北师大版初中数学,九年级下册详细知识点

北师大版初中数学九年级下册知识点整理重点了解之前或之后内容补充仅供参考第一章直角三角形的边角关系1．锐角三角函数正切：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即；梯子的倾斜程度与tanA的关系：tanA的值越大，梯子越陡；正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡面{或坡比}）；正弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；三角函数：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数；当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化；梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；注意：①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”（sinA、cosA同理）；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比（sinA、cosA同理）；③tanA不表示“tan”乘以“A”（sinA、cosA同理）；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切。

余切：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即。

2．30°，45°，60°角的三角函数值附：通常我们称正弦、余弦互为余函数；同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数，用等式表达：若∠A为锐角，则①sinA=cos（90°-∠A），cosA=sin（90°-∠A）；②tanA=cot（90°-∠A）；cotA=tan（90°-∠A）；当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角；利用特殊角的三角函数值表，可以看出：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；0≤sinα≤1，0≤cosα≤1；同角的三角函数间的关系：倒数关系：tanα·cotα=1；商的关系：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα；平方关系：sin2α+cos2α=1。

3．三角函数的计算已知角度，用科学计算器求三角函数值；已知三角函数值，用科学计算器求角度。

4．解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形；在直角三角形的6个元素（三条边、三个角）中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来；附：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有三边之间的关系：a2+b2=c2；两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；边与角之间的关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a；sinB=b/c，cosB=a/c，tanB=b/a，cotB=a/b；面积公式：S△=ab/2=ch c/2(h c为c边上的高)；直角三角形的内切圆半径：r=(a+b-c)/2；直角三角形的外接圆半径R=c/2；解直角三角形的几种基本类型列表如下：5．三角函数的应用应用三角函数解决实际问题；附：方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角；方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角；方向角方位分别是：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西(45°时：东北方向、西北方向、东南方向、西南方向)。

6．利用三角函数测高利用直角三角形的边角关系测量物体的高度：①测量倾斜角（用测倾器）；②测量底部可以到达的物体的高度（用标杆、测倾器、皮尺）；③测量底部不可以到达的物体的高度（用标杆*2、测倾器、皮尺）。

第二章二次函数1．二次函数二次函数：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数。

2．二次函数的图像与性质二次函数y=x2的图像是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图像的最低点；二次函数y=-x2的图像是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图像的最高点；二次函数y=ax2，y=ax2±k的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同；将函数y=ax2的图像向上（下）平移k个单位长度，就得到了函数y=ax2+k（y=ax2-k）的图像；二次函数y=ax2，y=a（x±h）2的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同；将函数y=ax2的图像向左（右）平移h个单位长度，就得到了函数y=a（x+h）2（y=a（x-h）2）的图像；一般地，平移二次函数y=ax2的图像便可以得到二次函数y=a（x-h）2+k的图像；因此，y=a（x-h）2+k的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标：当a＞0时，开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）；当a＜0时，开口向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）；二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴是直线，顶点坐标；附：对于二次函数y=ax2+bx+c，配方成：函数的自变量取值范围是全体实数；函数的增减性：当a＞0：x≤时，y随x的增大而减小；x≥时，y随x的增大而增大；当a＜0：x≤时，y随x的增大而增大；x≥时，y随x的增大而减小；函数图像开口大小：当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大；最值：当a＞0，时，y有最小值；当a＜0，时，y有最大值；画二次函数y=ax2+bx+c方法：可以利用它与函数y=ax2的关系，平移抛物线而得到；可以采用五点法，步骤如下：①先找出顶点，画出对称轴；②找出图象上关于直线对称的四个点（如与坐标的交点等）；③把上述五点连成光滑的曲线。

3．确定二次函数的表达式确定二次函数表达式方法：已知二次函数顶点坐标，及图像上另一点的坐标：将y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k，将顶点坐标代入（h，k），求出h，k；再将另一点坐标代入y=a（x-h）2+k，求出a；已知二次函数中的一项系数，及图像上两点的坐标：将两点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解二元一次方程，求出另外两项系数；*已知二次函数图像上三点的坐标：将三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解三元一次方程，求出各项系数。

4．二次函数的应用确定二次函数表达式；求最值；附：二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察；解决最大（小）值问题的基本思路：①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。

5．二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根；二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；利用二次函数图像估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根：由图像可知方程有几个根，在什么范围；列表求函数值；找到近似根（结果取到十分位）；附：二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当b2-4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有0个交点（无交点）；当b2-4ac＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：化简后即为：，这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

第三章圆1．圆圆（描述性定义）：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆；固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径；圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（记三点），小于半圆的弧叫做劣弧（记两点）；扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆（集合性定义）：事实上，圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径；以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径；半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；等圆：能够重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内；点在圆外，即d＞r；点在圆上，即d=r；点在圆内，即d＜r；附：弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形；弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高；同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

2．圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（圆有无数条对称轴）；圆是中心对称图形，对称中心为圆心；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3．*垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；附：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

4．圆周角与圆心角的关系圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角；圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；推论同弧或等弧所对的圆周角相等；推论直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形：四边形的四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；推论圆内接四边形的对角互补；1°的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1°弧；5．确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆；三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形；三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等；补：理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；经过一点可以作无数个圆；经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上；经过三点作圆要分两种情况：①经过同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆；三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形；三角形的内心：内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做三角形的内心；三角形内心的性质：三角形的内心到三边的距离相等。