超详细解析矩阵力学
矩阵力学
全空间积分就可求得。将(3. 1. 7),(3-1.8)及(3-1.9)式写成矢量式，得
p = ∫ψ * (r , t )(−ih∇)ψ (r , t )dr
（3.1.10）
记动量算符为
p = −ih∇
∧
(3 .1.11)
可将(3.1.10)式写成
p = ∫ψ * (r , t ) pψ (r , t )dr
−∞ ∞
（3.1.2）
这里已经假定，波函数ψ ( x, t ) 满足归一化条件(2. 1 .6)式。 （2）现在讨论动量算符的平均值 按 2.2 的讨论，C(p,t)由公式
C ( p, t ) =
( Er − p • r ) 1 ψ (r , t ) h dr 3/ 2 ∫ (2πh) i
（3.1.3）
§3. 1 力学量的平均值 在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就 确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，在本章中我们将看到:所谓“确定”， 是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动 状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有定的数值， 而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状 态的波函数ψ 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。 在 §2.3 讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系 是: p → −ih∇ ，动能是
∧
(3 .1.12)
同理，不难证实，当 n 为正整数时解的平均值可写成
n px = ∫ψ * (r , t )(−ih
∂ n ) ψ (r , t )dr ∂x
(3.1.13)
n 同理还可给出对 p y 、p zn 的平均值。 对于任何动量 p 的解析函数.f (p)， 总可将 f (p)
海森堡的矩阵力学PPT课件
••维恩位移定律
实验发现：当绝对黑体的
M0 (,T )
温度升高时，单色辐出度
最大值m 向短波方向移动。
1700k 1500k 1300k
b 2.897103米开
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• 经典物理遇到的困难
实验
• 瑞利和琼斯用
M0 (,T )
能量均分定理
电磁理论得出：
1924年 L.de Bröglie 提出了“物质波”思想。
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第二节§1.2 经典物理学的困难
一、 固体与气体分子的比热 二、 原子的线状光谱与稳定性问题 三、 黑体辐射 四、 光电效应
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一、固体与气体分子的比 热
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具有三个自由 度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固体的 定容比热为
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§1.1 量子力学发展简史
1896年 气体放电管，发现阴极射线。
1897年
J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。
1900年 M.Plank 提出了量子化假说， 地解释了黑体辐射问题。
成功
1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子
的
概念，并解释了光电效应。
二、Plank-Einstein关 系
Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是：
E h
并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量 P波长λ的关系：
p E/c h/
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有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
第四章 矩阵力学基础——表象理论
第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。
(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。
(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。
为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。
它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。
矩阵力学基础(
第三章 矩阵力学基础(І)――力学量和算符一、概念与名词解释1. 希尔伯特空间2. 希尔伯特空间中矢量的内积3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符4. 不确定性定理5. 维里定理二、计算1. 计算对易关系],Lˆ[νμ，其中μ、ν =x,y,z. 2. 设λ是一个小量，求算符1)B ˆAˆ(-λ-按λ的幂展开式. 3. 求在x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x p 1ˆ.以及在p x 表象中的算符⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1ˆ. 4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.5. 一维运动的粒子处在0),()0x (0)0x (Axe )x (x >λ⎩⎨⎧<≥=ϕλ-求<(Δx)2>，<(Δp)2>.6. 粒子处在Y lm 态，求：(1) L x 和L y 的平均值<L x >，<L y >；(2) <(ΔL x )2>，<(ΔL y )2>.7. 线谐振子处于基态)x 21exp(-(x)22απα=φ，计算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其中./ μω=α8. 设体系处于φ=C 1Y 11+C 2Y 10态，且|C 1|2+|C 2|2=1，求：(1) 力学量z L ˆ的可能值和平均值；(2) 力学量2Lˆ的本征值； (3) 力学量L x 和L y 的可能值.9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L 2得到的值是6ħ2，测量力学量L z 得到的值是- ħ，求测量L x 和L y 可能得到的值.10. 设体系的哈密顿算符为,/2I L ˆ)/2I L ˆL ˆ(Hˆ22z 12y 2x ++=求其能量本征值. 11. 求在Hˆ的本征态中，对易子]A ˆ,H ˆ[的平均值.A ˆ为任意算符. 12. 在t=0时氢原子的波函数为]32[2,0)r (1-21211210100φ+φ+φ+φ=φ(1) 求体系能量的平均值；(2) 求在t 时刻体系处在l=1,m=1态的概率；(3) 求在t=0时，电子处在d=10-10cm 范围内的概率；(4) 假定做一次测量后发现L 2=2ħ2，L x = ħ，求测量后的瞬间体系的波函数.13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得m,10]x [x--102=><求激发该电子到第一激发态所需的能量. 四、证明1. 若算符B ˆAˆ、满足1A ˆB ˆB ˆA ˆ=-，求证： (1) 23322B ˆ3A ˆB ˆB ˆA ˆ ,B ˆ2A ˆB ˆB ˆAˆ=-=- (2) 用数学归纳法证明：1n n n B ˆn A ˆB ˆB ˆAˆ-=- 2. 若算符B ˆAˆ、满足对易关系式0]]B ˆ,A ˆ[,A ˆ[=，求证： ].B ˆ,A ˆ[B ˆ)A ˆex p(B ˆ)Aˆex p(λ+=λ-λ 3. 若算符L ˆe 满足⋯++⋯+++=)!n /(L ˆ)2/(L ˆL ˆ1e n 2L ˆ！，直接通过对易关系证明：⋯++++=-)!3/(]]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[,L ˆ[)!2/(]]a ˆ,L ˆ[,L ˆ[]a ˆ,L ˆ[a ˆae e L ˆL ˆ4. 设[x,p]=i ћ，f(x)是x 的可微函数，证明：.p ' f i - ]fp [p, (6) ; p ' pf i - pf(x )p][p, (5);' f p i - f(x )]p [p, (4) ; fp 2i ]f(x )p [x , (3);pf)(fp i pf(x )p][x , (2) ; pf 2i f(x )]p [x , (1)222222 ====+==5. 证明：].)p ˆL ˆ()L ˆp ˆ[(i L ˆp p L ˆ];)r L ˆ()L ˆr [(i L ˆx x L ˆ;p ˆi 2L ˆp ˆp ˆL ˆ;r i 2L ˆr r L ˆx x 2x x 2x x 22 ⨯-⨯=-⨯-⨯=-=⨯+⨯=⨯+⨯6. Lˆ 是粒子的角动量，F 是另一力学量，证明： ).p F F r (i ]F ,Lˆ[p r ⨯∇-∇⨯-= 7. 设)r (f是只与空间坐标有关的力学量，证明：22)f (2]]f ,[,f [∇-=∇8. 证明算符∑+=∞=0m ,n n m m n m ,n ,2/)P ˆx x P ˆ(A O ˆ(A n,m 为实数)是厄米算符. 9. 定义算符,i 2/)U ˆU ˆ(B ˆ;2/)U ˆU ˆ(Aˆ++-=+=式中算符U ˆ是幺正算符.证明B ˆAˆ、皆为厄米算符，并且满足.0]B ˆ,A ˆ[;1B ˆA ˆ22==+ 10. 证明：(1) 在任意一维归一化的实束缚态φn (x)上，/2i pˆx >=<； (2) 若哈密顿算符H ˆ的本征值为E n 、本征矢φn (x)为实的束缚态，则有./2x )E (E 22n nk k n μ=-∑11. 设哈密顿算符H ˆ的本征解为E n 和)r (nφ，对任意的线性厄米算符A ˆ，证明下式成立：0)r (]A ˆ,H ˆ[)r (d n *n=φτφ⎰ 12. 证明在zL ˆ的本征态下，<L x >=<L y >=0.进而证明角动量沿任意方向n 的分量nL ˆ的平均值为m ħcos θ，其中θ为n 与z 轴的夹角，n 为任意方向单位矢量.13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.14. 若算符Aˆ与哈密顿算符H ˆ皆不显含时间，试证 >>=<<]H ˆ],H ˆ,A ˆ[[A dt d -22215. 证明>+<μ>=<x )p ˆp ˆ(x 1x dt d x x 2 16. 若算符B ˆAˆ、为守恒量，证明他们的对易子]B ˆ,A ˆ[也是守恒量. 17. 粒子处于宽度为a 的一维非对称无限深方势阱中，在其第n 个本征态下，证明)/126/n -(1a )x (x -2222π>=><<五、综合题1. 质量为m 的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡><><π=><φ221/422x x 41-exp )x (21)x (x,0, (1) 求；221/22p -p p)(><><≡>∆<(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足222222)/m t )p (x (x ,0,t)(x ,>∆<+><φ=φ (3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.2. 考虑一质量为m 的粒子在一维势场U(x)=U 0(x/a)2n 中运动，其中n 是正整数，U 0>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n →∞两种特殊情况.3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx 2/2中的一粒子的波函数是[]2x)/2(H sin x)(H cos Ae (x,0)20/2x)-(2αβ+αβ=φα 其中β和A 是实常数，,/mk 22 =α且厄米多项式归一化条件是/2n!2dx x)]([H e n 2-n x -22⋅π=α⎰∞∞α (1) 写出φ(x,t)；(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；(3) 求t=0时的<x>，并问<x>是否随时间t 变化？4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U 0的情况下，减少势阱宽度a 是使满足不等式a 2<<ħ2/mU 0，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp 应限制在数量级0mU 内，于是有不等式 <<≤∆∆a mU x p 0，这个结果显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e -αr ，式中,z y x r 222++=k 和α是实常数，求：(1) 粒子的角动量是多少？(2) 角动量z 分量的平均值；(3) 若角动量的z 分量L z 被测量，问测得L z =+ ħ的概率是多少？(4) 发现粒子在θ,φ方向上d Ω立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.六、思考题1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？3. 量子力学的算符概念和H ˆ，p ˆ，ti ∂∂ 首先是谁引进的？4. 量子力学的基本算符是什么?为什么?5. 算符的定义是什么?跟数学的算子有何区别?6. 量子力学算符的基本性质是什么?7. 算符的对易关系有什么物理意义?为什么?8. 量子力学算符原理是什么?9. 量子力学的力学量取值与经典物理力学量有何区别?10. 为什么说量子力学算符必须是厄米算符?为什么?11. 为什么说薛定谔定态方程是能量本征方程?12. 构造算符的基本法则是什么?[包括算符函数]13. 算符的对易关系算式有哪几个是最重要的?14. 为什么算符本征值有哪点跟经典力学是不同?15. 算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,那么解算本征值还有什么意义?16. 力学量的宏观测量值跟本征值有何联系?为什么?17. 为什么算符本征值只能单次实验测量?18. 量子力学算符作用在任意状态上得到的数值是唯一的么?19. 算符本征函数性质是什么?20. 为什么本征函数系列可以构造数学函数空间?这个函数空间是完全的么?21. 同一个状态中的两个算符有什么关系?哪一个是量子力学的特点?22. 写出你知道的算符表达式?23. 量子力学力学量的测不准原理是什么?谁发现的?24. 为什么说测不准原理是量子力学的重大发现?25. 写出能量与时间的测不准关系,并说明原因。
复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化
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§4.2 矩阵力学表述
➢薛定谔方程：
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
• Q表象中的算符F 矩阵，矩阵元F_nm是第 m个新基在第n个旧基上的投影
• 连续谱：
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空间) • 不同表象的变换：么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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矩阵法(结构力学)PPT课件
F
y
2
M 2
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
11
M AB
4iA
2iB
6i
l
M BA
2iA
4iB
6i
l
F Q A BF Q B A6 liA6 liB1 l2 2i
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l
6i l
A
B
FQ A B
解决了计算等效结点荷载的问题等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力51三按单元集成法求整体结构的等效结点荷载p1局部座标单元的等效结点荷载pypxpypxp101210128kn48knm1012ypxp1012ypxpypxpypxp1210104051012101253用矩阵位移法解图示连续梁时结构的等效结点荷载是原始数据局部码总码解方程kp求出结点位移开始单元刚度矩阵结束97计算步骤和算例程序设计框图05m126m立05m1m
a21 a22
a31
a32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
若 AB=0，但不一定 A=0 或B=0。
5
8 、 对 角 矩 阵 对 角 矩 阵 是 除 主 对 角 元 素 外 ， 其 余 元 素 全 为 零 的 方 阵 ， 如 ：
1
e
2
F x1e u1
u2
F
x
e
2
Fx1
EA l
u1
u2
Fx 2
矩阵力学在量子力学中的应用
矩阵力学在量子力学中的应用量子力学是一门探究微观世界的科学，描述了微观粒子的行为规律。
而矩阵力学是量子力学的一种数学表述方法，它通过矩阵运算来描述量子系统的性质和演化。
本文将介绍矩阵力学在量子力学中的应用，从波函数、算符和观测量等方面展开论述。
首先，我们来讨论矩阵力学在波函数中的应用。
波函数是量子力学中描述微观粒子状态的重要概念，而矩阵力学提供了一种便捷的波函数表示方法。
在矩阵力学中，波函数被表示为一个列矩阵，其中的每一个元素代表粒子处于相应状态的概率幅。
通过矩阵运算，可以求解系统的波函数演化，计算各个状态的概率分布。
其次，矩阵力学在算符表示中也发挥着重要的作用。
在量子力学中，算符描述了物理量的性质和测量结果。
矩阵力学将算符表示为一个矩阵，它通过和波函数的矩阵相乘来实现对量子态的变换和观测。
例如，位置算符可以表示为一个无穷维的矩阵，通过与波函数矩阵相乘，可以得到粒子在不同位置的概率分布。
矩阵力学的算符表示方法不仅简化了计算，而且具有准确和一致性的优势。
另外，观测量是量子力学中的核心概念之一，矩阵力学提供了观测量的数学表述方法。
观测量在矩阵力学中用厄米矩阵表示，而其本征值对应了可能的测量结果。
通过矩阵对角化，可以得到观测量的本征矢量，这些矢量描述了测量结果的基态。
观测量的本征值和本征矢量可以用于求解系统的态矢演化和测量结果的统计性质。
除了以上提到的应用，矩阵力学在量子力学中还有其他重要的应用。
例如，矩阵力学可以描述多粒子系统的混合态。
多粒子系统的波函数可以用一个大矩阵表示，通过矩阵运算可以求解系统的演化和观测。
此外，矩阵力学还可以用于处理相互作用体系，例如描述原子核和电子的相互作用。
通过将相互作用哈密顿量表示为一个矩阵，可以解析求解体系的性质和相应的态矢演化。
综上所述，矩阵力学在量子力学中的应用十分广泛。
它提供了一种便捷和准确的描述量子系统的数学方法，可以用于求解波函数演化、描述算符性质和求解观测结果等问题。