有理数的定义和分类
有理数基本概念
有理数的概念知识点一、有理数的概念及分类1、正数与负数：正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数；负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。
正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。
盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？2、有理数：整数与分数统称为有理数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；（2）无限不循环小数不是有理数，如π ；（3）正数和零统称为非负数；注意：0 既不是正数，也不是负数，是唯一的中性数（4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：随堂练习1、气温下降2度记−2°C，那么上升3度表示为°C .2、用+20米表示前进20米，那么−15米表示.3、如果向北走10 m记作+10 m，那么−6 m表示（）.A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m4、有理数包括（）.A 、整数、分数和零B 、正有理数、负有理数和零C 、正数和负数D、正数和分数5、下列说法中，正确的是（）.A 、在有理数中，零的意义表示没有B 、一个数不是正数就是负数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D、零是整数6、0 属于（）.A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是7、既是分数，又是正数的是（）.A、+3B、−513 C 、0 D、2.28、下列说法中错误的是（）.A、−2是负有理数B、零不是整数C 、34是正分数D、−0.26是负分数9、已知下列各数：−8，2.1，19，3，0，−2.5，10，−1，其中非负数的个数有（）.A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个10、把下列各数填入相应的括号里.正整数集合{ … }分数集合{ … }整数集合{ … }负数集合{ … }数轴1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
有理数的知识点整理
有理数的知识点整理一、有理数的概念1. 定义- 整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数，例如3、0、-5等；分数包括有限小数和无限循环小数，有限小数如0.25，无限循环小数如0.3̇。
2. 有理数的分类- 按定义分类：- 有理数cases(整数begin{cases}正整数0负整数)分数cases(正分数负分数)end{cases}- 按性质符号分类：- 有理数cases(正有理数begin{cases}正整数正分数)0负有理数cases(负整数负分数)end{cases}二、数轴1. 定义- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
2. 数轴上的点与有理数的关系- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。
例如，2可以用数轴上原点右边距离原点2个单位长度的点来表示；-1.5可以用原点左边距离原点1.5个单位长度的点来表示。
3. 利用数轴比较有理数的大小- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
例如，在数轴上3在1的右边，所以3 > 1；-2在-3的右边，所以-2>-3。
三、相反数1. 定义- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
例如，3和-3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。
2. 性质- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。
例如，5+(-5) = 0。
- 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
例如，3和-3在数轴上到原点的距离都是3个单位长度。
四、绝对值1. 定义- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
例如，|3| = 3，| - 3|=3。
2. 性质- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
有理数的概念教案例题习题
有理数的概念-教案例题习题教案章节：一、有理数的定义与分类二、有理数的加法与减法三、有理数的乘法与除法四、有理数的乘方五、有理数的混合运算一、有理数的定义与分类1. 概念讲解：有理数是可以表示为两个整数比例的数，其中分子和分母都是整数，分母不为零。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数案例，如2/3, -5/4等，解释它们是有理数的原因。
3. 习题练习：b. 找出下列有理数的相反数：2/5, -7/8二、有理数的加法与减法1. 概念讲解：有理数的加法是将两个有理数的分子相加，分母保持不变；有理数的减法则是将减数的分子取相反数后相加。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数加法和减法案例，如2/3 + 1/4, -5/6 2/3等，解释运算过程。
3. 习题练习：三、有理数的乘法与除法1. 概念讲解：有理数的乘法是将两个有理数的分子相乘，分母相乘；有理数的除法则是将除数的分子乘以倒数，再与被除数的分子相乘，分母相乘。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数乘法和除法案例，如2/3 ×4/5, -5/6 ÷2/3等，解释运算过程。
3. 习题练习：四、有理数的乘方1. 概念讲解：有理数的乘方是指将一个有理数自乘若干次，其中指数表示自乘的次数。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数乘方案例，如2^3, (-3/4)^2等，解释运算过程。
3. 习题练习：五、有理数的混合运算1. 概念讲解：有理数的混合运算是指在一个表达式中包含有理数的加减乘除和乘方等运算。
2. 案例分析：分析几个具体的混合运算案例，如2/3 + 1/2 ×3/4, -5/6 ÷(-2/3) ×(-1/2)^2等，解释运算过程。
3. 习题练习：六、有理数的应用-比例与比例尺1. 概念讲解：比例是两个有理数的比较，比例尺是地图上距离与实际距离的比。
2. 案例分析：通过实际案例，如购物时打折的比例计算，地图上的距离与实际距离的换算等，解释比例和比例尺的计算方法。
有理数的定义和加减法教学提纲
有理数的定义和加减
法
知识点
（一）有理数分类
1、有理数的分类：
按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：
2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴
1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。
（三）相反数
1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
（四）绝对值
1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即对于任何有理数a,都有
4、绝对值的计算规律：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.
（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
相关结论：。
什么是有理数和有理数的基本性质
什么是有理数和有理数的基本性质定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数的相关概念介绍有理数的概念的内容包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。
1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。
“分类”的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准2.非负数，非正数：非负数：正数与零的统称。
非正数：负数与零的统称。
3.相反数：(1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.(2)求相反数的公式: a的相反数为-a.(3)性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。
(4)注意：0的相反数是0。
4.数轴：(1)定义(“三要素”):具有原点、正反方向、单位长度的直线叫数轴。
作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。
5.绝对值(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。
(2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
①符号"││”是“非负数”的标志;②数a的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号，如果有“-”要继续计算。
[2]从整数到有理数人类先认识了整数，然后才认识了有理数。
从直觉上可以感觉到，有理数和它的运算都可以由整数得到。
下面就提供了一种方法：定义有理数为整数对(a,b)的等价类,其中b非零。
定义a/b=c/d,如果ad=bc。
定义有理数乘法为(a/b)*(c/d)=ac/bd,定义a/b的倒数为b/a，如果a,b非零。
定义有理数加法为a/b+c/d=(ad+bc)/bd，定义a/b的相反数为(-a)/b，定义a-b为a+(b的相反数)。
1-1有理数及相关概念、测试
有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。
有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。
2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。
3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。
例1、将下列循环小数化成分数。
（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。
二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。
《有理数》知识要点
《有理数》知识要点一、有理数的概念1、正数和负数：（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示具有相反的量。
2、有理数：(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数。
整数和分数统称有理数.注意：0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。
不是有理数；(2)有理数的分类:①按定义分：负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②按性质分：负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)自然数＜====＞0和正整数；a＞0 ＜====＞a是正数； a＜0 ＜====＞a是负数；a≥0＜====＞a是正数或0＜====＞a是非负数； a≤0＜====＞a是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】：（1）、规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
它满足以下要求：（1）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（2）、画数轴的步骤：一画（画直线）；二取（取原点和正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：（1）所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
原点表示数0. （2）、正数在原点的右边，与原点的距离是|a|个单位长度；负数在原点的左边，与原点的距离是|a|个单位长度。
4、相反数：（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
注意：① a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；②相反数的商为-1；③相反数的绝对值相等。
（3）、a和-a互为相反数。
0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
相反数是它本身的数只有0。
（4）、在任意一个数前面添上“-”号，表示原数的相反数。
（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。
有理数的定义与分类
有理数的定义与分类有理数是数学中的一类数，指可以表示为两个整数的比值的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数等形式，是数轴上的有理点。
1. 有理数的定义有理数是指可以表示为a/b的形式，其中a和b为整数（b ≠ 0）。
其中，a称为有理数的分子，b称为有理数的分母。
有理数的定义可以用数学符号表示为：Rational numbers = {a/b | a ∈ Z, b ∈ Z and b ≠ 0}2. 有理数的分类有理数可以根据其表示形式进行分类。
2.1 整数整数是有理数的一种特殊形式，可以表示为分母为1的有理数。
整数包括自然数、负整数和0。
例如，整数3、-5和0都是有理数。
2.2 分数分数是有理数的另一种形式，可以表示为两个整数的比值。
分数包括正分数、负分数和零分数。
例如，1/2、-3/4和0/1都是有理数。
2.3 小数小数是有理数的一种常见形式，可以表示为整数部分和小数部分的组合。
小数可以分为有限小数和循环小数。
2.3.1 有限小数有限小数是小数部分有限的小数表示形式。
例如，0.25和-2.75都是有限小数。
2.3.2 循环小数循环小数是小数部分具有无限循环的小数表示形式。
循环小数的循环部分可以是1个或多个数字循环。
例如，1/3可以表示为0.3333...，其中3会无限循环。
3. 有理数的例子以下是一些常见的有理数的例子：3.1 整数-5, 0, 23.2 分数1/2, -3/4, 5/13.3 小数0.25, -2.75, 0.3333...通过以上的例子可以看出，有理数可以以不同的形式呈现，但它们都满足可以表示为两个整数的比值。
有理数在数学中具有重要的地位，并广泛应用于各种数学问题和实际应用中。
总结：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
其定义包括整数、分数和小数。
有理数可以根据其表示形式进行分类，包括整数、分数和有限小数、循环小数。
有理数在数学中具有重要的地位，是数学研究和实际应用中不可或缺的概念。
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6．请写出一个比0小的整数_________.
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L一O、G选O择题
1．下列说法中正确的个数有（ A ） ①－3是负分数；②2.4不是整数；③非负有理数不包括零；④
B．0是整数但不是正数
C．正数和负数统称为有理数 D．0是最小的数
6．－99不是( B ) A．有理数 B．自然数 C．负有理数 D．整数
7．下列说法中，不正确的是（ C ）
A．－3.14既是负数，分数，也是有理数 B．0既不
是正数，也不是负数，但是整数
C．－2004既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0
2009，-0.14287，67%
i ……
……
……
……
正数集合
负数集合
整数集合
分数集合
2、正整数、0_和 _负整数__统称整数。_正分数__和_负分数_统称为分数。
3、_整__数____和__分_数____统称为有理数。
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LOGO
4.下列说法错误的是（ C ） A .负整数和负分数统称负有理数 B.正整数、0、负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D.3.14是小数，也是分数
是非正数
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L二O、G填O空题
1．正整数、_0_____、_负__整_数___统称为整数；正_分__数__、_负__分__数_ 统称为分数；整数和分数统称为__有__理____数。 2．甲地的海拔－22m，乙地海拔－18m，则_乙___地比_甲___地 要高些。 3．若a是负数，则－a是__正__数___数，若－a是负数，则a是 ____负__数______数。 4．是负数而不是整数的数是__负__分_数___，既不是分数也不是正 数的数是__非__正__整__数__。 5．正整数集合与正分数集合合在一起是_正__有_理__数_集合，既不 是正整数也不是负整数的整数是__0_________。 6．正整数中有没有最小的数？__有______。正整数中有没有最 大的数?__无_____。负整数中有没有最小的数?__无_______．正 数中有没有最小的数?__无_______负数中有没有最小的 数?_无_____。负整数中有没有最大的数?_有__________。
A．有理数有6个
B．－π是负数，不是有理数
C．非正数有3个
D．以上都不对
4．下列说法正确的是 B
A．有最大的负数，没有最小的正数 B．没有最大的有理数，
也没有最小的有理数
C．有最大的非负数，没有最小的非负数 D．有最大的负数，
没有最小的正数
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5．下面说法正确的是（ B ）
A．整数又叫自然数
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三、解答题 1．某中学对初三男生进行引体向上的测试，以能做l0个为 标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其 中8名男生的成绩如下：
＋2，－5，0，－2，＋4，－l，－1，＋3 （1)达到标准的男生占百分之几?
4/8×100％=50％ （2)他们共做了多少个引体向上?
(10+2)+(10-5)+(10+0)+(10-2)+(10+4)+(10-1) +(10-1)+(10+3) =80
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谢谢观赏
具有相反意义的量
具有相反意义的量：上升与下降、增与减、收入 与支出、胜与负、进与退、多与少、盈利与亏损 向东与向西、顺与逆、过剩与不足、重与轻等
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
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像10、1.2、17…这样的数叫做正数， 它们都比0大 在正数前面加上“－”号的数叫做负数， 例如－10，－3 …
人教L版O七G年O级上册
有理数的定义及分类
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学过的数
古代猎人打了一只老鹰，用数如 何表示一只老鹰——有了整数
货币购物，用数如何表示 10元5角3分——有了小数
二人分一只西瓜，用数如何 表示半只西瓜——有了分数
瓦罐没有东西了——有了0
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LOGO 零上与零下 盈利与亏损 加分与扣分 高出与低于
正整数、负整数统称为整数；⑤0是最小的有理数。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的个数为（ B）
①0是整数 ②负分数一定是负有理数 ③一个数不是正数就
是负数 ④π是有理数
A．0个 B．2个 C．3个 D．1个
3．在数6.4，－π，－0.6，10.1，2006中正确的是（ B ）
你认为0应该放在什么地方？
0既不是正数，也不是负数
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题
思
考
你会把我们所学 过的所有的数进
行分类吗?
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请你将到目前为止学过的数进行分类
整
数
有 理
数 分 数
正整数：如 1、2、3…… 零： 0 负整数：如－1、－2、－3…
正分数: 如 1/2 、1/3、5.2
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数 分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成 三大类。
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4、非正数、非负数、 非正整数、非负、把下列各数填入表示它所在的数集的圈里．
7， -9.24， -301， 31.25， 0.6，-18， 3.1416，
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有理数的概念
整数与分数统称为有理数
是有理数吗？
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有理数的另一种分类：
正整数
正有理数
有
正分数
理
0
数
负整数
负有理数
负分数
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小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表 示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上 “－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它 表示正、负数的界限。