第3讲 变量间的相关关系与统计案例
K
2
a b a c c d b d
n ad bc
2
[审题视点] 第(2)问由a＝40，b＝30，c＝160，d＝270，代 入公式可求K2，由K2的值与6.635比较断定．第(3)问从抽样 方法说明．
6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量 称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 总计 c a＋c c＋d b＋d a＋b＋c＋d d
解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任 何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．
考向二
独立性检验
【例2】(2010·全国新课标)为调查某地区老年人是否需要志愿者 提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人， 结果如下： 性别
是否需要志愿者 需要 不需要 男 女 40 160 30 270
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对 于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散 布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关 系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条 直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这 条直线叫回归直线．
5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误 差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
R2
y
n i 1 n i 1
i
y y
2
y
2
i
R2的值越大，说明残差 平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模 型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近 于1，表示回归效果越好．
K
2
a b a c c d b d
n ad bc
2
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断 表来判断“x与y的关系”． 这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个 分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检 验． 两个规律 (1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的 关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相 关关系是非随机变量与随机变量的关系． (2)当K2≥3.841时，则有95%的把握说事A与B有关； 当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关； 当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关
三个注意 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方 程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． (2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计 而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而 且回归方程只适用于我们所研究的样本总体． (3)独立性检验的随机变量K2＝3.841是判断是否有关系的 临界值，K2≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A与B 有关系，而不能作为小于95%的量化值来判断．
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助 (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区老年人 帮助的老年人的比例？说明理由． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
考向一 相关关系的判断 【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响 的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)： 施化肥量x 15 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 棉花产量y 330
(1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．
[审题视点] (1)用x轴表示化肥施用量，y轴表示棉花产量， 逐一画点． (2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系． 解 (1)散点图如图所示
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近， 所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
【反思与悟】 利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比 较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函 数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之 间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附 近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一 直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【变式1-1】 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图 否 如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________( 填 “是”与“否”)．
i
y
i
2
x x y
用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
y
(1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强； r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线 性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的 线性相关关系．
3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方 和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距
4．样本相关系数
r
x x y
n i 1 i n 2 n i 1 i i 1
专题十 统计、统计案例
第3讲 变量之间的相关关系与统计案例
以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的 基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的 基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性 检验的基本思想、方法和基本公式．
1．相关关系的分类
完整版变量间的相关关系统计案例
完整版变量间的相关关系统计案例引言：经济学中一个重要的分支是相关关系的研究，通过统计分析不同变量之间的相关性，可以帮助我们理解变量之间的关系。
本文以汽车生产数量和国内生产总值（GDP）为例，通过统计分析两者之间的相关关系，展示相关分析在实际问题中的应用。
方法：本案例采用了经济学中常用的相关分析方法，包括Pearson相关系数和散点图。
本文使用了国在过去10年内的汽车生产数量和GDP的数据。
汽车生产数量的数据来自国家汽车协会，GDP数据来自国家统计局。
分析过程：1.数据收集和整理：将过去10年内的每年汽车生产数量和GDP数据整理成一个数据表格，便于后续分析。
2.描述统计分析：计算汽车生产数量和GDP的均值、标准差和极差等描述性统计量，以了解数据的整体情况。
3.散点图绘制：将每年的汽车生产数量和GDP数据绘制成散点图，横轴表示汽车生产数量，纵轴表示GDP，每个散点表示一个年份。
4.相关性分析：计算汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数，该系数介于-1和1之间。
系数为正则表示两者正相关，系数为负则表示两者负相关，系数越接近于1或-1，则相关性越强。
结果：1.描述统计分析结果显示，过去10年内每年的汽车生产数量均值为X辆，标准差为X辆，极差为X辆；每年GDP的均值为X万元，标准差为X万元，极差为X万元。
2.散点图显示，汽车生产数量和GDP呈现出一定的正相关趋势。
随着汽车生产数量的增加，GDP也有相应增加的趋势。
3. 相关性分析结果显示，汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数为X。
由于该系数为正数且接近于1，可以得出结论：汽车生产数量与GDP存在着强正相关关系。
讨论：本案例通过相关分析的方法，探讨了汽车生产数量与GDP之间的关系。
研究结果表明，两者之间存在着强正相关关系，即汽车生产数量的增加会促进GDP的增长。
可能的解释是汽车工业作为一个重要的制造业部门，对于经济的增长有着显著的贡献。
第九章 第三节 变量间的相关关系与统计案例
2．回归方程 (1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法．
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(2)回归方程： 方程^y ＝^bx＋^a是两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中^a，^b是 待定参数．
n
xi－－x yi－－y
^
b
＝
i＝1
0.01，
^
a
＝
y
－
^
b
x
＝0.47，∴
^
y
＝0.01x＋0.47，令x＝6，得
^
y
＝0.53.
[答案] (1)B (2)0.5 0.53
返回
[悟一法] 1．求回归方程，关键在于正确求出系数^a，^b由于计算量较
大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产 生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出 的回归方程才有意义． 2．利用回归方程可以估计总体，它是回归方程所反映的规律 的延伸，可使我们对有线性相关关系的两个变量进行分 析和控制．
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4．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，
像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假
设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
返回
2×2列联表
x1 x2 总计
返回
1．两个变量的线性相关 (1)正相关:
在散点图中，点散布在从 左下角 到右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
返回
(2)负相关: 在散点图中，点散布在从 左上角 到 右下角的区域，两 个变量的这种相关关系称为负相关．
变量间的相关关系、统计案例教案(绝对经典)
§11.3 变量间的相关关系与独立性检验⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧、不相关、非线性相关、线性相关、不确定的相关关系、确定的函数关系两个变量的关系32121 1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (4)相关系数①r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x)2∑ni ＝1(y i －y )2或()()12211ni i i n ni i i i x ynx yr x x y y ===-=--∑∑∑；②当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当r 的绝对值>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。
2．线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线ˆˆˆybx a =+的接近程度，使得上式达到最小值的直线ˆˆˆy bx a =+就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法（使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法）． (2)回归方程方程ˆˆˆybx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中，是待定参数．121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑[]112222212()()()()...()()()()...()nnnx x y y x x y y x x yy x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦或者1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑[]1122222212...,...n n nx y x y x y nx y x x x nx++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦ˆˆay bx =- 线性回归方程过样本点的中心（，）3、回归分析(1)y ＝bx ＋a ＋e 中，a 、b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．(2)随机误差e 的估计值e ˆ（a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=）叫做相对于点（x i ，y i ）的残差。
【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件
求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a， 则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名 男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评 价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四 川 资 阳 模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表 示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，
变量间的相关关系与统计案例
3.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1 671人, 经过计算K2的观测值k=27.63,根据这一数据分析,我们 能在犯错误的概率不超过________的前提下认为打鼾 与患心脏病有关.
【解析】K2的观测值k=27.63>10.828,故能在犯错误的
概率不超过0.001的前提下认为打鼾与患心脏病有关.
3.独立性检验的三个步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式计算K2的值. (3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断.
【教材母题变式】 1.有一个同学开了一家小卖部,他为了研究气温对热饮 销量的影响,经过统计计算,得到卖出的热饮杯数依当 天气温(℃)变化的回归直线方程为 y =146-3x,下列判 断正确的是________(填序号)
x1 x2 a c
y2
b d b+d ____
总计 a+b ____
c+d
总计
a+c
a+b+c+d
(2)K2统计量
K 2= 量).
a b c d a c b d
n ad bc
2
(其中n=a+b+c+d为样本容
【金榜状元笔记】 1.两种关系——函数关系与相关关系 (1)区别: ①函数关系是一种确定性关系,相关关系是一种非确定 性关系.
一条直线 附近,则称这两个变量之间具有线性 大致在_________
回归直线 相关关系,这条直线叫做_________.
(3)回归方程 距离 ①最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的_____ 的平方和 最小的方法叫做最小二乘法. _________
②回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据: (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归方程为 y bx a,
变量间的相关关系-统计案例
高考数学知识点:变量间的相关关系-统计案例2016-04-22 15:15一、变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．典型例题1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．3．使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意．二、两个变量的线性相关1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．2．回归方程为3．求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．相关系数，当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．典型例题2：1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．3．由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强．三、独立性检验典型例题3：。
第三节 变量间的相关关系、统计案例(数学建模八)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案 D
^^ ^
^
^
解析 由回归直线方程 y = bx+ a,知当 b>0时,y与x正相关;当 b<0时,y与x负
相关,∴①④一定不正确.故选D.
考点突破 栏目索引
方法技巧 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从 左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r>0时,正相关:r<0时,负相关. (3)线性回归方程: b^ >0时,正相关: b^ <0时,负相关.
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(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤ 一条直线附近 ,就称这 两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (4)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的⑥ 距离的平方和最小 的方法 叫做最小二乘法.
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(5)回归方程
考点突破 栏目索引
(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回 归模型拟合y与x的关系.(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归 模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分
第九章 第三节 变量间的相关关系、统计案例
A．变量x与y正相关，u与v正相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 负相关
[究 疑 点] 究 1．相关关系与函数关系有何异同点？ ．相关关系与函数关系有何异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：(1)函数关系是一种确定关系，相关关系是一 函数关系是一种确定关系， 不同点： 函数关系是一种确定关系 种非确定的关系； 种非确定的关系； (2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因 函数关系是一种因果关系， 函数关系是一种因果关系 果关系，也可能是伴随关系． 果关系，也可能是伴随关系．
2．根据独立性检验的基本思想，得出的两个分类变量有 ．根据独立性检验的基本思想， 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 提示：在实际问题中， 提示：在实际问题中，独立性检验的结论仅仅是一种 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如： 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如：在推测 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有超过 99%的把握说明吸烟与患肺癌有关系，或者这个结论 的把握说明吸烟与患肺癌有关系， 的把握说明吸烟与患肺癌有关系 出错的概率为0.01以下．但实际上一个人吸烟也不一 以下． 出错的概率为 以下 定会患肺癌， 定会患肺癌，这是数学中的统计思维与确定性思维差 异的反映． 异的反映．
变量间的相关关系与统计案例教师版
变量间的相关关系与统计案例教师版教师版：变量间的相关关系与统计案例引言：在统计学中，了解变量间的相关关系是非常重要的。
相关关系描述了两个或更多变量之间的连接，帮助我们理解它们如何相互影响和变化。
本文将介绍变量间相关关系的基本概念，并提供一些统计案例来帮助教师教授有关此主题的课程。
第一部分：相关性的定义和计算相关性是指两个或多个变量之间的关系程度。
直观上，当一个变量的值增加时，另一个变量的值是否也随之增加或减少。
相关性可以是正面的（变量之间的关系是正向的），也可以是负面的（变量之间的关系是反向的）。
相关性的计算可以通过两种方法来完成：Pearson相关系数和Spearman等级相关系数。
Pearson相关系数用于度量两个连续变量之间的线性关系，它的值介于-1和1之间。
当其值接近1时，表示两个变量之间的关系很强；当其值接近-1时，表示两个变量之间的关系是反向的；当其值接近0时，表示两个变量之间的关系较弱。
Spearman等级相关系数用于度量两个等级变量之间的关系，它的计算方式类似于Pearson相关系数，但在计算前将变量转换为等级。
第二部分：相关关系的案例研究案例1：学生的学习时间和学生成绩在这个案例中，我们研究了学生的学习时间和他们的学生成绩之间的相关关系。
我们收集了一组学生的学习时间（以小时为单位）和他们的学生成绩（以百分制为单位）数据。
通过计算Pearson相关系数，我们发现学习时间和学生成绩之间存在较强的正面相关关系（r = 0.8）。
这意味着学习时间越多，学生成绩越高。
案例2：家庭收入和孩子的学习成绩在这个案例中，我们研究了家庭收入与孩子学习成绩之间的相关关系。
我们收集了一组家庭收入水平（以年收入为单位）和孩子的学习成绩（以百分制为单位）数据。
通过计算Pearson相关系数，我们发现家庭收入和孩子学习成绩之间存在较弱的正面相关关系（r = 0.4）。
这意味着家庭收入较高的孩子往往有更好的学习成绩，但这种关系不是很强。
2020版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第3讲变量间的相关关系与统计案例理解析版
第3讲变量间的相关关系与统计案例[考纲解读] 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；根据最小二乘法求出回归直线方程．(重点)2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点考查内容．预测2020年将会考查：①回归直线方程的判断、求解及相关系数的意义，并用其解决实际问题；②独立性检验思想在实际问题中的应用．试题以解答题的形式呈现，难度为中等．此外，也可能出现在客观题中，此时试题难度不大，属中、低档题型.1．相关关系与回归方程(1)相关关系的分类02右上角的区域内，如图1；①正相关：从散点图上看，点散布在从□01左下角到□04右下角的区域内，如图2.②负相关：从散点图上看，点散布在从□03左上角到□(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在□05一条直线附近，06回归直线．则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做□(3)回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的□07距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝1nx i －xy i－y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .其中，b ^是回归方程的□08斜率，a ^是在y 轴上的□09截距，x －＝1n ∑n i ＝1x i ，y －＝1n ∑n i ＝1y i ，□10(x －，y －)称为样本点的中心．说明：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．(4)样本相关系数r ＝∑i ＝1nx i －x y i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．①当r>0时，表明两个变量□11正相关； ②当r<0时，表明两个变量□12负相关； ③r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性□13越强；r 的绝对值接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．2．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的□01不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的□02频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K 2＝□03n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝□04a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量□05K 2来判断“两个分类变量□06有关系”的方法称为独立性检验．1．概念辨析(1)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( ) (2)通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( ) (3)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( ) (4)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．小题热身(1)设回归方程为y ^＝3－5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加3个单位 B ．y 平均减少5个单位 C ．y 平均增加5个单位 D ．y 平均减少3个单位 答案 B解析 因为－5是斜率的估计值，说明x 每增加一个单位，y 平均减少5个单位．故选B .(2)在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )A ．①② B．①③ C．②④ D．②③ 答案 D解析 ①为函数关系；②显然成正相关；③显然成负相关；④没有明显相关性． (3)下面是一个2×2列联表则表中a ，b 处的值分别为________． 答案 52,54解析 因为a ＋21＝73，所以a ＝52.又因为a ＋2＝b ，所以b ＝54.(4)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________.答案 2.6解析 ∵回归直线必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，代入回归方程，得a ^＝2.6.题型 一 相关关系的判断1．下列两变量中不存在相关关系的是( )①人的身高与视力；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③某农田的水稻产量与施肥量；④某同学考试成绩与复习时间的投入量；⑤匀速行驶的汽车的行驶距离与时间；⑥商品的销售额与广告费．A ．①②⑤B ．①③⑥C ．④⑤⑥D ．②⑥ 答案 A解析 根据相关关系的定义知，①②⑤中两个变量不存在相关关系．2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D解析 由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3 答案 A解析 易知题中图①与图③是正相关，图②与图④是负相关，且图①与图②中的样本点集中分布在一条直线附近，则r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A .判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．见举例说明3.(3)线性回归直线方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 D解析 所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D .2．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1e c2x 拟合时的相关系数的平方为r 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关系数的平方为r 22，则r 21>r 22；③x，y 之间不能建立线性回归方程． 答案 ①②解析 ①显然正确；散点图趋向于曲线而非直线，所以用y ＝c 1e c2x 拟合的效果比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合的效果要好，故②正确；x ，y 之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确．题型 二 回归分析角度1 线性回归方程及应用1．(2018·福州四校联考)某汽车的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如表：使用年数x/年 1 2 3 4 5维修总费用y/万元0.5 1.2 2.2 3.3 4.5 根据上表可得y关于x的线性回归方程y^＝b^x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)( ) A．8年 B．9年 C．10年 D．11年答案 D解析由y关于x的线性回归直线y^＝b^x－0.69过样本点的中心(3,2.34)，得b^＝1.01，即线性回归方程为y^＝1.01x－0.69，由y^＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年．故选D.2．某兴趣小组欲研究昼夜温差与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x2，a^＝y－b^x.参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092,112＋132＋122＋82＝498.解(1)设选到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P(A)＝515＝13.(2)由表中2月份至5月份的数据可得x ＝11，y＝24，∑4i＝1x i y i＝1092，∑i＝14x2i＝498，所以b^＝∑i＝14x i y i－4x－y－∑i＝1nx2i－4x2＝187，则a^＝y－b^x＝－307，所以y 关于x的线性回归方程为y^＝187x－307.(3)当x＝10时，y^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22＝47<2；当x＝6时，y^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12＝67<2.所以，该小组所得线性回归方程是理想的．角度2 非线性回归模型的应用3．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑8i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ni ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1w i －wy i －y∑8i ＝1w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．1．利用线性回归方程时的关注点(1)正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x －，y －)．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．2．非线性回归方程的求法(1)根据原始数据(x ，y)作出散点图． (2)根据散点图选择恰当的拟合函数．(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．1．据某市地产数据研究显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制．(1)地产数据研究发现，3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；(2)若政府不调控，依此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价．参考数据及公式：∑5i ＝1x i ＝25，∑5i ＝1y i ＝5.36，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝0.64，回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 x i －x y i －y ∑ni ＝1 x i －x 2，a ^＝y －b^x .解 (1)x ＝255＝5，y ＝5.365＝1.072，∑5i ＝1 (x i －x )2＝10，所以b ^＝0.6410＝0.064，a ^＝y －b ^x ＝1.072－0.064×5＝0.752.所以从3月份至7月份y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.064x ＋0.752.(2)将x ＝12代入回归方程得y ^＝0.064×12＋0.752＝1.52， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价为1.52万元/平方米．2．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y＝bx ＋a ，②y＝c e dx拟合，得到回归方程分别为y ^(1)＝0.24x －8.81，y ^(2)＝1.70e 0.022x，作残差分析，如下表：(1)求表中空格内的值；(2)根据残差比较模型①②的拟合效果，决定选择哪个模型；(3)若残差大于1 kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(2)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x2，a ^＝y －b ^x .解 (1)根据残差分析，把x ＝80代入y ^(1)＝0.24x －8.81中，得y ^(1)＝10.39. ∵10－10.39＝－0.39， ∴表中空格内的值为－0.39.(2)模型①残差的绝对值的和为0.41＋0.01＋0.39＋1.21＋0.19＋0.41＝2.62， 模型②残差的绝对值的和为0.36＋0.07＋0.12＋1.69＋0.34＋1.12＝3.7. ∵2.62<3.7，∴模型①的拟合效果比较好，选择模型①.(3)残差大于1 kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如下表：由公式b ^＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2，a ^＝y －b ^x ，得回归方程为y ^＝0.24x －8.76. 题型 三 独立性检验1．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30 答案 A解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与cc ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大．故选A. 2．(2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，解 (1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可．) (2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)由于K 2的观测值k ＝40×15×15－5×5220×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表；(2)计算随机变量K 2的观测值k ，查表确定临界值k 0；(3)如果k ≥k 0，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P (K 2≥k 0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P (K 2≥k 0)的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．1．(2018·河南洛阳模拟)学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：根据表中数据，通过计算统计量K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，并参考以下临界数据：若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过( )A ．0.10B ．0.05C ．0.025D ．0.01 答案 A解析 由题意可得K 2＝100×30×10－15×45245×55×75×25≈3.030>2.706，由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”出错的概率不超过0.10.故选A.2．某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生600人，女生480人．按性别分层抽样，抽取90名同学做意向调查．(1)求抽取的90名同学中的男生人数；(2)将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)该校高一年级的男、女生之比为600∶480＝5∶4，所以按照分层抽样，男生应抽取50名．(2)2×2列联表如下：由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，代入数据得K 2＝90×25×10－25×30250×40×55×35＝45077≈5.844>5.024. 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”．。