理论力学第12章
理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学 第12章
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
3.机械效率
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
×
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
质点系质点相互作用的内 力总是大小相等、方向相 反地成对出现，相互抵消
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
n p mi vi i 1
n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。 矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。
×
例：三个物块用绳相连，它们都可视为质点，其质量分别为 m1 2 m 2 4 m 3 。绳质量和变形忽略不计，且 45 。求这三个 质点组成的质点系的动量 p.
第十二章 动量定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十二章 动量定理
第十二章引言
§12-1 动量与冲量
§ 12-2 动量定理
动量定理例题
§12-3
质心运动定理
质心运动定理例题
第十二章 动量定理
用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个 质点列出动力学基本方程，联立求解困难。
用动力学普遍定理，即： 动量定理 动量矩定理 动能定理 从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的 关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12章
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
第十二章动量定理_理论力学
第十二章动量定理1质系动量的计算质系的动量或式中m为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。
2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。
3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即对于刚体系可表示为式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。
4.变质量质点运动微分方程5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质系上外力系中的未知约束力。
另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。
动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。
质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。
质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1质系动量定理如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为。
牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。
对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。
为外力的主矢量，为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得(12-2)上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主矢量，而与内力系无关。
在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为(12-3)强调说明两点：1、质系动量的变化只决定于外力的主矢量。
理论力学第12章
①
MaCx
MxC
F (e) ix
,
MaCy
MyC
F (e) iy
,
MaCz MzC Fiz(e) 。
②
MaC
M
dv dt
F (e) i
,
MaCn
M
vC2
F (e) in
,
F (e) ib
0 。
19
2. 刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有
mi aCi Fi (e) 或 mi rCi Fi (e)
对整个质点系来讲，内力系旳主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）旳主矩恒等于零。即：
Fi (i) 0; mO (Fi (i) )0 或 mx (Fi (i) )0。
6
§12-2 动量与冲量 一、动量
1.质点旳动量：质点旳质量与速度旳乘积 mv 称为 质点旳动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是 kgm/s。
解：选两物体构成旳系统为研究对象。
受力分析，
F (e) x
0,
水平方向
Kx
常量。
运动分析，设大三角块速度 v，
小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va v vr
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v)mvax 0 M (v)m(vrx v)0
vrx M m Srx M m vm Sm
mi aCix mi xCi Fix(e) mi aCiy mi yCi Fiy (e)
mi aCiz mi zCi Fiz(e)
MaC Fi (e) MrC Fi (e)
3. 质心运动定理是动量定理旳另一种体现形式，与质点运动微 分方程形式相同。对于任意一种质点系， 不论它作什么形式旳 运动， 质点系质心旳运动能够看成为一种质点旳运动， 并设想 把整个质点系旳质量都集中在质心这个点上， 全部外力也集中 作用在质心这个点上。
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2
它们以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同运动 特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量 (冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的 机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答 动力学问题非常方便简捷 。
d K
Fi
(e)
dt
(e)
d Si
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
2. 积分形式
K2 K1
(e)
Si
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
14
3.投影形式：
dKx
dt
F (e) ix
dKy
dt
Fiy (e)
解: 曲柄OA：m, vC112l
滑块B： m,vC3 2l
连K 杆Am Bv：C1 m ,vm C2vC225lm A vC B325l （2Pm 为 l速[ 度2瞬i 心1 2，Pj]C2 25l;AB）
m[ (vC1sinvC2co svC3)i (vC1co svC2sin )j]
m [ (1lsi4n5 5lco s2l)i(1lco 4 s5 5lsi)nj]
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (Mmi)
rC M m iri 或 M rC m iri
设 rcxciycjzck,则 x C M m ix i,y C m M iy i,zC M m izi
5
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
3.刚体系统的动量：设第i个刚体mi , vci 则整个系统：
KmivCi
Kx mivCixmi xCi Ky mivCiymi yCi Kz mivCizmi zCi
8
〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀
转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆
AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质
量也为m。求当 = 45º时系统的动量。
1
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方
程， 联立求解它们即可。
实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。dKຫໍສະໝຸດ dtFiz (e)
4. 质点系的动量守恒
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点I, dd(tmivi)Fi(i)Fi(e)
对整个质点系,
d d (m i tv i) F i(i) F i(e ) (而 F ii 0 )
dK dt
Fi
(e)
(质点系的动量定理）
13
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
1. 微分形式
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
7
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。
KmiviMvC (miriMrC求导 )
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
K x M C M x x C v ,K y M C M y y C v ,K z M C M z z C v
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
F i( i) 0 ; m O ( F i( i)) 0或 m x ( F i( i)) 0 。
6
§12-2 动量与冲量 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为 质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是 kgm/s。
2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dSFdt
t2
冲量： S F dt
t1
10
t2
t2
t2
Sx F xd,tSy F yd,tSz F zdt
t1
t1
t1
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．
t2
t2
t2
SR d t Fd tFd t Si
t1
t1
t1
冲量的单位： N skg m2/sskg m/s 与动量单位同．
11
§12-3 动量定理
一．质点的动量定理
m a m d d v tF d d(m tv ) F
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理
1.微分形式： d(mv)Fd tdS （动量的微分等于力的元冲量）
t2
2. 积分形式： mv2mv1FdtS
t1
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理。
3
第十二章 动量定理 §12–1 质点系的质心, 内力与外力 §12–2 动量与冲量 §12–3 动量定理 §12–4 质心运动定理
4
§12-1 质点系的质心，内力与外力
2
2
2
2
m[l (12532)i(1251)j]
2 2 2 10 2 2 2 10
9
二．冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作
用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 1．力F 是常矢量： SF(t2t1)
12
3投影形式： ddt(mvx)Fx
ddt(mvy) Fy
ddt(mvz) Fz
4.质点的动量守恒
t2
mv2xm1vxSxFxdt
t1
t2
mv2ym1vySyFydt
t1
t2
mv2zm1vz Sz Fzdt
t1
若 F 0 ，则 mv常矢量，质点作惯性运动
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动