二次函数的综合复习

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及性质一、 知识要点：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线．（1）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 用配方法可化成：y ＝a （x －h ）2＋k 的形式，其中h ＝ab 2-，k ＝ab ac 442-．（2）二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ＝ax 2；②y ＝ax 2＋k ；③y ＝a （x －h ）④y ＝a （x －h ）2＋k ；⑤y ＝ax 2＋bx ＋c ．（３）顶点决定抛物线的位置．几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同．（４）几种特殊的二次函数的图象特征如下（5）抛物线的平移抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 可以由抛物线y ＝ax 2经过适当平移得到，具体平移方法如图所示：2．抛物线与a 、b 、c 、△符号的关系：（1）抛物线开口：由a 的符号决定⎩⎨⎧<>开口向下开口向上,0,0a a ．（2）抛物线与y 轴交点位置：由c 的符号决定⎪⎩⎪⎨⎧=<>抛物线过原点轴下方交点在轴上方交点在,0,0,0c x c x c ．（3）抛物线与对称轴的位置：由a 、b 符号决定（不妨设0>a）⎪⎩⎪⎨⎧=<>轴对称轴是轴右侧对称轴在轴左侧对称轴在y b y b y b ,0,0,0．（4）抛物线与x 轴交点的个数：由△的符号决定⎪⎩⎪⎨⎧=∆<∆>∆有一个交点无交点有两个交点,0,0,03．二次函数与一元二次方程的关系：令y ＝0得一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，其根是抛物线与x 轴交点的横坐标．二、典型例题 例1已知二次函数的图象经过点（0，－1），（－2，0）和（21，0），求这个二次函数的解析式．分析 1 已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，得到二次函数的解析式． 解法一设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．将（0，－1），（－2，0）和（21，0）分别代入上式得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+--=021410241c b a c b a c 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===1231c b a ∴二次函数的解析式为1232-+=x x y ．分析2已知（—2，0）和（21，0）两点是x 轴上两点，故对称轴是这两点的中垂线，利用顶点式可求得其解析式．解法二∵二次函数的图象经过（－2，0）和（21，0）两点，故对称轴是这两点的中垂线，即直线x ＝－43，设二次函数的解析式为 y ＝a （x ＋43）2＋k ，将（－2，0）（或（21，0））、（0，－1）两点坐标代入上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯143043222k a k a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==16251k a ．∴二次函数的解析式为12316254322-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y分析3已知（－2，0）、（21，0）两点是抛物线与x 轴的两个交点，所以选用交点式y=a （x —x 1）（x —x 2），再将点（0，—1）的坐标代如上式，可求得待定系数a ，即可得解析式．解法三∵点（－2，0）和（21，0）是抛物线与x 轴的两个交点．∴设抛物线的解析式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21)2(x x a y ．将（0，－1）代入上式得)210)(20(1-+=-a ．∴12321)2(,12-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴=x x x x y a 即二次函数的解析式为1232-+=x x y ．点评 由于用待定系数求二次函数的解析式有三个待定系数a 、b 、c （或a 、h 、k 或a 、x 1、x 2），所以确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件，当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较简便；当已知抛物线的顶点坐标时，可选用顶点式较为简便；当已知抛物线与x 轴两个交点的坐标时，可选用交点式较为简便。

在求二次函数的解析式时，如果选择的方法得当，可给计算带来很大的方便．例2 如图中的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列不等式中：（1）abc ＞0（2）b ＜a ＋c （3）a ＋b ＋c ＜0（4）2c ＜3b （5）c ＞2b 能成立的个数有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析 观察图象：开口向下，顶点在第一象限，还出现了两点（—1，0）， （1，0），要注意这两点在抛物线中的作用． 解∵抛物线开口向下，∴ a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴ c ＜0。

∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴02>-ab，∴ b ＞0，∴ abc ＜0，∴第（1）不等式不成立。

∵当x ＝－1时，对应的函数值y ＝a （－1）2＋b ·（－1）＋c ＝a ＋b ＋c ，而x ＝－1时，y ＜0，∴ a －b ＋c ＜0．∴ b ＞a ＋c ，∴第（2）个不等式不成立．∵当x ＝1时，对应的函数值 y ＝a ·12＋b ×1＋c ＝a ＋b ＋c ，又 y ＞0，∴ a ＋b ＋c ＞0，∴第（3）个不等式不成立．由上得b ＞a ＋c ，又∵ab2-=1，∴ a ＝－b 21．∴ 2c ＜3b ．故第（4）个不等式成立．∵ 2c ＜3b ，b ＞0，∴b b c 223<<，∴c ＜2b ．∴第（5）个不等式不成立．∴本题中不等式成立的个数是1个，选A ．点评记住以下规律对解类似的题很有帮助（1）开口方向决定a 的符号；（2）抛物线与y 轴交点位置决定c 的符号；（3）由a 的符号和ab2-的符号决定b 的符号；（4）x ＝1时，函数值的符号决定a ＋b ＋c 的符号；（5）x ＝－1时，函数值的符号决定a －b ＋c 的符号．例3 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为（3，－2），且与x 轴两交点间的距离为4，求抛物线的解析式．分析 此题涉及到抛物线与x 轴两交点间的距离，下面介绍两种解法再剖析两种解法作为比较． 解法一由题意，抛物线对称轴为x ＝3，与x 轴两交点的坐标为（1，0）和（5，0）．可设y ＝a （x －1）（x －5），把顶点坐标（3，－2）代入可求得a ＝21，∴解析式为25321)5)(1(212+-=--=x x x x y ．解法二设解析式为y ＝a （x —3）2－2，因抛物线与x 轴两交点间距离为4，∴442=-a ac b ，即36a 2－4a （9a －2）＝16a 2，∵a ≠0，∴a ＝21∴解析式为253212)3(2122+-=--=x x x y解法三 由题意得方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-442443222a ac b a bac a b解这个方程组太繁！具体解法从略．注 利用此种方法求解，说明还不会用题设的两个条件．解法四由题意，对称轴为x ＝3，抛物线与x 轴两交点坐标为（1，0）和（5，0），把这两点及顶点坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++23905250c b a c b a c b a 解这个方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==25321c b a ，∴解析式为253212+-=x x y点评若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），那么AB ＝aac b 42-或21221214)(x x x x x x AB -+=-=，此式可作为公式使用．例4 已知：二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2．（1） 求证：不论m 为任何实数时，抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2） 若抛物线过（3，6）点，求抛物线的解析式；（3） 若抛物线交x 轴于A 、B 两点，顶点为C 点，求△ABC 的面积．分析 判定抛物线与x 轴的交点情况，只须考虑判别式；因解析式中只有一个待定系数m ，所以只须一组x 、y 的对应值． 解（1）因为抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2的开口向上，当x 2－mx ＋m －2＝0时△＝（－m ）2－4（m －2）＝m 2—4m ＋8＝（m －2）2＋4＞0∴m 为任何实数，抛物线与x 轴都有两个不同的交点．（2）把x ＝3，y ＝6代入抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2，得6＝9－3m ＋m －2∴m=21，∴23212--=x x y ．（3）当23212--=x x y =0时，023212=--x x ，∴1,2321-==x x ∴25)1(23=--=AB ，由23212--=x x y 配方可得1625)41(2--=x y ∴顶点纵坐标为1625-=c y ∴641251625252121=-⨯⨯=⋅⋅=∆c ABC y AB S ．点评求出1,2321-==x x 后，不必确定谁是A ，谁是B ，要求△ABC 的面积，只须求出AB 的长和C 点的纵坐标y c ．例5 将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的解析式．分析 抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生改变，故应先求抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5的顶点．解 y ＝－x 2＋2x ＋5＝－（x －1）2＋6 它的顶点是（1，6），向下平移1个单位，再向左平移4个单位后的抛物线的顶点是（－3，5）．故平移后的抛物线的解析式是y ＝－（x ＋3）2＋5＝－x 2－6x －4． 点评 抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5可按下方式平移＝－（x ＋3）2＋5y ＝－（x －1）2＋y ＝－（x －1）2＋向下平移1个单位向左平移4个单位例6 已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （0，4），顶点在x 轴上，且对称轴在y 轴的右侧．设直线y ＝x 与二次函数图象自左向右分别交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，且OP ：PQ ＝1：3．（1）求二次函数的解析式；（2）在线段PQ 上是否存在一点D ，使△APD ∽△QPA ，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由． 分析 要从题设中的三个条件，求出待定系数a 、b 、c 的值． 解（1）∵抛物线经过（0，1）点，∴c ＝4，∴y ＝ax ２＋bx ＋4，又∵OP ：PQ ＝1：3，∴x 1：x 2＝1：4由⎪⎩⎪⎨⎧++==42bx ax y xy 得ax 2＋（b —1）x ＋4＝0，∵x 1、x 2是该方程的两个根，∴x 1＋x 2＝a b 1--，x 1·x 2＝a4，消去x 1，x 2得25a ＝（b —1）2，∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02>-ab ，∴0<a b，又∵抛物线的顶点在x 轴上，∴b 2＝16a 得a ＝1，b ＝－4（b ＝94舍去），y ＝x 2－4x ＋4．（2）存在点D ，设D （m ，m ）易得P （1，1），Q （4，4），若△APD ∽△QPA ，则有P APDPQ P A =，∴PA 2＝PQ ·PD ，∵PA ＝10，PQ ＝18，PD ＝2)1(2m -∴（10）2＝18·2)1(2m -，∴m ＝38或m ＝32-，∵1＜m ＜4，∴m ＝38，∴D （38，38）．三、过手训练1二次函数y ＝3x 2－2x ＋1的图象是 ，顶点是 ，对称轴是 ，它与y 轴的交点坐标是 ．答案抛物线、（32,31）、x ＝31、（0，1）2．抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b ＝ ，c ＝ ． 答案 —4、03．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＞0，b ＞0，c ＝0，则其图象的顶点坐标在第 象限． 答案 三提示 因为顶点坐标是（a b ac a b 44,22--），所以只须考虑ab ac a b 44,22--的符号．4．已知抛物线y ＝x 2－2（k ＋1）x ＋16的顶点在x 轴上，则实数k 的值是 ． 答案 3或－5 提示 △＝05．二次函数y ＝x 2－2x －m 的最小值是7，则m ＝ ． 答案 －86．二次函数的图象过点（3，2）和点（0，－1），对称轴方程是x ＝1，则此二次函数的解析式是 ． 答案 y ＝x 2－2x －17．抛物线y ＝－x 2－x ＋2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为 ． 答案 3 四、目标测试A 组一、 选择题1．抛物线y ＝－2x 2＋3x ＋1的对称轴是（）（A ） x ＝－43（B ） x ＝－817（C ） x ＝817（D ） x ＝43答案 D2．如果直线y ＝ax ＋b （ab ≠0）不经过第三象限，那么抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点在（ ） （A ） 第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限答案 A提示 由直线不经过第三象限得出a ＜0，b ＞0，可确定出抛物线顶点纵、横坐标的符号． 3．下列说法中正确的是（ ）（A ） 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象一定是抛物线 （B ） 二次函数y ＝ax 2，当x ＜0时，y 随x 增大而减小 （C ） 二次函数的图象的顶点一定在图象的对称轴上 （D ） 二次函数的图象的对称轴与y 轴重合 答案 C4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过（－1，3）和（1，1）两点，并且它在y 轴上的 截距大于0小于1，则a 的取值范围是（ ）（A ） 1＜a ＜3 （B ） 1＜a ＜2 （C ） 2≤a ＜3（D ） a ＞1＋23或a ＜1－23答案 B5．二次函数y ＝ax 2+bx+c 经过点（－1，12），（0，5），且点x ＝2时，y ＝－3，则a ＋b ＋c 的值为（ ）（A ） —4 （B ）—2 （C ）0 （D ）1 答案 C6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在x 轴下方的条件是（ ）（A ） a ＜0，△＞0 （B ） a ＜0，△＜0 （C ） a ＜0，△≤0 （D ）a ＜0，△＝0 答案 B7．抛物线y ＝2x 2＋bx 的对称轴在y 轴右侧，则b 的取值范围是（ ） （A ） b ＞0 （B ） b ＞4 （C ） b ＞－4 （D ） b ＜0 答案 D8．抛物线y ＝2（x －3）2＋1与y 轴的交点为（ ）（A ） （0，19） （B ）（0，18） （C ） （0，1） （D ） （0，－1） 答案 A 二、解答题1.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两交点的横坐标是—1，3，与y 轴交点的纵坐标是23-，求抛物线的解析式．解由题意，设二次函数的解析式是y ＝a （x －3）（x ＋1）∵图象过（0，23-），∴ a （0－3）（0＋1）＝23-,∴ a ＝21．∴抛物线的解析式是y ＝21（x －3）（x ＋1）＝21x 2－x 23-．点评此题也可将抛物线经过的三点（—1，0），（3，0），（0，23-）代入抛物线的解析式，求出待定系数a 、b 、c ．1．一次函数y ＝x —2与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （2，m ）和B （n ，3）两点，且抛物线的对称轴方程是x ＝3．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系内画出两个函数的图象；（3）当自变量x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 增大而增大；（4）当自变量x 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．解 （1）∵一次函数y ＝x －2的图象经过点A （2，m ），∴m ＝2－2，m ＝0，∴A （2，0），∵一次函数y ＝x －2的图象经过点B （n ，3），∴3＝n －2，n ＝5，∴B （5，3），∵抛物线的对称轴为x ＝3，∴设抛物线的y ＝a （x －3）2＋k ，把A （2，0），B （5，3）代入上式得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ka ka 22)35(3)32(0解得：⎩⎨⎧-==11k a ，∴抛物线解析式为y ＝（x －3）2－1，即y ＝x 2－6x ＋8．（2）两函数图象如图所示（3）由图象知：当x ＞3时，一次函数和二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）由图象知：当2＜x ＜5时，一次函数的值大于二次函数的值．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象形状与221x y -=的图象形状相同，开口方向不同，且与x 轴只有一个交点P ，交y 轴于Q 点，若PQ=22，求函数解析式．分析 两条抛物线形状相同，开口不同只需二次项系数a 与21-互为相反数．解∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与221x y -=形状相同，开口不同，∴a ＝21．于是有y ＝21x 2＋bx ＋c ．∵它与x 轴只有一个交点，这个交点是抛物线顶点，即b b ab-=⨯-=-2122，∴顶点为P （－b ，0）∵Q （0，c ），且PQ ＝22∴b 2＋c 2＝（22）2又∵02142=⋅⨯-c b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①028222c b c b ①－②，得 c 2＋2c －8＝0，c 1＝2，c 2＝－4将c 1＝2代入②，得b 2＝4，∴b ＝±2，∴抛物线为y ＝21x 2＋2x ＋2或y ＝21x 2－2x ＋2．将c 2＝－4代入②，得 b 2＝－8无实根，舍去．B 组 一、 选择题1． 已知二次函数y ＝－x 2＋2（m －1）x ＋2m －m 2的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A ，与x 轴的两个交点为B 、C ，则△ABC 的面积为（ ）（A ）21（B ）1 （C ）23（D ）2答案 B提示 抛物线关于y 轴对称，即是02=-ab，代入后可求得m 的值。