微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 已知,)(lim 1A x f x =+

→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当

时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知22

35

lim

2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→β

β

α0

lim

x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a

x 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h

x f h x f h )

()3(lim

000

______________。

7. 曲线y = x 2

＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰

))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2

224Q Q R -=，52

+=Q C ，则当利润最大时产

量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的

邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a

(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极

限一定不存在 2. 设1

1

)(-=x arctg

x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+

-∞

→1

3)11(lim x x x

（ ）

。 (A) 1 (B) ∞ (C)

2e (D) 3e

4. 对需求函数5

p e

Q -=，需求价格弹性5

p

E d -

=。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10

5. 假设)(),(0)(lim ,

0)(lim 0

x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存

在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→)

()(lim

或，则a x g x f x x =''→)()

(lim 0或

(B) 若a x g x f x x =''→)()(lim

或，则a x g x f x x =→)()

(lim 0或

(C) 若)

()(lim

x g x f x x ''→不存在，则)()

(lim 0x g x f x x →不存在

(D) 以上都不对

6. 曲线2

2

3

)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2

)2(1

4--=

x x y （ ）。

(A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线；

又有垂直渐近线

8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值

9. 若ƒ(x )的导函数是2

-x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。

(A) x ln ； (B) x ln -； (C) 1

--x ；

(D) 3

--x

三．计算题(共36分)

1． 求极限x

x

x x --+→11lim

（6分）

2． 求极限x

x x 1)(ln lim +∞

→ （6分）

3． 设0

00

1sin 2sin )(>=<⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+=x x x b x x a x x x f ，求b a ,的值，使)(x f 在(-∞，+∞)上连续。(6分) 4． 设1+=+xy e

y

x ，求y '及0='x y （6分）

5． 求不定积分dx xe x ⎰

-2（6分）

6． 求不定积分

.42dx x ⎰

-（6分）

四．利用导数知识列表分析函数2

11

x y -=

的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)

x

五．设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且1)2

1(,0)1()0(===f f f ，试证：

(1) 至少存在一点)1,2

1(∈ξ，使ξξ=)(f ； (2) 至少存在一点),0(ξη∈，使1)(='ηf ；

(3) 对任意实数 ，必存在),0(0ξ∈x ，使得1])([)(000=--'x x f x f λ。(12分)

微积分试题(B 卷)

一. 填空题 (每空3分,共18分) 10.

()=+'⎰dx b x f b

a

. 11.

=⎰

∞

+-0

2dx e x .

12. 关于级数有如下结论：

① 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 收敛，则∑

∞

=11

n n

u 发散. ② 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 发散，则∑

∞

=11

n n

u 收敛. ③ 若级数

∑∞

=1n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

都发散，则

∑∞

=+1

)(n n n

v u

必发散.

④ 若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

必发散.

⑤ 级数

∑∞

=1

n n

ku

（k 为任意常数）与级数

∑∞

=1

n n

u

的敛散性相同.