江苏省南京物理竞赛讲义-5.3角动量例题
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
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“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考αsin p r L ⋅=点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量等于外力的冲量L ∆矩（M 为外力对参考点O 的力矩），即。
若t M ∆⋅t M L ∆⋅=∆M=0，得=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
L ∆1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M i ∆⋅∑。
同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。
t M L i ∆⋅=∆∑0=∑i M 如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守0=∑i M 恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
高中物理竞赛讲义-角动量
高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛课件：角动量定理习题课
的作一用个，质式量中为km为的常质数点，r， 为今从受某到一力定F点到kr质/ r点3
的矢径。该质点在 r r0 处被释放，由静止开
始运动，则当它到达无穷远时的速率
为
。
2k mr0
FN
m dv dt
mv 2 FN R
mv2 m dv m dv ds mv dv
R
，得
mv2
G
Mm 3R
Ek
1 2
mv2
G
Mm 6R
R 2R
(2)
EP
G
Mm 3R
如图，物体质量
m 2 kg，沿固定的四分之一圆
弧由A静止滑下，到达
B点时的速率 v 6 m s1
，求摩擦力作的功．
A R=4 m O
m=2 kg
Bv
不动 v=6 m·s-1
解法1 应用动能定理求
WG
WFf
WFN
1 mv2 2
0
WG mgR； WFN 0
WFf
1 mv2 mgR 44 J 2
解法2 应用功能原理求
WFf Ek2 Ep2 (Ek1 Ep1)
1 mv2 mgR 2
A R=4m O
m=2kg
Bv
不动 v=6m·s-
1
Ff
FN
G=mg
质点自某高度以初速 v水0 平抛出，已知落地时速率
解: （1）绳子拉力是有心力，故相对圆孔
的角动量守恒，有
L r0mv0 rmv
v r0v0 20m / s r
（2）由动能定理 ，有
dEk F • dr
Ek
1 mv
2L2
2 r
物理竞赛分类汇编 动量 能量 角动量(教师版)
竞赛题汇编5 动量 能量 角动量 质心系1、 角动量定理2、 角动量守恒定律3、 质心系①质心加速度②质心系中动量③质心系中动能 一、（23届）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
参考解答：1． 求刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度设刚碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，并设它们的方向都与0v 的方向相同．由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有0A C 3M M m =+v v v（1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有C D 02ml ml =+v v（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （3）因为杆是刚性杆，小球B 和D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有B C C D --v v =v v（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 C v =0（5）和C 0456MM m=+v v（6）因为C v 也是刚碰撞后由B 、C 、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A 、B 、D 三球的速度 A 05656M mM m -=+v v（7）B 01056M M m =+v v（8）D 0256MM m =-+v v（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B 、C 、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C 0456MM m=+v v 沿0v 方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为656B M l M m ω-==+C v v v l（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，下面就M 、m 取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i ）A 0v =，即碰撞后小球A 停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 560M m -=即65M m = （11）（ii ）A 0v <，即碰撞后小球A 反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65M m < （12）（iii ）A 0v >但A C <v v ，即碰撞后小球A 沿0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C 的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 560M m ->和m M M 654->即665m M m << （13）（iv ）A C >v v ，即碰撞后小球A 仍沿0v 方向运动，且其速度大于小球C 的速度，发生这种运动的条件是6M m >（14）（v ）A C =v v ，即碰撞后小球A 和小球C 以相同的速度一起沿0v 方向运动，发生这种运动的条件是6M m = （15）在这种情形下，由于小球B 、D 绕小球C 作圆周运动，当细杆转过180 时，小球D 将从小球A 的后面与小球A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿0v 方向运动．根据质心运动定理，C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是()056πππ6M m l l t Mω+===v v（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C 走过的路程C 2π3ld t ==v （17）3．求第二次碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为D v ，小球D 的速度为B v ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A 'v 、B 'v 、C 'v 和D 'v ，并假定它们的方向都与0v 的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0A C 3M M m ''=+v v v （18） CB 02ml ml ''=+v v （19）222220A B C D 11111+22222M M m m ''''=++v v mv v v（20）由杆的刚性条件有D C C B''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0'=v （22） 和C0456MM m'=+v v（23）对于由B 、C 、D 三小球组成的系统，在受到A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A 0'=v v（24）B 0'=v （25）D 0'=v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A 以速度0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B 、C 、D 则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld =，而且小球D 和B 换了位置．评分标准： 本题25分．二、（29届）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
高中物理竞赛讲义-角动量例题
角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
中学物理竞赛讲义角动量例题
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。
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5.3角动量例题
例1、在一根长为3l 的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l ，再在杆
的两端以及距另一端为l 处各固定一个质量为M 的小球。
然后通过此孔
将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O 上。
开始时，轻杆静止，一质量为m
的铅粒以v 0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大
高度。
例2、质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平
光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．
例3、两个质量均为m 的质点，用一根长为2L 的轻杆相连。
两质点
以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O 与杆的夹角为θ。
试求
以O 为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于
桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m ，并用长为L 、不
可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A 、B 之间的距离
为L/2， A 、B 间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A 一个冲击，使其获得平行与槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度
例5、有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 例6、一质量为M a ，半径为a 的圆筒A ，被另一质量为M b ，半
径为b 的圆筒B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A
的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有
一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD
的中点B处用一细线悬于天花板A点。
突然剪断DF，求剪
断后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？。