公式法教案设计
公式法优秀教学设计（教案）
公式法优秀教学设计（教案）公式法【教学⽬标】1．掌握⼀元⼆次⽅程求根公式的推导，并会⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程。
（重点）2．通过公式推导，加强推理技能训练，进⼀步发展逻辑思维能⼒。
(难点)3．通过运⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的训练，提⾼学⽣的运算能⼒，养成良好的运算习惯。
【教学过程】⼀、感悟导⼊[师]前⾯我们学习了⼀元⼆次⽅程的解法。
你能⽤配⽅法解答下⾯D 的⽅程吗？(课件展⽰) ⽤配⽅法解⽅程2x 2-7x+3＝0。
[⽣]解：2x 2-7x+3＝0，两边都除以2，得x 2-x+＝0。
2723 移项，得；x 2-x=-。
2723配⽅，得x 2-x+(-)2＝-+(-)2．27472347两边分别开平⽅，得x-＝±4745即x-=或x-=-。
47454745∴x 1=3，x 2=。
21[设计意图]：为了检测学⽣⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程的掌握情况，针对出现的问题及时弥补，为本节课的学习作好铺垫。
]⼆、⾃主探究[师]同学们做得很好，接下来⼤家来试着做⼀做下⾯的练习。
试⼀试，肯定⾏：(课件展⽰)⽤配⽅法解下列关于x 的⽅程：（1）x 2+ax ＝1；（2）x 2+2bx+4ac ＝0。
[⽣]（1）解x 2+ax ＝1，配⽅得x 2+ax+()2＝1+()2，2a 2a (x+)2=。
2a442a + 两边都开平⽅，得x+＝±，2a242a + 即x+＝，x+=-。
2a 242a +2a242a + ∴x 1=， x 2＝242a a ++-242a a +--[⽣]（2）解x 2-2bx+4ac ＝0，移项，得x 2+2bx ＝-4ac ．配⽅，得x 2-2bx+b 2＝-4ac+b 2，(x+b)2=b 2-4ac ．两边同时开平⽅，得x+b ＝±，ac b 42- 即 x+b ＝，x+b ＝-ac b 42-acb 42- ∴x 1=-b+，x 2＝-b-ac b 42-acb 42-[⽣]⽼师，我觉得做错了，他通过配⽅得到(x+b)2＝b 2-4ac ．根据平⽅根的性质知道：只有正数和零才有平⽅根，即只有在b 2-4ac≥0时，才可以⽤开平⽅法解出x 来。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
公式法的教案范文
公式法的教案范文一、教学目标：1. 让学生掌握公式的基本概念和应用。
2. 培养学生运用公式解决实际问题的能力。
3. 引导学生理解公式在数学及其它学科中的重要性。
二、教学内容：1. 公式的定义和特点2. 常见公式的记忆和运用3. 公式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：公式的记忆和运用。
2. 难点：公式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解公式的定义、特点和常见公式。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用公式解决问题。
3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考公式的重要性。
2. 讲解：讲解公式的定义、特点和常见公式。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用公式解决问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调公式的应用价值。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂内容的巩固情况。
4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
七、教学资源：1. 教材：公式法相关教材，用于引导学生学习。
2. PPT：制作精美的PPT，辅助讲解和展示实例。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
4. 案例材料：收集相关的实际问题案例，用于分析讲解。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍公式的定义、特点和常见公式。
2. 第二课时：讲解公式在实际问题中的应用，进行案例分析。
3. 第三课时：进行公式练习，巩固所学知识。
4. 第四课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 复习本节课所学的公式，并尝试举一反三。
2. 完成课后练习题，巩固公式应用能力。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程 （一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知 探究一 公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k 的取值范围是（ ）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
公式法解二元一次方程教案六篇
公式法解二元一次方程教案六篇教案一：用公式法解简单的二元一次方程一、教学目标1、理解并掌握二元一次方程的求根公式。
2、能够熟练运用公式法解二元一次方程。
二、教学重难点1、重点（1）求根公式的推导过程。
（2）运用求根公式解二元一次方程。
2、难点求根公式的推导。
三、教学方法讲授法、练习法四、教学过程1、复习导入（1）回顾一元二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a≠0$）。
（2）提问一元二次方程的配方法。
2、公式推导（1）将一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$）进行配方：＼＼begin{align}ax^2 ＋ bx ＋ c ＆＝ 0\＼ax^2 ＋ bx ＆＝ c\＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＆＝＼frac{c}｛a}＼＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋（＼frac{b}｛2a}）＾2 ＆＝（＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{c}｛a}＼＼（x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＆＝＼frac{b^2 4ac}｛4a^2}＼end{align}＼（2）当$b^2 4ac≥0$时，开方得到求根公式：＄x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄3、公式讲解（1）强调公式中$a$、＄b$、＄c$的含义。
（2）说明判别式$b^2 4ac$的作用：判断方程根的情况。
4、例题讲解例 1：用公式法解方程$x^2 4x 5 ＝ 0$（1）分析：＄a ＝ 1$，＄b ＝－4$，＄c ＝－5$（2）计算判别式：＄b^2 4ac ＝（－4)＾2 4×1×（－5) ＝ 36 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
（3）代入求根公式：＄x ＝＼frac{4 ±＼sqrt{36}｝｛2×1} ＝＼frac{4 ± 6}｛2}＄，解得$x_1 ＝ 5$，＄x_2 ＝－1$5、课堂练习让学生练习用公式法解下列方程：（1）＄x^2 ＋ 2x 3 ＝ 0$（2）＄2x^2 5x ＋ 1 ＝ 0$6、课堂小结（1）总结公式法解二元一次方程的步骤。
公式法的教案范文
公式法的教案范文一、教学目标：1. 让学生理解公式法的基本概念和原理。
2. 培养学生运用公式法解决问题的能力。
3. 培养学生逻辑思维和数学思维能力。
二、教学内容：1. 公式法的定义和原理。
2. 常见公式的记忆和运用。
3. 公式法在不同学科中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：公式法的基本概念和原理，常见公式的记忆和运用。
2. 难点：公式法在不同学科中的应用，逻辑思维和数学思维能力的培养。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解公式法的定义、原理和常见公式。
2. 案例分析法：分析公式法在不同学科中的应用。
3. 练习法：让学生通过练习题目的方式，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何运用公式法解决问题。
2. 讲解：讲解公式法的定义、原理和常见公式。
3. 案例分析：分析公式法在不同学科中的应用。
4. 练习：布置练习题目，让学生运用公式法解决问题。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况，了解他们对公式法的基本概念和原理的理解程度。
2. 练习题目：通过学生完成的练习题目，评估他们运用公式法解决问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估他们的团队合作能力和逻辑思维能力。
七、教学资源：1. 教案和课件：提供详细的教学内容和步骤，帮助学生理解和掌握公式法。
2. 练习题目：提供不同难度的练习题目，让学生通过练习巩固所学知识。
3. 案例分析：提供不同学科的案例分析，帮助学生理解公式法在不同领域的应用。
八、教学进度安排：1. 第1周：介绍公式法的定义和原理，讲解常见公式。
2. 第2周：分析公式法在不同学科中的应用，进行案例分析。
3. 第3周：进行练习题目，让学生运用公式法解决问题。
九、教学反思：在教学过程中，要时刻关注学生的学习情况，及时调整教学方法和节奏，确保他们能够理解和掌握公式法。
八年级数学上册《公式法》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
1.教学活动：教师将学生分成若干小组，针对一个或多个实际问题，让学生用公式法进行求解。
2.小组合作：小组成员共同探讨问题，分工合作，将公式法应用于实际问题中，并给出解答。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导他们正确运用公式法。
2.设想二：启发式教学
在教学过程中，教师应充分运用启发式教学方法，引导学生主动思考、发现问题。通过提问、讨论等方式，让学生参与到教学过程中，提高他们的学习积极性。
3.设想三：分层教学
针对不同水平的学生，设计难易程度不同的练习题。对基础薄弱的学生，重点巩固公式法的基本概念和运算方法；对基础较好的学生，则可以设置一些拓展性的问题和实际应用题，提高他们的数学素养。
-教师在批改作业时，关注学生的反思和总结，给予针对性的指导和鼓励。
5.家长参与：
-邀请家长参与学生的作业过程，了解孩子在学习公式法方面的表现，为孩子提供必要的帮助和支持。
-家长可以与孩子一起探讨生活中的数学问题，激发孩子学习数学的兴趣。
6.设想六：评价与反馈
教师应及时对学生的学习情况进行评价，给予鼓励和指导。同时，鼓励学生互相评价，发挥同伴互助的作用，共同提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师以一个与学生生活密切相关的问题作为导入，如“小明家有一块长方形的地，如果知道长和宽，如何计算面积？”引导学生回顾已学过的面积计算方法。
（四）课堂练习
1.教学活动：教师布置一定数量的课堂练习题，让学生独立完成。
2.练习设计：练习题分为基础题、提高题和拓展题，以满足不同水平学生的需求。
九年级数学北师大版上册 第2章《用公式法求解一元二次方程》教学设计 教案
教学设计用公式法求解一元二次方程一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下七个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：公式的运用；第四环节：巩固运用；第五环节：感悟与收获；第六环节：检测反馈；第七环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固1.一元二次方程的一般形式是_____________________________________2.一元二次方程 0962=-+x x 二次项系数a 为____，一次项系数b 为_______， 常数项c 为________，ac b 42-=____________3.方程01872=--x x 的解为_____________________第二环节 公式的推导活动内容：配方法推导一元二次方程的求根公式提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
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第二章一元二次方程３．公式法一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：看一看、练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x 2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x 2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x 写出方程的根 ∴ x 1=3 , x 2=21第二题： 3x 2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<- ∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。
（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果：通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。
第二环节 公式的推导活动内容：提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a 02=++ac x a b x 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a答：因为a ≠0配方:加上再减去一次项系数一半的平方04)2(2222=+-++a c a b a b x a b x 即: 044)(222=--+a ac b a b x 22244)(a ac b a b x -=+ 问：现在可以两边开平方吗？答：不可以，因为不能保证 04422≥-a ac b 问：什么情况下 04422≥-a ac b 学生讨论后回答：答： ∵ a ≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-a ac b 只要 b 2-4ac ≥0即可∴当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得： 2244a ac b a b x -±=+ aac b a b x 242-±=+ aac b a b x 242-±-= aac b b x 242-±-= 问：如果b 2-4ac<0时，会出现什么问题？答：方程无解活动目的：学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
活动的实际效果：学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）04)2(2222=+-++ac a b a b x a b x 中a c a b +-224运算的符号出现错误和通分出现错误 （2）不能主动意识到只有当b 2-4ac ≥0时，两边才能开平方（3）两边开平方，忽略取“±”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
第三环节：练一练，巩固新知活动内容：１、判断下列方程是否有解：（学生口答）(1) 2x 2+3=7x （2）x 2-7x=18 （3）3x 2+2x+1=0（4）9x 2+6x+1=0(5)16x 2+8x=3(6) 2x 2-9x+8=0学生迅速演算或口算出b 2-4ac,从而判断是否有根问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，那种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解学生口述，教师板书第（1）题例：解方程 2x 2+3=7x先将方程化成一般形式 解： 2x 2-7x+3=0确定a,b,c 的值 a=2, b=-7, c=3判断方程是否有根 ∵b 2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴45722257242±=⨯±=-±-=aac b b x写出方程的根 即x 1=3,x 2=-21问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）３、课本随堂练习2.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。
出现的问题1、对于（1）（2）（5）小题，有个别学生因为没有化成一般形式，从而把a,b,c的符号弄错了；2 、学生比较容易得出当a,c异号时，方程一定有解。
第四环节：收获与感悟活动内容：提出问题：1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？2、用公式法解方程应注意的问题是什么？3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。
第五环节：布置作业用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）（1） 2x2-4x-1=0（2） 5x+2=3x2（3） (x-2)(3x-5)=0（4） 2x2+7x=4（5） x2-22x+2=0列方程解应用题1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?２、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽３、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,（１）若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫要降价多少元？（２）选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。
2、要为学生的终身学习奠基这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.。