不等式 总结

不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 知识要点：
(A)不等式的基本概念
4.不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-
5.不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
6.同向不等式与异向不等式.
7.同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b
>>⇒
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R
b a ≥≥+≥+∈+
或则、若（当仅当a=b 时取等号）
（3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b ab +≤
（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：新课标第一网 ○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
3
,3
a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则
（当仅当a=b=c 时取等号）
0,2b a
ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;
||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么 22
2
.1122a b a b ab a b
++≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平
均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：
特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22
2()22a b a b ab ++==）
),,,(332
222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++
⇒幂平均不等式：2212
22
21)...(1
...n n a a a n
a a a +++≥+++ 注：例如：2
2222()
()()ac bd a b c d +≤++.
常用不等式的放缩法：①
21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++-- ②
11111(1)1
21
n n n n n n n n
n n +-=
=--≥+++-
（2）柯西不等式：
时取等号
当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a
b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 3322112
23222122322212332211321321))(();,,,,,,,,
（3）凸函数、凹函数新 课 标第一 网
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()()()(
)(
).22
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或
则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
○1
()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭
⎪>⎩定义域
○2
⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
（5）对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0
()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ⎩⎨
⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)
()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)
()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①2
31124
(1)
2(1)(1)()22327
x x x x x -=
⋅--≤=
②2222
2
32(1)(1)12423
(1)()223279
x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤
类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x
x
x
+=+≥与同号，故取等。