蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法
1、蒙特卡洛方法的由来
蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。

由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。

第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。

蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。

如今MC 方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。

2、蒙特卡洛方法的核心—随机数
蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。

因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可
信性和科学性。

在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。

由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3 ……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。

真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。

真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。

实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。

真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。

要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。

无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。

所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。

人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。

称这些序列为拟随机数序列。

伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。

3、蒙特卡洛方法的原理
当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰
当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。

然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件A或随机变量X。

最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。

一、收敛性
切比雪夫定理：
设随机变量X1, X2…X n,...相互独立，且具有相同的数学期望和方差：E(X k) = μ, D(X k) = σ2 (k=1,2，…)，作前n个随机变量的算术平均
Y n=1
n
∑X k
n
k=1
则对任意ε>0有
lim
n→∞
P{|Y n−μ|<ε}
lim n→∞P{|1
n
∑X k−μ
n
k=1
|<ε}=1
这说明，当n充分大时，随机变量的算术平均值接近于数学期望，这种接近是在概率意义下接近的。

换言之，n个相互对立的随机变量的算术平均，当n无限增大时，几乎变成了一个常数。

伯努利大数定律：
设m是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率（0<p<1）,则对任意ε>0，有
lim n→∞P{|
m
n
−p|<ε}=1
这表明，当n足够大时，事件的频率与其发生的概率的偏差小于任意小的数ε的概率为1。

因此在实际中，试验次数达到一定的数值时，我们可以用事件的频率来替代事件发生的概率。

收敛判据：蒙特卡洛方法的收敛判据是根据所计算变量估计值的误差来确定的，常用方差系数来表示：
β=√V(F)/NS
E(F)
只有方差系数降低到一定的数值，抽样才停止。

二、蒙特卡洛方法步骤
（1）为了计算某个变量I，首先就是选择一个数学期望为I的随机变量Y,从中抽出子样Y1，Y2，Y3，……Y n。

接着要确定随机变量Y的概率模型Y=g（ξ1，ξ2,ξ3 ……ξm），其中ξ1，ξ2称为随机数，就是我们上文提到的真随机数。

m称为此次算法的结构性维数，也就是完成一次抽样所需要随机数的最大数目。

也就是根据随机产生的m个随机数得到随机变量Y的一个子样Y n，可以是一种对应关系，或者是函数关系，或者可以称为一种映射关系。

（2）抽样方法的采用：当确定随机变量Y后, 关键的就是从Y的分布中抽取子样Y1, Y2,……Y n。

因此, 随机变量抽样是蒙特卡洛方法的关键步骤。

对于任意非单位均匀分布随机变量 的抽样, 均是使用严格数学方法, 借助随机数产生, 步骤为先抽取若干个随机数ξ1，
ξ2 ,ξ3 ……ξm, 然后经过概率模型运算g(ξ1，ξ2 ,ξ3 ……ξm) 得到算计变量Y子样的一个体Y n。

（3）最后根据切比雪夫定理，根据得到的一定数目的子样：Y1，Y2，Y3，……Y n,求出子样算术平均值从而得到所要计算的变量I。