理论力学动能定理
理论力学第十三章动能定理
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系 图示弹簧原长 ， 一端固定在点O， 数k=4.9KN/m,一端固定在点 ，此点 一端固定在点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的圆周上。 在半径为 的圆周上 的另一端由点B拉至点 和由点A拉至 拉至点A和由点 的另一端由点 拉至点 和由点 拉至 垂直BC， 和 为直径 为直径。 垂直 点D，AC垂直 ，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。 分别计算弹簧力所作的功。
1 2 ⇒ d( mυ ) =δw 2
——质点动能定理 ——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 ——质点动能定理 m 2 − m 1 =W ——质点动能定理 υ υ2 12 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中， 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 作用于质点的力作的功。
0−0 = mgl(1−cosϕ1) −
mgl(1−cosϕ2) −W k
冲断试件需要的能量为
W = 78.92J k
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r 为均质圆盘；曲柄重Q 作用一力偶, 矩为M 常量), 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 的函数表示) 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加 速度。 速度。 解：取整个系统为研究对象
dt
由 δW = F·dr 得 ，
dr P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
力学中的动能定理
力学中的动能定理力学中的动能定理是描述物体运动能量变化的重要定律之一。
它通过分析物体的速度、质量和作用力等因素，深入揭示了动能的转化和守恒规律。
本文将从动能定理的基本原理、应用领域以及实际案例等方面进行探讨。
一、动能定理的基本原理动能定理是基于牛顿第二定律而推论出的一个重要关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
而动能则是描述物体运动状态的一种量度，与物体质量和速度平方成正比。
基于这两个定律，我们可以推导出动能定理的表达式：动能定理公式：物体的净动能变化等于作用在物体上的净力乘以物体的位移。
即：△K = W其中，△K代表物体的净动能变化，W代表作用在物体上的净力所做的功。
二、动能定理的应用领域动能定理在力学中有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域：1. 机械工程：在机械工程中，动能定理常常用于分析和优化各种机械系统的动力学性能。
例如，通过对发动机的动能定理进行分析，我们可以评估其动力输出和燃油消耗等性能指标。
2. 车辆碰撞：在交通事故中，动能定理可以帮助我们分析车辆碰撞前后的能量变化和力的作用情况。
基于动能定理的分析结果，我们可以判断碰撞后车辆的速度和撞击力大小，从而进一步研究事故的原因和后果。
3. 物体运动：在物体运动学中，动能定理是研究物体加速度和速度变化的重要工具之一。
通过动能定理，我们可以计算物体在不同位置的动能大小，从而揭示了物体在空间中的运动规律。
三、实际案例：汽车刹车过程中的动能定理应用为了更好地理解动能定理的应用，我们以汽车刹车过程为例进行探讨。
当汽车行驶过程中，司机踩下刹车踏板，刹车系统施加一定的制动力。
根据动能定理，汽车的净动能变化等于刹车制动力所做的功。
在刹车过程中，汽车的动能逐渐减小，同时刹车制动力对汽车产生的负功使其减速。
通过动能定理的分析，我们可以得出以下结论：1. 汽车的净动能变化为负，代表动能被转化成其他形式的能量，如热能、声能等。
理论力学公式范文
理论力学公式范文理论力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律。
其核心是用数学方法描述物体受力和运动的关系，从而推导出力学公式。
下面将介绍几个重要的理论力学公式。
1. 牛顿第二定律：F = ma牛顿第二定律是理论力学的基础公式之一，描述了物体受力和加速度之间的关系。
它说明了一个物体所受合力与其质量乘以加速度之间的关系。
在这个公式中，F代表合力，m代表物体质量，a代表物体的加速度。
2.动能定理：W=ΔK动能定理描述了物体动能的变化与力做功之间的关系。
根据这个定理，物体动能的增量等于力对物体所做的功。
其中，W为力所做的功，ΔK为物体动能的变化量。
3.动量定理：FΔt=Δp动量定理描述了力的作用使物体动量发生变化的关系。
它表明力与物体作用时间的乘积等于物体动量的变化量。
其中，F为力的大小，Δt为力的作用时间，Δp为物体动量的变化量。
4. 弹性势能：U = 1/2kx^2弹性势能描述了弹性体由于变形而具有的储存能量。
对于弹性体来说，当其形状发生变化时，会具有恢复力，并且会储存一定的能量，这部分能量就是弹性势能。
其中，U为弹性势能，k为弹簧劲度系数，x为弹性体的变形量。
5.万有引力定律：F=G*(m1*m2)/r^2万有引力定律是描述两个物体之间引力作用的公式。
根据这个定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
其中，F为引力的大小，G为万有引力常数，m1和m2为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
以上是几个重要的理论力学公式，它们是理论力学研究的基础，被广泛应用于科学研究和工程实践中。
通过这些公式，我们可以准确地描述和解释物体运动的规律，进而预测和控制各种物理现象。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学动能定理
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。
理论力学第13章动能定理
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
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解：我们取物体M为研究对象，
作用于M上的力有重力mg，斜面
法向反力FN，斜面摩擦力F′和弹 簧力F，各力所作的功为
WG mg s sin30o
(10 9.8) 0.5 0.5 24.5J
WFN 0
WF F s f mg cos30o s
2
M d
z
1
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对 z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
4．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
则杆的动能为
1 2 1 1 1 2 1 2vB 2 2 2 2 T mvC J C mvB ml mvB 2 2 12 2 2 l 3
2
§13-3
1．质点的动能定理 由牛顿第二定律有
动能定理
dv m F dt dv m vdt F d r dt
两边同时点乘 v dt dr ，有
注意到
因此
dv 1 1 m vdt m d(v v ) d mv 2 dt 2 2 1 2 d mv δW 此即质点动能定理的微分形式。 2
将上式沿路径 M1M 2积分，可得 1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2 此即质点动能定理的积分形式。
解：取滚子A、滑轮B、重物作为研究对象，其中重物作平动， 滑轮作定轴转动，滚子作平面运动，系统的动能为
1 1 1 1 2 2 2 T m1 v J B B mvC J C C 2 2 2 2 2
根据运动学关系，有 代入上式得
2 2 1 1 1 v 1 1 1 v 2 2 2 2 T m1v mr 2 mv mr 2 2 2 2 r 2 2 2 r
§ 13-1 一．恒力的功
力的功
W F S FS cos
力的功是代数量。
时，正功； 时，功为零； 时，负功。 2
2
2
单位：焦耳（J）：1J = 1N 1m 二．变力的功 元功： δW F d r
变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
2．质点系的动能定理
1 2 d mi vi δWi 对质点系中的任一质点 i ： 2 1 1 2 对质点系，有 d mi vi δWi d mi vi 2 δWi 2 2
即
dT δWi
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
四．几种常见力的功 1．重力的功 取 z 轴铅垂向上，则：
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )
z1 z2
对于质点系，重力作功为
W12 Wi12 mi g( zi1 zi 2 ) Mg ( zC1 zC 2 )
此即质点系动能定理的微分形式。
T2 T1 (Wi )12
此即质点系动能定理的积分形式。 上式表明：质点系在某段运动过程中动能的增量，等于 作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3．理想约束及内力作功 理想约束：约束力作功为零的约束。 1．光滑固定面
δW N dr 0
( N dr )
W
M2
M1
F d r
在直角坐标系中，知
F Fx i Fy j Fz k
dr dx i dy j dz k
变力 F 在曲线路程 M1M 2中作功为
W
M2 M1
F d r F dx F dy F dz
x y z M1
M2
三．合力的功
W
3．定轴转动刚体上作用力的功
设刚体绕 z 轴转动，在其上 M 点作用有力 F，则
δW F d r F Rd cos Ft Rd M z d
其中Ft 为力 F 在作用点 M 处的轨迹切线上的投影。
于是力 F 在刚体从角 1转到角 2过程中作的功为
W12
称为柯尼希定理
三．刚体的动能
1 1 1 2 2 2 M v T m v m v 1．平动刚体 2 i i 2 i C 2 C 1 1 1 2 2 2 2．定轴转动刚体 T mi vi mi ri J z 2 2 2 2
3．平面运动刚体 记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P，质心为C，则
W12
M2 M1
F dr
k (r l0 )er d r
M1
M2
r 1 1 er d r d r d( r r ) d( r 2 ) d r r 2r 2r r2 r2 k k 2 2 2 W12 k (r l0 )d r d( r l0 ) ( r l ) ( r l ) 1 0 2 0 2 2 r1 r1 k 2 2 则 W ( 令：1 r1 l0 , 2 r2 l0 12 1 2 ) 2 故弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关，与力作用点 的路径无关。
0.2 (10 9.8 0.866) 0.5 8.5J
k 2 100 2 WF (1 2 ) (0 0.52 ) 12.5 J 2 2
合力的功为
W Wi 24.5 0 8.5 12.5 3.5 J
§13-2
强弱的又一种度量。 一．质点的动能
M2
M1 M2
R dr (F F
1 M1 M2 1 2 M1
M2
2
Fn ) d r
M2 n
M1
F d r F d r F d r
M1
W1 W2 Wn
即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
F drA F drB
F d(rA rB ) F drBA
若A、B两点间距离保持不变，则 F drBA，δW F drBA 0 。
由上可知，刚体所有内力作功之和等于零。
注意：一般情况下，应用动能定理时要计入摩擦力作的功。
总之，应用动能定理时，要仔细分析质点系所有的作用力 并确定其是否作功。 应用动能定理的解题步骤：（见第六版教材P297～298）
1 1 2 T J P ( J C M d 2 ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 J C M (d ) J C M vC 2 2 2 2 即平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心轴
转动的动能之和。
[例2]滚子A的质量为m，沿倾角为 的斜面作纯滚动，滚子借 绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体，如图所示。滚子与滑轮 质量相等，半径相同，皆为均质圆盘，此瞬时物体速度为 v， 绳不可伸长，质量不计，求系统的动能。
解：取系统为研究对象。 T1 0 1 1Q 2 1 2 T2 v J O A J C B 2 2 2 2g 1Q 2 1 1P 2 2 1 3P 2 2 v R A R B 2g 2 2g 2 2g
v2 (8Q 7 P) (v RA 2RB ) 16 g
[例4]曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA = r，连杆AB = 4 r， C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆 为均质杆，质量分别为m1、 m2 。曲柄开始时静止且在水平 向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周 时的角速度1 。
解：取曲柄连杆机构为研究对象，初始时系统静止，T1 = 0。 曲柄转过一周后，连杆速度瞬心在B点，其速度分布如图 b) 所示，系统的动能为
1 T2 J O12 2
1 1 2 m2 vC J C 2 2 2 2
1 1 v A r1 1 1 2 由于vC v A r1， 则 T2 (m1 m2 )r 212 2 2 AB 4r 4 6 曲柄转过一周，重力的功为零，转矩的功为 2πM ，代入
W
12
Hale Waihona Puke T2 T1 W12 Qh M ( h / R) 由动能定理：
(Q M / R)hg h () v 4 8Q 7 P
v2 M (8Q 7 P) 0 Q 16 g R
8Q 7 P dv M 2 v Q (*)式求导得： 16 g dt R 8(Q M / R) g 解得： a 8Q 7 P
2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端
3．刚体沿固定面纯滚动（不计滚动摩阻）
4．光滑铰链（中间铰）
δW N dr N ' dr
N dr N dr 0
5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量） 绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
下面考察质点系内力的功
δW F drA F ' drB
故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。
2．弹性力的功 设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧
发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径
的单位矢量为
er r / r 则 F k (r l0 )er
质点和质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动
T 1 m v2 2
动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功
相同的量纲，单位也是焦耳（J）。 1 二．质点系的动能 T mi vi 2 2 对任一质点系，若记 vir 为第 i 个质点相对质心的速度，