f x 在[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，0.3 1.131log 0.500.2144-<<<<<<，所以0.3 1.13(02)(0.5)(4)f f log f <<，故选：A ．11．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x ，y 满足：()()()f x y f x f y +=，若(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立，则满足不等式2(4)1f x -<的实数x 的取值范围是 ．解：特值法，不妨设()(01)x f x a a =<<，满足()()()f x y f x f y +=，且(0,)x ∈+∞时，0()1f x <<恒成立， 则不等式2(4)1f x -<等价于2(4)(0)f x f -<，由函数()f x 为R 上的减函数，故240x ->，解得2x <-或2x >； 故答案为：(-∞，2)(2-⋃，)+∞．12．（2019秋•沙坪坝区校级期末）定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)2020f x f x -+-=，又(2)2019f -=，则(2020)f = ．解：定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，(2)(2)f x f x ∴--=-， x R ∀∈，有(3)(1)2020f x f x -+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+-=，(4)(2)2020f x f x ∴-+--=，即(4)(2)2020f x f x ++-=，从而有(6)()2020f x f x ++=，(12)(6)2020f x f x +++=，(12)()f x f x ∴+=，即函数()f x 的最小正周期为12，(2020)(121684)f f f ∴=⨯+=（4）2020(2)1f =--=，故答案为：1． 13．（2019秋•天河区校级期末）已知定义在R 上的函数()F x 满足()()()F x y F x F y +=+，且当0x >时，()0F x <，若对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 解：设12x x <，则210x x ->，则21()0F x x -<；则22111()()()()F x F x x F x F x =-+<，则函数()F x 在R 上为减函数； 则对任意[0x ∈，1]，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎨-<-⎩恒成立可化为 22243kx x k x kx k ⎧->-⎨->-⎩对[0x ∈，1]成立，依题22()240()30f x x kx k g x x kx k ⎧=-+-<⎨=--+>⎩对[0x ∈，1]成立，由于()0f x <对[0x ∈，1]成立，则(0)40(1)30f k f k =-<⎧⎨=--<⎩，解得，34k -<<；由于()0g x >对[0x ∈，1]成立，234(1)211x k x x x +∴<=++-++恒成立；2k ∴<；综上所述，32k -<<．故答案为：(3,2)-．14．（2020•攀枝花一模）已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()f x f x +=-，(1)()(2)f x f x f x +=+，且()0f x >，若f （1）4=，则(2019)(2020)f f += ． 解：(1)()(2)f x f x f x +=+，(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=++，(2)()(2)(3)f x f x f x f x ∴+=++，且()0f x >， ()(3)1f x f x ∴+=，即1()(3)f x f x =+，则1(3)(6)f x f x +=+，()(6)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为6，(2019)(2020)f f f ∴+=（3）f +（4）， 令0x =，则f （1）(0)f f =（2）4=，且(0)f f =（2），()0f x >，(0)f f ∴=（2）2=， 令1x =，则f （2）f =（1）f （3），即24f =（3），∴1(3)2f =， 令2x =，则f （3）f =（2）f （4），即12(4)2f =，∴1(4)4f =， ∴113(2019)(2020)(3)(4)244f f f f +=+=+=．故答案为：34．。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
单调性、奇偶性、周期性、对称性、抽象函数知识点(函数性质)
f (x1) f (x2 )
f ( x1 x2 x2 ) f (x2 )
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 )
f ( x1 x2 )
3. f (xy) f (x) f ( y)
f (x1)
f (x2 )
f ( x1 x2
x2 )
f (x2 )
f ( x1 ) x2
求此函数的周期。
1. f (x y) f (x) f ( y)
f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) 2. f (x y) f (x) f ( y)
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如果在所有的周期中存在着一个最小的 正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.
如：潮汐现象的函数中，12h、24h、36h 都是 一个周期，但是最小的是12h，所以这 函数的最小正周期是12h.
注意：今后所称周期，若无特别说明，均指 函数的最小正周期。
3.诱导公式1：终边相同角的同名三角函数值 相等
抽象概括：
1.函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的 常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数， T叫做函数的一个周期，称y=f(x)具有周期性。
①常数T≠0，不一定是正数； ②如果T 为函数的一个周期，那么T的整数倍nT 也是函数的周期； ③对定义域内任意x， f(x+T)=f(x)都成立；
由此，你能得出正弦、余弦、正切函数 的周期性的哪些结论？
(1) f (x a) f (x a)
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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。
①))(2,)(2(),(),(2222//BA C By AxB y B AC By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线0=++C By Ax 成轴对称。
③0))(2,)(2(0),(2222=+++-+++-=BA C By AxB y B AC By Ax A x F y x F 与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线x =a 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性定义1、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。
定义2、 若对于定义域内的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。
说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称 性质4、复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|6、函数对称性的应用（1）若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（,即 k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-（2）例题1、1)1()(2121)(=-++=x f x f a a a x f x x）对称：，关于点（; 2)()(1012214)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（ 1)1()2121)0,(11)(=+≠∈+=x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。
3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。
设个不同的实数根，则有n x f 0)(=na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(22221121 .),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值例1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。