北师版八年级上同步培优数学全册讲义
八年级数学上册培优系统讲义
八年级数学上册培优系统讲义第1讲 认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm 为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm . 【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.FDC【变式题组】01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.03．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A +∠B ＝∠C +∠D ．故连结BC 有∠A +∠D ＝∠DBC +∠ACB ，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180°【变式题组】01．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.(第1题图)(例4题图)CD(第3题图)(第2题图)C(第3题图)(第2题图)B(第1题图)B(例6题图)E D(第1题图)【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC ＝12∠A +90°.证法如下: ∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+12∠A ．所以∠BOC ＝125°.【变式题组】01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.°，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝12(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°. 【变式题组】01.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.(说明:原题题、图不符.由已知得△A ＝98°, BD ⊥AC ，则点D 在CA 的延长线上.)BC(第1题图)BC(第2题图)C(第3题图)C02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)03．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.(第1题图)M(第2题图)B(第2题图)(第3题图)演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC 中，△A ＝42°，△B 与△C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则△BDC 的度数是______________.10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜△、△之间来回反射，已知△α＝55，△γ＝75°，△β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: △1＝△2，△3＝△4，△BAC ＝63°，则△DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，△DAE ＝13△BAC ，求△BAC 的度数(第9题图)(第10题图)(第11题图)(第13题图)D E C(第12题图)第2讲认识多边形经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝______，n＝______，k＝________.03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A．8B．7C．6D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）A．1100B．1080C．1050D．100005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为36060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度. 04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．若一个多边形的外角和是其内角和的25，则此多边形的边数为_____03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A．正三角形B．正方形C．长方形D．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）A．669B．670C．671D．672【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54此方程有唯一正整数解110mn=⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．（黄冈）小明的书房地面为210cm×300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（）A．30cm×30cm的正方形，B．50cm×50cm的正方形，C．60cm×60cm的正方形，D．120cm×120cm的正方形，03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值.演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有空隙.02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．606．下列不能镶嵌的正多边组合是（）A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A．边长相同B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C．边长之间互为整数倍D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4B．5C．6D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1B．2n+2，2n+1C．4n，n2－n+3D．4n，2n+1B AC D EF第3讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等A FC E DB C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A BCD OFEA CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB DB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①E F B A B P D E C 第1题图 A C DG 第2题图【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角△1＝△2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，BFACE NMPDDA CBFE21ABCPQE F DA B C DF E∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第3题图第1题图C AO DB P第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________. 08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，△C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第10题图AB CDE 第9题图EABC DABC AEBD 第7题图 第8题图第4讲 角平分线的性质与判定经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形. 解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝12CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3在△ABD 和△ACF 中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△ACF∴BD ＝CF ∴CE ＝12BD 【变式题组】01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图第6题图02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④。
北师大版数学八年级上册名师辅导讲义：第六讲二次根式的认识及运算学生版
二次根式的认识及运算1.掌握二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算；3. 能根据二次根式的性质对代数式作简单变形||。
1.了解平方根及算术平方根的概念||，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根2.会运用二次根式的性质进行化简||，二次根式的定义)0a ≥的式子叫做二次根式.二次根式中被开方数a 既可以是一个数||，也可以表示一个代数式||，前提是必须满足a≥0. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看||，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数.特别要强调二次根式的被开方数是“非负数”||，而不是“正数”.例1.下列式子中二次根式二的个数有（ ）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：二次根式有；；三个．故选B ．练习1. 下列各式不是二次根式的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据二次根式的定义||，||都是二次根式||无意义||，故选：D ．判断一个式子是不是二次根式||，一看形式||，二看数值||，形式上要有二次根号||，数值上被开方数要非负.例2.使1x -有意义的的取值范围是（ ）A. 1x ≠B. 1x ≥C. 1x >D. 0x ≥ 【答案】B.x【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件||||，必须10x -≥||，解得1x ≥. 故选B.练习1.若14+x 有意义||，则x 能取的最小整数是（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. —4[来源:1] 【答案】A【解析】二次根式的被开方数为非负数||，则4x+1≥0||，则x ≥－14||，则x 的最小整数时0.练习2. 当x 时||在实数范围内有意义. 【答案】 ³0且x ¹1【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件||，要使1x -在实数范围内有意义||，必须0001110x x x x x x ≥⎧≥⎧⎪⇒⇒≥≠⎨⎨≠-≠⎪⎩⎩且.二次根式有意义的条件就是二次根式被开方数必须是非负数||，有分式时||，还要考虑分式分母不为0的条件||，这样就转化为解不等式或不等式组问题.例3.若332y x x =-+-+||，则y x = ．【答案】9． 【解析】332y x x =-+-+有意义||，必须30x -≥||，30x -≥||，解得：x =3||，代入得：y=0+0+2=2||，∴yx =23=9．故答案为：9． 练习1. 已知：201720182018----=x x y ||，求：x+y 的平方根.∴2018x = y=－2019 ∴x+y=1 ∴x+y 的平方根是1±【解析】首先根据二次根式的性质求出x 和y 的值||，然后得出x+y 的平方根.二次根式有意义的条件就是被开方数要非负||，当式子中几个二次根式时||，必须满足所有被开方数都非负.二次根式的性质1.二次根式的非负性 (1))0(,0≥≥a a ；具有非负性的式子还有20a ≥||，0a ≥||，若几个具有非负性的式子的和为零||，则几个式子都为零.2.非负数的算术平方根的平方等于它本身||，)0()(2≥=a a a ；3.一个数平方的算术平方根等于它的绝对值||，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出||，注意合理应用.例1. 已知实数x 、y满足：0212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y y x ||，求x y +的值． 【答案】由212+()02x y y +-=可知：2x y +=0且21()02y -=||，即：2x+y=0||，解得：x=-14||，y=1212===. 【解析】利用算术平方根和一个数的平方的和等于0求出x||，y||的值．练习1. 已知、是实数||，并且||，则2018()xy 的值是_______【答案】1．【解析】先将式子变形||，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x 和y 的值||，再代入到所求式子中即可 因为096132=+-++y y x ||，即0)3(132=-++y x ||，所以03013=-=+y x 且||，解得3,31=-=y x ||，所以2018201820181()(3)(1)13xy =-⨯=-=练习2.已知,a b 为等腰三角形的两条边长||，且,a b 40b -=||，求此三角形的周长.40b -=，即26=040a b --=，所以3a =||，4b =.当腰长为3时||，三角形的三边长为 3||，3||，4||，周长为10； 当腰长为4时||，三角形的三边长为 4||，4||，3||，周长为11.【解析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a 的值||，继而得出b 的值||，然后代入运算即可．若一个等式中含有两个及两个以上字母且要求字母的值||，常利用非负性求解||。
北师版八年级上册数学同步精品讲义
勾股定理_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角___．性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．1.勾股定理．【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.（2014秋•绥化六中质检）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC 的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．22. 等腰直角三角形．【例2】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】（2014•福建泉州中学一模）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米 C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．（2014春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理逆定理_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、理解勾股定理的逆定理的推理过程并能证明勾股定理的逆定理；2、掌握利用勾股定理的逆定理，学会判断一个三角形是否是直角三角形；3、通过研究一系列富有探究性的问题，感受数学文化，激发学习热情．1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是______三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会_________的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的_____，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．1.勾股定理的逆定理．【例1】（2014•赣州第一中学期末）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】（2014•福建宁德中学中考模拟）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】（2014•四川绵阳中学二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm 练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用；方向角．【例4】（2014•福建晋江中学月考）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C 地的正东方向，则B地在C地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】（2014•宁波镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．（2014•大同五中期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．平方根平方根的有关概念、性质_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________1、了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2、了解开发与乘法互为逆运算，会用开发运输求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.1．算术平方根=，那么这个正数x叫做a的算术平方一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a根.a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.规定：0的算术平方根是_____.2. 平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.=，那么______叫做_________的平方根.这就是说，如果2x aa的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.求一个数a的平方根的运算，叫做_________.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.0001练1. 求下列各数的算术平方根（1）0.0025 （2）121练2. （2014春•2(4) ________81的相反数是__________.2．利用计算器求算术平方根【例23136练4.用计算器求下列各式的值.（11369 （25（精确到0.01）2．比较大小【例3】小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？练5. 14012.练6. （2015春•天一学校期中）要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米，求长和宽各是多少米？3．计算平方根【例4】求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.25.练7．11125的平方根是_______; 0的平方根是________.练8．（2015•郑州市期末）一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______.【例5】求下列各式的值.（1 （2）练9．练10．40.36121【例6.练11．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是____________.练12．（2015春•唐山市期中）若23270x -=，则x =____________.练13．（2014春•德州市期中）已知0a ≥，那么2()a 等于什么？1．（1）一个正数有_____个平方根，它们_________;（2）0的平方根是____________;（3）负数__________2．25的算术平方根是_________, ________是9的平方根；16的平方根是________.3．（1）若294x =，则x =__________; （2）若22(2)x =-，则x =__________．4．要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少?5. 若a 有意义，则a 满足_______；若a --有意义，则a 满足_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.计算：3252.0.040.253.计算：2564．计算：2125. 计算：124 -.6．如果2x-有平方根，那么x的值为.7．x1x-x的值为.立方根和实数_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解立方根的含义，会表示、计算一个数的立方根；2、了解无理数和实数的意义；3、了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.1．立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.=，那么______叫做_________的平方根.这就是说，如果3x a求一个数的立方根的运算，叫做_________.33-=-a a（2）性质：正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____.2.实数__________叫做无理数.____________统称实数.____________与数轴上的点一一对应.3.绝对值性质一个正实数的绝对值是________； 一个负实数的绝对值是_______； 0的绝对值是_______.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1364 （23125-练1. 求下列各式的值.（130.001- （2）364125练2. （2015春•上城区期中）319127- ________.2．利用计算器求立方根【例231845练3.31728练4.321972．比较大小【例3】估计3，4350.练5. 比较大小：（1（2.练6. 2(1)-的立方根是_________; 一个数的立方根是110，则这个数是_______.3．立方根运算【例4】已知的519x +立方根是4，求27x +的平方根.练7.练8．（2014秋•.4．实数运算【例5.练9．计算：（1________；（2）__________；（3_________.【例6】计算下列各式的值.（1）(32)2+- （2）3323+练10．计算：34916927-+.练11．（2015春•贵阳市期末）一个底为正方形的水池的容积的486m 3，池深1.5m ，求这个水底的底边长.练12．（2014春•德州市期中）已知223130x x y -+--=，求x y +的值？1．计算：310227-2．计算：331864-.3．已知实数a ，满足3230a a a =，求11a a -++的值.4．估计与60的立方根最接近的整数.5. 已知b a c <<，化简a b b c c a -+-+-=_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.332141x x -=+x =_______2. 若0m <，则33m m =3.23322161000()3-4232651(1)274--5. 23151()(1)(1)393--6．已知2a b ==，且0ab >，则a b -的值为______.7．已知a 10b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值.二次根式_______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ___1、了解二次根式的意义，理解二次根式的双重非负性，掌握和应用其性质；2、通过数学技能的训练，培养学生观察分析、归纳概括的能力；3、通过新旧知识点的联系以及问题探索，启发学生学习数学的兴趣．1．二次根式的定义一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是_______．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．3．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；≥0（双重非负性）．②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③ =a（a≥0）（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数开方数是_____．4．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）5．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相______，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．6．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为______二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．1.实数的运算；二次根式的性质与化简．【例1】（2014•陕西师大附中期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2（a﹣b+c）D．2a+b+c练1.下列计算中正确的是（）A．B．C．D．2.二次根式的定义．【例2】（2014•常熟二中月考）下列说法错误的是（）A．零和负数没有算术平方根B．是一个非负数，也是二次根式C．的最小值是4D．的值一定是0练2.对于，以下说法正确的是（）A．对于任意实数a，它表示a的算术平方根B．对于正实数a，它表示a的算术平方根C．对于正实数a，它表示a的平方根D．对于非负实数a，它表示a的算术平方根b练3.若是二次根式，则下列说法正确的是（）A．x≥0，y≥0 B．x≥0且y＞0 C．x，y同号 D．≥03.二次根式有意义的条件．【例3】（2014•辽宁营口一中期中）使有意义的x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x≤2且x≠﹣1 D．x≥2且x≠﹣1 练4.如果有意义，则x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2练5.已知：1＜x≤4，则下列式子中有意义的是（）A．B．C．D．4．二次根式的性质与化简．【例4】（2014•大同阳高中学期末）下列各式运算中，正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．C．a3•a4=a12D．练6.化简二次根式的结果是（）。
新版北师大版八年级数学上册全册课件共570张PPT
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
北师版初二数学上册培优秋季班讲义
第1讲复杂的“旋转型”与弦图+知识点1 复杂的“旋转型”在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.常见的一些模型如下：【典例】1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=，求AC的长.【方法总结】在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.【方法总结】过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．【随堂练习】1.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（）A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG2.如图，点E是边长为5的正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．若EF=6，则CF的长为（）3.如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形知识点2 弦图及其拓展“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.图中的等量关系有：a2+b2=c2；4个小三角形的面积和=2ab；大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；小正方形的边长为= （b-a）2=c2﹣2ab；（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.【典例】1.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，求a4+b4的值.【方法总结】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b4变形成包含a2+b2和ab的式子，从而求得a4+b4的值．本题考查了勾股定理、弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题．2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为______【方法总结】设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由AM=2EF可得a与b的关系．分别用b表示正方形ABCD和正方形EFGH的面积，即可得出结果.本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长．【随堂练习】1.如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）2.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x•y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是___(填序号)3.如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_____4.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积___综合运用1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a 与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH 的边长为2，求S1+S2+S3的值．6.已知点P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP ．7.已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．AB CDE第2讲实数知识点1 平方根平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．一个非负数a的平方根可用符号表示为“”．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.【典例】1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____【方法总结】本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.2.下列说法正确的是（）A.正数的平方根是它本身B.100的平方根是10C.﹣10是100的一个平方根D.﹣1的平方根是﹣1【方法总结】本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.【随堂练习】1．（2018春•遵义期末）定义新运算2*3=2X+3Y，3*2=3X+2Y，若2*3=5，3*2=10，则3X+3Y的平方根是_____．2．若一个正数a有两个平方根2x+1与﹣x﹣2，则a=____．3．（2018春•宁都县期中）已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15．（1）求这个正数．（2）求的平方根．知识点2 算术平方根算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．【典例】1.的算术平方根为____【方法总结】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【随堂练习】1．（2018春•阜平县期末）观察下列各式：，=3，=4…，用含自然数n（n≥1）的等式表示上述规律：_____．2．（2018春•黄陂区期中）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；（2）若使长方形的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由．3．（2018春•黄陂区期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？知识点3 立方根立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.一个数a 的立方根可用符号表示，其中“3”叫做根指数，不能省略．前面学习的其实省略了根指数“2”任何一个数都有立方根，且只有一个立方根， 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．【典例】1.计算的结果是（ ）【方法总结】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.2如果m 2=36，n 3=﹣64，=5，则m+n ﹣x 的值有____个．【方法总结】此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.【随堂练习】1．（2018春•庆阳期中）已知M=是m+3的算术平方根，N=是n ﹣2的立方根，试求M ﹣N 的值．2．（2018春•上杭县校级月考）已知x 的两个平方根分别是2a ﹣1和a ﹣5，且=3，求x+y 的值．3．（2017秋•南岗区期末）如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3）（1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？（2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗）知识点4 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．【典例】1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有_____个【方法总结】本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．常见的无理数形式有四种：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数和无理数的结合，例如：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；2.把下列各数填入相应的集合：﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣（1）有理数集合{ }；（2）无理数集合{ }（3）整数集合{ }（4）负实数集合{ }【方法总结】本题主要考察了实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数3.与最接近的整数是______【方法总结】2a前后两个完全平方数的算数平方根之间. 3.计算：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）【方法总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【随堂练习】1．（2017秋•厦门期末）在数轴上，点A，B，C表示的数分别是﹣6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．（1）运动前线段AB的长度为____；（2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB=AC？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．2．（2017秋•九江期末）如图，已知点A、B是数轴上两点，O为原点，AB=12，点B表示的数为4，点P、Q分别从O、B同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P速度为每秒1个单位，点Q速度为每秒2个单位，设运动时间为t，当PQ 的长为5时，求t的值及AP的长．3．（2017秋•越秀区期末）若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣1|+|c﹣2|=0．（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过t（t≥1）秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由．综合运用1.的平方根是．2.（﹣4）2的算术平方根是．3.计算：= ．4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为．5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是．6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有个．7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．8.比大且比小的整数是．9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…①有理数集合{ …}②无理数集合{ …}③负实数集合{ …}．10.计算：﹣2+|﹣2|．11.计算：﹣﹣（﹣2）2．12.一个数值转换器，如图所示：（1）当输入的x为16时．输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：．第3讲二次根式知识点1 二次根式的概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．注意：①“”称为二次根号；②a（a≥0）是一个非负数．【典例】【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.4【方法总结】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．【随堂练习】1．（2018•峨眉山市二模）当x=____时，二次根式的值为0．2．（2018春•诸暨市期末）当x=﹣2时，二次根式的值是____．知识点2 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．【典例】1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．【方法总结】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．【随堂练习】1．（2018•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是____．2．（2018•广安）要使有意义，则实数x的取值范围是_____．3．（2018•张家港市模拟）若代数式有意义，则x满足的条件是_____．知识点3 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②=a（a≥0）．③=|a|=（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=•(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b＞0)（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【典例】1.实践与探索（1）填空：=_______；=______；（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时=___；当a＜0时，=____；（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．【方法总结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．【随堂练习】1．（2018春•莱城区期末）观察下列各式：=1+﹣=1=1+﹣=1=1+﹣=1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）=______（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_________；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）2．（2018春•新罗区校级期中）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的左边和右边，求的值．3．（2018春•海安县期中）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣知识点4 二次根式的乘除法1．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．2．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b ＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．3．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①==；②==．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．【典例】1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【方法总结】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式．2.计算(1)•（a≥0）=；（2）÷=；【方法总结】本题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．（1）主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=；（2）主要考查了二次根式的除法运算法则：=（a≥0，b＞0）．3.已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A. ab=1B. a+b=0C. a﹣b=0D.a2=b2【方法总结】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【随堂练习】1．（2017春•沂源县校级月考）计算与化简：（1）（2）（3）×3（4）2×（5）（6）÷（7）（8）．2．（2017春•容县校级月考）计算：（1）×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．知识点5 二次根式的加减法1．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【典例】1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【方法总结】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为3的即可．2.计算﹣6+的结果是（）A.3﹣2B.5﹣C.5﹣D.2【方法总结】本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．3.计算（1）（2）（3）（4）．【方法总结】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式．【随堂练习】1．（2018春•保定期末）计算题（1）﹣（2）×﹣（+）（﹣）2．（2018春•芜湖期末）计算：（+3﹣2）×2．3．（2018春•鼓楼区期末）像（+2）（﹣2）=1、•=a（a≥0）、（+1）（﹣1）=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）化简：；（2）计算：+；（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．知识点6 二次根式化简求值二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【典例】1.已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：（1）x2y+xy2；（2）．【方法总结】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．先计算出x+y=6，xy=1，再把x2y+xy2变形为xy（x+y），变形为，然后利用整体代入的方法计算．【随堂练习】1．（2017春•海港区期末）（1）2×÷5（2）（2﹣3）÷（3）已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．2．（2017春•凉山州期末）（1）计算：（10﹣6+4）；（2）已知x=，y=，求x3y+xy3的值．3．（2017春•老河口市期中）已知a=﹣，b=+，求a2+3ab+b2﹣a+b的值．综合运用1.计算：•=___，×=_________；÷=_____．2.化简的结果是____________．3.已知x=3+2，y=3﹣2，则式子x2y﹣xy2的值为____________．4.求下列式子有意义的x的取值范围（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．5.计算：3．6.计算：①（3﹣）（3+）+（2﹣）②÷﹣×+7.已知x=+，y=﹣．求（1）x3y+xy3；（2）3x2﹣5xy+3y2的值．第4讲 平面直角坐标系知识点1 有序数对像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）．注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序数对． 【典例】1.如下图所示，B 表示为（4，5），B 左侧第二个人的位置是 （ ）DCB A五行三行六行六列五列四列三列二列一行一列A. （2，5）B. （5，2）C. （2，2）D. （5，5）2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？(街)(巷)2354114532【方法总结】第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．【随堂练习】1．（2018•柳北区三模）如图，象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“炮”位于点（ ）A ．（﹣3，1）B ．（0，0）C ．（﹣1，0）D ．（1，﹣1）2．（2018•昌平区二模）第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特色农产品馆的坐标为（﹣5，0），表示科技生活馆的点的坐标为（6，2），则表示多彩农业馆所在的点的坐标为（）A．（3，5）B．（5，﹣4）C．（﹣2，5）D．（﹣3，3）3．（2018•滦南县二模）如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）。
北师大版八年级上数学培优及答案
O y (微克/毫升) x (时)3 14 8 4八年级数学上册试题一、填空题1、设∆ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ．2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。
3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。
4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。
5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。
6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。
7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为803km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。
其中正确的说法有_______________.8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( )A.m °B.2m °C.(90-m)°D.(90-2m)°2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3≤y ≤8 D ．8≤y ≤163、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( )A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( )A.5种B. 6种C. 7种D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4131，则△ABC 中是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）．A .x ＞1B .x ＜1C .x ＞－2D .x ＜－27、如图，把直线2y x =-向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点()a b ，，且26a b +=，则直线AB 的解析式是（ ） A.23y x =-- B.26y x =-- C.23y x =-+ D.26y x =-+ 8、已知一次函数b kx y +=，当x 增加3时，y 减少2，则k 的值是（ ）A.32B.23C.32-D.23- 动点P 沿9、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）O 1xy－2y ＝k 2x ＋c y ＝k 1x ＋bxyOBA2y x =-10、一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲、乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是（ ）A.甲的效率高B.乙的效率高C.两人的效率相等D.两人的效率不能确定11、直线y=x －1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个12、已知一次函数()1-=x k y ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限 三、解答题1、李明从蚌埠乘汽车沿高速公路前往A 地，已知该汽车的平均速度是100千米/小时，它行驶t 小时后距．蚌埠的路程．．．．．为s 1千米. ⑴请用含t 的代数式表示s 1；⑵设另有王红同时从A 地乘汽车沿同一条高速公路回蚌埠，已知这辆汽车距．蚌埠的路程．．．s 2（千米）与行驶时间t （时）之间的函数关系式为s 2=kt ＋b (k 、t 为常数，k ≠0)，若李红从A 地回到蚌埠用了9小时，且当t=2时，s 2=560. ①求k 与b 的值；②试问在两辆汽车相遇之前，当行驶时间t 的取值在什么范围内，两车的距离小于288千米？2、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．3、某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、 排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示： 根据图象解答下列问题：（1） 洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？ （2） 已知洗衣机的排水速度为每分钟19升， ① 求排水时y 与x 之间的关系式。
北师大版八年级上册数学《认识二元一次方程组》二元一次方程组培优说课教学复习课件
新知探究
1.二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代入方程组中的
每一个方程进行检验，这对数只有满足方程组中的每一个方程，
这对数才能是这个方程组的解.
新知探究
2.一般情况下，二元一次方程的解有无数个，
而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元
一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了，
x 1,
都是
y=4呢？你还能找出适合方程x+y=8的x，y的值吗？ 例如x=5，y=3
(2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？
(3)你能找到一组x，y的值，同时适合方程x+y=8和
5x+3y=34吗？
x=5，y=3
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这
个二元一次方程的一个解.
0
【解析】根据题意，得|m|=1且|m-1|≠0，2n-1=1，解得m=-1，n=1.
所以m+n=0，故填0.
【总结】二元一次方程必须符合以下三个条件：
(1)方程是整式方程；
(2)方程中只含有两个未知数；
(3)含未知数的项的次数都是1．
新知学习
x-y=2
x+1=2(y-1)
相同
相同
上面两个方程中，x所代表的对象_____，y所代表的对象_____.
− = ，
= ，
【例4】已知
是二元一次方程组
= −
+ =
的解，求a，b的值.
解：将x=1，y=-2代入方程组中，得
5-（-2）a=7，b-2=3，
解得a=1，b=5.
实际应用
根据题意列方程组：
小明购买单价分别是1元和2元的贺卡共8张，花了10元．小明
新北师大版八年级数学上册勾股定理培优精编版
第一章勾股定理1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．1.2一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2. 在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．1.3勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱 表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A 1C 1B 1，A 2C 2B 2，…，则 每一根这样的竹条的长度最少是______________.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm ，BC 是底面 直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线. 小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222212525)5(5π+=π+=+==BC AB AC l ；路线2：高线AB + 底面直径BC ，如上图（1）所示，设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=BC AB l .0)8(252002522525252222221>-π=-π=-π+=-l l .∴2221l l > ∴21l l >所以要选择路线2较短。
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X X教育数学学校姓名八年级上册(BS版)目录勾股定理---------------------------------------------------------------------------1 勾股定理的综合------------------------------------------------------------------5平方根------------------------------------------------------------------------------9二次根式的化简与计算--------------------------------------------------------13立方根-----------------------------------------------------------------------------17位置与坐标-----------------------------------------------------------------------21一次函数及其图象--------------------------------------------------------------27一次函数综合--------------------------------------------------------------------35一次函数综习题-----------------------------------------------------------------38二元一次方程组----------------------------------------------------------------------48数据分析的基础认识-----------------------------------------------------------58 数据分析检测题-----------------------------------------------------------------63 平行线的证明--------------------------------------------------------------------68 (附)八年级上册知识框架------------------------------------------------------77勾股定理【知识要点】1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即222a b c +=。
2．一锐角为30°或45:a ::1:2a bc =3．解题技巧。
（1）利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。
（2）作辅助线构造直角三角形解题。
（3）30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。
（4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。
【典型例题】例1S A = S B =a = ；b = ；c = 。
a = ；b = ；c = 。
从中发现：（1）三个正方形的面积之间有什么关系？（2）三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系？例2 已知如图，∠ABD=∠C=90°，AC=BC ，∠DAB=30°，AD=12，求BC 的长。
例3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于D ，AB=1.6，求AD 的长。
a b例4 如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC 和AD 的长。
例5 如图，已知在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求S △ABC 。
例6 如图，一架长2.5m 的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，若梯子的顶端沿墙下滑0.4m 。
那么梯足将外移多少米？例7 如图，一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是多少？【课后练习】一、填空题1．在△ABC 中，∠C=90°，三内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若a=5，b=12，则c= ；若b=7，c=9，则a= .2．三角形的三个内角之比为1：2：3，它的最大边长为a ，那么它的最小边是 。
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，三内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c=10，a ：b=3：4，则a= ， b= 。
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，三内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若∠A=30°，a ：b ：c= ；∠A=45°，a ：b ：c= 。
5°，那么它的三条边长的比（由小到大）是 。
6．若一个等边三角形的高是cm ，则它的一边长为 cm ，周长为 cm ，面积为D C1 M CD NA · · B7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，较大直角边的长为63，则AB= ，斜边上的高。
8．在Rt△ABC中，一条直角边为6，斜边上的高是3，则两个锐角为、。
9．若三角形的三个内角之比是1:2:3，最短边长为10cm，则其他两边长为、。
二、选择题1．若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（）A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，122．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，则BC边上中线AD的长为（）A．12 B．13 C．15 D．173．以直角三角形ABC的斜边AB为斜边另作一个直角三角形ABD，如果BC=15，AC=20，AD=7，则BD=（）A．13 B．15 C．24 D．254．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=26，BD=10，DC=7，则AC=（））A．12 B．16 C．24 D．256．直角三角形的两边为5和12，则第三边长为（）A．10 B．13 C．15 D．以上答案都不对三、解答题1．由四个完全相同的直角三角形拼得一个大正方形，如图所示，已知直角三角形两条直角边分别是7厘米和5厘米，求大正方形的面积。
（用两种方法解答）。
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的长。
3．一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/小时的速度向西南方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？4．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC ，CD=6，求BD ，AC 的长。
5．如图，在垂直于地面的墙上2m 处的A 点斜放一个长2.5m 的梯子，由于不小心，梯子在墙上下滑0.8m ，求梯子在地面上滑出的距离BB ′的长度。
（精确到0.1m ）6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=5cm ，AC=12cm ，CD ⊥AB ，D 为垂足，求CD 的长。
7．如图，将正方形ABCD 折叠两次，第一次折痕为AC ，第二次折痕为AE ，且点D 落在AC 上的F 处，设正方形的边长为1，求DE 的长。
8．在△ABC 中，AB=10，BC=8，AC=6，点O 是△ABC 的内角平分线的交点，求O 点到各边的距离及∠AOB 的度数。
AD C B EF勾股定理的综合【知识要点】1．熟悉常见的勾股数。
（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）……2．勾股定理的逆定理：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的应分别为a 、b 、c ，若222a b c +=，则△ABC 为直角三角形，∠C=90° 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。
4．解题技巧。
（1）任意两个正整数m 和n （m >n ），若22a m n =-，222,b mnc m n ==+，则,,a b c 就是满足222a b c +=的一组勾股数。
（2）判断一个三角形是否是直角三角形，首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否相等。
（3）三角形三边,,a b c 满足一定的代数关系，通过化简代数式、方程解题。
（4）图形折叠问题，注意被折叠部分的全等关系。
（5）运用勾股定理和勾股定理的逆定理证明三角形边的关系的代数式。
【典型例题】例1 如图所示，已知正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 在CD 上，且DF=3CF ，求证：AE ⊥EF例2 判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。
（1）9、41、40； （2）5、5、 （3）13、14、15； （4）23、24、25 （5 （6）()2222,21,2210n n n n n n ++++≥例3 若a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足222244a cbc a b -=-，试判定三角形的形状。
例4 如图所示，已知△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上中线DG=8cm 。
求证：△DEF 是等腰三角形。
C DEFA图4例5 如图所示，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。
求△ABC 的面积。
例6 在△ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于D 点，CE ⊥BE 于点E 。
求证：12CE BD =。
例7 若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足条件，222338102426a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状。
【课后练习】一、填空题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=3，b=4，则c=＿＿＿＿；（2）若b=8，c=17，则a=_______; 2．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成 的长方形的面积是＿＿＿＿。
3．△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD=＿＿＿。