高三第一轮复习课 二次函数、幂函数
考点1 二次函数的解析式
方法提炼 在求二次函数解析式时,要灵活地选择二次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般形式; (2)已知顶点坐标或对称轴或最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与 x 轴的交点坐标,应选择两根式. 提醒:求二次函数的解析式时,如果选用的形式不当,引入的系数过多, 会加大运算量,易出错.
考点2
二次函数的图象与性质
例2：(1)已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根 x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3, 那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的 图象有可能是( )
考点2：二次函数的图象与性质 (2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在 区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
{y|y∈R _______ ________ [0,+∞) 且y≠0} _ ________
__
R [0,+∞) __ ______ R __
奇 ___
偶
下凸
_______ 奇 ___ 非奇非偶
下凸 上凸
奇 ___
下凸
考点1 二次函数的解析式 例1：已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值是15; (3)f(x)＝0的两根立方和等于17。 求函数f(x)的解析式。 练习：已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数的解析式。
【解析】选B.∵a<0,∴y=xa在(0,+∞)上是减函数, 且函数值大于零， ∴ 0.2a ( 1 )a 2a , 故选B.
2
练习：已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0， 求f(x)的解析式，并写出单调区间. (2)在(1)的条件下，f(x)>x+k在区间 [-3,-1]上恒成立，试求k的范围.
考向5 幂函数
2-2m-2 2 m 1、若幂函数y＝(m －3m＋3)x 的图象关
(2)若a<0，则下列不等式成立的是(
1 a 1 ) 0.2a B 0.2a ( )a 2a 2 2 1 1 C ( )a 0.2a 2a D 2a 0.2a ( )a 2 2
)
A 2a (
一、基础知识
2、二次函数的图象性质
函 数 y=ax2+bx+c(a＞0)
b ] 2a 上递减， 在_______ ( , [
y=ax2+bx+c(a＜0)
b , ) 2a 在_______ 上递减， [ b ] 2a 上递减， 在________ ( ,
单调性
b , ) 2a 在_______ 上递增
考点1
幂函数的定义
于y轴对称，则实数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的值为________．
2、已知幂函数 为( ) 1 A. 4 C．2 1 B．－ 4 D．－2
1 y＝f(x)的图象过点 ， 2
2 ，则 log4f(2)的值 2
3、已知幂函数 f x x
m2 2m 3
(m N* ) 的图象关于y
2 3 1 y x, y x , y x , y x , y x 5.幂函数 的性质
1 2
函数 性质 定义域 值域 奇偶性 第一象限 凹凸性
y=x
y=x2
y=x3
yx
1 2
y=x-1
R __
R __
R
{x|x∈R _______ ________ [0,+∞) 且x≠0} _ ________
,则 f(x)的一个单调递减区间
考向5 幂函数
考点4 比较大小
1、设a=0.64.2,b=0.74.2,c=0.65.1，则a,b,c 大小关系正确的是( ) (A)a>b>c (B)b>a>c (C)b>c>a (D)c>b>a 【解析】选B.函数y=x4.2在(0,+∞)上是增函数, ∴0.64.2<0.74.2. 又函数y=0.6x是减函数，∴0.64.2>0.65.1, ∴0.74.2>0.64.2>0.65.1，即b>a>c.
奇偶性
对称性
b=0 时为偶函数 当____
b 2a 成轴对称 函数的图像关于_______ x
3.幂函数 α y=x 形如______(α ∈R)的函数叫幂函数，其 中x是_______ 自变量，α 是常数. 4.幂函数的图象 1 y x, y x 2 , y x 2 , y=x-1,y=x3 幂函数 的图象如图：
1.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种 类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区 间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴 与区间的关系,当含有参数时，要依据对称 轴与区间的关系进行分类讨论. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或 图象求解，最值一般在区间的端点或顶点 处取得．
轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足 m m a 1 2 3 2a 2 的实数a的取值范围.
方法提炼 1.判断一个函数是否为幂函数,只需判断该函数的解析式是否满足:(1) 指数为常数;(2)底数为自变量;(3)幂系数为 1. 2.若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上三个特征.
第4节 二次函数
一、基础知识
1、二次函数的解析式
ax2+bx+c
(h,k)
一、基础知识
2、二次函数的图象性质
函 图 数 象 R
4ac - b 2 [ , ) ___________ 4a
y=ax2+bx+c(a＞0)
y=ax2+bx+c(a＜0)
定义域 值 域
R
4ac b 2 (, ] ___________ 4a
(3)已知二次函数f(x)＝ax2+x+2在区间 [-1,+∞)是单调递减的，则a的取值范围 是＿＿＿＿＿＿
练习：函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上 是减函数，则实数a的取值范围是______.
考点3 二次函数的最值问题
例1：求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]的值域。 2：已知二次函数f(x)=x2+3x-4在区间 [t,t+1]的最小值是g(t)，求g(t)的解析式。
考点4 二次函数的恒成立问题
例1：设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足 1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取 值范围是＿＿＿＿＿ 2：已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3在 x∈[-1,1]上是恒小于零，则实数a的取值 范围为＿＿＿＿＿
一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离， 转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质， 列不等式组求解.
考向5 幂函数
考点2 幂函数的图象
1、图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的 图象，则解 析式中指数k的值依次可以是( ) 1 (A)-1, 1 ,3 (B)-1,3, 2 2 1 1 (C) ,-1,3 (D) ,3,-1
2 2
考向5 幂函数
考点3 幂函数的性质
1 4
2.幂函数 f(x)=xα(α 是有理数)的图象过点 2, 是( A.[0,+∞) C.(-∞,0] ) B.(0,+∞) D.(-∞,0)
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数
∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
第一轮复习07----二次函数与幂函数
D
已知f x ax bx c, 且a b c,
2
二次函数的应用
a b c 0, 集合A m | f m 0, ） A.任意m A, 都有f m 3 0
则（
C.存在m0 A, 使得f m 3 0
B.任意m A, 都有f m 3 0
3 2 , 3 3
二次函数的应用
已知函数f x 3ax 2bx c,
2
a b c 0, 且a b c. b 7 2 7 1 , ,1; （1）求 的取值范围 ; 3 2 3 a （2）若x1、x2是方程f x 0的两个 实根，求 | x1 x2 | 的取值范围。
有最大值3，最小值2，求m的取值范围。
9 ; 1,2 2
二次函数
0,1，对称轴为x 2， 二次函数的图像过点
最小值为- 1，求它的解析式。
1 2 y x 2 1 2
二次函数
2 3，已知函数f x x 2ax 3, x 4,6. (1)当a 2时，求f x 的最值。 (2)求实数a的取值范围，使 y f x 在区间 - 4,6上是单调函数； (3)当a 1时，求f | x |的单调区间。
2
(1)若函数f x 的最小值为f 1 0,
(2)在(1)的条件下，f x x k在区
二次函数的应用
如果函数f x x bx c对任意的实数
2
C. f 2 f 0 f 2
B. f 0 f 2 f 2
分类讨论思想在函数中的应用
（ 1）若a 1，作出函数f x 的图像。 g a 的表达式。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数教师用书
第四节 二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 12，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数． (2)x α的系数为1． (3)解析式只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方且无限逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限逼近x 轴．4．二次函数的图象与性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增； 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”． (2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”． 二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数． ( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4 C ．22D ． 2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22．3．二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11 B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1 C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3D 解析：二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，则图象的对称轴为x ＝1．又由函数的最大值是5，可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0)．于是3＝a ＋5，解得a ＝－2．故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3．故选D ．4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,27)，则幂函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数AC 解析：设幂函数为f (x )＝x α(α为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f (x )＝x 3．因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又α＝3＞0，所以f (x )在R 上是增函数．5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是__________．－1 解析：因为函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x＋3在[－1,1]上单调递减．当x ＝1时，y 取得最小值，所以y min ＝2－6＋3＝－1．考点1 幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D 解析：设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．(2021·南昌月考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B 解析：因为幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2，符合题意．故选B ．3．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )B 解析：y ＝x 12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图象所示)．将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B ．4．若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是___________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪(4，＋∞) 解析：因为(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，又f (x )＝x －2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a |，a ＋1≠0，3－2a ≠0，解得a ＜23且a ≠－1或a ＞4．1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论．考点2 二次函数的解析式——综合性已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12．所以m ＝12．又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8．因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7．(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1． 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a24a＝8，解得a ＝－4．故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．求二次函数解析式的策略1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点， 则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b ．所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝( )A ．7B ．5C ．4D ．2C 解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a2．又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ＋b 2，所以－a 2＝a ＋b2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4．故选C ．考点3 二次函数的图象和性质——应用性考向1 二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x －c ＝0的两根．把x ＝－2,1分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2－c ＝0，a －1－c ＝0，联立解得a ＝－1，c＝－2．所以f (x )＝－x 2－x ＋2．所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D ．(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )A 解析：若0<a <1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，排除C ，D ．若a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 不正确，只有A 满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．考向2 二次函数的单调性若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]D 解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的图象对称轴为x ＝3－a2a ．由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0．综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________． －3 解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0． 又3－a2a＝－1，所以a ＝－3．利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．考向3 二次函数的最值已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a ．①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． ②当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38．③当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3．综上可知，a 的值为38或－3．将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x ＝－a ．①当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5．②当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ．综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.二次函数的最值问题的类型二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．考向4 二次函数中的恒成立问题已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由题意可知，f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1＞0得m ＜－1．因此，满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．由不等式恒成立求参数的取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ．1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则f (x )的图象可能是( )D 解析：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A ，C ．又f (0)＝c ＜0，排除选项B ．故选D ．2．(多选题)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)ACD 解析：因为对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴是x ＝2．当a ＞0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a ＜0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)．3．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 D 解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －12a≤－1，解得0<a ≤13．综上，0≤a ≤13．故选D ．4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，成立； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，易知1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a ＜12．综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12．。
新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精讲(含答案)
幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ， 故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ． 故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数， 得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数； 又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ． 故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（ ） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围． 【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ）， 由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7， 故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答． 【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1， 当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号， 即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3， 若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立， 可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4， 解得a ＝﹣1，b ＝2， 此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称， 可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4， 解得a =−14，b ＝1， 此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)， 可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4， 此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知， 函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得． 若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为 ．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题． 【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4． 故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为 ．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值． 【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2） 对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3． （1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果； （2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ）， 所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3， 整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22， 因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增， 所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ， 则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ， 则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根， 由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去， 当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意； 故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去． 综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2． 【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143， 可得k ＞143． 故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立， 此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立， 此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1， 所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.6 二次函数与幂函数
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
高三一轮复习二次函数与幂函数
(2)(2014· 杭州模拟 ) 若 (a ＋ 1) ________． 解析 令 f(x)＝x
<(3 － 2a)
，则 a 的取值范围是
1 ＝ ，则 f(x)的定义域是{x|x>0}，且在(0，＋ x
∞)上单调递减， a＋1>0， 2 3 则原不等式等价于3－2a>0， 解得3<a<2. a＋1>3－2a， 答案 2 3 (3，2)
2． (2014· 烟台调研)幂函数 为 A．1 C．3
n
1 1 y＝f(x)的图象经过点4，2， 则 f4的值
Байду номын сангаас
( B．2 D．4
)
1 B [设 f(x)＝x ，∵f(4)＝ ， 2 1 1 1n － ∴4 ＝2，f4＝4 ＝4 n＝2，故选 B.]
第六节
二次函数与幂函数
[主干知识梳理] 一、常用幂函数的图象与性质
1
y ＝x
y＝x
2
y＝x
3
y＝x
2
y＝x
－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域 奇偶 性
R
奇 增
{y|y≥0} 偶 (－∞，0]减， (0，＋∞)增
R
奇
{y|y≥0}
非奇非偶 增
{y|y≠0} 奇 (－∞，0)和 (0，＋∞)减
单调 性
公共 点
增
(1，1)
二、二次函数 1．二次函数的定义 形如 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的函数叫做二 次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 ax2＋bx＋c(a≠0) (1)一般式：f( )－ ＝ ； ax (x m)2＋n(a≠0) (2)顶点式：f(x) ； a＝ (x－x1)(x－x2)(a≠0) (3) 零 点 式 ： f(x) ＝ ．
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数
第四讲 幂函数与二次函数知 识 梳 理学问点一 幂函数 函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞)(－∞，0)∪ _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪ _(0，＋∞)__奇偶性奇 函数偶 函数 奇 函数非奇非偶 函数奇 函数单调性在R 上单 调递增在 (－∞，0)上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增在R 上 单调递增在 [0，＋∞) 上单调递增在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减公共点(1,1)学问点二 二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝12x 12是幂函数．( × ) (2)y ＝x 0的图象是一条直线．( × )(3)幂函数y ＝x －1是定义域上的减函数．( × ) (4)幂函数的图象不行能出现在第四象限．( √ ) (5)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(6)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值确定是4ac －b24a .( × ) 题组二 走进教材2．(必修1P 91练习T1改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为 y ＝x －12 ，在区间 (0，＋∞) 上单调递减．[解析] ∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴2α＝22＝2－12，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.由f (x )的图象可知，f (x )的减区间是(0，＋∞)．3．(必修1P 100T5改编)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，则m 的值为( A )A ．－1B ．1C ．2或－1D ．2[解析] 利用幂函数的定义及性质列式计算并推断．∵f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0，解得m ＝2，或m ＝－1，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，∴m 2＋m －3<0，当m ＝2时，m 2＋m －3＝3>0，不合题意，舍去；当m ＝－1，m 2＋m －3＝－3<0，符合题意，故m ＝－1.故选A.4．(必修1P 53T2改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b > 0，ac < 0，a －b ＋c < 0.[解析] ∵a <0，－b2a >0，∴b >0.∵ca ＝x 1x 2<0，∴ac <0，a －b ＋c ＝f (－1)<0.5．(必修1P 58T6改编)已知f (x )＝x 2－2 025x ，若f (m )＝f (n )，m ≠n ，则f (m ＋n )等于( C ) A ．2 025 B ．－2 025 C ．0D ．10 025[解析] 先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可．函数f (x )＝x 2－2 025x 的对称轴为直线x ＝2 0252，∵f (m )＝f (n )，∴m ，n 关于函数f (x )＝x 2－2 025x 图象的对称轴对称，∴m ＋n ＝2 025，∴f (m ＋n )＝f (2 025)＝0.故选C.题组三 走向高考6．(2013·浙江文，7,5分)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( A )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0[解析] 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，故选A. 7．(2024·上海)下列幂函数中，定义域为R 的是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x －12C ．y ＝x 13 D ．y ＝x 12[解析] 选项A 中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B 中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C 中函数的定义域为R ，选项D 中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.8．(2024·上海，7)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 .[解析] ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3， 又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.。
高三一轮复习第四节二次函数与幂函数
课时作业1．(2022·宁德市模拟) 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B ．(8，＋∞]C ．(－∞，－8]D ．(－∞，8] 【解析】 －－m 2×2≤－2，即m ≤－8．【答案】 C2．(2022·青岛一中调研) 已知幂函数f (x )＝x 2＋m 是定义在区间[－1，m ]上的奇函数，则f (m ＋1)＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1 【解析】 ∵f (x )＝－f (－x )，∴－1＋m ＝0，∴m ＝1．【答案】 A3．(2022·合肥三模) 已知a ∈{－1，2，12，3，13}，若f (x )＝x a 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值是( )A ．－1，3B ．13，3C ．－1，13，3D ．13，12，3 【解析】 因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以α>0，排除A ，C 选项；当α＝12时，f (x )＝x 12 ＝x 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D ，故选B ．【答案】 B4．(2022·烟台三模) 定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞)【解析】 由题意可行f (x )在R 上单调递增，所以要使f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立，只需x >x 2－2x ＋2，解得1<x <2，选A ．【答案】 A5．(2022·新疆乌鲁木齐月考) 已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3【解析】 ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．【答案】 A6．(2022·贵州凯里月考) 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5【解析】 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13． 【答案】 B7．(2022·陕西渭南月考) 如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，则m 取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 【解析】 幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，所以{m 2－m －2≤ 0，m 2－3m ＋3＝1解得m ＝1或2，符合题意． 【答案】 B8．(2022·南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，22)则k ＋α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点(12，22)所以(12)α ＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32． 【答案】 C 9．(多选)(2022·江苏百校联考)“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对 x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ＜12D ．a ≥0【解析】 由题意可知，关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0恒成立，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，对于选项A ，“0＜a ＜1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对 x ∈R 恒成立”的充要条件；对于选项B ，“0≤a ≤1”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对 x ∈R 恒成立”的必要不充分条件；对于选项C ，“0＜a ＜12”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对 x ∈R 恒成立”的充分不必要条件；对于选项D 中，“a ≥0”是“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0对 x ∈R 恒成立”必要不充分条件，故答案选BD ．【答案】 BD10．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)【解析】 因为对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴是x ＝2，当a >0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a <0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)． 【答案】 ACD11．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)【解析】 由已知得{a ＋b ＋c ＝0，－b2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D ．【答案】 ABD12．(2022·山西晋中月考)f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0【解析】 (1)当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；(2)当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；(3)当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于零，故解集为R 不可能．综上，a 的取值范围为(－4，0]．【答案】 D13．(2022·内蒙古赤峰模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________．①f (－x )＝f (x )；②当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0；③f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；【解析】 由所给性质：f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上恒正的偶函数，且f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，结合偶数次幂函数的性质，如：f (x )＝x 2满足条件．【答案】 x 2(答案不唯一)14．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1．1，g (x )＝x 0．9，h (x )＝x －2的大小关系是________．【解析】 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0，1)上的图象，【答案】 h(x)>g(x)>f(x)。