蒙特卡洛模型方法
蒙特卡洛模型方法
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）
蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。
蒙特卡罗方法的提出
蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方
样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确
定性的超均匀分布序列（数学上称为Low Discrepancy Sequences）代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。
蒙特卡罗方法的基本原理
由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值 Zi＝g
（x1，x2，…，xk）（i＝1，2，…，N），若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。
从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。
蒙特卡罗方法在数学中的应用
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
蒙特卡罗方法的应用领域
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。蒙特卡罗方法的工作过程
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：
1．用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
2．用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤
使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
蒙特卡罗算法的简单应用
一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 2.3.2 蒙特卡洛法的基本原理 蒙特卡洛模型的基本原理是模拟单个光子的传输过程，本质上是一系列随机作用和随机过程的计算机模拟，如光子吸收、散射、传输路径、步长等。光子从发射到进入组织再到从组织中逸出要历经许多过程，以单个光子为例，首先是光子发射，即单个光子垂直入射到组织表面，光子质量W 被初始化为1，当组织与周围介质折射率不同时，在入射界面处要考虑镜面反射（界面不光滑时考虑漫折射），其反射比设为RSP ，因此进入介质的能量为1-RSP ，这部分能量就是接下来要进行蒙特卡洛模拟的部分。进入组织后光子继续运动，首先要确定其运动步长s ，根据光子的运动步长和运动方向，可以得到光子与组织发生相互作用的坐标位置，并以此坐标为起点开始下一运动步长的模拟。光子在与组织发生相互作用时有（μ a/μt）W 的能量被吸收，剩余部分能量的光子被散射，并继续重复上述过程，直到光子运动到边界处，此时，它有可能被返回到组织内部或者透过组织进入到周围介质。如果光子被反射，那么它将继续传播，即重复上述运动；如果光子穿透组织，根据其穿透的是前表面还是后表面，则相应被记入透射量和反射量。 由于蒙特卡洛模型的精确性是建立在大量模拟的基础上，因此这一方法耗时长，这与光谱技术的实时特性相矛盾。“查表法”的提出为这一问题提供了一种很好的解决途径，查表法的基本思想在于事先将一系列组织光学特性所对应的模拟结果存储到一个表格中，这样在对每一个光子进行模拟时，能够从这一表格中直接提取最终的模拟结果，从而节省了大量的模拟时间。 对于组织光子传输蒙特卡洛模型的研究已经开展了很多年，目前学术界广为接受和采用的是美国圣路易斯华盛顿大学华人教授Lihong Wang所提出的模型[1]，此模型是前向模型，即在已知组织吸收和散射特性的前提下对光子在组织中的传输分布进行模拟；美国杜克大学助理教授Gregory Palmer等在前向模型的基础上开发出了所谓的后向模型[2]，这一模型是在已知光谱反射特性的基础上，通过多次随机假定光学特性并调用前向模型进行光谱拟合，从而筛选出与实际测量结果最为匹配的一组假定数据作为组织的光学特性参数。后向模型的提出使得蒙特卡洛模型能够从真正意义上对组织的光学参数进行检测，并定量得出组织的各组分参数。目前蒙特卡洛模型已被广泛用于多种肿瘤的离体及临床在体研究，并取得了令人满意的结果，最终应用于临床检测的相关仪器也已得到开发，并预计将在未来的十几年甚至是十年之内推向临床应用。 当然目前关于这一模型仍有一定的发展提升空间，难点主要集中于如何进一步提高其精确性，这主要体现在两个方面：（1）如何进一步优化模型来提高精确性，目前这一模型对于仿体吸收散射特性的提取检测已经能够达到10%以内的误差精度，但最近的研究发现，将这一模型应用于仿体荧光检测时，其精确性仍有较大提升空间[3]。仿体荧光检测主要是为了研究模型提取固有荧光的能力，由于吸收和散射的存在，我们所检测的荧光并不是荧光物质本身的固有荧光，其光谱形状和强度均受到一定程度的改变，模型通过反射信号首先提取仿体的吸收和散射特性，进而用于对荧光信号进行矫正从而得到固有荧光光谱。研究发现，蒙特卡洛模型能够对荧光光谱形状进行良好恢复，但对于荧光光强的恢复其精确度仍有待提高。（2）如何提高用于人体组织检测的精确性，人体组织的情况往往是极为复杂的，这就需要开发精确的光子蒙特卡洛多层介质传输模型。目前关于这方面的研究已经取得一定的成果[1]，但仍需要开展更多的工作。 参考文献： [1] Wang L，Jacques SL，Zheng L. MCMLMonte Carlo Modeling of Light Transport in Multi-layered Tissues[J]. Comput Methods Programs Biomed，1995，47（2）：131-146. [2] Palmer GM，Ramanujam N. Monte Carlobased Inverse Model for Calculating Tissue Optical 当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。 蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。 最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串 的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特 性时才表露出来。贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。” 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样 三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟 吴洋 新疆大学物理科学与技术学院，新疆乌鲁木齐（830046） E-mail: 328627928@https://www.360docs.net/doc/3312610343.html, 摘要: 本文采用蒙特卡罗方法模拟三维晶格系统伊辛模型。在不同温度下，分别模拟了具有简立方晶格、体心立方晶格及面心立方晶格相互作用的三维伊辛模型。模拟结果表明：在高温下，系统磁化消失。在低温下，系统具有磁性，并存在一个临界状态。同时研究了三种晶格的磁化率、能量及比热随温度的变化趋势。 关键词:三维伊辛模型；蒙特卡罗方法；临界态 中图分类号：0552.6 1．引言 伊辛模型是一个简单但很重要的物理模型[1-5]，伊辛在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。二维伊辛模型[6-10]的临界问题及精确解在40年代由昂萨格严格求出。人们采用了分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论等多种方法计算三维伊辛模型[11-16]的解，但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。本文通过蒙特卡罗方法模拟得到三维伊辛模型的近似解。 2．模型分析与计算 2.1 模型格点选取 本文研究三维伊辛模型的解，选取三维格点。首先我们选取最简单的简立方格点，因为它具有典型性和代表性，它是直接由二维平面4个最近邻延伸到三维空间6个最近邻。然后，再推广到体心立方晶格和面心立方晶格，只是最近邻点数目增加，处理问题的方法是相同的。 2.2 模型边界条件分析 我们选取周期性边界条件，因为考虑到计算机的运算能力有限，所研究模型的大小也应是有限的。但我们又要模拟无限大的空间系统，只有将边界条件取为周期性，才很好的解决了这个问题。无论是对于简立方格点还是体心立方格点和面心立方晶格，只要是处于边界的格点，可以通过周期边界条件进行延伸，从而保证每个格点周围的最近邻格点数是一致的。使用周期性边界条件，通常还可以减小来自边界的干扰。 2.3 反转概率函数选取 采用蒙特卡罗模拟方法研究三维伊辛模型，反转概率的选取是很关键的一步。假设一个自旋反转使系统的能量降低，由于我们总是想要处于或靠近模型的基态，我们应当以概率为1接受这一变动。因此，在能量变化为负的情形下，我们取跃迁概率为1。但是，这样一来，我们就陷入能量极小之中。为了避免发生这种情况，我们也要接受能量增加的变动。不过我们只允许能量增加的变动很少发生，因此它们的反转概率很低。我们可以将反转概率和[0，1]之间的随机数比较，确定是否反转。 2.4 具体计算步骤 1) 先选定格点规格L*L*L,对温度(即J/KT)赋初值. 任选一个自旋点阵排列为起始状态, 蒙特卡洛方法 1、蒙特卡洛方法的由来 蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。 第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。如今MC方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。 2、蒙特卡洛方法的核心—随机数 蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。 在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。 实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。 无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。 人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。称这些序列为拟随机数序列。伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。 3、蒙特卡洛方法的原理 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等 浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求 伊辛模型的相变讨论 姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011) 指导老师：尹训昌 摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。 关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论 引言： 在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。由于此种方法推到复杂，不容易掌握。本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。 1平均场理论 在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论. 平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。认为热力学函数是序参量的解析函数。这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。按照平均场理论算出来，临界指数β等于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上是这样的关系，d=3。可以算出平常说的磁化率， 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。 传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并 用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 《计算材料学》课程设计 指导老师：江建军教授 电子科学与技术系 2004年6月 伊辛模型自旋状态的蒙特卡罗模拟 宋银锋 李敏 易冬柏 刘嘉 周磊 朱颖 吴华 刘文俊 沈文轶 罗睿 彭晓风 （华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074） 摘要:以Metropolis 蒙特卡罗模拟方法考察了20×20正方格子上的二维伊辛模型自旋模型，采用C 语言和LABVIEW 程序分别得到了该模型不同温度下自旋状态的图样，符合统计力学分析，并将该模型推广到三维情况，得到了相似的结论。 关键词:伊辛模型；自旋状态；Metropolis 蒙特卡罗模拟 SPIN CONFIGURATIONS OF THE ISING MODEL IN MONTE CARLO SIMULATION Abstract : Monte Carlo studies of the two-dimensional Ising model on 20×20 square lattice with periodic boundary conditions and nearest neighbor interactions are presented. The spin configurations of this model at various temperatures are obtained, consistent with the analyses of statistical mechanics. Three-dimensional Ising model is deduced, and similar conclusions are obtained. Key words : Ising model; spin configuration; Metropolis Monte Carlo Simulation 引言 伊辛自旋模型是一个十分重要的统计模型。理论上，它是最先被严格要求并表明有相变 存在的模型；实验上，它可用来描述铁磁体相变、格气、二元合金以及生物体中DNA 的融化等[1]。 把铁磁物质看成是N 个粒子组成的系统，每个粒子有一个自旋磁矩μ并处在晶体的格点 上。我们考虑一个具有N 个固定格点的晶体，格点以周期点阵排列，点阵的几何结构可以是简单立方，体心立方和六角形的等等。粒子在晶格上的自旋变量以(1,2,...,)i S i N =表示，i S 只能+1和—1的值。i S =1表示粒子的自旋朝上，i S = －1表示粒子的自旋朝下，可以用,↑↓表 示。当一组变数{}i S 给定以后，就完全确定了一个微观状态。假设，每个自旋只和它近邻的 自旋有相互作用，把这个模型就叫做伊辛模型。 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 蒙特卡洛模型方法 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method） 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。 蒙特卡罗方法的提出 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方 样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确 Monte Carlo实验报告 一、项目名称：Ising 模型 二、项目内容概要 1、编译和运行 进入实验的文件夹：cd□~/sourcecode/2D_Ising 文件夹里有源代码mc2d.f和输入文件in.2d 阅读理解并编辑输入文件：gedit□in.2d 之后编译mc2d.f f95 mc2d.f -o mc2d.exe 运行可执行文件 ./mc2d.exe 查看刚刚生成的四个输出文件，四个文件的内容如下： file1.out：温度；时间；单位原子能量；单位原子磁化强度 file2.out：温度；单位原子能量；能量变化；单位原子磁化强度；磁化强度变化；单位原子热容 file3.out：温度；自旋构型 file 4.out：温度；能量升高而被接受的数目；能量下降而被接受的数目；被拒绝的数目2、gnuplot 作图 作温度与能量图：p “file2.out” u 1:2 w p ps 3 pt 5 作出file2.out 中第1 列与第2 列数据； 作温度与磁化强度图：p “file2.out” u 1:4 w p ps 3 pt 5 作出file2.out 中第1 列与第4 列数据 作温度与热容图：p “file2.out” u 1:6 w p ps 3 pt 5 作出file2.out 中第1 列与第6 列数据 三、项目实施方法/原理 1925 年，伊辛提出描写铁磁体的简化模型：设有N 个自旋组成的d 维晶格 (d=1,2,3)，第i 格点自旋为Si=±1(i=1,2,…N; ±代表上下)。只考虑最近邻作用，相互作用能为±J(J>0 为铁磁性, J<0 为反铁磁性)，平行为-J，反平行为J。 伊辛模型的蒙特卡洛模拟基本步骤如下： 蒙特卡罗方法 为了验证蒙特卡罗方法，我们考虑一个简化的模型：通过一个冷涡轮叶片的热传递。下图是叶片的横截面： 内部冷却通道沿着虚线一截，可以给出： 金属 注意：MM T 金属叶片热的一边的温度 MC T 金属叶片凉的一边的温度 对这个问题，一维热传导模型可以写为： ()()gas gas TBC TBC MH TBC TBC q h T T k q T T L =?=? ()()M MH MC M MC cool cool k q T T L q h T T =?=? 在一个确定的问题里，有四个未知量：，TBC T MM T ，MC T 和q ，我们可以利用阻力求解。同样我们也可以写出下列的线性方程组： 001010440010 01gas gas gas TBC TBC TBC TBC TBC MH M M MC M M cool cool cool h h T T k k L L T k k T L L q h T h ?????????????????????????=?×??????????????????????????? 的线性方程组 输入量是：gas h ，，TBC k M k ， cool h gas T ，，TBC L M L ， cool T 对于一个确定的模拟，我们通常使用标称设计的参数初始值，假设是如下数据： 23000gas W h m = 21000cool W h m = 1300gas T =℃ 200cool T =℃ 1TBC k W m =K 21.5M k W mK = 0.0005TBC L m = 0.003M L m = 模拟的结果如下： 835MH T =℃ 1114TBC T =℃ 758MC T =℃ 525.5810W q m =× 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 运用蒙特卡罗模拟进行风险分析 蒙特卡罗模拟由著名的摩纳哥赌城而得名，他是一种非常强有力的方法学。对专业人员来说，这种模拟为方便的解决困难而复杂的实际问题开启了一扇大门。估计蒙特卡罗模拟最著名的早期使用是诺贝尔奖物理学家Enrico Fermi（有时也说是原子弹之父）在1930年的应用，那时他用一种随机方法来计算刚发现的中子的性质。蒙特卡罗模拟是曼哈顿计划所用到的模拟的核心部分，在20世纪50年代蒙特卡罗模拟就用在Los Alamos国家实验室发展氢弹的早期工作中，并流行于物理学和运筹学研究领域。兰德公司和美国空军是这个时期主要的两个负责资助和传播蒙特卡罗方法的组织，今天蒙特卡罗模拟也被广泛应用于不同的领域，包括工程，物理学，研发，商业和金融。 简而言之，蒙特卡罗模拟创造了一种假设的未来，它是通过产生数以千计甚至成千上万的样本结果并分析他们的共性实现的。在实践中，蒙特卡罗模拟法用于风险分析，风险鉴定，敏感度分析和预测。模拟的一个替代方法是极其复杂的随机闭合数学模型。对一个公司的分析，使用研究生层次的高等数学和统计学显然不合逻辑和实际。一个出色的分析家会使用所有他或她可得的工具以最简单和最实际的方式去得到相同的结果。任何情况下，建模正确时，蒙特卡罗模拟可以提供与更完美的数学方法相似的答案。此外，有许多实际生活应用中不存在闭合模型并且唯一的途径就是应用模拟法。那么，到底什么是蒙特卡罗模拟以及它是怎么工作的？ 什么是蒙特卡罗模拟？ 今天，高速计算机使许多过去看来棘手的复杂计算成为可能。对科学家，工程师，统计学家，管理者，商业分析家和其他人来说，计算机使创建一个模拟现实的模型成为可能，这有助于做出预测，其中一种方法应用于模拟真实系统，它通过调查数以百计甚至数以千计的可能情况来解释随机性和未来不确定性。结果通过编译后用于决策。这就是蒙特卡罗模拟的全部内容。 形式最简单的蒙特卡罗模拟是一个随机数字生成器，它对预测，估计和风险分析都很有用。一个模拟计算模型的许多情况，这通过反复地从预先定义的特定变量概率分布中采集数据并将之应用于模型来实现。因为所有的情况都产生相应的结果，每种情况都可以蕴含一种预测。预测的是你定义为重要模型结果的事项（通常含有公式或函数）。 将蒙特卡罗模拟法想象为从一个大篮子里可放回的反复拿出高尔夫球。拦在的大小和形 一、概念 蒙特卡罗法(MonteC盯10method)是一种应用广泛的系统模拟技术,产生于40年代，也称为统计模拟法(Statistiealsimulationmethod)或随机采样技术(stoehastiesamplingtechnique)。它是为了求解随机型问题而构造一个与原来问题没有直接关系的概率过程,并利用它产生统计现象的方法。 它的最大优点是收敛速度和问题维数无关,适应性强。不仅适用于处理随机型问题,如存储系统、排队系统、质量检验问题、市场营销问题、项目进度风险评价、社会救急系统问题、生态竞争问题和传染病蔓延问题等；也可处理确定型问题,如计算多重积分、解积分方程及微分方程、解整数规划(特别是非线形整数规划)等。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 1）、构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）、实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就 蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间范围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断，蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
三维伊辛模型的蒙特卡罗模拟
蒙特卡洛方法
浅析蒙特卡洛方法原理及应用
相变中的伊辛模型
蒙特卡罗方法(MC)
伊辛模型自旋状态的模特卡罗模拟
蒙特卡罗方法学习总结
蒙特卡洛模型方法
计算材料学_Ising模型实验报告
蒙特卡洛模拟——【数学建模 蒙特卡罗算法】
蒙特卡罗方法简介
运用蒙特卡罗模拟进行风险分析
蒙特卡罗模型
蒙特卡洛方法及其在风险评估中的应用