2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
【高考】二轮复习与圆相关的范围与最值问题ppt课件
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
2025高考数学必刷题 第61讲、圆中的范围与最值(教师版)
第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6【答案】C 【解析】43yx --看作圆上的点(),P x y 到点()3,4A 的直线的斜率的相反数.当经过点()3,4A 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为()34y k x =-+，所以圆心到切线的距离等于半径，故2231k k -+=+6k =故当6k =时，切线斜率最小，此时43yx --最大，最大值为6-，故选：C例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点()P x y ，在圆22(1)1x y +-=上运动，则下列选项正确的是（）A ．12y x --的最大值为13，最小值为1;3-B ．12y x --C ．2x y +的最大值为11；D ．2x y +的最大值为2+2-【答案】BC 【解析】（1）设12y k x -=-，整理得210kx y k --+=，则k 表示点(,)P x y 与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k1=，解得k =所以12y x --3；（2）设2m x y =+，整理得20x y m +-=，则m 表示直线20x y m +-=在y 轴上的截距．当该直线与圆相切时，m 1=，解得1m =，2x y ∴+的最大值为1，最小值为1故选：BC.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为.【答案】3【解析】由于111(1)n n m m --=+--，故11n m -+表示(),P m n 和()1,1-连线的斜率，设()1,1M -，如图所示，当MP 与圆相切时，11n m -+取得最大值，设此时:1(1)MP y k x -=+，即10kx y k -++=，又圆心()1,1，半径为11=，解得k =故11n m -+故答案为：3.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．【解析】（1）圆C ：()()2222414450278x y x y x y +--+=⇒-+-=，如图所示，连接QC 交圆C 于AB 两点，当M 与A 重合时MQ 取得最小值，即QC r -=-=与B 重合时MQ 取得最大值即QC r +=，故最大值为（2）易知32MQ y k x -=+，由图形知当MQ 与圆C 相切时取得最值，如图所示.可设():23MQ l y k x =++，则C r ==2k =故最大值为2，最小值为2（3）设y x z -=，如图所示，z 即过点M 的直线y x z -=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C r ==，所以1z =或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点(,)P x y 是圆2212x y +=上的动点，则x y +的最大值是.【答案】【解析】由222()2()24x y x y +≤+=，则x y -≤+≤，当且仅当x y ==时等号成立，∴x y +的最大值是故答案为：例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则5)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为5故选：A例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(A ，2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距.如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b =，解得2b =-±，所以y x -的最大值为2-2-，故y x -的最大值与最小值之和为4-.故选：C ．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ,B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ,B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最大值为【答案】16+/16【解析】由题可知2AB =,PA PB不妨设：()()()0,0,2,0,,A B P x y 所以有222PA x y =+，()2222PB x y =-+因为PA PB得()222232x y x y +=-+，整理得()2233x y -+=，得()2233y x =--，显然20y ≥，得()2330x --≥，解得：33x ≤≤有22PA PB +=()22222x y x y ++-+()()2222233x x x ⎡⎤=+-+--⎣⎦88x =-因为33x ≤≤+，所以当3x =22PA PB +有最大值为(83816-=+故答案为：16+例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M 为圆22414450：+--+=C x y x y 上任意一点，且()2,3Q -．(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若(),M m n ，求231++m n 的最大值和最小值；(3)若(),M m n ，求2246++-m n m n 的最大值和最小值．【解析】（1）因为()494214345240+-⨯--⨯+=>，即Q 在圆C 外，圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C，半径R =QC ==，因为QC R MQ QC R -≤≤+，即-≤≤+MQ所以MQ的最大值为（2）圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C ，半径R =令231=++t m n 可得2310++-=m n t ，即圆和直线2310++-=m n t 总有公共点求t的最大值和最小值，≤2626-≤≤+t 所以231++m n 的最大值为26+，最小值为26-（3）()()2222462313++-=++--m n m n m n ，令()()22223=++-t m n ，当20,30m n +=-=即2,3m n =-=时()()222237320--+-=>，此时点()2,3-在圆外，所以0t >，求2246++-m n m n 的最大值和最小值转化为求圆()()22223++-=m n t 与圆()()22278：-+-=C m m 总有公共点求213-t 的最大值和最小值，而=当两圆外切时+=t t =，此时2138135-=-=-t ，当两圆内切时，两圆心的距离>，所以只能圆C 在圆()()22223++-=mn t 的内部，所以-=t t =，此时213721359-=-=t ，所以2246++-m n m n 的最大值为59，最小值为5-．例9．（2024·高一课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，求()()2211x y +－－的最小值及取得最小值时点P 的坐标．【解析】因为()()22211x y +=－－，可看作定点()M 1,1与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点()M 1,1到直线10x y ＝++的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为229d 2==；此时直线PM 与直线10x y ＝++垂直，所以直线PM 的方程为11y x -=-，即y x =，由10x y y x++⎧⎨=⎩＝得12y x ==-，即11P ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故()()2211x y +－－的最小值为92，此时点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.变式2．（2024·高二课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】()()2211x y +－－转化为直线10x y ++＝上的点(),x y 到点()1,1的距离的平方，又点()1,1到直线10x y ++＝的距离最小，过点()1,1且与直线10x y ++＝垂直的直线为y x =因此两直线联立，10x y y x ++=⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：上任意一的最大值为2/2【解析】圆224440C x y x y +--+=：即22(2)(2)4x y -+-=，故圆心(2,2)C ，半径为2r =，C 上的点M 到点(1,1)-的距离，22=，2.变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1B ．3C ．3D ．22【答案】A【解析】因为R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，所以22222114+842,0,8+201616x b x b b x b x ⎛⎫-≥+-≠∴--≥ ⎪⎝⎭ ，所以22218+2016b x x b →→--≥对任意x 都恒成立，所以4222211164+||8||0,(||8)0,||=8||=4422b b b b b →→→→→∆=-≤∴-≤∴∴，.不妨设=(2,0)(,),24,2,a b m n m m →→=∴=∴=，又2||=44+16,b n n →∴=∴=±，.当2,b →=（，设(,)c x y →=，所以=(2,),2(22,22)a c x y b c x y →→→→⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(2)(22)(2)6x x y y --+-=，所以223(42x y -+=（，所以c →对应的点的轨迹是以3(22为圆心，以2为半径的圆，所以a c →→-可以看成是(,)x y 到(2,0)的距离，所以a c →→-的最小值为2211=-=.当2,b →=-（时，同理可得a c →→-的最小值为1.故选：A变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A --(1,3),B -(2,1)C -，点P 在圆221x y +=上运动，则222||||2||PA PB PC ++的最大值为（）A ．22B ．26C ．30D ．32【答案】C【解析】设点P a b （，）,点P 在圆221x y +=上运动,满足221a b +=,且1[]1a b ∈-、，,222||||2||PA PB PC ++222222=(+1)+(+1)+(+1)+(-3)2(-2)+2(+1)a b a b a b +224410412a ab =-+++4422a =-+264a=-当1a =-时,222||||2||PA PB PC ++取得最大值是30;故选:C .题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点()1,0A -，()0,2B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最大值为，最小值为.【答案】242【解析】因为两点()1,0A -，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：112x y+=-，即220x y -+=，AB 圆()2211x y -+=，其圆心为()1,0，半径1r =，圆心()1,0到直线220x y -+=的距离1d ==>，点P 到直线AB 的距离最大值为d r +=d r -=所以PAB 面积的最大值12PAB 面积的最小值154=252.故答案为：2；42.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（）A ．8B ．C ．D ．2+【答案】A【解析】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心坐标为(2,6)C ，半径为2，因为过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，所以有MA MB =，,MA CA MB CB ⊥⊥，因此有MA MB ==要想四边形CAMB 周长最小，只需MC 最小，即当MC l ⊥时，此时MC ==2MA MB ===，即最小值为22228⨯+⨯=，故选：A例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l ：1y x =+与圆E ：222210x y x y ++--=相交于不同两点A ，C ，位于直线l 异侧两点B ，D 都在圆E 上运动，则四边形ABCD 面积的最大值为（）AB ．CD ．【答案】A【解析】圆E ：222210x y x y ++--=可以化为标准方程22(1)(1)3x y ++-=，则其圆心为()1,1-，半径r =则直线l 与圆心的距离2d ==，故由勾股定理可得半弦长为2AC ===所以AC =又B ，D 两点位于直线l 异侧且都在圆E 上运动，所以四边形ABCD 的面积可以看作是ABC 和ACD 的面积之和，则当BD 为弦AC 的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积12S AC BD =⨯=故选：A .变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为【解析】由圆222x y +=，得到圆心(0,0)C ，半径r =由题意可得：PA PB =，PA CA ⊥，PB CB ⊥，122|||||2PACB PAC S S PA AC PA ∴==⨯⋅= ，在Rt PAC △中，由勾股定理可得：2222||||||2PA PC r PC =-=-，当||PC 最小时，||PA 最小，此时所求的面积也最小，点P 是直线250x y --=上的动点，当PC l ⊥时，||PC 有最小值d ||PA =∴所求四边形PACB =变式7．（2024·高二课时练习）已知()0,2A -，()2,0B ，点P 为圆2228130+--+=x y x y 上任意一点，则PAB 面积的最大值为（）A ．5B ．5-C ．52D ．5+【答案】D【解析】圆2228130+--+=x y x y 的圆心(1,4)C ，半径2r =，直线AB 的方程为：2y x =-，于是点C 到直线AB ：20x y --=的距离2d ==，而点P 在圆C 上，因此点P 到直线AB 距离的最大值为22+，又AB ==所以PAB 面积的最大值为1(2)522S =⨯+=+.故选：D题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M 为椭圆2211615x y +=上任意一点，,A B 是圆22(1)1x y -+=上两点，且2AB =，则MA MB ⋅的最大值是.【答案】24【解析】设圆的圆心为N ，则()1,0N ，椭圆的右焦点坐标也为()1,0N ，且AB 是圆N 的一条直径，因此()()()()MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA ⋅=+⋅+=+⋅- 2221MN NA MN =-=- ，因为点N 是椭圆的右焦点，点M 在椭圆上，所以a c MN a c -≤≤+ ，所以35MN ≤≤，即824MA MB ≤⋅≤ ，所以MA MB ⋅的最大值为24.故答案为：24.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a y r r -+=>相切于点()01,M y -，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为．【答案】36+【解析】圆()()222:0C x a y r r -+=>的圆心的为(),0a ，因为直线l 与圆C 相切于点()01,M y -则021=-y a所以()()222,121r a a r =⎪++-=⎩得2440a a -+=，所以2a =，r =，所以直线方程为4y x =+，圆的方程为()22218x y -+=，所以()4,0A -，()1,3M -，AM 的中点53,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()()22221144⋅=+⋅+=-≤+- PA PM PQ QA PQ QM PQ AM QC r AM因为==QC，==AM 所以()222221123644＝+-++-=+ QC r AM QC r QC r AM故36⋅≤+ PA PM PA PM ⋅的最大值为36+故答案为：36+例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点()()1,0,1,0A B -，点P 为圆22:68170+--+=C x y x y 上的动点，则AB AP ⋅的最大值为.【答案】8+【解析】圆的标准方程为：()()22348x y -+-=，圆心为()3,4，半径为R =，cos ∠⋅=⋅⋅AB AP AB AP PAB ，当点P 动到S 点时，cos ∠⋅ AP PAB 取得最大值，即为AS 在AB上的投影，(cos 2138AB AP AB AP PAB AB AT ∠⋅=⋅⋅=⋅=⨯++=+又故答案为：8+变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）．A ．[]4,20-B ．[]1,5-C ．[]0,20D ．[]4,20【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由数量积的几何意义可知：AP AB ⋅ 等于AB 与AP 在AB上的投影的乘积，故当AP 在AB上的投影最大时，数量积最大，此时点P 在以C 为圆心的圆的最上端2P 处，此时投影为5AM AB r =+=，故数量积为4520⨯=，故当AP 在AB上的投影最小时，数量积最小，此时点P 在以D 为圆心的圆的最下端1P 处，此时投影为1AN r -=-=-，故数量积为()414⨯-=-,故[]4,20AP AB ⋅∈-，故选：A变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8].B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【答案】A【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在A B方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP在A B方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos6014AN AB BC '=++= ，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯=则AP AB ⋅的取值范围是[2,8].故选：A变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】记圆心为O ，则,PM PO OM PN PO ON =+=+uuu ruuu ruuur uuu ruuu ruuu r，因为,ON OM互为相反向量，所以()()()221PM PN PO OM PO ON PO PO ON OM ON OM PO ⋅=++=+++⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r －，因为正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为正六边形的中心，所以当P 与正六边形顶点重合时，PO有最大值2，当P 在正六边形边上的中点处时，PO 有最小值，此时PO uuu r所以[]212,3PM PN PO ⋅=∈uuu r uu u r uu u r －.故选：B题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P 在圆M ：()()22424x y -+-=上，点()2,0A ，()0,2B ，则PBA ∠最小和最大时分别为（）A ．0°和60°B ．15°和75°C ．30°和90°D ．45°和135°【答案】B 【解析】如图所示，当PB 与圆相切时对应PBA ∠的最大和最小，设最小时切于1P ，最大时切于2P ，由1112,4,MP BM MP BP ==⊥，可得11sin 2MBP ∠=，所以130MBP ∠= ，同理得230MBP ∠=由点()2,0A ，()0,2B ，可知45ABO ∠= ，所以190453015ABP ∠=--= ，215303075ABP ∠=++= .故选：B.例17．（2024·高二单元测试）已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是.【答案】[]1,1-【解析】如图圆()1,0C ，P 在直线10x y -+=上，若圆存在点Q ，使得30CPQ ∠= ，当P 在直线10x y -+=上运动，极端情况，PQ 与圆C 相切，30CPQ ∠= .在RT CPQ △中，1C Q =，所以2CP =.所以以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点.符合条件的点在线段1PP 之间.所以()22101214x y x y x y -+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩或10x y =-⎧⎨=⎩.故0x 的取值范围为[]1,1-.故答案为：[]1,1-例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-为（）A ．1B ．2CD【答案】C【解析】点(),A x y 在圆()2221x y +-=上，)B,cos 2cos OA OB OB AOB AOB OA ⋅==∠=∠，如图，当OA 与圆相切时，A O B ∠取得最小值6π≤3,22A ⎫⎪⎪⎝⎭.故选：C变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【解析】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且A B ≤2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，所以当ANB ∠最大时，tan AN B ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2C D ．【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为1，动圆M 经过坐标原点，可得1M O =,即22+=1x y ，()()22222+=222x y x y xy x y ++≤+=，当且仅当==2x y 时取等号，即+x y ≤，则圆心M 故选：C变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆()()22:125C x y -+-=，圆C '是以圆221x y +=上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C 与圆C '交于A ，B 两点，则sin A C B ∠的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】在A B C 中，AC BC =．如图所示：当公共弦AB 最大，即AB 为圆C '的直径时，A CB ∠最大，又AC AB >可得ACB ∠为锐角，即sin A C B ∠取得最大值．此时2223cos 25AC BC AB ACB AC BC+-∠==⋅，则4sin 5ACB ∠=．故选：D题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q 分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为.【答案】3【解析】作出点A 关于直线0x y +=的对称点A '，如图：设点00(,)A x y '，则有000021002022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0020x y =-⎧⎨=⎩，即(2,0)A '-，而C (2，0)由圆的性质知：圆外点P 与圆C 上点Q 距离||PQ 满足||||1PQ PC ≥-(当且仅当Q 是线段PC 与圆C 的交点时取“=”)，连接A C '交直线0x y +=于点O ，P 为直线0x y +=上任意一点，连,,PA PA PC '(线段PC 交圆C 于点Q )，则min (||||)||||1||||1||13PA PQ PA PC PA PC A C ''+=+-=+-≥-=，当且仅当点P 在线段A C '上，即与点O 重合时取“=”，所以PA PQ +的最小值为3.故答案为：3例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为.【答案】8+8+,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，O A B为等边三角形，则OM ==，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++=的最大距离为=(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(2＝8+故答案为：8+例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为.【答案】15【解析】注意到()()1122,,MA x y MB x y ==，，则1212cos 2x x y y MA MB MA MB AMB +=⋅=⋅⋅∠=- ，又2MA MB ==，则o 120AMB =∠，又由垂径定理可知，o 60AMP ∠=，则o2cos 601MP ==.故P 点轨迹是以M 为圆心，半径为1的圆.注意到0034105x y +-=，表示P 到直线34100x y +-=距离的5倍，又圆上一点到34100x y +-=13=，则003410x y +-的最大值为15.故答案为：15变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,x x y y 满足2222112211x y x y +=+=，，121212x x y y +=的最大值为.+【解析】设圆22:1O x y +=，直线:10l x y +-=，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则11(,)M x y ，22(,)N x y 都在圆221x y +=上，∵||1MN =，1OM ON ==，∴△MON 是等边三角形，∴60M O N ∠=︒．M 和N 到直线:10l x y +-=的距离和||||MM NN '+'，由图形得只有当M 、N 都在直线l 的下方时，该距离之和才会取得最大值．取M 、N 的中点G ，过G 作G G l '⊥，垂足为G '，则||||2||MM NN GG '+'='，∵MON △为等边三角形，G 为M N 的中点，∴OG =，则G 在圆2234x y +=上运动，则当MN ∥l 时，G 到直线10x y +-=距离的最大值为3222+，∴||||2||MM NN GG '+'='的最大值为3223222⎛⎫⨯+=+⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：32+变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=3PN +的最小值为26【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，33OM OP OP OS ==，M O P PO S ∠=∠，M O P PO S ∴ ，3PS ∴，3PN PS PN SN ∴+=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+=.变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D 【答案】A【解析】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24O D AC C P O C ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △P C D ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A ，B 是曲线||1x -(0,1)C ，则||||CA CB +的最大值与最小值的比值是（）A ．3B ．5C D 【答案】B【解析】||1x -1x -=由1x -=()()22114x y -+-=.因为10x -=≥，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，()()22114x y ++-=；当1x ≥时，()()22114x y -+-=.所以方程1x -=()()22:114P x y ++-=的左半部分和圆()()22:114Q x y -+-=的右半部分.根据圆的性质知：当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，CA CB +取得最大值，且最大值为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，CACB +取得最小值，且最小值为故CA CB+5=.故选：B.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在R t A B C △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在A B C 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为．【答案】2【解析】因为()0,AMC π∠∈，3cos 5AMC ∠=-，所以4sin 5AMC ∠==.在AMC 中，由正弦定理得：2sin ACR AMC=∠（R 为AMC 的外接圆半径），所以2245R =，解得：54R =.如图所示：设AMC 的外接圆的圆心为O ，建立如图示的坐标系.设E 为AC 的中点，所以1A E C E ==，34OE ===.所以点M 的轨迹为：222516x y +=，可写出5cos 45sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）.因为点M 在A B C 内部，所以55cos ,sin 44M θθ⎛⎫⎪⎝⎭（其中θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈）.所以2222225511553cos 1sin cos 1sin 444444MB MA θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++--++-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2251153sin sin 4444θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭75sin θ=-因为θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈，所以3sin 15θ<≤，所以当sin 1θ=时22752MB MA -=-=最小.故答案为：2变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】如图所示，圆22(6)(5)9x y -++=的圆心为()6,5A -，半径为3，圆221x y +=关于直线2y x =-的对称圆为圆B ，其中设圆心B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=-⎩，故圆B 的圆心为()2,2-，半径为1，由于此时圆心A 与圆心B 的距离为：()[]22625(2)5AB =-+---=，大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时E 点的对称点为1E ，且1PE PE =，所以1PF PE PF PE -=-，在P 点运动过程中，当P ，B ，A ，1E ，F 五点共线时，且1E 在圆B左侧，点F 在圆A 右侧时，1PF PE -最大，最大值为111539E F E B BA AF =++=++=故选：D.题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，90,4,2A B AD AB BC ==︒===，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足AM mAB nAD =+，则m n +的最大值为（）A ．2B ．3C ．52-D 【答案】D 【解析】如图，以A 为原点建立直角坐标系，设CD 中点为E ，易得(0,0),(2,0),(2,2),(0,4)A B C D ，则CD 中点()1,3E，CD =，故以CD 为直径的圆的方程为()()22132x y -+-=，过E 作x 轴平行线交y 轴于Q ，交半圆于P ，则45DEQ PEC ∠=∠=，设PEM θ∠=，则()(1,3sin )45135M θθθ-<<，又()()(1,3sin )(2,0)0,42,4AM mAB nAD m n m n θθ=+=+==，故21,43m n θθ==，则5)4m n θϕ+=+，其中sin ϕϕ显然当()sin 1θϕ+=时，m n +取最大值54+.故选：D.例23．（2024·全国·高三专题练习）已知()0,0O ，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为（）A ．4B ．5C．D【答案】B 【解析】设点(),Q Q Q x y，因为14cos 4sin Q Q x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()(22116Q Q x y -+=，∴Q点的轨迹是以(M 为圆心，4为半径的圆，又直线OP 的方程为OP l：0x -=，2OP ==，圆心M 到直线OP 的距离1d ==，所以Q 到直线OP 的距离最大值为145d r +=+=则OPQ △面积的最大值为12552S =⨯⨯=.故选：B .例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点()0,4A -，点()2,0,B P 为圆22:4O x y +=上一动点，则PBPA的最大值是（）A ．3B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】因为点P 为圆22:4O x y +=上一动点，故设(2cos ,2sin ),[0,2π]P θθθ∈，则PB PA =令1cos 54sin t θθ-+=，则(54sin )1cos t θθ=+-，即4sin co 15s t t θθ+=-15,(sin )sin )t θθϕϕ+=-∴+其中ϕ为辅助角，1tan 4t ϕ=，则1≤，整理得2109100,09t t t -≤∴≤≤，故PB PA=3，故选：A变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点(的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ≤<，则MN 的最小值为．【答案】7【解析】如下图所示，连接OA 、OB ，则OA NA ⊥、OB NB ⊥，所以四边形NAOB 对角互补，则N 、A 、O 、B 四点在以ON 为直径的圆上.设()00N x y ，，则该圆的圆心为0022x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，又该圆和圆C 的交点弦即为AB ，故AB 直线所在的方程为222222000016224x y x y x y x y +⎛⎫⎛⎫+----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得0016x x y y +=，又因为点(在直线AB 上，故0016x +=，即N 点的轨迹为160x -=，又因为M 的坐标为()cos ,sin (002)θθπ≤<，因为22cos sin 1θθ+=，所以M 在圆221x y +=上运动，故MN的最小值为()00，到直线160x +-=的距离减去半径，17=，即MN 的最小值为7.故答案为：7。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
9.高考数学第一轮复习：圆相关的最值问题
《与圆有关的最值问题》与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1.形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；2.形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；3.形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．4.形如圆上一动点p 到直线ax+by+c=0的距离的最值问题．问题1：已知点P 为方程()12-322=+-）（y x 上的一个动点，A 为()0,0，求PA 的最小值和最大值问题2：已知实数x ，y 满足方程()12-322=+-）（y x ，则22y x +=ω的最小值和最大值问题5：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0求:(1)y ＋x 的最大值和最小值；(2)x 2＋y 2的最大值和最小值．(3)y x 的最大值和最小值；(4)圆上的动点p 到直线01=-+y x 的距离的最大值和最小值变式训练已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求x －2y 的最大值和最小值；（2）求y-x 的最大值和最小值(3)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (4)求P (x ，y )点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值．例18、已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.课后专题训练2、已知实数满足,的最小值3、如果,x y 满足22410x y x +-+=，求22(1)(2)x y -+-的最值。
4、P 是圆22(3)(1)2x y ++-=上的动点，Q 是直线y x =上的动点，求5、已知点满足方程，求由点向圆所作的切线长的最小值7、若实数x ，y 满足22240x y x y +-+=，求2x y -的最值8、已知点(,)P x y 是圆222x y x +=上的点，求2x y +的取值范围.22:2430C x y x y ++-+=A 30x y --=(),A a b 22(5)(12)225x y ++-=,x y9、已知，求的取值范围10、若实数,x y 满足012222=+--+y x y x ，求11、若直线与曲线有交点，求k 的取值范围12、若直线:l x y m +=与曲线:c y =有且只有两个公共点，求m 的取值范围13、当曲线y 与直线kx -y -2k +3=0有两个相异的交点时，求实数k 的取值范围21x y -=)2(-=x k y 2y x +221x y +=14、若直线y x b =+与曲线3y =的取值范围b。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究高中数学中，研究最多一种曲线是圆。
在研究圆相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.222CH BH AH d d d d d ===+==-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ==== 3、圆222=+y x 上的点到直0254=+y 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
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与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。
(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．(1)设yx ＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k －0|k 2＋1≤ 3.∴k 2≤3,即－3≤k ≤3,∴yx 的最大值为3,最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |2＝3,得b ＝－2±6, ∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【小试牛刀】已知直线和曲线,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设,依题意有圆心到直线的距离,即,解得[]01,5x ∈.2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例7】设Q P ,分别为和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】依题意Q P ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;.设(,)Q x y .圆心到椭圆的最大距离.所以Q P ,两点间的最大距离是26.故选D. 2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ⋅或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证. 【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是 . 【分析】根据,可用均值不等式求最值【解析】易得.设(,)P x y ,则消去m 得：,所以点P 在以AB 为直径的圆上,PA PB ⊥,所以,.【小试牛刀】设,m n R ∈,若直线与圆相切,则m n +的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得,=+,则,解得由基本不等式得,令t m n.四、迁移运用1．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选：A．2．【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断】已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取AB中点D(2,-3), ,,d+r=的最大值为，故选C.3．【河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末】已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】设点M的坐标为，则，将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，此时.本题选择B选项.4．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴截得的弦长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆心，而，圆的方程为：，当时，得.故选D.5．【山东省滨州市2019届高三期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，圆心C（2，2），半径为．直线y﹣3＝k（x﹣1），∴此直线恒过定点（1，3），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，弦心距为：．∴所截得的最短弦长：2．故选：C．6．【湖南省长沙市2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.7.【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP，k PM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．8．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为时，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】结合题意，绘制图像，可知当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。