分式的加法和减法通分.doc
分式的加法和减法
---- 通分
一、教学目标
1 、知识与技能目标： 使学生会进行异分母分式的通分。
2、过程与方法目标： 使学生经历探索异分母分式通分的过程， 培养学生归纳、总结、类比的能力。
3、情感态度与价值观目标： 鼓励学生积极主动的参与到“教”与“学”的双边活动
中，通过研究解决问题的方法，培养学生大胆猜想，积极探究的学习态度，发展学生的
思维能力和表达能力。
二、教学重难点
教学重点：会确定异分母分式的最简公分母并对其进行通分。
教学难点：异分母分式的通分。
三、教学过程
第一阶段：创设情境，引入新课
幻灯片出示一个学生比较熟悉的路程应用题，鼓励学生自主解决。
从你家到学校两条路 , 每一个条路都是 km 其中第一条是平路 , 第二条有 km 的上
3 . 1
坡路
, 2 km 的下坡路
, 你在上坡路上的骑车速度为
v km h , 在平路上的骑车速度为
2
/
vkm h
在下坡路上的骑车速度为
3 vkm h 那么
: (1) 当走第二条路时 , 你从你家到学校
/ ,
/ ,
需要多长时间 ? (2) 你走哪条路花费时间少 ? 少用多长时间？
示意图
3v
v
1
2
2v
这样，学生就得到了两道异分母分式加减运算的式子：
（ 1）
1
2 (h) v 3v
（2） (
1 2 )
3
(h).
v 3v 2v
得到结果，教师反问学生：你能对这个结果进一步化简吗？
学生发现现有的知识无法解决这个问题，这时教师引出新课内容，板书课题，这样既能激发学生的好奇心，又能调动学生的学习兴趣。
第二阶段：合作探索，学习新知
这一阶段分为 3 个环节：
1、想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
目的是引导学生复习回顾小学学习的分数的加减法的法则：先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再加减。
（2）类比分数的加减法则，你能归纳出分式的加减法则吗？
让学生思考并小组讨论，先让学生概括总结，教师指导补充：先通分，变为同分母的分式后再加减。
2、议一议：
在分式中如何通分呢？
让学生做一做：+ = , -= , +=，小组讨论怎样找各分母的最小公倍数。
再自学课本25 页”动脑筋”：如何把分式，通分？并理解如何找最简公分母。
让学生在讨论中体会怎样在运算中通分，通过交流讨论找到解决问题的策略和方
法。
从而引出最简公分母的定义：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母。
3、练一练：
通分：（ 1）
（ 2），，
学生自主完成，教师引导学生总结概括通分的一般步骤：
1.找最简公分母。
2.分别将原来的各分式的分子和分母同乘一个适当的整式。
第三阶段：例题练习，应用新知
让学生在知识的及时运用中，初步体验学习的快乐。
例题分为 2 个层次：例题讲解 :
例1：通分（ 1）
（2），
，，
教师引导学生口述过程 , 让学生进一步理解怎样找最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习一
学生自主完成课本27 页练习第 1 题
先让学生独立尝试，在学生解决问题的过程中教师进行巡视，并找出有代表性解法
的同学板书。
例 2：通分（ 1），
（2），
教师引导学生怎样找分母是多项式的分式的最简公分母，怎样将各分式通分。
巩固练习二
做课本 27 页练习第 2 题，提升学生实际运用的能力。
第四阶段：全课总结，畅谈收获
让学生小组讨论，再次归纳总结本节课的重点：
（1）本节课的主要内容是：异分母分式的通分。
（2）通分前先确定最简公分母，然后分别将原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，将其化为同分母的分式。
第五阶段：布置作业
根据学生的个体差异，采用分层的方法，必做与选做相结合，以满足不同层次学生
学习的需要。
而且通过选做题，让学有余力的学生提前预习满足他们对知识的需求，并
为下节课“异分母分式的加法和减法”的学习奠定基础。
必做：同步作业相关习题
选做：预习异分母分式的加法和减法。
分式的加法和减法——通分
是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路,你在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 坡路上的骑车速度为3vkm/h,
vkm/h,
在你下能对这个
(1)当走第二条路时, 你从你家到学校需要多长时间? 结果进一步
(2)你走哪条路花费时间少? 少用多长时间？
化简吗？
示意图
3v
v1 2
，1 x2 - x
；
解 最简公分母是 x(x-1).
1 x
=
x-1 ， x( x -1)
1 x2 -
x
=
x(
1 x - 1)
.
( 2)
x
1 2 -4
，4-x2x
.
最简公分母是 2(x+2)(x-2).
1 x2 -4
=
2(
x
2 +2)(
x
-
2)
，
x 4-2x
=
x -2( x - 2)
=
-
2(x
x( x + 2) + 2)( x - 2)
.
小结
1、把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
2、确定最简公分母的一般步骤
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们 的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母 的式子都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的 式子中指数最大的。
（4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式，再确定 最简公分母。
（5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号 提取到分式前面。
作业
必做：同步作业相关习题 选做：预习异分母分式的加法和减法
分式的加减 课件
你认为
1 1 ? 2a 3a
1 1 ? x 1 x 1
异分母分式的加减法法则：
1、异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的 分式，再加减
2、数学表达式：ba
c d
ad bd
bc bd
ad bc bd
例2 计算 ：
1
1
（1）2c2d 3cd 2
1
1
（2）2p 3q 2p 3q
（3）x22x-
4
x
1
2
1、判断题：
(1)
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
0
（X）
(2) 1 x 1 x x1 x1 x1
（X）
2.下列各式计算正确的是( D )
A. 1 1 1
a b ab
B. m m 2m
a b ab
C. b b 1 1
aa a
D. 1 1 0
ab ba
3、计算：
(1（) x
3x 1）2
(
x
3 1)
2
(2) 3y
2x 2y
2xy x 2 xy
课堂小结:
⑴ 分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子 看成一个整体，用括号括起来，再运算。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式 （或整式）。
分式的加减
计算：
(1) 1 8
3 8
(3) 1 5
3 20
(2) 1 8
3 8
分式运算定律
分式运算定律分式是数学中的一种运算形式，它由分子和分母组成，表示为a/b的形式。
分式运算定律指的是在进行分式运算时所遵循的准则和规则。
本文将介绍分式运算的基本概念和相关定律。
一、分式的基本概念分式是用来表示除法的一种形式。
在分数中，分子表示被除数，分母表示除数。
例如，1/2表示整数1除以整数2。
二、分式的四则运算在分式的四则运算中，有加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这四种运算对应的定律。
1. 加法定律对于两个分式a/b和c/d的加法运算，可以按照以下步骤进行：- 对分子进行通分，使得两个分式的分母相同。
- 将通分后的分子相加，分母保持不变。
- 如果分子可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算1/2 + 2/3的结果：- 对分子进行通分，得到3/6和4/6。
- 将通分后的分子相加，得到7/6。
- 7/6不能约分，所以最后结果为7/6。
2. 减法定律对于两个分式a/b和c/d的减法运算，可以按照以下步骤进行：- 对分子进行通分，使得两个分式的分母相同。
- 将通分后的分子相减，分母保持不变。
- 如果分子可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算2/3 - 1/4的结果：- 对分子进行通分，得到8/12和3/12。
- 将通分后的分子相减，得到5/12。
- 5/12不能约分，所以最后结果为5/12。
3. 乘法定律对于两个分式a/b和c/d的乘法运算，可以按照以下步骤进行：- 将两个分式的分子相乘，分母相乘。
- 如果分子和分母可以约分，则进行约分操作。
- 最后得到的分式即为运算结果。
例如，计算2/3 * 3/4的结果：- 分子相乘得到6，分母相乘得到12。
- 6/12可以约分为1/2，所以最后结果为1/2。
4. 除法定律对于两个分式a/b和c/d的除法运算，可以按照以下步骤进行：- 将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，即a/b * d/c。
- 进行分子和分母的乘法运算。
分式加减法
【通分】利用分式的基本性质 ,把异分 母的分式化为同分分母的过程 .
【通分的原则】异分母通分时, 通常取 各分母的最简公分母作为它们的共同 分母.
分子相减时要注意符号的变化
例4
计算
3 24 2 x 4 x 16
3 24 分式的分母不同要先通分，再加减 解： 2 x 4 x 16 3 24 x 4 ( x 4)(x 4) 3( x 4) 24 ( x 4)(x 4) ( x 4)(x 4) 3( x 4) 24 ( x 4)(x 4) 3 x4
甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次 饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购 货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克， 乙每次用去800元，两次购买饲料的单价为分别 为m元/千克，n元/千克，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购货方式更合算？
a a （ 3） x y y x
3、计算：
5a 2b 3 3a 2b 5 8 a 2b (1) ; 2 2 2 ab ab ab
b a (3) ; 3a 2b
1 2 (4) ; 2 a 1 1 a
4 xy (6) x y . x y
若
x3 = ( x 1)(x 1)
A + B ， x 1 x 1
求A、 B的值.
A=2,B=-1
x2 x 1 4 x ( 2 2 ) 2 x 2x x 4x 4 x 2x
a b a b 2ab ( 2 2 ) a b a b (a b)(a b)
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式的加减运算
分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。
分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。
在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。
下面将详细介绍分式的加减运算。
1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。
当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。
通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。
与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。
这一步是为了保证分式的最简形式。
综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。
如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。
同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。
通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。
因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。
（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。
同分母分式的加减运算
例2 通分
1 1 与 2
2x 3y
2 a 与 b
ab ab
解：1 最简公分母为6xy
1 13y 3y , 2 22x 4x 2x 2x 3y 6xy 3y 3y 2x 6xy
2 最简公分母是a ba b
a ab
aa b a ba b,
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
如 1 1 应该怎样计算？ 23
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
如
11 ab
应该怎样计算？
异分母的分式
转化 通分
同分母的分式
异分母分式通分时，通常取最简单的公分母
（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
xy x y
;（
）
× (6) x 3 2 x 1 .
3xy
3xy
3xy
（
）
2、 计算：
1 y x
xy xy
yx x y
1
2 3x x y
2x y 2x y
3x x y
2x y
2x y 1 2x y
3 x 2 x 1 x 3 4 a a
x2
x2
2
a c3 a2 b2
b c3 a2 b2
a c3 b c3
a2 b2
ab
a2 b2
1 ab
同分母分式加减的基本步骤： 1、分母不变，把分子相加减。 （1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括 号； （2）如果是分子式单项式，可以不加括号。 2、分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； 3、最后的结果，应化为最简分式或者整式。
分式的通分和加减法
练习:
1、 （ 1）
x 1 1 x x
a 2a 3a （ 2） b 1 b 1 b 1
1 1 3 2m n （ 2 ） 2 2 2 （ 1） 2、 2c d 3cd 2m n 2m n
（ 3）
a 1 2 2 a b ab
例9 在下图的电路中，已测定CAD支路的电阻是
（ ）
2
4 5 分数的通分： 和 （先取各分母的最小公倍数） 12 9 15 5 5×3 36 12 12×3 4
4×4 9×4
9
16 36
思考:
联想分数的通分，由上例你能想出如何对分式进 行通分吗？ a2+ab a+b a(a+b) ab 2a-b a2
a2b
b(2a-b)
（3）
通分
思考:
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为： A AC A AC B B C B B C （C≠0） 其中A , B , C是整式.
填空：
a(a b) a ab ab 2 2 aa b ab ab ab 2 2a b （ ） b(2a b) 2ab b 2 2 2 2 a ab a b ab
2 2 2
2
练习:
1、
x y x 2y 2 2 y 2x y x
2
2
2
2、
x 1 2x 1 1 x x 1 x 1 x 1
小结:
1、分式加减法法则 2、分式混合运算顺序
例7计算：
解：原式
八年级数学优质课《分式的加减》教案
八年级数学优质课《分式的加减》教案教学任务分析教学目标知识技能一、类比同分母分数的加减，熟练掌握同分母分式的加减运算．二、类比异分母分数的加减及通分过程，熟练掌握异分母分式的加减及通分过程与方法．数学思考在分式的加减运算中，体验知识的化归联系和思维灵活性，培养学生整体思考的分析问题能力．解决问题一、会进行同分母和异分母分式的加减运算．二、会解决与分式的加减有关的简单实际问题．三、能进行分式的加、剪、乘、除、乘方的混合运算．情感态度通过师生活动、学生自我探究，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使学生在整体思考中开阔视野，养成良好品德，渗透化归对立统一的辩证观点．重点分式的加减法．难点异分母分式的加减法及简单的分式混合运算．教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动１：问题引入活动２：学习同分母分式的加减活动３：探究异分母分式的加减活动４：发现分式加减运算法则活动５：巩固练习、总结、作业向学生提出两个实际问题，使学生体会学习分式加减的必要性及迫切性，创始问题情境，激发学生的学习热情．类比同分母分数的加减，让学生归纳同分母分式的加减的方法并进行简单运算．回忆异分母分数的加减，使学生归纳异分母分式的加减的方法．通过以上探究过程，让学生发现分式加减运算的法则，通过分式在物理学的应用及简单混合运算，使学生深化对分式加减运算法则的理解．通过练习、作业进一步巩固分式的运算．课前准备教具学具补充材料课件教学过程设计问题与情境师生行为设计意图［活动１］1．问题一：比较电脑与手抄的录入时间．2．问题二；帮帮小明算算时间所需时间为，如何求出的值？3．这里用到了分式的加减，提出本节课的主题．教师通过课件展示问题．学生积极动脑解决问题，提出困惑：分式如何进行加减？通过实际问题中要用到分式的加减，从而提出问题，让学生思考，可以激发学生探究的热情．［活动２］1．提出小学数学中一道简单的分数加法题目．2．用课件引导学生用类比法，归纳总结同分母分式加法法则．3．教师使用课件展示[例1]4．教师通过课件出两个小练习．教师提出问题，学生回答，进一步回忆同分母分数加减的运算法则．学生在教师的'引导下，探索同分母分式加减的运算方法．通过例题，让学生和教师一起体会同分母分式加减运算，同时教师指出运算中的．注意事项．由两个学生板书自主完成练习，教师巡视指导学生练习．运用类比的方法，从学生熟知的知识入手，有利于学生接受新知识．师生共同完成例题，使学生感受到自己很棒，自己能够通过思考学会新知识，提高自信心．让学生进一步体会同分母分式的加减运算．［活动３］1．教师以练习的形式通过“自我发展的平台”，向学生展示这样一道题．2．教师提出思考题：异分母的分式加减法要遵守什么法则呢？教师展示一道异分母分式的加减题目，学生自然就想到异分母分数的加减．教师通过课件引导学生思考，学生会想到小学数学中，异分母分数的加减法则，从而联想到异分母分式的加减法则，教师引导学生归纳出异分母分式加减运算的方法思路．由学生主动提出解决问题的方法，从而激发了学生探究问题的兴趣．通过学生的自我探究、归纳总结，让学生充分参与到数学学习的过程中来，体会学习的乐趣．［活动４］１．在语言叙述分式加减法则的基础上，用字母表示分式的加减法法则．2．教师使用课件展示[例2]3．教师通过课件出4个小练习．4．[例3]在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1R2满足关系式；试用含有R1的式子表示总电阻R５．教师使用课件展示[例4]教师提出要求，由学生说出分式加减法则的字母表示形式．通过例题，让学生和教师一起体会异分母分式加减运算，同时教师重点演示通分的过程．教师引导学生找出每道题的方法、如何找最简公分母及时指出学生在通分中出现的问题，由学生自己完成．教师引导学生寻找解决问题的突破口，由师生共同完成，对比物理学中的计算，体会各学科知识之间的联系．分式的混合运算，师生共同完成，教师提醒学生注意运算顺序，通分要仔细．由此练习学生的抽象表达能力，让学生体会数学符号语言的精练．让学生体会运用的公式解决问题的过程．锻炼学生运用法则解决问题的能力，既准确又有速度．提高学生的计算能力．通过分式在物理学中的应用，加强了学科之间的联系，使学生开阔了视野，让学生体会到学习数学的重要性，体会各学科全面发展的重要性，提高学习的兴趣．提高学生综合应用知识的能力．［活动５］1.教师通过课件出2个分式混合运算的小练习．2.总结：a)这节课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？b)⑴方法思路；c)⑵计算中的主意事项；d)⑶结果要化简．3.作业：a)教科书习题16.2第4、5、6题．学生练习、巩固．教师巡视指导．学生完成、交流．，师生评价．教师引导学生回忆本节课所学内容，学生回忆交流，师生共同补充完善．教师布置作业．锻炼学生运用法则进行运算的能力，提高准确性及速度．提高学生归纳总结的能力．。
分式加减法和通分教案
教学过程预设问题：1、怎样确定最简公分母、怎样进行通分？2、通分时需要注意的问题？（一）创设情境，导入新课一、课前学习： 1、分式2226x x y 、2236y x y 、2246xy x y 有什么共同点？试将它们分别化成最简分式。
2、下列分式213x y 、212x y 、23x y 分母不相同，试将它们变形成分母相同的分式。
3、什么是最简公分母？4、（1）分式2342527,,2912c a a b a b--的最简公分母是 ； （2）分式x x 312-与922-x 的最简公分母是 。
5、什么是分数的通分？依据是什么？6、通分：（1） 3b a、2ab c - ； （2）y x -1，y x +1； （二）自探、合探例1、通分：（1）b a 21，21ab （2）221y x -，xy x +21. (三)、学生展示与评价归纳：通分的关键是什么？(四)、再探例2、通分：（1）)3)(4(2--+x x x ，)3)(4(2x x x ---； （2）3))((y x y x x -+，2))((x y x y y -+； （五）教师点拨、精讲课堂小结1、最简公分母：确定几个分式的最简公分母，首先应把各分母因式分解，然后取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，即取各分母系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母是最简公分母。
2、分式通分：注意点和步骤。
（体现教学中教师的主导作用，以及教学中教师与学生平等的交流和探讨）(六)、巩固练习完成教材第17页练习 1、2题(七)、课堂检测1、写出下列各组分式的最简公分母：（1）xx x 31,21,1；_____________ （2）ab c ，bc a ，ac b ；________________ （3）xz xz y x 45,34,2123；_____________ （4）32)1(,)1(,1a z a y a x ---；_______________ 2、通分：（1）231x ，xy 125； （2）xy c z xy x y 34,65,222； （3）x x +21，x x -21.； （4）x x +21，1212++-x x ；(八)、作业 ：教材第19页习题1、2小题(九)、课后反思：10.4分式的加减法---通分一、课前学习：1、分式2226x x y 、2236y x y 、2246xy x y 有什么共同点？试将它们分别化成最简分式。