2017_2018学年高中数学第一章坐标系第2节极坐标系课件新人教A版 选修4_4
π 已知定点P4， 3
. 2
(1)将极点移至O′ 新坐标；
π 3， 处极轴方向不变，求P点的 6
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 角，求P点的新坐 6 标．
[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求 法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然 后求相应的点的极坐标．
1．边长为a的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它 的一边，求正六边形各顶点坐标．
解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐 π π 标分别为：(0，0)、(a，0)、( 3 a， )、(2a， )、( 3 a， 6 3 π π π 2 )、(a， π)或(0，0)、(a，0)、( 3a，－ )、(2a，－ )、 2 3 6 3 π 2 ( 3a，－ )、(a，－ π)． 2 3
2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；② 极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单 位． (2)互化公式
x＝ρcos y＝ρsin
θ ， θ ；
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， y tan θ ＝ （x≠0）Ｗ. x
2 2
11 又因为点在第四象限，得θ＝ π. 6 11π 因此，点P的极坐标为(2 2， )． 6
[问题思考] 1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什 么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对 应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无 穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以 表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0，0≤θ <2π ，则除极点外，点M(ρ，θ )与平面 内的点之间是否是一一对应的？ 提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点M的极坐标为(ρ，θ )，则M点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称 点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称 点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线 的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知 π π |OO′|＝2 3，|OP|＝4，∠POx＝ ，∠O′Ox＝ ， 3 6 π ∴∠POO′＝ . 6
π 在△POO′中，ρ ＝4 ＋(2 3 ) －2· 4· 2 3· cos ＝16 6
2 2 2
＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2. π ∴|OP| ＝|OO′| ＋|O′P| ，∠OO′P＝ . 2
建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度 单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极 轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线 是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的 大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针 方向，θ 的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极 径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要 时，允许ρ ＜0.
2 2 2
π π π π ∴∠OPO′＝ . ∴∠OP′P＝π－ － ＝ . 3 3 3 3 2π 2π ∴∠PP′x＝ . ∴∠PO′x′＝ . 3 3 2π ∴P点的新坐标为(2， )． 3
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
π π π 则ρ＝4，θ＝ ＋ ＝ . 3 6 2 π ∴P点的新坐标为(4， )． 2
(1)将极坐标(ρ，θ )化为直角坐标(x，y)的公式 是：x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ ； (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ )的公式 y 是：ρ ＝x ＋y ，tan θ ＝ x (x≠0)，在利用此公式时要
2 2 2
注意ρ和θ的取பைடு நூலகம்范围．
2π 2．(1)把点M的极坐标8， 3
若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标 系．
5π (1)已知点A的极坐标4， 3 ，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－ 15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ ＜2π )
[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只 需将已知条件代入相关公式即可． 5π 5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos ＝2. y＝ρsin θ＝4sin ＝－ 3 3 2 3. ∴A点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋（－2）2＝2 2， －2 tan θ＝ ＝－1. 且点B位于第四象限内， 2 7π 7π ∴θ＝ . ∴点B的极坐标为(2 2， )． 4 4 3π 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，∴点C的极坐标为(15， )． 2
[核心必知] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立
极点 ，自极点O引一条射 线Ox，叫做 极轴 ；再选定一个 长度单位，一个角度单位(通
常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系．
在平面内取一个定点O，叫做
(2)点的极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的 极径 ，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角 ，记为 θ ．有序数对 (ρ，θ ) 叫做点 M的极坐标，记作 M(ρ，θ )． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0 取 任意实数 ． ，θ 可
化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标( 6 ，－ 2 )化成极坐标．(ρ＞0，0 ≤θ ＜2π ) 2π 2π 解：(1)x＝8cos ＝－4，y＝8sin ＝4 3， 3 3
因此，点M的直角坐标是(－4，4 3)． － 2 3 (2)ρ＝ （ 6） ＋（－ 2） ＝2 2，tan θ＝ ＝－ ， 3 6
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
人教版高中数学选修极坐标系课件ppt课件
O
一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0， 可取任意实数
例1：说出下图中各点的极坐标，并找到点
2
3
2
4
3
2
3
4
5 6
M
6
C
E
D
B
P
A
O
X
7
6 5
4
N
1 1
F
G
Hale Waihona Puke 7 645 4
3
3
例2.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
P O
练习：写出点
答：（－6，
+π）（6的，负）6 极或径（的－极6，坐－标
6
+1π1 ） 6
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0 因为负极径只在极少数情况用。
A(3, 0题)组二：在B极(6坐, 2标系)里描出下C列(3各, 点 )
2
4
D(5, ) 3
5
E(3, ) 6
极坐标系
(ρ,θ) (ρ,θ)
(ρ,θ)
回顾：
直角坐标系
Y
y
·M
O
x
目标在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
你能确定巨响发生的位置吗？
从这向北 2000米。
请问：去?? 中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中，这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思 想，就是极坐标的基本思想。
[4]一般地，我们都用在
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 1.2 极坐标系课件 新人教A版选修4-4
或
4,-
29π 3
.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得在极坐标系中,同一个点的极坐标可以有多种表示形式, 它们之间可以相互转化,但要注意互化规则.本题中由于对各种表 示形式的等价性理解不清,导致错误.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
在极坐标系中,下列各点中与
π 2, 6
不表示同一个点
的是( )
A.
2,-
11π 6
所以 ρ= 32 + (- 3)2=2 3,tan θ=- 33,
而点 A 在第四象限,且 θ∈[0,2π),因此 θ=116π.
故点 A 的极坐标为
2
3,
11π 6
.
由于 x
=
35,tan θ 不存在,
而点 B 在 y 轴正半轴上,且 θ∈[0,2π),因此 θ=π2.
探究二
思维辨析
极坐标与直角坐标的互化
【例 2】(1)已知点的极坐标分别为 A
3,-
π 4
,B
2,-
2π 3
,C
3 2
,-π
,D
4,-
π 2
,求它们的直角坐标;
(2)已知点的直角坐标分别为 A(3,-
3),B
0,
5 3
,求它们的极坐标,
其中极径 ρ>0,极角 θ∈[0,2π).
分析：直接利用直角坐标与极坐标的互化公式即可.
故点 B 的极坐标为
5 3
,
π 2
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.将点的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)时,需要求角θ的 余弦值和正弦值,因此应熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用 三角恒等变换公式进行求解.
2017-2018学年高中数学第一章坐标系2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5
=0,2. 4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统的极坐标方程［自主学习］曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 互化的前提条件： ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合.③ 两种坐标系中取相同的长度单位.X = p cos 0 ,⑵互化公式：1|y = p sin 0 ,(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：epp1 — e cos 0 .［合作探究］p = 1和p =—1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个， x 2+ y 2= 1.将直角坐标方程化成极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.⑴ x + y = 0;2 2(2) x + y + 2ax = 0( a * 0);2 2(3) ( x — 5) + y = 25.［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此2 2 2题，需要将x = p cos 0 , y = p sin 0 ,及x + y = p 代入直角坐标方程，再化简即可. ［精解详析］ ⑴将 x = p cos 0 , y = p sin 0 代入 x + y = 0 得 p cos 0 + p sinr 22 |2p = x + y , ytan 0 = x xH(][例1] ［对应学生用书 P12］［对应学生用书P13］••• p (cos 0 + sin 0 ) = 0. =0,••• cos 0 + sin 0 = 0. /• sin 0= —cos 0 .ta n 0 = — 1.3 n 十7 n•- 0 = ~^( P》0) 和0 = _^( P》0) •综上所述，直线x+ y= 0的极坐标方程为3 n 7 n0 =〒(P》0)和0=才(P》0)•2 2(2) 将x= p cos 0 , y = p sin 0 代入x + y + 2ax= 0 得2 2 2・2八P cos 0 + p sin 0 + 2a P cos 0 = 0, 即p ( p + 2a cos 0 ) = 0.•• P = —2a cos 0 .2 2•••圆x + y + 2ax= 0(a z 0)的极坐标方程为p = —2a cos 0 .2 2 2 2(3) ( x—5) + y = 25,即：x + y —10x = 0.把x2+『=p 2, x= p cos 0 代入上式得：2P —10 p cos 0 = 0.即p = 0 或p = 10cos 0 .•.•极点p = 0在圆p = 10cos 0上，•••所求圆的极坐标方程为p = 10cos 0 .［片法■规律■小结］、将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x= p cos 0 , y = p sin 0 , x2+ y2= p 2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性.1. 把圆的直角坐标方程(x —a)2+ (y—b) 2= r2化为极坐标方程.2 2 2 2 解：把x = p cos 0 , y= p sin 0 代入方程(x—a) + (y —b) = r，得(p cos 0 —a)+ ( P sin 0 —b) 2= r2.如果设圆心(a, b)的极坐标为(P 0, 0 o)，贝Ua= p 0cos 0 0, b= p 0sin 0 0，再代入上方程可得：(p cos 0 — p 0COS 0 0)2+ ( p sin 0 — p °sin 0 0)2= r2.2 2 2 2 2 2--P (cos 0 + sin 0 ) — 2 p 0 p (cos 0 cos 0 0+ sin 0 sin 0 0) + p 0(cos 0 0 + sin 0 0)2=r .•- p — 2 p 0 p cos( 0 — 0 0) + p 0—r = 0.这就是所求的圆的极坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线. ⑴ p sin 0 = 1;(2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0; (3) p=— 2cos 0 ; (4) p = cos 0 — 2sin 0 .［思路点拨］ 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用， 解答此题需要利用 p cos 0 = x, p sin 0 = y 求解.有时需要在等式两边同乘 p ，构造出p cos 0和p sin 0 .［精解详析］(1) p sin 0 = 1 ? y = 1，表示的是一条直线. (2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0? p cos 0 + p sin 0 — 4= 0,x + y — 4= 0，表示的是一条直线.(3) p =— 2cos 0 两边同乘以 p 得 p =— 2 p cos 0 , ••• x 2 + y 2 + 2x = 0，即(x + 1)2 + y 2= 1. 表示的是以(一1,0)为圆心，以1为半径的圆. (4) p = cos 0 — 2sin 0两边同乘以 p 得2 p = p cos 0 — 2 p sin 0 , • x + y = x — 2y ，即 x + y — x + 2y = 0, 即 x ―12+ (y + 1)2= -2 2.极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以 p ，尽可能使得p cos 0换成x , p sin 0换成y , p 2换成x 2 + y 2.但注意p = 0是原方程的解时，所得 到的直角坐标方程与原极坐标方程等价. 若p =0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x , y 不同时为0的限制.b^1[例2]把极坐标方程化为直角坐标方程［方法-规律•小结］2. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p cos 2 0 = 8; ⑵ p = 2cos 0 --4 .解：⑴因为p 2cos 2 0 = 8,2 2 2.2所以 p cos 0-p sin 0 = 8.所以化为直角坐标方程为 x 2— y 2= 8.n(2)因为 p = 2cos 0 cos —+ 2sin=2cos 0 + 2sin 0 ,所以 p 2 = ,2p cos 0+•. 2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为 x 2+ y 2— 2x — 2y = 0.［例3］ 求两个圆= 4cos , = 4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.［思路点拨］本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题， 解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解.［精解详析］ 法一：p = 4cos 0的圆心为(2,0)，半径为2, p = 4sin 0的圆心为(2 , ^)，半径为2.两圆圆心的距离为d = 22 + 22 — 2 X 2 X 2cos : = 2 2.而两圆半径之和为 4,两圆半径之差为 0. •••两圆相交.法二：p = 4cos 0两边同乘以 p 得p 2= 4 p cos 0 ,22• p = 4cos 0 可化为 x + y — 4x = 0,22即(x — 2) + y = 4,•表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.p = 4sin 0两边同乘以p 得p = 4 p sin 0 ,n 0 sin42 2•p = 4sin 0 可化为x + y —4y= 0, 即x2+ (y—2) 2= 4,•••表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆. 两圆的圆心距为d =- U 2+ 〔〕一？ 2= 2”；；2,两圆半径之和为4,之差为0, •两圆相交.［片法•规律•小结］、对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.解：把点A 2, 7^化为直角坐标为（，2,-把直线p sin j 0 + — = -^化为直角坐标方程为 p sin n . n \f 20 • cos 4 + p cos 0 • sin 4 - ？,•••点A 2, - 2）到直线x + y - 1 = 0的距离为」2- .. 2- 1| .2 d = =—dJ + 12，故点A 2,晋到直线p sin i B +亍=¥的距离为J| ［本节热点命题关汪］「本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化.［考题印证］（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C ,直线C 2的极坐标方程分别为 p = 4sin 0 , p cos （ 0 -"^-） = 2边.求C 与C 2的交点的极坐标.3.已知直线的极坐标方程为|J 这条直线的距离.p sin，求点•- x + y = 1.［命题立意］本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化.［自主尝试］由p = “/x2+ y2, p cos 0 = x, p sin 0 = y 得，圆C i的直角坐标方程为x2+ (y—2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y — 4 = 0,2得p = —2( p cos 0 —p sin 0 )，即所以圆C ,直线C 的交点直角坐标为(0,4) , (2,2),再由p =x 2+ y 2, p cos 0 = x , p sin 0 = y ,将交点的直角坐标化为极坐标、选择题i .将方程0 =-4( p > 0)化为直角坐标方程为()B . y = x ( x >0)D y=#x (x >0)n yy解析：选 B ' ■/ tan= (x 丰 0) ,「. - = 1( x 丰 0). 4 x xy = x .而 0 = —( p >0)表示射线,•••所求的直角坐标方程为 y = x (x >0).2.圆心在点(一1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )A. p = 2(sin 0 — cos 0 )B . p = 2(cos 0 — sin 0 )C. p = 2sin 0D. 解析：选A 如图所示，圆的半径为 •圆的直角坐标方程为 (x + 1)2+ (y — 1)2= 2,2 2即x + y = — 2( x — y )，化为极坐标方程,X 2 + y — 2 2=4, 由 X + y — 4= 0.Xi= 0,解得；iy i = 4,X 2= 2, y 2= 2.[对应学生用书P14]A. y = xC. y = x (x w 0) 所以C 与G 的交点的极坐标VING/QNCip = 2cos2一2 —1 + 1p =2(sinA. I 1 // I 2 C. I 1和l 2重合B . I l 丄 l 2D. I 1和I 2斜交解析：选B 对于I l 可化为x sinsin aa+ycos a=a ，ki =—矿a、填空题5. _______________________________________________________ 直线2 p cos 0 = 1与圆p = 2cos 0相交的弦长为 __________________________________________ .解析：直线的方程为 2x = 1，圆的方程为x 2+y 2— 2x = 0，圆心为（1,0），半径r = 1,圆 心到直线的距离为 d =答案：•. 3n一6.在极坐标系中，定点 A （1 ,―），点B 在直线I : p cos 0 + p sin 0= 0上运动,当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 _________ .解析：将 p cos 0 + p sin 0 = 0化为直角坐标方程为 x + y = 0,点A 1,寺化为直角坐标得 A （0,1）,如图，过A 作AE 丄直线I 于B ,因为△ AOB3n为等腰直角三角形，又因为 |OA = 1,则|OB 七,0 =〒，故B 点的极 坐标是B 今,3n .答案：子，34n7. _____________________________________________________________________ 过极点O 作圆C: p = 8cos 0的弦ON 则ON 的中点M 的轨迹方程是 _________________________3.直线 11 ： p sin( 0 + a ) = a 和丨2： 7te^2a 的位置关系是（k 1 • k 2 =—1.- •• I 1丄 1 ,故选B.4.极坐标方程 p = sin 0 + 2cos 0表示的曲线为（）A .直线B .圆C . 椭圆D.双曲线解 析：选B 由p = sin 0 + 2cos 0 ,得 p = p sin 0 + 2 p cos 0对于12可化为x cos a — y sin二 x 2 + y 2 = y + 2x ，即 x 2+ y 2— 2x — y = 0，表示圆.cos aa = 0, k 2=——sin a 42+ 0 = 2,设所求的弦长为丨，则= 2 + 2 2, 解得I = 3.解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC = 4，连接CM 「••• M为弦ON的中点，•••CMLON故M在以0C为直径的圆上. “•••点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .法二：设M点的坐标是(p , 0 ) , p i, 0 i).T N点在圆p = 8cos 0 上，•• p i = 8cos 0 i,①p 1= 2 p ,••• M是ON的中点，•弋0 i= 0 .将它代入①式得 2 p = 8cos 0，故点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .答案：p = 4cos 08. (天津高考)已知圆的极坐标方程为p = 4cos 0 ,圆心为C,点P的极坐标为4, n^ ］则CP= ________ .解析：如图，由圆的极坐标方程为p = 4cos 0知0C= 2，又因为点P的极坐标为4, n3，所以0P= 4，/ P0=专，在△ POC中，由余弦定理得CP= OP1+ OC- 2OP- OC cos 3= 16+ 4-2X 4X 2X = 12,所以CP= 2 3.答案：2 3三、解答题9.0 O和0 O 的极坐标方程分别为p = 2cos 0 , p 2- 2 p (cos 0 + sin 0 ) = 0.(1) 把O O和O Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) 求经过O 0,0 Q交点的直线的直角坐标方程.解：(1) T x= p cos 0 , y = p sin 0 ,由p = 2cos 0 得p = 2 p cos 0 , 所以x2+ y2= 2x.即x2+ y2- 2x= 0为O O的直角坐标方程.. . 2 2同理x + y - 2X- 2y= 0为O Q的直角坐标方程.2+ y2- 2x —2y = 0,2 2⑵法一：由+ y - 2x = 0,即O 0,0 O 2交于点(0,0)和(2,0).过交点的直线的直角坐标方程为 y = 0.法二：①—②得y = 0,即y = 0为过O 0,0 Q 交点的直线的直角坐标方程.10 .在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为p cos i 守=1, M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1) 写出C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标； (2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程. 解：(1)由 p cos 0 —-3 = 1 得，p i 1cos 0 + ^sin 0 = 1.2 2从而C 的直角坐标方程为1x +~2^y = 1，即 x + 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,所以 M 2,0)； 当0 =寺时，P =攀，所以N 号,-2 .⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为［,233 ［ 所以P 点的直角坐标为］，¥ .3p = 1 — 2cos 0，过极点作直线与它交于 A, B 两点,且|AB = 6,求直线 AB 的极坐标方程.解：设直线 AB 的极坐标方程为 0 = 0 1, A p 1,0 1) , B ( p 2, 0 1 + n )，贝U p 1 =X 2= 2, y 2= 0.解得则P 点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为np € ( —m,+m ).0 =百,11.已知双曲线的极坐标方程为31 — 2cos 0 i________ 3 _______ 3 P 2— 1 — ?1阴 0 i + n — 1 + 2cos 0 i33|AB = 1 p1+p 2|= 1 — 2cos 0 i + 1 + 2cos 0 i61— 4cos 0 i故直线AB 的极坐标方程为 n n 3 n0 =㊁或0 =~4或0 =〒•11 — 4cos2 0 -=± 1. cos 10 i = 0 或 cos 0 i =±_2亍。
《极坐标系的概念》课件PPT
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
(ρ,θ)
一 给定 就可以在极坐标平
面内确定唯一的一点M
O
X
二 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对 应原因在于：极角有无数个
如果限定ρ＞0 0≤θ＜二π
那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
ra(1sin)
事实上 笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情 不过 笛 卡尔是 一六四九 年 一0 月 四 日应克里斯蒂娜邀请 才来到的瑞典 并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典 女王 并且 笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学 问题 有资料记载 由于克里斯蒂娜女王时间安排很 紧 笛卡尔只能在早晨五点与他探讨哲学 天气寒冷 加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎 这才是笛卡尔 真正的死因 心形线的故事究竟几分是真几分是假 还是留给大家 自己判断吧
在生命进入倒计时的那段日子 它日夜思念的还 是街头偶遇的那张温暖的笑脸 它每天坚持给他写信 盼望着他的回音 然而 这些信都被国王拦截下来 公 主一直没有收到它的任何消息 在笛卡尔给克里斯汀 寄出第十三封信后 它永远地离开了这个世界 此时 被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里 思 念着远方的情人 这最后一封信上没有写一句话 只 有一个方程：r=a 一-sinθ 国王看不懂 以为这个方 程里隐藏着两个人不可告人的秘密 便把全城的数学 家召集到皇宫 但是没有人能解开这个函数式 它不 忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐 便把这封信给了他
小结
•
C
3 2
-
•
E
5 3
+
E(3,- )
高中数学第1章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件
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二 极坐标系
第二课时 极坐标和直角坐标的互化
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考纲定位
重难突破
1.掌握点的极坐标与直角 重点：点的极坐标与直角
坐标的互化公式.
坐标的互相转化.
2.能进行点的极坐标与直 难点：将点的直角坐标转
角坐标的互相转化.
化为极坐标.
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极坐标与直角坐标互化的应用
[典例] 在极坐标系中，点2，π3和圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心的距离为(
)
A. 3
B．2
C. 1＋π92
D. 4＋π92
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[解析] 方法一 ∵(x－1)2＋y2＝1 的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2 ＝ 22＋12－2×2×1×cosπ3＝ 4＋1－2＝ 3. 方法二 将点(2，π3)化为直角坐标是(1， 3) 又(x－1)2＋y2＝1 的圆心的坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3. [答案] A
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探究二 点的直角坐标化为极坐标
[例 2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，
《1.2.2极坐标和直角坐标的互化》课件2-优质公开课-人教A版选修4-4精品
• 能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2ห้องสมุดไป่ตู้π+θ)
复习
1、极坐标 (ρ，2kπ+θ) 和(-ρ，2kπ+θ+π) k Z 其中 表示同一个点(ρ，θ)；
2 2
3 3. 的直角坐标方程是 4 y 3 y 解： tan tan , 即y x ( y 0 ) x 4 x
5.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与 A, B 两点，求线段 2 cos ，它们相交于
3
AB的长．
问题：若点M的直角坐标为 (1, 3 ) 用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 点，x轴的正半轴作为极轴，两种 坐标系中取相同的长度单位. y
M( 1，3 )
设点M的极坐标为(ρ，θ)
2 2
O
θ
3
x
3 tanθ ρ 1 （ 3） 2 1 点M的极坐标为(2， ) 3
极坐标与直角坐标的互化关系式:
小结：
1、极坐标化为平面直角坐标；
2、平面直角坐标化为极坐标.
2 2 1 解：由 得 x y 1
2cos( ) cos 3 sin , 2 cos 3 sin 3 2 2 x y x 3y 0
，
2 2 x y 1 由 2 2 x y x 3y 0 2 2 1 3 1 3 A (1,0), B ( , ) 得 AB 1 0 3 2 2 2 2