理论力学第十四章动能定理
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第十四章动能定理_理论力学
，此时
。
例 14-3 卷扬机如图 14-13 所示。鼓轮在常力偶矩 作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知
鼓轮的半径为 ,质量为 ，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为 ，质量为 ，质量均 匀分布。设斜面的倾角为 ，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心
的速度与其路程之间的关系。 解：★ 以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象；
★ 应用动能定理解题的步骤： （1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象； （2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功； （3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能； （4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解； （5）对问题的进一步分析与讨论。 §14-5 功率、功率方程、机械效率 1. 功率 单位时间内力所做的功。用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重 要指标。
力在有限路程上的功：力在有限路程
上的功为力在此路程上元功的定积分。即 （14-8）
或
功的单位为焦耳(J),
。
（14-9）
2. 常见力的功 ★ 重力的功
如图 14-3 所示，质点沿轨迹由 为
运动到
，其重力
在直角坐标轴上的投影
所以重力的功为
（14-10） 由此可见，重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。
§14-1 质系动能定理 质点动能定理 牛顿第二定律给出
上式两边点乘 ，得
因
，于是上式可写为
或
（14-1）
式中
称为质点的动能，
称为力的元功。参看图 14-1。式（14-1）称为质
点动能定理的微分形式，即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。
理论力学第十四章 虚位移原理
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。
δW=Fδr 四、理想约束：
约束反力虚功之和为零的约束。
ΣδWN = ΣNδr = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N δr
3、固定支座 Y X
Nδr = 0
δr = 0
2、可动支座 N
δr
因为： δrB = δxB = tanϕ δrA δyA
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
所以，同样可以得到：δrB = δrA ⋅ tanϕ
y A
FA = δrB = tanϕ FB δrA
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
切
δr1
平
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移).
4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
M（x,y,z)
切
δr1
平
由AB的速度瞬心P可知：
y
vB = PB = tanϕ
vA PA
A
P
于是：δrB = δrA ⋅ tanϕ
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
方法二：坐标变分法
yA = lsinϕ xB = lcosϕ
理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
理论力学精品课程第十四章 动能定理
d(1 2mivi2)Wi
dTWi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的
和
微分形式。
T2T1 Wi
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点
系全部力所作功的和
积分形式。
第十四章 动能定理
3. 理想约束
dr
F′ O
F
B A
W F d r F d r 0
第14章 动能定理
※ 力的功 ※ 质点和质点系的动能 ※ 动能定理 ※ 势力场·势能·机械能守恒定律 ※ 功率·功率方程·机械效率 ※ 质点系普遍定理的综合应用 ※ 结论与讨论
第十四章 动能定理
§14-1 力的功
a. 常力的功
WFcoss
F
M
M1
M2
S
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
d1
dt
1,
d1
dt
1
Ⅱ M2
1(M1M i122) (J1iJ1222)
主动力的功：
W 12M 11M 2 2(M 1M i122)1
由动能定理得： 1 2(J1iJ1 222) 1 20(M 1M i12 2) 1
第十四章 动能定理
Ⅰ M1
driC
d
Mi
C
§14-2 质点和质点系的动能
质点的动能
T 1 mv 2 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平 方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是 一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同 ，也为 J 。
质点系的动能
第十四章 动能定理
T
b. 变力的功
理论力学动能定理
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。
理论力学课本及习题集答案
理论力学课本及习题集答案
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理
西北工业大学理论力学教研室
2009年7月
第一章:静力学的基本概念
第二章:平面基本力系
第三章:平面任意力系
第五章:空间基本力系
第六章:空间任意力系
第七章:重 心
第八章:点的运动
第九章:刚体的基本运动
第十章:点的复合运动
日
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
第十一章:刚体的平面运动
第十二章:刚体的转动合成
第十四章:质点动力学基础
第十五章:质点的振动
第七章:动能定理
第十八章:动量定理
第十九章:动量矩定理
第二十章:碰撞理论
第二十一章:达朗伯原理
第二十二章:虚位移原理
理论力学 第十四章 动能定理
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
13
三．刚体的动能 1．平动刚体
1 1 1 2 2 1 T mi vi (mi )v 2 Mv 2 MvC 2 2 2 2
2．定轴转动刚体
1 1 1 2 2 2 T mi vi ( mi ri ) J z 2 2 2 2
F dr
FX dx FY dy FZ dz
( F FX i FY j FZ k , dr dxi dyj dzk
F dr FX dx FY dy FZ dz)
2 总功 力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
授课教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室
1
第十四章
§14–1 §14–2 §14–3
动能定理
力的功 质点和质点系的动能 动能定理
§14–4＊ 功率 ·功率方程
§14–5＊ 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
§14–6 动力学普遍定理及综合应用
2
引 言
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M2 M1 m2
r0 r /r 矢量单位
k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。
M1
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr
10
五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
F drA F drB
F d (rA rB )
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。