有限元作业整理版
有限元大作业
1．推导有限元计算格式，理解有限元原理：建立图示受拉直杆在自重（设单位长度重度为q ，截面积为A ）和外力P 作用下的拉伸问题的微分方程，并分别利用不同的原理（变分求极值（最小势能或虚功原理）、加权残值法）推导有限元计算格式（取两个单元）。
手工求出端点的位移（自己给定参数值）。
设杆长为L ，截面面积为A(x)，弹性模数为E,单位长重量q ，受拉杆x 处的位移为u(x)。
取微元dx 的力平衡，建立受拉杆位移所满足的微分方程()du x dx ε=，()du x E E dxσε== dx 上下截面内力与微元自重相等得()*()()*()A x dx x dx A x x dx qdx σσ++-+=-(()())dA x x q dxσ∴=- (())d duEA x q dx dx=- 0x L << ()0u x = 0x =()duEA x p dx= x L = 得解析解：2()2q x P u Lx x EA EA=-+将其分为两个单元，节点为1,2,3，得22382qL PL u EA EA=+232qL PL u EA EA=+有限元法：1)位移函数01u α= 2111u u l α-=得1211(1)x x u u u l l =-+ 令11(1)x N l =-21x N l = 11122122u u N u N u N N u⎧⎫⎪⎪⎡⎤=+=⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭{}1u N d ⎡⎤=⎣⎦ 2)应变、应力表达{}{}111211du dN d d dx dx l l ε⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎣⎦⎣⎦{}1B d ε⎡⎤=⎣⎦ {}1E E B d σε⎡⎤==⎣⎦ {}1S d σ⎡⎤=⎣⎦3)势能表示{}{}(){}{}(){}{}{}{}{}1111''112211''121112210111111111111111121221222T V ll T T T T T U W D dV F u F u qdx u u d B E d Adx F u F u ql EA EA ql l l d d d F d EA EA ql l l εε⎡⎤=-=-+-⎣⎦+⎡⎤=-+-⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∏⎰⎰⎰4)单元平衡方程 a)最小势能原理110u ∂=∂∏120u ∂=∂∏111111212112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭b)虚位移原理{}(){}(){}TeTdd F qdx d δδδεσΩ+=Ω⎰⎰{}{}1B d σεδ⎡⎤=⎣⎦ {}1E E B d σεδ⎡⎤==⎣⎦{}(){}{}(){}111111TTT l d F d B E B d Adxδδ⎡⎤=⎣⎦⎰ 由虚位移任意性得，{}{}1111T lF B E B Adxd ⎡⎤=⎣⎦⎰ 积分得111111212112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭ 记为{}{}111k d F ⎡⎤=⎣⎦ 同理222212323112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭{}{}222k d F ⎡⎤=⎣⎦ {}{}ei i eF R =∑ 12220F F += 23F P =11111112211223222022202EAEAql F l l u ql ql EA EA EA EA u l l l l u ql EAEA P l l ⎡⎤⎧⎫-⎢⎥+⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢-+-⎥=+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪+⎢⎥⎪⎪--⎢⎥⎩⎭⎣⎦可得：22382qL PLu EA EA=+232qL PL u EA EA=+与解析解结果一致。
(完整word版)有限元分析大作业报告要点
有限元分析大作业报告试题1：一、问题描述及数学建模图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：（1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；（3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图所示。
二、采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算1、有限元建模（1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences 为Structural（2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是Solid Quad 4 node182；六节点三角形单元选择的类型是Solid Quad 8 node183。
因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。
（3）定义材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3（4）建几何模型：生成特征点；生成坝体截面（5）网格化分：划分网格时，拾取lineAB和lineBC，设定input NDIV 为15；拾取lineAC，设定input NDIV 为20，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到600个单元。
（6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC 全约束。
大坝所受载荷形式为Pressure ，作用在AB 面上，分析时施加在L AB 上，方向水平向右，载荷大小沿L AB 由小到大均匀分布。
以B 为坐标原点，BA 方向为纵轴y ，则沿着y 方向的受力大小可表示为：}{*980098000)10(Y y g gh P -=-==ρρ2、 计算结果及结果分析 （1） 三节点常应变单元三节点常应变单元的位移分布图三节点常应变单元的应力分布图（2）六节点三角形单元六节点三角形单元的变形分布图六节点三角形单元的应力分布图①最大位移都发生在A点，即大坝顶端，最大应力发生在B点附近，即坝底和水的交界处，且整体应力和位移变化分布趋势相似，符合实际情况；②结果显示三节点和六节点单元分析出来的最大应力值相差较大，原因可能是B点产生了虚假应力，造成了最大应力值的不准确性。
有限元上机大作业
上机报告
姓名：学号：班级：
一．有限元的特点：
1.模型采用的单元类型：平面应力问题的单元分析类型；
2.单元个数：675；节点个数：2146；
3.单位制：毫米（mm）、牛顿（N）、兆帕（MPa）
4.单元描述：实体单元，8节点4面体单元（plane82）材料：低碳钢弹性模量210000MPa，泊松比ｕ=0.33 厚度：2mm
实体模型图
网络模型图
2载荷的等效与施加方法
二．计算结果
应力变形图
位移变形图
当网格分布变粗时应力等值变形图
位移等值变形图
当A处采用过渡圆角时，半径为3MM时
半径为6MM时
由以上两图可知，随着过渡圆角半径的增大，A点应力在减小。
三．分析与结论
通过利用ANSYS对简单模型行分析，不同的网格划分密度，会有不同的应力分布图和位移图，对于特殊点的应力和位移也有不同的影响，在转折点处采用过渡圆角，对应力和位结果也影响。
有限元习题与答案【范本模板】
习题2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理. 解 错误!应力是某截面上的应力在该处的集度。
○，2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变.X U Xx ∆∆=ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变.○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=γγγεεεε错误!物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xz yz xy zz yy xx γγγεεε错误!虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为:若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能. 2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。
错误! 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙. 错误! 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
国科大有限元作业1
作业1
1.叙述弹性力学中三维空间问题的平衡方程、几何方程、物理方程、力边界条
件和位移边界条件，并写出矩阵形式的表示式。
2.分别写出平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、几何方程、物理方程、
力边界条件和变形协调方程，请以矩阵形式表示。
3.叙述最小势能原理，并写出其数学表示式。
4.试用流程图的形式概括有限单元法的分析过程。
5.用Galerkin加权余量法求解受均布外载荷简支梁的变形。
已知梁的横向位移
满足控制方程
4
4
w
d
EI q
dx
-=，其边界条件为
2
2
0(0)
d w
w x x l
dx
====
和。
有限元作业
Bierenzuode,kanbudong作业1： 有一个等截面两节点二力杆，杆长为L ，截面积为A ，材料弹性模量为E 。
每个节点只考虑一个水平位移，对于图 (a)、(b) 所示的坐标系统和位移插值函数，分别求相应的[B]矩阵和单元刚度矩阵[K]。
解：（a ）、212()u x x αα=+，由边界条件确定常数1α、2α：当0x =时，1i u α=；当x l =时，212j u l αα=+，可得2222()1i j x x u x u u l l ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：{}{}{}2211122222()1u u x x f x u N N u u ll ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭单元的几何矩阵：[]''122222x x B N N l l ⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦{}{}{}12x u E E B u σε⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，即[][]D E = 对于矩形截面梁单元，积分：yzd dA =⎰⎰为单元横截面面积。
梁单元刚度矩阵[]0leT EA K B B dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰222202222l x x x l EA x ll l dx ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-=-⎰44334433EAEA l l EAEA ll --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=（b ）、212()u x x x αα=+，由边界条件确定常数1α、2α：当2l x =-时，21224i a l a l u =-+；当2l x =时，21224j a l a l u =+可得222222()i j x lx x lxu x u u l l -+=+ 因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：{}{}{}221112222222()u u x lxx lx f x u N N u u ll ⎧⎫⎧⎫⎧⎫-+===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭单元的几何矩阵：[]''122244x l x l B N N l l -+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦{}{}{}12x u E E B u σε⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，即[][]D E =对于矩形截面梁单元，积分：yzd dA =⎰⎰为单元横截面面积。
有限元作业题资料
1. 圆孔薄板，薄板尺寸为3x 2X 0.1 m，圆孔直径为0.2m,薄板材料为泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m的均布拉力，求其变形情况。
2. 圆孔薄板，薄板尺寸为3x 2X 0.1 m，圆孔直径为0.2m,薄板材料为泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m的均布压力，求其变形情况。
3. 方孔薄板，薄板尺寸为3x 2X 0.1 m，方孔尺寸为0.2*0.2m,薄板材料为泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m的均布压力，求其变形情况。
4. 方孔薄板，薄板尺寸为3x 2X 0.1 m，方孔尺寸为0.2*0.2m,薄板材料为泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m的均布拉力，求其变形情况。
P5.菱形孔薄板，薄板尺寸为 3 x 2X 0.1 m ，菱形边长为0.2m ，薄板材料为 泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m 的均布拉力，求其变形情况。
6.菱形孔薄板，薄板尺寸为 3 x 2X 0.1 m ，菱形边长为0.2m,薄板材料为 泊松比v =0.33 ,弹性模量 E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为200N/m 的均布压力，求其变形情况。
7. 椭圆形孔薄板，薄板尺寸为 3x 2 x 0.1 m ，椭圆的短轴为 0.2m,长轴为0.3m ,8.椭圆形孔薄板，薄板尺寸为 3x 2 x 0.1 m ，椭圆的短轴为 0.2m,长轴为0.3m , 薄板材料为泊松比 v =0.33 ,弹性模量E =7e10Pa ,边界条件为，左端固定，右端受大小为 200N/m 的均布压力，求其变形情况。
有限元大作业
一、试题一1、问题描述图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下集中方案进行比较：1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3）当选常应变三角形单元时，分别采用不同划分方案计算。
图 1.12、数学建模及有限元建模2.1数学建模将无限长的三维问题转化为二维问题，取出大坝的一个截面，建立模型如图2.1.1所示，图 2.1.12.2单元选择分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算，分别采用不同数量的三节点常应变单元计算，当选常应变三角形单元时，分别采用不同划分方案计算。
由于是平面应力问题，故Element Behavior K3选择Plane stress。
E=210Gpa,u=0.3。
2.3网格划分按照题意，采用不同数量的三节点常应变单元计算，划分具体的方案见第三部分计算结果。
2.4载荷及边界条件处理边界条件：底端将X，Y方向全约束。
载荷：由于水的压强是随着深度越来越大的P=密度*重力加速度*深度，故对大坝的梯梯形面施加载荷Result = 9800*(10-{Y})3、计算结果及结果分析3.1三节点常应变单元网格划分及结果图 1.3.1.1 图 1.3.1.2图 1.3.1.3 图1.3.1.4 由图可知：DMX=0.143E-4MSMN=49520PASMX=150581PA3.2六节点常应变单元网格划分及结果图1.3.2.1 图 1.3.2.2图 1.3.2.3 图 1.3.2.4由图可知：DMX=0.264E-4MSMN=1893PASMX=306986PA3.3三节点常应变单元网格划分及结果（24个单元）图 1.3.3.1 图 1.3.3.2图 1.3.3.3 图 1.3.3.4由图可知：DMX=0.203E-4MSMN=24617PASMX=199290PA3.4三节点常应变单元网格划分及结果（48个单元）图 1.3.4.1 图 1.3.4.2图 1.3.4.3 图 1.3.4.4由图可知：DMX=0.228E-4MSMN=16409PASMX=243234PA3.5三节点划分方案A图 1.3.5.1 图 1.3.5.2图 1.3.5.3 图 1.3.5.4由图可知：DMX=0.106E-4MSMN=50110PASMX=18194PA3.6三节点划分方案B图 1.3.6.1 图 1.3.6.2图 1.3.6.3 图 1.3.6.44、多方案分析比较4.1相同数目三节点和六节点单元比较DMX(mm) SMN（pa）SMX(pa) 方案数值三节点三角形单元0.143E-4 49520 150581六节点三角形单元0.264E-4 1893 306986表 1.4.1结论：相同的单元划分方案和单元规模，采用不同的阶次的相同形状的单元，分析结果不同。
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一、写出下图所示的三结点三角形单元的插值函数(形函数)Ni,Nj,Nm及插值函数矩阵[N],应变矩阵[B]。
二、如下图所示的三结点三角形单元,厚度为t,弹性模量是E,泊松比μ.试求:插值函数(形函数)矩阵[N],应变矩阵[B],应力矩阵[S],单元刚度矩阵[K]e.
三、下图所示的三结点三角形单元在jm边作用有线性分布的面载荷（x方向）,试求等效结点载荷向量.
四、如下图所示,一正方形平板,厚度为t,边长为a,弹性模量E,泊松比μ.划分为两个三角形单元.求:1,3点的位移.
五、下图所示矩形板，分成四个三结点三角形单元.要求:
(1)写出由单元刚度矩阵组装总体刚度矩阵的表达式;
(2)如1234就是一个矩形单元,试求此单元的单元刚度矩阵.。