大学普通物理力学小结

例7如图所示，求系统中物体的加速度。设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其
质量为 M＝15kg，半径为r ＝0.1m，在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转, 忽略 转轴的摩擦，m1物体在光滑水平桌面上。两物体的质量分别为m1 ＝50kg， m2 ＝200kg 。
解：分别以m1 m2 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对
例：2一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。 开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求: （1）碰撞后系统的角速度 （2）碰撞后杆子能上摆的最大角度。
解：（1)碰撞过程角动量守恒 3 mv L ( J m J M ) 4 3 2 1 2 J m m( L ) J M ML 4 3
例5人和转盘的转动惯量为J0 ,哑铃的质量为m , 初始转速为ω1 。 求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。 解：由角动量守恒
( J 0 2mr )1 ( J 0 2mr2 )2
2 1 2
m
2
m r2 r1
( J 0 2mr1 ) 2 1 2 ( J 0 2mr2 )
m Qdt 2t 103 dt t 2 103 kg
0 0 t t
沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则 任意时刻系统角动量守恒： J 00 ( J 0 mr 2 ) ( J 0 t 2 103 r 2 ) t = 10 s 时转台的角速度： J 00 1 t 10 0.8 s J 0 102 103 r 2
y
1 1 mgR sin J 2 0 J 2 2 2
m
h
M
J 2mR 2
R P
o

x

gh g 1 2 cos sin 2R2 R 2R
g ( h 4 3R ) 2
M mgR g 2 J 2mR 2R
例4 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为1、2 ， 求：1) 对接后共同的角速度 ; 2) 对接过程中的机械能损失。 J1 J2 解：由角动量守恒
d d x d y d z a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
(二)运动方程
直角坐标系中
r ( t ) x( t )i y( t ) j z( t )k
分量表示
x x( t )
at
d dt
an
2
r
1 0 t t 2 2 2 0 2 2
二、动力学
（一）牛顿三定律
1.牛顿第一定律：
F 0v c
dv d p 2.牛顿第二定律： F ma m dt dt
通常应用其分量形式
Fx ma x
3 L 4
θ L
3 mvL 4 9 1 2 mL ML2 16 3
m
v
M
（2)上摆过程机械能守恒，得：
1 3 L 2 ( J M J m ) mg L(1 cos ) Mg (1 cos ) 2 4 2
注意：橡皮泥和杆子的零势点 取得不同。
9 2 2 m v 32 arc cos 1 3 1 9 1 ( m M )( m M ) gL 4 2 16 3
1 2 1 W F dr Ek Ek 0 mv mv0 2 2 2
W W外 W保 内 W非 保 内 Ek (末) Ek 0 (初)
(2)机械能守恒定律
W外 W非保内 0 E E0或 ( Ek E p ) C
三、刚体力学
运用牛顿定律，有
对滑轮运用转动定律，有
m1 m2
m2 g T2 m2 a
T1 m1a
1 T2 r T1 r ( Mr 2 ) 2
a r
联立以上4个方程，得
a
m2 g m1 m2 M 2

200 9.8 7.6 15 50 200 2
m s2
y y( t )
z z( t )
f(x,y,z)=0
消去t，得到轨道方程
（三）圆周运动：
1. 物理量
ห้องสมุดไป่ตู้
角速度
d dt
d d2 角加速度 2 dt dt
2. 线量和角量的关系
3.匀角加速转动公式


r at r
an r 2
0 t
（一）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动。
（二）转动定律
M d（J ） J dt
注意: J和M必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩。若 同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出 M i J i i 。
（三）转动惯量
J mi ri 2
i
(不连续)
J r 2 dm (连续)
例8长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可
以在竖直平面内转动。最初棒静止在与水平方向成0夹角的位置，求：
（四）刚体力学中的功和能
1.力矩的功：
W Md
1 2
2.刚体转动动能定理：
W
2
1
1 1 2 Md = J J 00 2 2 2
3.机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势能之 和为常量。 1 1 2 2 E m J mghc 常量 2 2
1 1 2 2 2 2 E ( J 0 2mr2 )2 ( J 0 2mr1 )1 2 2 2 J 2 mr 1 2 2 1 ( J 0 2mr1 )1 ( 0 1) 0 2 2 J 0 2mr2
ω1
J0
非保守内力作正功 ，机械能增加。
例6一转台绕其中心的竖直轴以角速度ω0 =πs-1 转动，转台对转 轴的转动惯量为J0 = 4.0×10-3 kg· m2 。今有沙粒以Q = 2t g· s-1 的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径 为r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 时，转台的角速度。 解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：
M
碰撞时间极短，对m +盘系统，冲力远大 于重力，故重力对o 的力矩可忽略，角动 量守恒： mvR cos J 0
J 1 MR 2 mR 2 2mR 2 2
2 gh 2 gh cos 2R 4R
R P
o

x
0
（2）对m + 盘+ 地球系统，只有重力做功，机械能守恒。 令x 轴为零势面,则：
L J

t t0
r
2
dm
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统
以子弹和杆为系统
动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
3 L 4
θ
L M
max
m
v
例3 如图,质量为m 的粘土块从距匀质圆盘h 处落下,盘的质 量 M=2m, = 60°, 盘心为光滑轴。 求（1）碰撞后瞬间盘的0 ；（2）P 转到x 轴时盘的，。
解：（1）m下落到P 点前一瞬间有
1 2 mgh mv 2
y
得 v 2 gh
m
h
（五）刚体角动量和角动量守恒定律
1 .角动量:L J L与同向
2 .角动量定理:

t2
t1
M dt J 22 J11
M 0或t 0 Ji i 恒量


3. 角动量守恒定律:
当刚体(系统)所受外力矩为零时或时间极短，则刚体 (系统)对此轴的总角动量为恒量。
J11 J 22 ( J1 J 2 )
ω1
ω2
J11 J 22 J1 J 2
1 1 1 2 2 2 E ( J1 J 2 ) ( J11 J 22 ) 2 2 2
ω
J1 J 2 (1 2 ) 2( J1 J 2 )
2
摩擦力矩作负 功，有机械能 损失。
a
b
保守力的功 F dr 0
2.机械能： (1)动能 (2)势能 与物体相对位置和速度有关的状态量。
Ek 1 mv 2 2 M0
M
Ep
F dr
弹性势能
1 E p kx 2 2
W保守力 ( Ep Ep0 ) Ep
3、功、能关系
(1)动能定理
计算转动惯量的方法：
刚体的转动惯量与刚体的 质量、形状、质量的分布 以及转轴的位置有关。
1.已知质量分布，由公式求转动惯量： J mi ri
i
2
J r 2 dm
2.已知两轴间距离，用平行轴定理求解： 由叠加法求解： J J i
i
J J c md 2
3.已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，
主讲：姜贵君
一、运动学：
（一）基本物理量：
r r2 r1 xi yj zk dr dx dy dz i j k x i y j z k dt dt dt dt
r xi yj zk
Fy ma y