哈工大理论力学第七版十二章动能定理

W Fx dx Fy dy Fz dz
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1.重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg W12 z mgdz mg( z1 z2 ) z
2 1
质点系
W
由 得
12
mzC mi zi
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
F 的功为
δW M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
W12 M z d
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
4. 任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功 的代数和。
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例12-5 已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f ,初静止。 求:O 走过S 路程时ω， 。
解: 圆盘速度瞬心为C
W Fs 2mgfs W T
3 FS 2mgfs mv0 2 4 s v0 2 ( F 2mgf ) 3m
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
记 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
δW F cos ds
F
C
P
FS
FN
§12-2
1.质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mvC 即 2
2.质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
T1 0 v0 R 1 1 mR 2 2 3 T2 mv0 2 ( ) mv0 2 2 2 2 4
2
T1
(a )
将式(a)两端对t 求导,并利用
v0 a0 , , r r
2 ( F 2mgf ) 得 a0 3m
§12-4 功率、功率方程、机械效率
－－质点系动能定理的微分形式
dT δWi T2 T1 Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. －－质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3.理想约束及内力的功
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔
取零势能点在无穷远
r1
fm1m2 V r
3. 机械能守恒定律
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.
由
T2 T1 W12
质点系仅在有势力作用下,有
W12 V1 V2
得
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此 类系统称保守系统.
非保守系统的机械能是不守恒的.
A1
A F dr A k (r l0 )er dr
2 1
得 W12 r2 k (r l0 )dr r1 即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2.质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
mi g ( z i1 z i 2 )
W12 mg ( zC1 zC 2 )
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重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2.弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力的功为
W12
A2
1 1 r er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
k m
16.9kN
§12-6
普遍定理的综合应用
动能
非负的标量，与方向无关 内力作功时可以改变动能 理想约束不影响动能
动量、动量矩
矢量，有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与 能量相互转化，应用时不考虑能量 的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量守恒 当外力对定点O 或质心的主矩为零 时，系统对定点或者质心的动量矩 守恒。
0 0为零势能点, 则
（3）万有引力场中的势能
A0 fm1m2 V F dr 2 er dr A A r 由于er dr dr有
A0
V
r1
r
1 1 fm1m2 2 dr fm1m2 r r1 r
索等约束的约束力作功等于零. 为什么？
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
V
M0
M
F dr
F dx F dy F dz
M0 M x y z
M0
称势能零点
（1）重力场中的势能
V mgdz mg z z0
Z0 Z
（2）弹性力场的势能
V
r0
r
k 2 F dr 02 2
k 2 V 2
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112r / min 时
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
1.势力场
例12-10
已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索
k=3.35×10 N/m .
求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力.
6
解:
卡住前
mg st k F k st mg 2.45kN
卡住后
V1 0
k V2 max 2 st 2 mg max st 2 1 T1 m 2 , T2 0 2
由
T1 V1 T2 V2
有
1 2 k 2 mv 0 0 max st 2 mg max st 2 2
2 v2 即 2 2 st 0 max st max st g 2 得 max st 1 g st v2 v Fmax k max k st 1 mg 1 g st g
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
例12-1 已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右运动, f , 初静止。 求: O 走过S 路程时力的功。
F
解： 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功， 将力F向质心简化，得
W F ' s M C 2Fs
对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。
将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力
偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力 系中所有力所作元功的和，有
δW δWi FR ' drC M C d
平面运动刚体
δW FR ' drC M C d
vC 2 M m2 gs sin (2m1 3m2 ) 4 s ( M m2 gR1 sin ) s
R1
(a )
vC 2
R1 (2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
aC (2m1 3m2 ) R1
例12-4
已知:冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 1 70
时静止释放，冲断试件后摆至 2 29
求:冲断试件需用的能量。
解:
T1 0, T2 0
0 0 mgl(1 cos 1 )
mgl (1 cos 2 ) Wk
1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心为P
1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动 的动能之和. 对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点 系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于
机械效率
P有效 P输入
多级传动系统
12 n
例12-8 已知:
P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由
所在位置确定的力的作用.
F F x, y, z
势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关. 势力场中,物体所受的力为有势力.
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作 的功为质点在点M相对于M0的势能.
2.功率方程
n n δWi dT Pi dt i 1 dt i 1
功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.
车床
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
P输入
dT P有用 P无用 dt
3.机械效率
有效功率
P有效
dT P有用 dt
1.功率：单位时间力所作的功.
由 δW
δW P dt F dr ,得

dr P F F v Ft v dt
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt mv dv d( 1 mv 2 ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gs sin
W12 T2 T1
T1 0
1
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2