分式的加法和减法通分.doc
分式的加法和减法——通分
是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路,你在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 坡路上的骑车速度为3vkm/h,
vkm/h,
在你下能对这个
(1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间? 结果进一步
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
化简吗？
示意图
3v
v1 2
，1 x2 - x
；
解 最简公分母是 x(x-1).
1 x
=
x-1 ， x( x -1)
1 x2 -
x
=
x(
1 x - 1)
.
( 2)
x
1 2 -4
，4-x2x
.
最简公分母是 2(x+2)(x-2).
1 x2 -4
=
2(
x
2 +2)(
x
-
2)
，
x 4-2x
=
x -2( x - 2)
=
-
2(x
x( x + 2) + 2)( x - 2)
.
小结
1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
2、确定最简公分母的一般步骤
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们 的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母 的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的 式子中指数最大的。
（4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定 最简公分母。
（5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号 提取到分式前面。
作业
必做：同步作业相关习题 选做：预习异分母分式的加法和减法
分式的加减 课件
你认为
1 1 ? 2a 3a
1 1 ? x 1 x 1
异分母分式的加减法法则：
1、异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的 分式，再加减
2、数学表达式：ba
c d
ad bd
bc bd
ad bc bd
例2 计算 ：
1
1
（1）2c2d 3cd 2
1
1
（2）2p 3q 2p 3q
（3）x22x-
4
x
1
2
1、判断题：
(1)
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
0
（X）
(2) 1 x 1 x x1 x1 x1
（X）
2.下列各式计算正确的是( D )
A. 1 1 1
a b ab
B. m m 2m
a b ab
C. b b 1 1
aa a
D. 1 1 0
ab ba
3、计算：
(1（) x
3x 1）2
(
x
3 1)
2
(2) 3y
2x 2y
2xy x 2 xy
课堂小结:
⑴ 分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子 看成一个整体，用括号括起来，再运算。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式 （或整式）。
分式的加减
计算：
(1) 1 8
3 8
(3) 1 5
3 20
(2) 1 8
3 8
分式运算定律
分式运算定律分式是数学中的一种运算形式，它由分子和分母组成，表示为a/b的形式。
分式运算定律指的是在进行分式运算时所遵循的准则和规则。
本文将介绍分式运算的基本概念和相关定律。
一、分式的基本概念分式是用来表示除法的一种形式。
在分数中，分子表示被除数，分母表示除数。
例如，1/2表示整数1除以整数2。
二、分式的四则运算在分式的四则运算中，有加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这四种运算对应的定律。
1. 加法定律对于两个分式a/b和c/d的加法运算，可以按照以下步骤进行：- 对分子进行通分，使得两个分式的分母相同。
- 将通分后的分子相加，分母保持不变。
- 如果分子可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算1/2 + 2/3的结果：- 对分子进行通分，得到3/6和4/6。
- 将通分后的分子相加，得到7/6。
- 7/6不能约分，所以最后结果为7/6。
2. 减法定律对于两个分式a/b和c/d的减法运算，可以按照以下步骤进行：- 对分子进行通分，使得两个分式的分母相同。
- 将通分后的分子相减，分母保持不变。
- 如果分子可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算2/3 - 1/4的结果：- 对分子进行通分，得到8/12和3/12。
- 将通分后的分子相减，得到5/12。
- 5/12不能约分，所以最后结果为5/12。
3. 乘法定律对于两个分式a/b和c/d的乘法运算，可以按照以下步骤进行：- 将两个分式的分子相乘，分母相乘。
- 如果分子和分母可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算2/3 * 3/4的结果：- 分子相乘得到6，分母相乘得到12。
- 6/12可以约分为1/2，所以最后结果为1/2。
4. 除法定律对于两个分式a/b和c/d的除法运算，可以按照以下步骤进行：- 将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，即a/b * d/c。
- 进行分子和分母的乘法运算。
分式加减法
【通分】利用分式的基本性质 ,把异分 母的分式化为同分分母的过程 .
【通分的原则】异分母通分时, 通常取 各分母的最简公分母作为它们的共同 分母.
分子相减时要注意符号的变化
例4
计算
3 24 2 x 4 x 16
3 24 分式的分母不同要先通分，再加减 解： 2 x 4 x 16 3 24 x 4 ( x 4)(x 4) 3( x 4) 24 ( x 4)(x 4) ( x 4)(x 4) 3( x 4) 24 ( x 4)(x 4) 3 x4
甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次 饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购 货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克， 乙每次用去800元，两次购买饲料的单价为分别 为m元/千克，n元/千克，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购货方式更合算？
a a （ 3） x y y x
3、计算：
5a 2b 3 3a 2b 5 8 a 2b (1) ; 2 2 2 ab ab ab
b a (3) ; 3a 2b
1 2 (4) ; 2 a 1 1 a
4 xy (6) x y . x y
若
x3 = ( x 1)(x 1)
A + B ， x 1 x 1
求A、 B的值.
A=2,B=-1
x2 x 1 4 x ( 2 2 ) 2 x 2x x 4x 4 x 2x
a b a b 2ab ( 2 2 ) a b a b (a b)(a b)
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式的加减运算
分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。
分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。
在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。
下面将详细介绍分式的加减运算。
1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。
当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。
通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。
与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。
这一步是为了保证分式的最简形式。
综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。
如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。
同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。
通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。
因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。
（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。
同分母分式的加减运算
例2 通分
1 1 与 2
2x 3y
2 a 与 b
ab ab
解：1 最简公分母为6xy
1 13y 3y , 2 22x 4x 2x 2x 3y 6xy 3y 3y 2x 6xy
2 最简公分母是a ba b
a ab
aa b a ba b,
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
如 1 1 应该怎样计算？ 23
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
如
11 ab
应该怎样计算？
异分母的分式
转化 通分
同分母的分式
异分母分式通分时，通常取最简单的公分母
（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
xy x y
;（
）
× (6) x 3 2 x 1 .
3xy
3xy
3xy
（
）
2、 计算：
1 y x
xy xy
yx x y
1
2 3x x y
2x y 2x y
3x x y
2x y
2x y 1 2x y
3 x 2 x 1 x 3 4 a a
x2
x2
2
a c3 a2 b2
b c3 a2 b2
a c3 b c3
a2 b2
ab
a2 b2
1 ab
同分母分式加减的基本步骤： 1、分母不变，把分子相加减。 （1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括 号； （2）如果是分子式单项式，可以不加括号。 2、分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； 3、最后的结果，应化为最简分式或者整式。
分式的通分和加减法
练习:
1、 （ 1）
x 1 1 x x
a 2a 3a （ 2） b 1 b 1 b 1
1 1 3 2m n （ 2 ） 2 2 2 （ 1） 2、 2c d 3cd 2m n 2m n
（ 3）
a 1 2 2 a b ab
例9 在下图的电路中，已测定CAD支路的电阻是
（ ）
2
4 5 分数的通分： 和 （先取各分母的最小公倍数） 12 9 15 5 5×3 36 12 12×3 4
4×4 9×4
9
16 36
思考:
联想分数的通分，由上例你能想出如何对分式进 行通分吗？ a2+ab a+b a(a+b) ab 2a-b a2
a2b
b(2a-b)
（3）
通分
思考:
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为： A AC A AC B B C B B C （C≠0） 其中A , B , C是整式.
填空：
a(a b) a ab ab 2 2 aa b ab ab ab 2 2a b （ ） b(2a b) 2ab b 2 2 2 2 a ab a b ab
2 2 2
2
练习:
1、
x y x 2y 2 2 y 2x y x
2
2
2
2、
x 1 2x 1 1 x x 1 x 1 x 1
小结:
1、分式加减法法则 2、分式混合运算顺序
例7计算：
解：原式
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分式的加法和减法
---- 通分
一、教学目标
1 、知识与技能目标： 使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标： 使学生经历探索异分母分式通分的过程， 培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标： 鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动
中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的
思维能力和表达能力。
二、教学重难点
教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程
第一阶段：创设情境，引入新课
幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路 , 每一个条路都是 km 其中第一条是平路 , 第二条有 km 的上
3 . 1
坡路
, 2 km 的下坡路
, 你在上坡路上的骑车速度为
v km h , 在平路上的骑车速度为
2
/
vkm h
在下坡路上的骑车速度为
3 vkm h 那么
: (1) 当走第二条路时 , 你从你家到学校
/ ,
/ ,
需要多长时间 ? (2) 你走哪条路花费时间少 ? 少用多长时间？
示意图
3v
v
1
2
2v
这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：
（ 1）
1
2 (h) v 3v
（2） (
1 2 )
3
(h).
v 3v 2v
得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？
学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知
这一阶段分为 3 个环节：
1、想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？
让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：
在分式中如何通分呢？
让学生做一做：+ = , -= , +=，小组讨论怎样找各分母的最小公倍数。
再自学课本25 页”动脑筋”：如何把分式，通分？并理解如何找最简公分母。
让学生在讨论中体会怎样在运算中通分，通过交流讨论找到解决问题的策略和方
法。
从而引出最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母。
3、练一练：
通分：（ 1）
（ 2），，
学生自主完成，教师引导学生总结概括通分的一般步骤：
1.找最简公分母。
2.分别将原来的各分式的分子和分母同乘一个适当的整式。
第三阶段：例题练习，应用新知
让学生在知识的及时运用中，初步体验学习的快乐。
例题分为 2 个层次：例题讲解 :
例1：通分（ 1）
（2），
，，
教师引导学生口述过程 , 让学生进一步理解怎样找最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习一
学生自主完成课本27 页练习第 1 题
先让学生独立尝试，在学生解决问题的过程中教师进行巡视，并找出有代表性解法
的同学板书。
例 2：通分（ 1），
（2），
教师引导学生怎样找分母是多项式的分式的最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习二
做课本 27 页练习第 2 题，提升学生实际运用的能力。
第四阶段：全课总结，畅谈收获
让学生小组讨论，再次归纳总结本节课的重点：
（1）本节课的主要内容是：异分母分式的通分。
（2）通分前先确定最简公分母，然后分别将原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，将其化为同分母的分式。
第五阶段：布置作业
根据学生的个体差异，采用分层的方法，必做与选做相结合，以满足不同层次学生
学习的需要。
而且通过选做题，让学有余力的学生提前预习满足他们对知识的需求，并
为下节课“异分母分式的加法和减法”的学习奠定基础。
必做：同步作业相关习题
选做：预习异分母分式的加法和减法。