第4章刚体的运动学和动力学
运动学与动力学的联系与区别
运动学与动力学的联系与区别运动学和动力学是物理学中两个重要的分支，它们研究的是物体的运动和力的作用。
虽然它们有一定的联系，但在研究的角度和方法上存在一些区别。
一、运动学运动学是研究物体运动的学科，主要关注物体的位置、速度、加速度等运动状态的描述和分析。
运动学研究的是物体的运动规律，而不涉及物体的受力情况。
在运动学中，我们可以通过描述物体的位移、速度和加速度来了解物体的运动情况。
运动学的基本概念包括位移、速度和加速度。
位移是指物体从一个位置到另一个位置的变化量，可以用矢量来表示。
速度是指物体在单位时间内位移的变化量，可以用矢量表示。
加速度是指物体在单位时间内速度的变化量，也可以用矢量表示。
通过这些概念，我们可以描述物体的运动状态和轨迹。
二、动力学动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，主要关注物体的受力情况和力的作用效果。
动力学研究的是物体的运动原因和力的作用，通过分析物体所受的力和力的作用效果，来推导物体的运动规律。
动力学的基本概念包括力、质量和加速度。
力是物体之间相互作用的结果，可以改变物体的运动状态。
质量是物体所具有的惯性和受力效果的度量，是物体对外力的反应程度。
加速度是物体在受力作用下速度的变化率，可以通过牛顿第二定律来描述。
三、联系与区别虽然运动学和动力学是物理学中两个不同的分支，但它们之间存在着一定的联系和区别。
首先，运动学和动力学都是研究物体运动的学科，它们都关注物体的运动状态和运动规律。
运动学描述物体的运动状态，而动力学研究物体的运动原因和力的作用效果。
其次，运动学和动力学在研究的角度上存在一定的区别。
运动学主要关注物体的位置、速度和加速度等运动状态的描述和分析，而不涉及物体的受力情况。
动力学则研究物体的受力情况和力的作用效果，通过分析物体所受的力和力的作用效果，来推导物体的运动规律。
最后，运动学和动力学在研究的方法上也有一定的区别。
运动学主要使用几何和代数的方法来描述和分析物体的运动状态，如位移、速度和加速度。
分析刚体的运动学和动力学问题
分析刚体的运动学和动力学问题摘要本文主要介绍了刚体的运动学和动力学问题。
首先，我们介绍了刚体的概念及其特点，解释了什么是刚体运动学和动力学。
其次，我们详细讨论了刚体的运动学问题，包括刚体的位移、速度和加速度的计算方法，以及刚体的角位移、角速度和角加速度的计算方法。
然后，我们深入探讨了刚体的动力学问题，包括刚体的受力分析、刚体平衡条件的推导，以及刚体的动量和动能的计算方法。
最后，我们还介绍了一些常见的刚体运动学和动力学问题，并给出了相应的实例分析。
关键词：刚体，运动学，动力学，位移，速度，加速度，角位移，角速度，角加速度，受力分析，平衡条件，动量，动能1. 引言刚体是物理学中一个重要的概念，广泛应用于力学、工程、机械等领域。
刚体的运动学和动力学问题是研究刚体运动规律的基础，对于理解和应用刚体的运动行为具有重要意义。
2. 刚体的概念及特点刚体是指在外力作用下始终保持形状不变的物体，其内部各个点间的相对位置和相对距离不会发生变化。
刚体的特点是分子之间的相对位置保持不变，相互作用力保持不变，因此刚体具有固定的外形和尺寸。
3. 刚体运动学问题刚体运动学是研究刚体的位置、速度和加速度随时间变化的规律。
对于刚体的位移、速度和加速度的计算，我们可以从两方面来考虑：3.1 刚体的直线运动对于刚体的直线运动，我们可以利用刚体的质心来进行计算。
刚体的质心是所有质点的质量之和与各质点质量的加权平均值。
通过计算刚体的质心的位移、速度和加速度，我们可以得到刚体的直线运动规律。
3.2 刚体的转动运动对于刚体的转动运动，我们需要引入刚体的转动轴和转动角。
刚体的转动轴是通过刚体上的一个点且与刚体的质心相距一定距离的直线。
刚体的转动角是刚体围绕转动轴旋转过的角度。
通过计算刚体的转动角、角速度和角加速度，我们可以得到刚体的转动运动规律。
4. 刚体动力学问题刚体动力学是研究刚体受力分析、平衡条件和动量、动能的变化规律。
对于刚体的受力分析，我们可以利用牛顿第二定律和刚体的转动惯量来进行计算。
刚体的运动学与动力学问题练习
刚体的运动学与动力学问题练习刚体的运动学与动力学问题练习1.如图14—14所示，一个圆盘半径为R ，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为1ρ：2ρ：3ρ：4ρ＝1:2:3:4,求这圆盘的质心位置．2.如图14—15所示，质量为m 的均匀圆柱体，截面半径为R ，长为2R ．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴(如图中的1Z 、2Z )的转动惯量J .3.如图14—16所示，匀质立方体的边长为a ，质量为m ．试求该立方体绕对角线轴PQ 的转动惯量J ．4.椭圆细环的半长轴为A ，半短轴为B ，质量为m (未必匀质)，已知该环绕长轴的转动惯量为A J ，试求该环绕短轴的转动惯量B J ．5.如图14—17所示矩形均匀薄片ABCD 绕固定轴AB 摆动，AB 轴与竖直方向成30α=°角，薄片宽度AD d =，试求薄片做微小振动时的周期.6.一个均匀的薄方板，质量为M ，边长为a ，固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在所在的竖直平面内摆动．在穿过板的固定点的对角线上的什么位置(除去转动轴处)，贴上一个质量为m 的质点，板的运动不会发生变化?已知对穿过板中心而垂直于板的轴，方板的转动惯量为216J Ma =. 7.如图14—18所示，两根等质量的细杆BC 及AC ，在C 点用铰链连接，质量不计，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C 着地时的速度．8.如图14—19所示，圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h 时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.图14－14图14－15 图14－16 图14－17图14－18图14－199.如图14—20所示，实心圆柱体从高度为h 的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，试求圆柱体爬坡所能达到的高度'h ．10.在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为s ，螺帽的转动惯量为J ，质量为m .假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零，螺帽以初速度0v 向下移动，螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系?这是什么样的运动?重力加速度为g ．11.在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度v ，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求：(1)碰后两球达到纯滚动时的质心速度； (2)全部过程中损失的机械髓的百分数． 12.如图14—21所示，光滑水平地面上静止地放着质量为M 、长为l 的均匀细杆．质量为m 的质点以垂直于杆的水平初速度0v 与杆一端做完全非弹性碰撞.求(1)碰后系统的速度及绕质心的角速度，(2)实际的转轴(即静止点)位于何处?13.如图14—22所示，实心匀质小球静止在圆柱面顶点，受到微扰而自由滚下，为了令小球在θ≤45°范围内做纯滚动，求柱面与球间摩擦因数μ至少多大?14.如图14—23所示，半径为R 的乒乓球，绕质心轴的转动惯量223J mR =，m 为乒乓球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为0C v ，初角速度为0?，两者的方向如图．已知乒乓球与地面间的摩擦因数为μ.试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.15.如图14—24所示，一个刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为M ，密度均匀．横截面六边形的边长为a ．六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量2512J Ma =．相对于棱边的转动惯量是'2512J Ma =.现令棱柱开始不均匀地滚下斜面．假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面．某一棱刚碰上斜面之前的角速度为i ?，碰后瞬间角速度为f ?，在碰撞前后瞬间的动能记为ki E 和kf E ．试证明f i s ??=，kf ki E rE =，并求出系数s 和r 的值．图14－20图14－21图14－23 图14－22 图14－24参考答案1.先确定一半径为R 的1/4圆的匀质薄板的质心，如图答14—1所示，在xOy 坐标中，若质心坐标为(x c ，y c )，由对称性知x c =yc ，则根据质心的等效意义，有231lim cos()cos()sin()lim[sin 3()sin()]42222822nc x x i R x RiR iR iR iinnnnnnnππππππππ→∞→∞===+∑，于是有313sin()sin ()1432222lim [sin 3()sin()]lim[3222234sin() 4c x x n n R R n n x i i n n n nnπππππππ→∞→∞+=+=??1sin ()sin ()442222]43sin()4n n R n n nnππππππ++=.针对本题中圆盘各象限密度不同有下列方程22123412344()()443c R R R x ππρρρρρρρρπ+++=--+， 22123412344()()443c R R R y ππρρρρρρρρπ+++=--+，解以上方程得0c x =，815c y R π=-.故质心坐标为(0,815R π-).2.如图答14—2所示，对图中所示的1Z 、2Z 、Z 坐标系与3Z 、4Z 、Z 坐标系运用正交轴定理，有1234J J J J J J ++=++,其中2312JmR =,24712J mR =,由对称等效可知 2121324J J mR ==. 3.如图答14—3所示，将立方体等分为边长为2a的八个小立方体，每个小立方体体对角线到大立方体体对角线距离d ==，依照本专题例3用量纲分析法求解有22222()()6()()(82828m a m a m kma k k ??=++，所以有 16k =，21 6J ma =.图答14－11Z R2ZZ4Z3Z图答14－2图答14－34.由正交轴定理22()A B i iiJ J m x y +=+∑及椭圆方程22221y x A B+=,得22222222()(1)A B i i i A A A J J m A y y mA J B B +=-+=+-∑，所以222B A A J mA J B=-.5.如图答14—4所示，设板质量为M ，则对AB 轴的转动惯量2211lim ()3nn i M d J i Md n n →∞===∑，对应于与竖直成α角的转轴，等效的重力是与轴垂直的分量sin Mg α,则24T =. 6.薄板上未贴m 时对悬点的转动惯量22023J J Md Ma =+=, 贴m后22123J Ma mx =+.振动周期相同，应有01'()J J Mgl M m gl =+,贴上m 后，质心相对悬点'mx Mll M m+=+,l =,解得x =.7.初始时，系统具有的重力势能P E mgh =，m 为一根杆的质量，铰链C 刚着地时，速度C v 竖直向下，各杆的瞬时转轴为()A B ，转动惯量2/3J ml =，l 表示每段杆长：由于铰链C 质量不计，则系统总动能22221112()233C k Cv E J ml mv l ?===，下落中机械能守恒，有 213Cmgh mv =，mgh：得C v =． 8．如图答14—5所示，圆柱体关于几何轴的转动惯量212J mR =，对过与绳相切点P 的平行轴的转动惯量232P J m R =；设轴心降低h 时速度为v ，由机械能守恒定律 2213()24v mgh J mv R ==，所以v 又由质心运动定律mg T m R β-=，由转动定律2mgR mR β=.则13T mg =．9.纯滚动时，无机械能损失，于是满足方程2222113()2224mR v mgh mv mv R =+?=,圆柱体与光滑墙碰撞，开始做非纯滚动，经时间t 达到纯滚动，质心速度由'C C v v →，角速度从'C C v v R R →，运用动量定理及动量矩定理'()C C ft m v v =-，'2()2C C v v mR fRt R R =-，解得'3C C v v =，此后机械能守恒，联系第一式可得''234mgh mv =，得'9h h =10.由机械能守恒定律，得22220011()()22t t mgs J m v v ??=-+-，又因2v sπ=，可得图答14－4图答14－522'022224t m v v gs g s J m s π-==+，即螺帽匀加速直线下降'0t v v g t =+，'224m g g Jm sπ=+. 11.(1)如图答14—6所示，两球225mv J =，刚完成弹性碰撞时，两球交换质心速度，角速度未变；设两球各经1t 、2t 达到纯滚动状态，质心速度为1v 、2v ，对球1有11ft mv =，2112()5v mR v fRt R R =-，所以127v v =；对球2有22()ft m v v =-，22225v mR fRt R =,257v v =.(2)系统原机械能222211127()22510k mR v E mv mv R =+?=；达到纯滚动后2222221125122529()()()()277257770k v v mR v v E m mv =++?+=，则2041%49η=≈． 12.(1)碰后系统质心位置从杆中点右移为2m lx m M ?=+.由质心的动量守恒0()C mv M m v =+，求得质心速度0C mv v M m=+. (2)由角动量守恒202122l Ml lmv m x ??=+，x 为瞬时轴距杆右端的距离，考虑质心速度与角速度关系022()2()C v mv Ml m M x Ml x M m ?==+--+，在23x l =处，有06(4)mv M m l ?=+. 13.圆柱半径与小球半径分别以R 、r 表示，小球滚到如图14—7位置时，质心速度设为C v ，角加速度β，转动惯量225J mr =，受到重力mg 、圆柱面支持力N 、静摩擦力f ，由质心运动定律，有 2cos Cmv mg N R rθ-=+，①sin mg f m r θβ-=，②自转动定律有 225fr mr β=，③ 又因小球做纯滚动，摩擦力为静摩擦力不做功，球的机械能守恒 22221127()(1cos )()22510C C Cv mr mg R r mv mv r θ+-=+?=，④ 将③式代入②式得5sin 2f mg f mr mr θ-=，于是2sin 7f mg θ=；将④式代人①式得10()(1cos )cos 7()mg R r mg N R r θθ+--=+，所以1710(cos )77N mg θ=-.图答14－6图答14－7C因做滚动，必定f ≤N μ，即μ≥2sin 17cos 10θθ-，在θ≤45°范围内μ≈0.7.14.乒乓球与地接触点O 既滚又滑且达到纯滚时，由角动量守恒，得 00C C mRv J mRv J ??-=+，即002()3C C v v R ??-=+.达到纯滚动时C v R ?=，由此可得纯滚动质心的速度002233C C v v R ?=-；其中，002233C v R ?＞，纯滚后球向右顺时针纯滚，若002233C v R ?＜，则纯滚后球向左逆时针纯滚．质心匀加速滚动，达到纯滚时间设为t ，由0C C v v gt μ=-，可得002()5C v R t gμ+=. 15.设以某棱为轴转动历时t ?，角速度i f ??→,时间短，忽略重力冲量及冲量矩，矢量关系如图答14—8所示，对质心由动量定理 ()sin 6i f N t Ma π=+，()cos6f i f t Ma π-?=-.对刚体动量矩定理25cossin()6612f i f ta N ta Ma ππ-?=-.解得1117f i ??=，1117s =，2121 289r s ==.图答14－8。
刚体动力学
刚体动力学
刚体动力学是指研究力和质量对刚体运动的影响，它涉及物理
和数学，主要研究力对物体运动的影响。
它广泛应用于工程和物理领域，用于描述物体在局部或全局中的运动状态。
如何利用运动学理论
来分析和解释物理世界中物体的运动轨迹，最终揭示物体运动的物理
原理至关重要。
在刚体动力学的概念中，物体的运动被建模为一种力对对对象的
瞬时影响。
通过应用力，物体的运动可以得到估计。
瞬时力是指在特
定时空会给物体造成瞬时影响的力。
可以从特征定律出发，将其用于
物体运动分析。
这些定律涉及到物理力学，牛顿力学和拉普拉斯力学，上述定律可将物体的运动状态的分类。
与此同时，通过测量物体的加
速度、速度和位移，有可能解释其运动轨迹，解析物体的运动和定义
有关的物理参数，这些物理参数的累积可以描述物体的运动状态，从
而揭示物体运动的原理。
刚体动力学的原理也可以用来处理运动学中更加抽象的问题，例
如变换，尤其是物体受力时联合受力的问题。
此外，它还可以用于研
究物理系统中某些复杂的力的运动模式，包括动量、角动量、能量和
声学等。
可以说，它是物理上最基本的模型，用于解释物体的局部或
全局运动。
利用刚体动力学的原理，可以研究物体运动在各种复杂条
件下的变化，从而揭示物体运动的物理原理。
大学刚体知识点总结
大学刚体知识点总结一、刚体的概念和基本性质1. 刚体的基本概念刚体是指在运动或受力作用时，其内部各个部分之间的相对位置保持不变的物体。
刚体的定义包括两个方面：一是刚体的形状和大小在所讨论的现象中不发生改变；二是刚体内各点的相对位置在所讨论的现象中也不发生改变。
这意味着刚体是刚性的，并且不会发生形变。
2. 刚体的基本性质（1）刚性：刚体的所有部分在相互作用下保持相对位置不变，不发生相对位移或形变，这就是刚体的基本性质之一。
（2）刚体的自由度：刚体的自由度是指刚体可以自由运动的最少独立坐标数。
刚体的自由度可以通过不同类型的运动来描述，包括平动、转动和复合运动。
（3）刚体的质心：刚体的质心是指一个质点，它等效于整个刚体对于外力的作用。
在某些情况下，刚体可以看作是一个质点，其运动和受力可以通过质心来描述。
二、刚体的平动1. 刚体的平动运动在刚体的平动运动中，刚体上的各个点都以相同的速度和方向移动。
平动运动可以通过刚体的速度和加速度来描述，它是刚体运动的一种常见形式。
2. 刚体的平动运动描述（1）刚体的平动速度：刚体上的各个点的速度大小和方向相同，这就是刚体的平动速度。
刚体的平动速度可以通过质点运动方程或者质心运动方程来描述。
（2）刚体的平动加速度：刚体上的各个点的加速度大小和方向相同，这就是刚体的平动加速度。
刚体的平动加速度可以通过质点加速度方程或者质心加速度方程来描述。
（3）刚体的平动运动学问题：刚体的平动运动学问题包括刚体的位移、速度、加速度等相关内容，它们可以通过运动学方法来解决。
三、刚体的转动1. 刚体的转动运动在刚体的转动运动中，刚体围绕固定轴旋转。
转动运动是刚体运动的另一种常见形式，它可以通过角度和角速度来描述。
2. 刚体的转动运动描述（1）刚体的角度和角速度：刚体围绕固定轴旋转时，可以通过角度和角速度来描述。
角度是指刚体围绕轴线旋转的角度，角速度是指刚体围绕轴线旋转的角度变化率。
（2）刚体的转动惯量：刚体围绕轴线旋转时，需要通过转动惯量来描述其转动惯性。
高等教育：刚体19952
注意:对同轴的转动惯量 才具有可加减性。
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
30
一些均匀刚体的转动惯量表
31
四:平行轴定理
J D JC md 2
d
m
D
C
32
练习 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
z
A
mB
L4 o C
L
Jz
l 2dm 3L 4 m l 2dl 7 mL2
L 4 L
48
解二：
Jz
J oA
J oB
1 3
m 4
L 4
2
1 3
3m 4
3L 4
2
7 48
mL2
解三：
Jz
JC
m
L 4
2
1 12
mL2
m
L 4
2
7 48
mL2
33
§4-3 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
数为 ，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。
m2
ro m
m1
解：在地面参考系中，选取 m1 、m2 和滑轮为研究对
象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
19
T1
m1
a
m1g
a
N
m2 g m2
T2
m2 g
T2
向里+
Ny
o
Nx
T1
列方程如下： 可求解
刚体力学概要
d
dt
r
dr dt
(4.9)
其中： a A —基点A平动加速度；
d r
dt
—P点绕转动瞬轴转动的加速度（沿切向）；
( r ) —P点绕转动瞬轴转动的向轴加速度。
（4.8）和（4.9）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度 公式，是处理刚体运动学问题的基础。
xc2
•
xc
/
R
mg
s in
•
R
xc
2 3
g sin
(4) 用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力
mxc mg sin F
0 mg cos FN Ic RF
xc R
由以上四式，可得法向约束反力 FN 和切向约束反力 F ：
FN mg cos
F
1 mg s in
·瞬时转轴法
p rop
式中 是刚体（动系）绕瞬时转轴转动角速度，rop 为P点相对于瞬时转轴
的⊥位矢。
[例1]半径为R的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心C
的速度为 ，0求轮子边缘上任一点P的速度和加速度。
解：（1）用基点法 求 p
c 0 R, rcp R
由图知，
p 20 cos 20 sin
刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动
能定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心C（基点）的平动与绕
质心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律
m d c
dt
Fi(e )
i
（4.15）
绕质心的转动由角动量定理决定：
dL dt
ri
i
Fi( e )
（4.16）
刚体力学刚体动力学举例
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
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P
II
M
d d 2 2 f " (t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
L x
J
1 x dx ML2 3
J
L/ 2
L / 2
x 2dx
1 ML2 12
z M
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML2
z'
L
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
C
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
第4章 刚体的运动学 和动力学
§ 刚体绕定轴转动 (运动学)
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
I
f (t )
d f ' (t ) dt
理论推证
取一质量元 Fi fi mi ai
O 切线方向
ri
fi
Fi
Fi fi mi ai
mi
2
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri mi ai ri 对所有质元
mi ri
2
Fi r i fi r i ( mi ri
J x dx
2 0
L
L
0
M 1 2 x dx ML L 3
2
M O
L
J铁 J木
dx
x
(2) J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
dl R O m
J R dm
2 0
L
2π R
0
R 2dl
3
R
2
2π R
0
m dl 2π R mR 2 2π R
R m
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R
J r dm
0 m 2 R 0
dr
r O
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
(3) J 与转轴的位置有关 z
M O dx
L 2 0
z M L O dx x
力 F 对z 轴的力矩
z
r
F// F Fn
F
M z ( F ) Fτ r F h
•
h
力矩取决于力的大小、方 向和作用点
只有两个指向
A
F
• 在刚体的定轴转动中，力矩
力对定轴力矩的矢量形式
z
r
F// F Fn
F
M Z r F
力矩的方向由右螺旋法则确定
h
A
F
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对y轴的力矩 解
y
M L
M df dm g dm dx L O 根据力矩 dM M gxdx L L M 1 M gxdx MgL 0 L 2
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 O
刚体
v
r' P θ
v r' an r ' 2 dv a r' dt
r
×基点O
参 考 方 向 定轴
瞬时轴
§ 力矩 刚体绕定轴转动定律 ( 动力学 )
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
M z J
在国际单位中 k = 1
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴 的转动惯量
讨论 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F , J m, a
•
合内力矩 = 0
)
合外力矩 M
刚体的转动惯量 J
三. 转动惯量
定义式
J mi ri
J r 2dm
2
质量不连续分布 质量连续分布
•
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z
M 1 3 3g cos mgl cos 2 J 2 ml 2l
d d ω dt d
0 d 0
ω
θ
3gcos d 2l
3 gsin l
z
M
z
L
L 1 2 J Z J Z M ML 2 3
J z 1 / 12ML2
2
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳