人教版八年级数学上册培优资料
初二数学上册培优辅导讲义 ( 人教版 )
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ABCDEFAB CDEFPQR02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50°D ．80°CEFEA ADO 143 202．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.ABO2l 1⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．FBAOCDECDBAEO⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：B ACDO ABAEDCFEBAD1 42 3 65∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.AB DCHＧEF7 1 5 6 8 4 2 3 3 4 5 61 2303．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.1A BC23 456 7 ABCD O【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知）∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）ABDEFCA BCD E F1203．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF . 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.ABCDEA BC DEl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .A E BCF DABC DFEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81ACD EBABC DEF1213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.A ．60B ． 55C ．50D ．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40C ．45D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ab08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析ABC【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥C 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EAFG DCB BA MCDN P （第3题图）【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】 因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FGCDABE F1 32G B3 C A1D2 E F （第1题图）02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）A2CF3ED1B（第2题图）31AB G D CEDA 2E1BCBF EACD证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.A DMCNEBD21 A B CαβP BA ∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψ α βE B AFH【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷Fγ Dα β E BC AFD EBC A AA′l B′善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/西B 30° A北东南的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°B B /AA /C C /C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.150°120°DBCE 湖21AB13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？4P 231 ABEFCD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD .B. O. AFEBA CGD05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？FEBACGD 100°09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？F EBACO A B12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a的平方根，记为：a 的平方根为x ＝，其中a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -++=∴24242a b a -+++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2＝−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．∵a b b a【变式题组】01．若3a，b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为b a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a -153a -＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．002．( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋，则a＋b＝____．-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．05．若a b-=，则a− 20092＝_______．06．已知实数a满足2009a am满足关系式=m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．。
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第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型)
新人教版八年级数学上册培优资料 （中考题型）第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为 4，x ，9，则x 的取值范围是 ______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时， x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故 5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为 19时，x ＝6，周长为 21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a+b+c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).A ．1B ．2C ．3D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm 为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为5818＝20，则三边为20，20，218.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.AEGBDFC【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由 FG 为△EFC 的中线，知 S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由 EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【 变式题组】01．如图，已知点 D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.AAADEEFFBCCFDBDBEC(第1题图)(第2题图)(第3题图)02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE+DF ＝______________.03．如图，已知四边形 ABCD 是矩形(AD ＞AB)，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF与 AB 的数量关系是______________. 【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.AEBDC(例4题图)【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八A BC D字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.AAA BE ED EDDC FBB CFC(第1题图)(第3题图)(第2题图)【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.AA A AOP PO OBB C C B C(第1题图)(第2题图)(第3题图)°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－A1(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－2∠B－90°+1∠B+1∠C＝1(∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.B ED C222(例6题图)A【变式题组】D01（.改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，F则∠BFE＝__________.OB C【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝1∠A+90°.证法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－1∠ABC－1∠ACB＝180°－121(180°－∠A)＝90°+∠A．所以∠BOC 2222＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.C(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°,BD⊥AC，则点D在CA的延长线上.)02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.EB(第1题图)AFBCDEGP(第2题图)【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至B'△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝CC'A B______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB ＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70＝°40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.A EB Dαα22°A'B'AB C A(第3题图)O M OB(第1题图)(第2题图)02．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为()A A．5个B．6个C．7个D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()BECDA．锐角三角形B．钝角三角形F GC．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个04．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________. 08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.AAADβⅠ2EE FBαγC134CⅡBC (第9题图)D BD(第10题图)(第11题图)(第12题图)10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，A ∠DAE＝1∠BAC，求∠BAC的度数3B CD E(第13题图)第17讲认识多边形经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A 出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n 边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n －3)条对角线，它们将这n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形一共有n(n3)条对角线，2解:(1)从顶点A 出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC 、AD 、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC 、△ACD 、△ADE 、△AEF ；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个02．过m 边形的一个顶点有 7条对角线，n 边形没有对角线， k 边形对角线条数等于边数，则m＝ ______，n ＝______，k ＝________.03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是 .【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n 边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n 边形分成(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n －2)180·0；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数， 求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×180＝1080； (2)设n 边形的内角和是八边形内角和的 2倍，0 0×2，解得n ＝14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.则有(n －2)×180＝1080 【变式题组】01．已知n 边形的内角和为2160，求n 边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是108 0，则这个多边形是（）A ．正方形B ．正五边形C ．正六边形D ．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A ．8B ．7C ．6D ．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED 的度数为（ ）A ．1100B ．1080C ．1050D ．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A ．都不变B ．内角和增加1800，外角和不变C ．内角和增加1800，外角和减少1800D ．都增加1800【 例３】一只蚂蚁从点A 出发，每爬行5cm 便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为3600 ＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝60 030(cm)才能回到点A ．3600 【解法指导】多边形的外角和为 .(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于0 ·n ，外角和等于180 n ·180－(n －2)·180＝360.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点 A ，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4)多边形的外角和为360的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．（永州）如图所示，已知△ABC 中，∠A ＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____03．（资阳）n(n 为整数，且n ≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A 出发，沿直线前进10米后向左转 400，再沿直线前进10米后，又向左转400，⋯⋯，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x 和5x ，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是 2x 和5x ，则由多边形内角和定理可得：(2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000，解得x ＝2，∴2x ＝4，5x ＝10，故这两个多边形的边数分别为 4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为2210 0，这个多边形是___________02．若一个多边形的外角和是其内角和的2，则此多边形的边数为_____5203．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，则这个多边形是（ ）3A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是 ___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以 是（）A ．正三角形B ．长方形C ．正八边形D ．正六边形3600，由于正三【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C ． 【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用下列正多边形 ?能作平面镶嵌的是（）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形， 得到4个小正方形， 称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得 7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10个小正方形，称为第三次操作； ⋯⋯，根据以上操作，若要得到 2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A ．669B ．670C ．671D ．672【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为 1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成 600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为－2)0 0.(n －2)×180＝(11 ×180＝1620因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有 1200和1500两种.设1200的角有 m 个，1500的角有n 个，则有1200m+1500n ＝16200，即4m+5n ＝54m 11个角此方程有唯一正整数解，所以这个十一边形内角中有n10为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖） ，每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为 0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．（黄冈）小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适 宜选用的地砖规格为（）A ．30cm ×30cm 的正方形，B ．50cm ×50cm 的正方形，C ．60cm ×60cm 的正方形，D ．120cm ×120cm 的正方形，03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求11 1 的值.mn p演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n 边形的几个内角的和为 ______，则此正n 边形可铺满地面，没有空隙 .02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为 20块时，白色瓷砖为 ______块，当白色瓷砖为 n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案： 则第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．606．下列不能镶嵌的正多边组合是（）A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A．边长相同B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C．边长之间互为整数倍0，且边长相等D．在每一点的交接处各多边形的内角和为36008．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4B．5C．6D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1B．2n+2，2n+1C．4n，n2－n+3D．4n，2n+1第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）A．5对B．4对C．3对D．2对A D【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一E对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.B F C在△ABC和△DCB中AB DC∠ABC∠DCB∴△ABC≌∴△DCB（SAS）∴∠A＝∠DBC CB⑵在△ABE和△DCE中∠A∠D∠AED∠DEC∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CEAB DC⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中BE CEEF EF∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.CD BA EF03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选A D择“真”或“假”填入空格）.OE FB C【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：AF＝DE.【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CFA DAB DC在△ABE和△DCF中,AE DFBE CF∴△ABE≌△DCF（SSS）∴∠B＝∠C CE F BAB DC在△ABF和△DCE中,∠B∠C∴△ABF≌△DCE∴AF＝DEBF CE【变式题组】01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（）A．2B．3C．4D．5A AOEDB D CBC第1题图第2题图E2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.\03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.FBDA E C【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.A AC AE FB F OD F B(E)C D B（E）C图①图②图③D 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DECAB DE在△ABF和△DEC中,∠ABF∠DECBF EC∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【变式题组】01．（绍兴）如图， D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CFCDAD E GA PB BE CF第1题图第2题图03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.AA CEEPMNF BD B F C D【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可.证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，APE∴∠BDA＝∠CEA＝90°,D∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.1FAB QC B Q 在△APB和△QAC中,∠1∠2∴△APB≌△QAC，BP CA2∴AP＝AQ C⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°02．如图，△/////的度数是（）ACB≌△ACB，∠BCB＝30°，则∠ACA∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ A．20°B．30°C．35°D．40°【变式题组】03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.A于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，2E由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）B A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC FD02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）a b a bC．bm D．amA．m B．m22CM BND75°45°B AA C第3题图E第2题图03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°50°A/A Aa ca B C P58°72°α/O DB b第1题图c B第2题图C第3题图C.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°D B AC E1 AM2CD DB A B N第4题图第5题图CE第6题图05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______E D DA B15．如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.FEC D BOCD A ECA EC第7题图A第8题图B第9题图第10题图B10．如图，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2,CD＝6，则AE＝_____.11．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P 的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.A B.P Q.C D 16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个A三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠（请你将下列证明过程补充完整）C DE F BC1.求证：△ABC≌△A1B1C1.B B112．如图,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.⑴求证：AE＝CD；⑵若AC＝12cm,求BD的长.BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，ADFC A C1A1D D1⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.B E C13．（吉林）如图， AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.E AF第02讲角平分线的性质与判定经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PNB 14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点线，垂足分别为D、E.⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；D⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）D CA、B分别作l的垂C E l【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.证明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2M DB3P41N2O AABOB OA在△OBD与△OAD中，12∴△OBD≌△OADOD OD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【变式题组】01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.MCPA B N 02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PNAMPD NB C【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE 1＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝1(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在2AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.D 解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，∴CE＝CFACF CE在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AEAC AC又∵AE＝1(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF2∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°FCE CFCD 在△CEB和△CFD中，F CEB，∴△CEB≌△CFD1DF BE2A EB∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【变式题组】01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求SACDCSCBDA DB 02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a 与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝1BD2【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝1CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝2F 90°，A ∴∠1＝∠3E131D3在△ABD和△ACF中，AB，∴△ABD≌△ACFAC2CBAD CAFBC∴BD＝CF∴CE＝1BD2【变式题组】E01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.BEDCA B。
人教版八年级数学上册培优讲义
第十一章三角形1．三角形的边预习归纳1．按边的相等关系，三角形可分类如下：⎧⎪⎪⎪三角形⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩2．三角形三边的关系：在三角形中，任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．例题讲解【例】等腰三角形的两边长为4和6，求第三边长．基础题训练1．如图，在△ABC中，∠A的对边是；在△ABD中，∠A的对边是．CD E第1题第2题2．如图，以AD为边为边的三角形是；以∠C为一个内角的三角形是；△AED的三个内角是．3．（2014·宜昌）已知三角形的两边长分别3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．124．（2014•西宁）下列线段能够成三角形的是（）A．2,2,4 B．3,4,5 C．1,2,3 D．2,3,65．（2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1,2,4 B．4,5,9 C．4,6,8 D．5,5,116．等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是4cm，则此三角形的周长是（）A．18cm B．15cm C．18cm或15cm D．7．5cm或9cm 7．（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2,3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）8．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？（1）6cm，8cm，10cm （2）5cm，8cm，2cm（3）三条线段之比为4:5:6 （4）a+1，a+2，a+3（a>0）中档题训练9．(2012·哈尔滨)若等腰三角形的周长为26cm ， 一边为11cm ，则腰长为( )A ． 11CmB ． 7.5cmC ． 11cm 或7.5cmD ．以上都不对10．(2014·包头)长为9， 6， 5， 4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( ) A ．1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种11．一个三角形的两边长分别是3和7，且第3边长为整数，这样的三角形周长最大的值为( )A ．15B ．16C ．18D ．19 12．(2012·攀枝花)已知实数x ， y满足04x +=-，求以x ， y 的值为两边长的等腰三角形的周长．l 3．有一条长为 21cm 的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少? (2)能围成一边长为5cm 的等腰三角形吗?说明理由．小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．(1) 有几种规格木棒可供小明的爷爷选择? (2)选择哪一种规格木棒最省钱? 综合题训练15．如图， P 是△ABC 内一点，连接BP ， PC ，延长 BP 交AC 于D ( 1) 图中有几个三角形; (2)求证: AB +AC >PB +PC ．2·三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性预习归纳 1·从三角形的一个顶点向它的对边 作垂线 ．与顶点和 垂 足 间的 线段 叫角形的高．2·在三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线． 3· 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．4·角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接顶点与对边交点的线段叫做三角形的角平分线．5·三角形的三边确定了，那么三角形的形状就确定了．这个性质叫做三角形的稳定性 而四边形没有稳定性． 例题讲解[例]如图，画△ABC 的边BC 的高正确的是( )DCBACCCC基础题训练1．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC =80°，则∠DBC =2．如图， 当 _时， AD 是△ABC 的中线． 当 时，AD 是△ABC 的角平分线．3．如图，用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根4．如图所示，AM 是△ABC 的中线，那么若用S 表示△ABM 的面积，用S 表示△ACM 的面积，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1>S 2B ． S 1<S 2C ． S 1=S 2D ．以上三种情况都有可能B5．如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ）A ．AD 是△ABC 的角平分线B ．CE 是△ACD 的角平分线C ．132ACB ∠=∠ D ．CE 是△ABC 的角平分线6．在直角三角形ABC 中， ∠ACB =90°， AC =3cm ，BC =4cm ，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为 cm ，三角形BCD 的面积= cm．B7．如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．中档题训练8．如图，△ABC中，∠A=80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（）A．80°B．120°C．100°D．150°9．(2013·常德改编）如图,AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为（）A．12 B．11 C．16 D．1810．如图所示，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在△ABC 的边AB和BC上，则下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC 边上的高；③△DBE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的是11．如图AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM//AC交AB于M，PN//AB交AC 于N，求证:PA平分∠MPN．12．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE＝9，AB＝12．（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．13．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm 两部分，求三角形各边长．综合题训练14．张爷爷家有一块三角形的花圃△ABC张爷爷准备将其分成面积相等的四部分，分别种上不同的花卉．请你帮张爷爷设计三种不同的方案．专题三角形的边一、利用“三边”关系巧判断1．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8的等腰三角形吗？为什么？2、已知a、b、c是△ABC的三边，化简：∣a＋b－c∣＋∣b－a－c∣－∣c＋b－a∣=二、利用“中线”巧解题3．△ABC中，AB=AC，△ABC周长为16cm，BD为中线，且将△ABC分成的两个小三角形周长的差为2cm．求△ABC各边的长．三、利用“高线”防漏解4．已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．四、利用“特例”找规律5．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根火柴能搭成几种不同形状的三角形？3．三角形的内角预习归纳1．三角形的三个内角的和等于．2．直角三角形的两个锐角．例题讲解[例]△ABC中，∠A是∠B的3倍，∠A是∠C的6倍．求∠A、∠B、∠C的度数．基础题训练1．△ABC中，若∠A＝60°，∠B= 65°，则∠C等于（）A．65°B．55°C．45°D．75°2．（2014·昆明）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°3．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于．4．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1 : 2 : 3，则∠C＝，△ABC是三角形．5．（2012·河北）如图，AB，CD相交于点O，AC丄CD于点C，若∠BOD＝90°，则∠A等于．6．若一个三角形两个内角度数分别为60°、70°，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．如图，AC丄FB于C，FD交AC于E，交AB于D，∠1＝∠B，则图中的直角三角形有．8．（2014·邵阳）如图，在△ABC 中，∠B = 46°，∠C =54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE //AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ） A ．45° B ．54° C ．40° D ．50°9．如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，AB //CD ，∠B ＝20°，∠D = 40°，求∠BOA 的度数．中档题训练10．如图中的∠α= 度．11．如图，在△ABC 中，∠C =70°，沿途中虚线截去∠C ，则∠1+∠2=( ) A ．140° B ．180° C ．250° D ．360°12．如图，在△ABC 中，∠B =66°，∠C =54°，AD 是∠A 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ．求∠BDE 的度数．13．如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A =35°，求∠BDC 的度数．14．如图，在△ABC 中，∠A =70°，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，求∠BOC 的度数．A CBOA B CD 1 2 AB CD E30° 20°40° α 1 2 AB C (10题图) (11题图)15．如图，AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B =36°，∠C =76°，求∠DAF 的度数．综合题训练16．△ABC 中，∠A =50°，BD 、CE 是高，直线BD 、CE 交于点H ，求∠BHC 的度数．A B C F4．三角形的外角预习归纳1．三角形的一边与另一边的 组成的角叫做三角形的外角． 2．三角形的一个外角等于与它 的两个内角之和．3．三角形的外角和等于 ．例题讲解【例】求图中的x ．基础题训练1． △ABC 中，已知∠A =60°， ∠B =80°，则∠C 的外角的度数是 ． 2．如图：在△ABC 中，∠A =45°， ∠B =60°则外角∠ACD = 度． 3．如图所示，已知∠ACD =150°，∠A =80°，则∠B = ． 4．如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．∠1＞∠2＞∠AB ．∠1＞∠A ＞∠2C ．∠A ＞∠2＞∠1D ．∠2＞∠1＞∠A5．如图，AB ∥CD ，∠A =45°， ∠Ｃ=35°，则∠D = ，∠１＝ ． 6．如图，平面上直线a ，b 分别过线段GK 两端点（数据如图），则a ，b 相交所成的锐角是 ．7．如图，∠1+∠2+∠3的度数是 ．8．如图，AB ∥CD ，∠A =48°， ∠Ｃ=22°，则∠E 等于( )A ．70°B ．26° Ｃ．36° D ．16°9．AD 是△ABC 的外角∠CAE 的角平分线，∠B =35°∠DAE =60°求∠Ｃ的度数．x °°C D A B A BC D 第2题图 AB C 1 2第3题图 第4题图 D A B C 1 70°100°G a b A B C D E 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 A B C 12 3 A B C D E中档题训练10．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ．11．如图，C 在AB 延长线上，CE ⊥AF 于E ，交FB 于D ，∠F =40° ，∠C =20°则∠FBA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°12．如图，△ABC 的两个外角平分线交于D 点，若∠D =65°，则∠B 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．50° D ．40°13．如图，Ｄ是△ABC 的BC 边上一点，∠B =∠BAD ，∠ADC =80°，∠BAC =70°，求∠B和∠C 的度数．14．如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB 、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE 的度数．15．如图, ∠A =10°，∠ABC =90°，∠ACB =∠DCE ，∠ADC =∠EDF ，∠CED =∠FEG ．求∠F 的度数.综合题训练16．如图，△ABC 的内角平分线BP 与外角平分线CP 交于P ，试探究∠A 与∠P 之间的数量关系． 45°30° AEFBCDAB C FD E第11题图第11题图 第12题图αA B C D EA B CDP A B CA BC D E F专题 三角形的内角与外角一、已知角的关系求角度1． 在△ABC 中，已知∠A +∠B =80°，∠C =2∠B ，试求∠A ，∠B ，∠C 的度数．二、综合内外角求角度2． 如图，已知DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 与D 、E ，交BC 的延长线于F ，∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．三、将外角用未知数表示3． 如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =63°，求∠DAC 的度数．四、利用“整体”求多角和4． 如图，试求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.五、内外角在航海中的应用5． 如图 ，在海面上停着三艘船A 、B 、C ，C 船在A 船的北偏西40°方向，B 船在A 船的南偏西80°方向，C 船在B 船的北偏东35°方向，从C 船看到A 、B 两船，视线CA 、CB 的夹角∠ACB 是多少度？FA B C DEA B C DA BCDED F1 2 3 4五、利用高求角度6．如图,在△ABC 中，O 是高AD 、BE 的交点，若∠C =75°，求∠AOB 的度数．OED ABC六、利用“两线”求解7．如图，在△ABC 中，∠B =63°，∠C =51°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求∠DAE 的度数．七、利用角平分线求角度8．如图．AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ．（1）若∠B =32°，∠D =38°．求∠M 的度数； (2)求证: ∠M =(∠B +∠D ) .9．已知△ABC ．（1）如图1,若Ｐ点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒+∠；(2)如图2，若Ｐ点为∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，试说明12P A ∠=∠；(3) 如图3,若Ｐ点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒-∠；A BC D E AB CDMA BPC D EPABABCDP5．多边形预习归纳1．_______________，由一些线段_____________相接组成封闭的图形叫做多边形．2．连接多边形_____________的两个顶点的线段，叫做对变形的对角线，从n边形（n＞3）一个顶点出发引对角线，有_______条．3．各条边_______，各个角_________的多边形叫做正多边形．【例题讲解】【例】从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，把五边形分成_______个三角形；从八边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将八边形分成______个三角形．基础题训练1．下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形3．四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线．4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（）A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形内角的大小D．四边形的内角和5．已知一个多边形从一个顶点处只能引出4条对角线，则它是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．从六边形一个顶点所引的对角线有（）A．6条B．5条C．4条D．3条7．从凸n边形的一个顶点，所画的全部对角线，把这个n边形分割成________个三角形．8．画出下列多边形的全部对角线．9．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．FEDCB A中档题训练10．把一个正方形据掉一个角，剩下的多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．三角形或四边形或五边形11．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，△ABC 、△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是______．G FEDCB A13．观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n 边形的对角线有多少条吗？综合题训练14．已知，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°． （1）求证：∠ABC ＋∠ADC ＝180°；（2）如图1，若DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明； （3）如图2，若BF 、DE 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．图2图1CFB MN E DACEFMB NDA6．多边形的内角和预习归纳n 边形的内角和为______________，外角和为_____________．例题讲解【例】求下列图形中的x 值．(1)x82°73°(2)xx x -30°x +30°60°基础题训练1．（2014·遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是_______． 2．多边形的外角和为________． 3．（2012·北京）正十边形的每个外角等于（ ）A ．18°B ．36°C ．45°D ．60° 4．（2014·衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是_______． 6．当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）A ．都不变B ．内角和增加180°，外角和不变C ．内角和增加180°，外角和减少180°D ．都增加180° 7．（2012·贵州铜仁）一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_______． 8．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）A ．180°B ．720°C ．1080°D ．540° 9．（2012·江苏南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A ＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．EDCBA 432110．在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠C ＝240°，∠C ＝∠D ＝∠E ＝2∠B ，求∠B 的度数．中档题训练11．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数之比为5：1．则这个多边形的边数是_______．12．多边形的内角和为1800°，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（）A．12条B．10条C．9条D．8条DCBA13．如图，已知矩形ABCD，一条直线将矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°14．如图，∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数（本题至少两种方法）．CDBACDBA15．如图，已知五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC＝∠BCA，求∠ACD．EDCBA综合题训练16．求如图星形中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．EDBCA专题 多边形的内角与外角一、多边形内角和定理的运用1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．15或16或17二、内外角结合解题2．如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园由A 点经B →C →D →E →F 散步，张老师共转了（ ）A ．440°B ．360°C ．260°D ．270°三、多边形与平行线结合3．如图所示，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，试说明AF 和CD 平行．FED CBA四、运用对角三角形的性质“转移”角4．如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．FEDCBA5．如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．EF BG ACD7.全等三角形预习归纳1．能够 的两个图形叫全等形．2．能够 的两个三角形叫做全等三角形．3．经过 、 、 等变换前后的三角形全等． 4．全等三角形的对应边 ，对应角 ．例题讲解［例］已知△ABC ≌△FED ，若△ABC 的周长为32，AB ＝8，BC ＝12，求FD 的长．基础题训练1．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）．2．如果△ABC ≌△B ＇C ＇A ＇，则AB 的对应边是 ，BC 的对应边是 ，∠B ＇A ＇C ＇的对应角是 ． 3．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠BCA ＝30°，则∠B ＇C ＇A ＇＝ ． 4．已知△ABC ≌△BAD ，AB ＝7，BC ＝2，AC ＝9，则BD 的长是（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．无法确定 5．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠B ＝65°，∠C ＝60°，则∠A ＇＝ ． 6．（2014▪淮安）如图，△ABD ≌△CBD ，若∠A ＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为 ．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A ．44°B ．60°C ．67°D ．77°8．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝5．求∠DFE 的度数及DH 的长．ABCD 第6题图第7题图BE第8题图AHBCDF（1）（2）（3）（4） （5）中档题训练9．如图，AC 、BD 交于点O ，△ABO ≌△CDO ，则下列结论错误的是（ ） A ．AB ＝CD B ．AB ∥CD C ．OA ＝OD D ．OB ＝OD10．如图，已知△ABC ≌△CDA ，则下列结论：①AB ＝CD ，BC ＝DA ．②∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ． ③AB ∥CD ，BC ∥DA ．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③11．已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝70°，∠F －∠D ＝60°，求△DEF 各内角的度数．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ＇处，折痕为CD ，求∠A ＇DB 的度数．13．如图，△ACE ≌△DBF ，AE ＝DF ，CE ＝BF ，AD ＝10，BC ＝2 （1）求证：AB ＝CD ； （2）求AC 的长度；（3）若∠A ＝40°，∠E ＝80°，求∠DBF 的度数．ABCFDEA ODCAB综合题训练14．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．（1）△ABC与△AEF的度数关系如何？（2）求∠EAB的度数．（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一直线上？C8．三角形全等的判定（一）SSS预习归纳三边 的两个三角形全等，简写成 或 ．例题讲解［例］如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，求证：∠1＝∠2．基础题训练1． 如图，D 、C 为AF 上两点，AD ＝CF ，AB ＝DE ，要使得△ABC ≌△DEF ，需补充边的条件为 ．2．如图，AB ＝CD ，BF ＝DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE ＝CF ，欲证∠B ＝∠D ，可先运用等式的性质证明AF ＝ ，再用“SSS ”证明 ≌ 得到结论． 3．如图，已知AB ＝CD ，若根据“SSS ”证得△ABC ≌△CDA ，需要添加一个条件是 ． 4．如图，E 为BC 的中点，AB ＝DE ，AE ＝CD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A ＝∠D B ．∠B ＝∠DEC C ．∠C ＝∠AEB D ．∠B ＝∠C5．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝30°，∠BAD ＝46°，则∠ACD 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104° 6．如图，AB ＝AD ，BE ＝DE ，BC ＝DC ，则图中全等三角形有（ ）CADEB第1题图E第2题图F B ADC 第3题图ABC D第4题图ADCE BABCED1 27．如图，在△ABC 和△FED 中，AC ＝FD ，BC ＝ED ，要利用“SSS ”来判定△ABC 和△FED 全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE ，可利用的是（ ）A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或④8．如图，AC ＝EF ，BC ＝DE ，AD ＝BF ，求证：AC ∥EF ．中档题训练9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，则下列结论不正确的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．∠B ＝∠C C ．△ABD 是直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 10．（2014 ▪牡丹江）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，请添加一个条件 ，使△ABC ≌△DEF ．第11题图ADBF第9题图第10题图BDAEFCBCAD第5题图第6题图E B DA第7题图BADEF11．如图，AD ＝BC ，AB ＝CD ，求证：AB ∥CD ． 证明：连接BD ，在△ADB 和△CBD 中，()⎪⎩⎪⎨⎧===__________CDAB BC AD∴△ADB ≌△CBD ( ) ∴ ＝ ， ∴AB ∥CD ．12．如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，求证：∠ABO ＝∠DCO ．13．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ， （1）求证：∠BAC ＝∠EAD ；（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明．综合题训练14．如图，D 是BC 上一点，AB ＝AD ，BC ＝DE ．（1）在条件：①∠C ＝∠E ，②AC ＝AE 中，选择 可得△ABC ≌△ADE ． （2）在（1）的条件下，求证：∠CDE ＝∠BAD ．BDOCA9．三角形全等的判定（二）SAS预习归纳1．有两边和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两边及其其中一边的对角对应相等的两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．例题讲解［例］如图，E 、F 是线段AB 上两点，且AE ＝BF ，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，求证：∠D ＝∠C ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB ＝A ＇B ＇，BC ＝B ＇C ＇，∠B ＝∠B ＇，则△ABC 和△A ＇B ＇C ＇ ．2．如图，已知∠BAD ＝∠BAC ，AD ＝AC ，则 ≌ ，根据是 ．3．如图，线段AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，那么AB 、CD 的位置关系是 4．下列两个三角形全等的是（ ）50°ABC2 3 ① CA B2 350° ②50° A B23 ③50°2 ABC3④A 第3题图C ABD第1题图B ACA ＇B C ＇EACDBFA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2013▪娄底)如图，AB ＝AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 ． 6．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，需补充的条件是（ ） A ．∠B ＝∠C B ．∠D ＝∠E C ．∠1＝∠2 D ． ∠CAD ＝∠2 7．如图所示，AC ＝DF ，BD ＝EC ，AC ∥DF ，∠ACB ＝80°，∠B ＝30°，则∠F ＝ ．8．如图，点C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB ＝CE ，BC ＝ED ， 求证：AC ＝CD ．中档题训练9．(2014·泰安)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB ＝∠CED ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图②，连接D 1B ，则∠E 1DB 的度数（ ）A ．10°B ．20°C ．7.5°D ．15°ACBDE 图①图②ACBD 1E 1 第5题图AD CBE2第7题图CDABEDACBE第6题图1 DB CAE10．如图，在D 、E 分别为AB 、AC 上两点，AD ＝AE ，BD ＝CE ． 求证：∠B ＝∠C ．11．(2014·苏州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． ⑴求证：△BCD ≌△FCE ；⑵若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．综合题训练12．如图，已知△ABC 和△AEF 中，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠CAB ＝∠EAF ，BE 交FC 于O 点． ⑴当∠CAB ＝90°，求证：BE ＝CF ，BE ⊥CF ； ⑵当∠CAB ＝60°，求∠BOC 的度数；⑶当∠CAB ＝α时(0°＜α＜90°)，直接写出∠BOC 的度数为 (用含α的式子表示)．ABFECO BCFA BCE FD A BCD E10．三角形全等的判定(三)ASA 和AAS预习归纳1．有两角和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两角和其中 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 3．三个角分别相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)．例题讲解【例】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ．求证：AB ＝CD ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠B ＝∠B ´，BC ＝B ´C ´，∠C ＝∠C ´，则△ABC 和△A ´B ´C ´ ．2．如图，AB ＝AC ，若利用“ASA ”来证明△ABE ≌△ACD ，需补充的一个条件是 ．3．如图，已知∠1＝∠2，AB ⊥AC ，BD ⊥DC ，AC 、BD 相交点E ．则图中的全等三角形有 对．4．已知在△ABC 和△A ´B ´C ´中，AB ＝A ´B ´，∠A ＝∠A ´，∠B ＝∠B ´，则△ABC ≌△A ´B ´C ´的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．都行5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A ＝∠D D ．∠C ＝∠FABCDF EA BC A ´B ´C ´A D E BCAB C DE126．(2014·绥化)如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是(填出一个即可) ．7．如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC．求证：AB＝CD．8．(2013·北京)如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．中档题训练9．(2014·南充)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，，则点C的坐标为（）A．(1) B．(－1C．1) D．(1)BCDEAB CDOA BOBC10．(2014·邵阳)如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE ．⑴从图中任找出两组全等三角形； ⑵从⑴中任选一组进行证明．11．如图，已知AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠CBA ，BE 交AD 的延长线于点F ．⑴求证：△ABE ≌△AFE ； ⑵求证：AD ＋BC ＝AB ．综合题训练12．已知，如图，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠EAC ＝∠EDC ．⑴若△ABC 中，∠B ＜90°，D 为BC 上的一点，点E 在△ABC 的外部，求证：AD ＝AB ． ⑵若△ABC 中，∠B ＞90°，D 在CB 的延长线上，点E 在△ABC 的下方，则⑴的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．A BCDFEABCED FABDCEF（1）ABC D（2）11．三角形全等的判定(四)HL预习归纳斜边和 分别相等的两个直角三角形全等，简写成 或 ．例题讲解【例】(2014·贵州) 如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCA D ．∠B ＝∠D ＝90°基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有 (填简写)．2．如图，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB ＝PC ，则AB ＝ ，理由是 (填全等三角形及三角形全等的理由)．3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．∠B ＝45°4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，欲证OB ＝OC ，可以先利用“HL ”说明 得到AB ＝DC ，再利用 证明△AOB ≌ 得到OB ＝OC ．A CBDABCP ABCDABC DO5．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，BD ＝CD ． 求证：AD ⊥BC ．6．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ． 求证：DE ＋CE ＝AC ．7．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴ ，理由 ； ⑵ ，理由 ； ⑶ ，理由 ； ⑷ ，理由 ．中档题训练8．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ．那么下列结论中：①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①② C ．① D ．③9．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？BADCE FDCAB OCD BODC BABECD10．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE＝DF．求证：AB＝AC．11．如图，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD于F，∠B＝∠E．求证：AF平分∠BAE．综合题训练12．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．⑴求OA＋OB的值；⑵将直角三角形绕点P(逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA－OB的值．xxAB CDF EABC DEF专题图形变换与全等（一）基础一、平移型1．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：AB＝DE．二、翻折型2．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F．求证：∠A＝∠D．3．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠EC D＝150°，求∠B的度数．4．如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，BE 、CD 交于点O ．求证：OB ＝OC ．B三、旋转型5．如图，AB ⊥CD 于B ，CF 交AB 于E ，CE ＝AD ，BE ＝BD ．求证：CF ⊥AD ．四、二次变换6．如图，AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE ． 求证：AB ＝AD ＋BE ．DA专题 图形变换与全等（二）小综合1．将两个全等的直角三角形如图1摆放，其中∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠A ． （1）求证：AB ⊥DE ；（2）将图中的△DCE 绕点C 顺时针旋转45°得到图2，AB 、CD 交于点N ，DE 、BC 交于点M ．求证：CM ＝CN ．图2图1AAEE2．将两块含45°角大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图1摆放，连AC 、BD ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）将图1中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度到△C 1O 1D 1的位置（如图2），连接AC 1、BD 1，线段AC 1与BD 1存在着什么样的数量关系与位置关系，请下结论并说明理由．图1图2C C3．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE ，AC ＝BC ，CD ＝CE ，M 、N 分别为AE 、BD 的中点．（1）判断线段CM 与CN 的位置关系和数量关系；（2）若将△CDE 绕点C 旋转任意角度，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？试证明．图2图1D专题 中点问题（一）中线倍长构造全等【方法归纳】将中点处的线段倍长，构造SAS 全等三角形1．如图，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连CE ． 求证：AB ＝CE ，且AB ∥CE ．2．如图，△ABC 中，D 为BC 的中点． （1）求证：AB ＋AC ＞2AD ；（2）若AB ＝5，AC ＝3，求AD 的取值范围．C3．如图，在△ABC 中，点O 为BC 的中点，点M 为AB 上一点，ON ⊥OM 交AC 于N ． 求证：BM ＋CN ＞MN ．AB4．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD．5．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM．B专题 中点问题（二）向中线作垂线构造全等【方法归纳】过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形1．如图，AD 是△ABC 的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ．求证：DE ＝DF ．ABC2．如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB ＋AC ＞2AD ．AB3．如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF ＝AC ．求证：∠DFE ＝∠DAC ．4．如图，∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F ． （1）求证：点F 是ED 的中点； （2）求证：S △ABC ＝2 S △BEF ．专题 等线段代换法证线段和差问题【方法归纳】三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为证两线段相等的问题 1．如图，D 为△ABC 边BC 的中点，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ． （1）求证：BE ＝CF ；（2）求证：AE ＋AF ＝2AD ．A BC2．(2014·德州)如图，若四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋DF ．3．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F ．（1）求证：①△ABE ≌△CAF ；②EF ＝CF －BE ．B（2）若点P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．AB4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交OB于E．（1）求证：△AOG≌△BAC；（2）求证：△ABF≌△COE；（3）求证：BC＝CE＋FG．BA专题 截长补短法证线段和差问题【方法技巧】：无论是截长还是补短，构造出全等三角形是解题的关键．1．如图，△ABC 中，∠CAB =∠CBA =45°，CA =CB ，点E 为BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，连EN ，求证：AE =CN +EN ．A2．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠D =60°，AB =BC ，E ，F 分别在AD 、CD 上，且∠EBF =60°，求证：EF =AE +CF ．B3．如图，在上题中，若E ，F 分别在AD 、DC 的延长线上，其余条件不变，求证：AE =EF +CF ．4．如图，△DBC 中，DB =DC ，A 为△DBC 外一点，且∠BAC =∠BDC ，DM ⊥AC 于M ，求AMABAC 的值．12． 角平分线的性质（一）性质预习归纳1．角平分线上的点到角两边的 相等．2．三角形三条 的交点到三边的距离相等．例题讲解【例】如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BE =CF ． 求证：（1）DE =DC ； （2）BD =DFA基础题训练1．如图，∠B =∠C =90°，根据角平分线性质填空： （1）若∠1=∠2，则 = ． （2）若∠3=∠4，则 = ．ACC（第1题图） （第2题图）2．(2013·长沙) 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE 垂直AB 于点E ，若DE =1．5cm ，BD =3cm ，则BC =( )A ． 3cmB ． 7．5cmC ． 6cmD ． 4．5cm4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB =12，BC =15，S △ABD =36，则DE 的长是 ，S △BCD = ．BCCABEABA DEDFDC（第3题图） （第4题图） （第6题图）5． 在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BD :DC =3:2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为（ ）A ． 10B ． 20C ． 15D ． 256．(2013·丽水)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD =3，BC =10，则△BDC 的面积是 ．7．如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，点P 是AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF 垂直CD 于F ，求证：PE =PF ．CBAEDF P中档题训练8．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20,30,40，其三条角平分线的交点为O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．OACCBEABD（第8题图） （第9题图）9．（2014·遂宁）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △CAO =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 5 10．（2014·黄冈）已知，如图，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE =DF ．CBAEDF11．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC =90，AB =18，BC =12，求DE 的长．A CEB D。
初二数学上册培优辅导讲义(人教版)(2020年整理).pptx
经典·考题·赏析 【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
AE
【变式题组】
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC
D ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A．20° B． 40°
C．50°
第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC 2
1. 了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2. 掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用 图 形或几何符号表示它们.
不重合） 09．如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断 a∥b 的条件的 序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知 BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试
02．在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,…，a2010,如果 a1⊥a2,a2∥a3， a3⊥a4，a4∥a5…… 那 么 a1 与 a2010 的 位 置 关 系 是 . 03．已 知 n（n＞2）个点 P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三 点在同 一直线上，设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直 线 的 条 演数练，巩显固然·反：馈S2＝提1高，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10… 则 Sn＝ . 01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ） A．α 的余角只有∠B C B．α 的邻补角是∠DAC
新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型)
新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型)第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________;当周长为奇数时,x＝______________。
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13,18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时,x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4,x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b,c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13,则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断)并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时,底边为58－18×2＝22，则三边为18,18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18。
此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm,22cm或18cm, 20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是(）A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________。
人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题
人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题一、单选题1．下列选项中的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．已知点()11,5P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称，则2013()a b +的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．()20113- 4．如图，点E 在AC 上，则A B C D DEB ∠+∠+∠+∠+∠的度数是（ ）A ．90°B ．180°C ．270°D ．360° 5．已知ABC DCB V V ≌，若10BC =，6AB =，7AC =，则CD =（ ）A ．10B ．7C ．6D ．6或7 6．如图，已知ABC V 中，ABC ACB ∠∠=，以点B 为圆心，AB 长为半径的弧分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接BD ，ED ，若105CED ∠=︒，求ABC ∠的度数为（ ）度A ．80B ．70C ．60D ．507．ABC V 中，090A B C θαθθααθ∠=-∠=∠=+︒<<<︒，，，．若BAC ∠与BCA ∠的平分线相交于P 点，则APC ∠=（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．150°8．如图，在△ABC 中，∠ACD ＝20°，∠B ＝45°，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠A 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．下图的方格纸中有若干个点，若A 、B 两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 410．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,0，点B 的坐标是(），点C 在坐标平面内，以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．ABC V 中，30A ∠=︒，高BE ，CF 所在的直线交于点O ，BOC ∠的度数是． 12．AD 为ABC V 的中线，AE 为ABC V 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为．13．如图，△AFD 和△CEB ，点A 、E 、F 、C 同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF ，②∠D ＝∠B ，③AD ＝CB ，④DF BE ∥，选出三个条件可以证明AFD CEB △≌△的是．（用序号表示，写出一种即可）．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12，则图中△BEF 的面积为．15．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF+CF 取得最小值时，则∠BCF 的度数为．三、解答题16．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且13BCD ACB ∠=∠，13CBE ABC ∠=∠．求证：BE CD =．17．如图，在66⨯的方格纸中，线段AB 的两个端分别落在格点上，请按要求画图：(1)在图1中画一个格点四边形APBQ ，且AB 与PQ 垂直．(2)在图2中画一个以AB 为中位线的格点DEF V ．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，点F 在射线CA 上，且BD=FD ．（1）当点F 在线段CA 上时．①求证：BE=CF ；②若AC=6，AF=2，求CD 的长； （2）若∠ADF=15°，求∠BAC 的度数．19．如图，在ABC V 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．若5AB =，6AC =，求AMN V 的周长．20．已知：如图，AC ∥DF ，AC =DF ，AB =DE ．求证：(1)△ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．21．如图，ABC V 中，11AB =，5AC =，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，过点D 分别作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，求BE 的长度．22．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CN 于点E ，P ．(1)依题意补全图形；(2)若∠ACN ＝α，求∠BDC 的大小（用含α的式子表示）；(3)用等式表示线段PB ，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．23．如图，ABC V 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，交ACB ∠内角平分线CE 于E ．(1)试说明EO OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下猜想ABCV满足什么条件能使四边形AECF是正方形，并证明你的结论．。
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第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A BCD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 5【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． AB D CHＧEF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 23 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b ABC【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） ABCDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） EA F GDC B BA MCD N P （第3题图）DE F 32DA 2 E1 B C B F E A C D 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF . AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D 1B（第2题图）3 1 AB G DC Eα βP B C DA ∠P ＝α＋β3 21 γ 4α β E B AF H F γ Dα β E B C AFD EBC A B CAA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C西B 30° A北东南作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38° B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F C D 4 P 23 1A B EFCD 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？ 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD.. . AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE B A C O A B CD第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为x a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m的最大整数，则m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足24242a b a-+++=，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵24242a b a-+++=∴24242a b a-+++=，∴20b+=．∴()22030ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32ab=⎧⎨=-⎩，故选C．【变式题组】0l3b+＝0成立，则a b＝____．02()230b-=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝ －2，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C．－a＜b D．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m是9的平方根，n＝()23．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－23-B．－13-C．－2 ＋3D．l＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝32+＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b ＝7，S ＝23a b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲 平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：。