【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2第一课时余弦定理课件 新人教B版必修5
【解】 在△AOB 中，由余弦定理得 |AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2·|OA|·|OB|·cos 60° ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7. × × × ＝ ∴|AB|＝ 7 km. ＝ 即起初两人相距 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q， 设甲、 设甲 、 ， 则|AP|＝4t，|BQ|＝4t. ＝ ， ＝
余弦定理的实际应用
例4 如图，有两条相交在 °的直线 ′与 如图，有两条相交在60°的直线xx′
yy′，交点是O，甲、乙分别在 、Oy上A、 ′ 交点是 ， 乙分别在Ox、 上 、 B处，起初甲离O点3 km，乙离 点1 km，后 处 起初甲离 点 ，乙离O点 ， 来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿 ′的 的速度， 来两人同时用每小时 的速度 甲沿xx′ 方向，乙沿 ′ 的方向步行 的方向步行． 方向，乙沿y′y的方向步行．
【 解 】 将 a＝ 1， b＝ 2 代入 a2 ＝ b2 ＋ c2 － ＝ ， ＝ 2bccosA， ， 整理得 c2－4ccosA＋3＝0， ＋ ＝ ， 的方程有实数解， 因为关于 c 的方程有实数解， 所以 ∆＝16cos2A－12≥0， ＝ － ≥ ， 3 3 解得 cosA≥ ，或 cosA≤－ . ≥ ≤ 2 2 3 为锐角， 但由于 a＜b，所以 A 为锐角，只有 cosA≥ ， ＜ ， ≥ 2 π 的取值范围是(0， ． 故 A 的取值范围是 ， ]． 6
例3 在△ABC中，边a＝1，b＝2，求A的取值 中 ＝ ， ＝ ， 的取值
范围． 范围． 【分析】 分析】 根据题意可联想到运用余弦定理， 根据题意可联想到运用余弦定理，
将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一 元二次方程，令其判别式不小于 即可求解 即可求解． 元二次方程，令其判别式不小于0即可求解．
a2＋b2－c2 cosC＝_________. ＝ 2ab
思考感悟 1．余弦定理及其变式中，共有四个量，知道其 ．余弦定理及其变式中，共有四个量， 中的几个量可以求出其他的量？ 中的几个量可以求出其他的量？
提示： 提示 ： 余弦定理及其变式中都联系到三边和 一角四个量， 一角四个量 ， 所以在余弦定理及其变式中可 以知三求一． 以知三求一．
解：(1)∵b＝3，c＝5，A＝120°， ∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 由余弦定理， ∴由余弦定理，得： 1 a ＝b ＋c －2bccosA＝9＋25－2×3×5×(－ ) ＝ ＋ － × × ×－ 2 ＝49.
2 2 2
∴a＝7. ＝
3 3× × 2 bsinA 3 由正弦定理， 3， 由正弦定理，得 sinB＝ a ＝ ＝ ＝ ， 7 14 csinA 5 sinC＝ 3， ＝ a ＝ ， 14 45 . ∴sinB·sinC＝ ＝ 196 4 (2)由(1)可得 sinB＋sinC＝ 3. 由 可得 ＋ ＝ 7
＋1，a＋2，其最大内角不超过 ， ＋ ，其最大内角不超过120°，求a的 ° 的 取值范围． 取值范围．
a>0 ，即 a>1，又三角 ， 解：易知 ＋ ＋ ) ＋ a＋(a＋1)>a＋2
形为钝角三角形， 设最大边 a＋2 所对应角为 α， 形为钝角三角形， ＋ ，
1 则 － ≤cosα<0 ， 由 余 弦 定 理 得 cosα ＝ 2 a2＋(a＋1)2－(a＋2)2 a－3 ＋ ) ＋ ) － ＝ ， 2a 2·a(a＋1) ( ＋ ) － 1 a－3 3 <0，解得 ≤a<3. ∴－ ≤ ， 2 2a 2
24＋36＋24 3＋12－48 ＋ ＋ ＋ － 2 ＝ ＝ . 2 24 6＋24 2 ＋ 因为 0°＜∠C＜180°，所以∠C＝45°. ＜ ＜ ，所以∠ ＝ 因为∠ ＋ 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， ＋ ＝ ， 所以∠ ＝ 所以∠B＝180°－45°－30°＝105°. － － ＝
三角形中边角取值范围问题
在解三角形时， 在解三角形时 ， 有时既可用余弦
定理，也可用正弦定理． 定理，也可用正弦定理．
自我挑战 2 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6 ＝ ， ＝ ＋2 3，c＝4 3，求∠A，∠B，∠C. ， ＝ ， ， ，
解：由余弦定理，得 由余弦定理， b2＋c2－a2 cosA＝ ＝ 2bc (6＋2 3)2＋(4 3)2－(2 6)2 ＋ ) ) ) ＝ 2×(6＋2 3)×4 3 × ＋ ) 36＋24 3＋12＋48－24 ＋ ＋ ＋ － ＝ 48 3＋48 ＋
分析】 【分析】 首先利用余弦定理求出边b， 首先利用余弦定理求出边 ，然后
用正弦定理， 用正弦定理 ， 结合边角关系以及三角形内角 和定理求得另外两角． 和定理求得另外两角．
由余弦定理， 【解】 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2ac cosB ＝42＋(2 3)2－2×4×2 3×cos30°＝4，所以 b × × × ＝ ， ＝2， ， a b 4 2 . 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ sin A sin B sinA sin30° 解得 sinA＝1，因此 A＝90°，故 C＝60°. ＝ ， ＝ ， ＝
思考感悟 2．运用余弦定理解三角形时，结果唯一吗？ ．运用余弦定理解三角形时，结果唯一吗？ 提示：结果唯一． 提示：结果唯一．
课堂互动讲练
已知两边及夹角，解三角形 已知两边及夹角，
例1 在△ABC 中， c＝ B＝ ， 已知 a＝4，＝2 3， ＝30°， ＝ ， ，
解这个三角形． 解这个三角形．
1.1.2
余弦定理
学习目标 1.掌握余弦定理，能够初步应用余弦定理解一 掌握余弦定理， 掌握余弦定理 些斜三角形． 些斜三角形． 2．能运用余弦定理解决某些与测量有关和几 ． 何计算有关的实际问题. 何计算有关的实际问题
第一课时
课前自主学案 第 一 课 时
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
2．余弦定理的变式运用 ．余弦定理的变式运用 2bccosA ， b2＋c2－a2＝________， 2 2 2 2accosB ， a ＋c －b ＝________， 2abcosC ； a2＋b2－c2＝________； b2＋c2－a2 2bc cosA＝_________， ＝ ， a2＋c2－b2 2ac ， cosB＝_________， ＝
3．应用余弦定理可解决两类问题 ． 因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素 因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素: 三边一角， 三边一角，所以用余弦定理可以解决以下两类 有关三角形的问题： 有关三角形的问题： (1)已知三边，求_______ ； 已知三边， 三个角 已知三边 (2)已知两边和它们的夹角，求_____________ 已知两边和它们的夹角， 第三边和其他 已知两边和它们的夹角 两个角 _______ ．
1 分钟时， 最小， ∴当 t＝ 小时，即在第 15 分钟时，|PQ|最小， ＝ 小时， 最小 4 此时两人相距最近， 此时两人相距最近，最近距离为 2 km.
【点评】 点评】
(1)本题难点在于甲乙两人前进的方 本题难点在于甲乙两人前进的方
向与点O的关系，甲在点 的左边还是右边所 向与点 的关系，甲在点O的左边还是右边所 的关系 用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此， 用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此， 在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意， 在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意，不 要盲目地画出图形了事． 要盲目地画出图形了事． (2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹 求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹 角求第三边的问题．解答第 问 角求第三边的问题．解答第(2)问，要注意两人 行走的位置变化，夹角不同，要讨论． 行走的位置变化，夹角不同，要讨论．
温故夯基
→ 上的向量， 已知直线 l，向量 ，e 为直线 l 上的向量，则 ，向量AB → AB 在 e 方 向 上 的 正 射 影 的 数 量 可 写 为 → → |AB|cos〈AB， e〉． 〈 〉 ________________．
知新益能 1．余弦定理 ． 余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他 余弦定理：三角形任何一边的 平方 等于其他 两边的_______减去这两边与它们夹角的余弦 两边的 平方和 减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍．即在△ 的积的两倍．即在△ABC中，有： 中 b2＋c2－2bccosA ， a2＝________________， a2＋c2－2accosB 2＝_______________ ， b 2＝_______________. a2＋b2－2abcosC c 余弦定理的特例： 余弦定理的特例：勾股定理 c2＝a2＋b2 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则_________. △ 中 ＝ °
72＋24 3 ＋ ＝ 48 3＋48 ＋ 3＋ 3 ＋ 3 ＝ ＝ . 2 3＋2 2 ＋ 因为 0°＜∠A＜180°，所以∠A＝30°. ＜ ＜ ，所以∠ ＝ a2＋b2－c2 cosC＝ ＝ 2ab (2 6)2＋(6＋2 3)2－(4 3)2 ) ＋ ) ) ＝ 2×2 6×(6＋2 3) × × ＋ )
已知三边， 已知三边，解三角形
例2 在 △ ABC中 ， 已知 ＝ 7， b＝ 3， c＝ 5， 中 已知a＝ ， ＝ ， ＝ ，
求最大角和sinC. 求最大角和sinC. 【分析】 分析】 在三角形中，大边对大角，所以 在三角形中，大边对大角，所以a
边所对角最大． 边所对角最大．
为最大角． 【解】 ∵a>c>b，∴A 为最大角． ， b ＋c －a 1 法一： 法一：由余弦定理有 cosA＝ ＝ ＝－ ， 2bc 2 3 ∴A＝120°，又∵sinA＝ ， ＝ ， ＝ 2 5 c 3 5 3 . ∴sinC＝asinA＝ × ＝ ＝ ＝ 7 2 14
点评】 【 点评 】
已知两边及其夹角解三角形时先
利用余弦定理求第三边， 利用余弦定理求第三边 ， 后用正弦定理求其 余两角，解是唯一的． 余两角，解是唯一的．
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高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》
余弦定理教学设计 一、教学内容分析人民教育出版社B 版《普通高中课程标准实验教科书·必修5》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征时，能够激发学生热爱数学的情感；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、教学目标认知目标：在复习已经学习的正弦定理和创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：通过学生之间、师生之间的交流探究，调动学生的主动性和积极性，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
四、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。
难点：1向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2余弦定理在解三角形时的应用思路探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。
学生在初中已经具备了勾股定理的知识，即Rt ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。
在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？学生最容易想到的思路：构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(第1课时)教案 高二数学教案
1.1.2 余弦定理（第一课时）
课前一练
已知
b
a
b
a
b
a
-
=
=，求
的夹角为
与
且
3
,2
,3
π
学生利用已学
知识计算求解
为本节课利用
向量的数量积
证明余弦定理
建立认知基
础，为探究环
节做好铺垫
复习回
顾1、正弦定理：
C
c
A
b
A
a
sin
sin
sin
=
=
2、用正弦定理可解决的两类解三角形的问题:
①已知两角及一边；
②已知两边及其中一边的对角.
学生集体
回顾思考
知识是一环紧
扣一环，通过
循环式的复习
模式强化记忆
创设情
境
千岛湖是我国浙江省杭州市内的一座人工湖，也是世
界上岛屿最多的湖。
因湖内拥有星罗棋布的1078个岛屿
而得名。
如图1，假如A,B,C是湖上的三个岛屿，岛屿A与C
之间的距离是80km，岛屿B与C之间的距离是30km，且
在岛屿C测得A,B之间的夹角为60°，你是否能求出岛
屿A，B 之间的距离？
（图1）
（图2）
思考：如何将以上实际问题转化为数学问题？（提问学生
回答）
学生思考，得出
结论：
如图2，在△ABC
中，已知b
a,,
和角C
求边c.
培养学生从文
字语言、图形
展示、符号语
言等多角度理
解问题的本质
的能力
b
c
a
A B
C。
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第二课时课件 新人教B版必修5
【点评】 自变量α的取值范围(即函数的定
义域)的确定，关系到我们能否正确获得所求
最值，应引起我们足够的重视．
方法感悟 正弦定理的四种证明方法 教材中对定理的证明是分锐角三角形和钝角三 角形两种情形来证明的，若利用向量知识和平 面几何知识，又该如何证明呢？ 1．利用向量知识证明正弦定理
当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i 垂直于AB，如图．
【点评】 三角形面积公式较多，解题时要
选择尽可能多地利用已知条件的公式．
自我挑战 1 在△ABC 中， 已知 tanB＝ 3， cosC 1 ＝ ，AC＝3 6，求△ABC 的面积． 3
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b， 3 1 由 tanB＝ 3，得 B＝60° ，∴sinB＝ ，cosB＝ . 2 2 2 2 2 又 sinC＝ 1－cos C＝ ，应用正弦定理，得 3 bsinC 3 6×2 2 c＝ ＝ ＝8. sinB 3 3× 2
∴c＝2RsinC.
若C是直角，由Rt△ABC(如图丙)，得
c＝2R＝2Rsin90°＝2RsinC.
因此，不论 C 是锐角、钝角还是直角，都有 c ＝2RsinC. 同样可以证明： a＝2RsinA，b＝2RsinB. a b c 由此可得 ＝2R， ＝2R， ＝2R， sinA sinB sinC a b c ∴ ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
自我挑战 3 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c. a －b sinA－B 求证： 2 ＝ . c sinC
a sinA b sinB 证明：由正弦定理，有c＝ ， ＝ ， sinC c sinC a －b sin A－sin B ∴ 2 ＝ . c sin2C
义域)的确定，关系到我们能否正确获得所求
最值，应引起我们足够的重视．
方法感悟 正弦定理的四种证明方法 教材中对定理的证明是分锐角三角形和钝角三 角形两种情形来证明的，若利用向量知识和平 面几何知识，又该如何证明呢？ 1．利用向量知识证明正弦定理
当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i 垂直于AB，如图．
【点评】 三角形面积公式较多，解题时要
选择尽可能多地利用已知条件的公式．
自我挑战 1 在△ABC 中， 已知 tanB＝ 3， cosC 1 ＝ ，AC＝3 6，求△ABC 的面积． 3
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b， 3 1 由 tanB＝ 3，得 B＝60° ，∴sinB＝ ，cosB＝ . 2 2 2 2 2 又 sinC＝ 1－cos C＝ ，应用正弦定理，得 3 bsinC 3 6×2 2 c＝ ＝ ＝8. sinB 3 3× 2
∴c＝2RsinC.
若C是直角，由Rt△ABC(如图丙)，得
c＝2R＝2Rsin90°＝2RsinC.
因此，不论 C 是锐角、钝角还是直角，都有 c ＝2RsinC. 同样可以证明： a＝2RsinA，b＝2RsinB. a b c 由此可得 ＝2R， ＝2R， ＝2R， sinA sinB sinC a b c ∴ ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
自我挑战 3 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c. a －b sinA－B 求证： 2 ＝ . c sinC
a sinA b sinB 证明：由正弦定理，有c＝ ， ＝ ， sinC c sinC a －b sin A－sin B ∴ 2 ＝ . c sin2C
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第一课时正弦定理课件 新人教B版必修5
(2)根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理， 根据三角形内角和定理 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°， ＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝ ， 根据正弦定理， 根据正弦定理， 1 2× × 2 asinB 2sin30° b＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2， ， sinA sin45° 2 2 6＋ 2 ＋ 2× × 4 asinC 2sin105° 2sin75° c＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sinA sin45° sin45° 2 2 3＋1. ＋
分析】 【分析】 我们可先确定满足条件的三角形的 个数，然后再求解． 个数，然后再求解．
是钝角， 【解】 (1)∵A＝107°是钝角，且 a＞b， ∵ ＝ 是钝角 ＞ ， 这样的三角形有且只有一个． ∴这样的三角形有且只有一个． 26sin107° ∵sinB＝ ＝ ≈0.507， ， 49 ∴B≈30°，∴C≈43°. ≈ ， ≈ a c 49 c 又∵ ＝ ，∴ ＝ ， sinA sinC sin107° sin43° 49sin43° ∴c＝ ＝ ≈35(cm)． ． sin107° 故 B≈30°，C≈43°，c≈35 cm. ≈ ， ≈ ， ≈
π ∴sinB＋sinC＝sinB＋sin( －B) ＋ ＝ ＋ 3 3 π 1 ＝ sinB＋ cosB＝sin(B＋ )． ＋ ＝ ＋ ． 2 3 2 π π π 2π 又 0＜B＜ ，∴ ＜B＋ ＜ . ＜ ＜ ＋ 3 3 3 3 π 3 ∴ ＜sin(B＋ )≤1. ＋ ≤ 3 2 3 的取值范围是( 故 sinB＋sinC 的取值范围是 ，1]． ＋ ． 2
正弦定理的简单应用
例3
如图， 平分∠ 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠
DAB. BC sinD 求证： . 求证：CD＝ sinB
高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》
课题：1.1.2余弦定理教材：（人教版）普通高中课程标准实验教科书必修5一、课标要求通过对任意三角形边长和角度的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二、教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（5）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》第一课时。
“余弦定理”是“解三角形”中的重要定理，在高考中属于“掌握”层次。
在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边”和“边、边、边”问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。
解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法。
三、学情分析1、认知特征学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边”和“角”的互化也有了进一步的认识。
能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边”和“已知两边和其中一边的对角”的三角形问题。
2、思维特征学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。
3、心理特征高中生思维活跃，参与意识强烈，为探究式学习提供了空间，但学生的合作意识不强，应培养他们的合作学习能力。
四、教学目标1、知识与技能能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、过程与方法培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。
3、情感、态度与价值观让学生主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的逻辑性和严谨性，形成学习数学知识的积极态度。
五、课型新授概念课六、课时 两个课时 七、教学重难点1、重点：余弦定理的发现和证明过程及其定理的简单应用。
高中数学优质课件 1.1.2余弦定理
答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两 种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形， 因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2第二课时课件 新人教B版必修5
π ④若 sin2A＝sin2B，则 A＝B 或 A＋B＝ . 2
思考感悟 在△ABC中，a2 ＋b2 ＞c2 ，那么△ABC是锐角 三角形吗？
提示：不一定，因为由a2 ＋b2 ＞c2 只能说明C
为锐角，不能说明A、B也为锐角．
2．余弦定理与三角函数的综合问题
课堂互动讲练
考点突破
三角形中边角恒等式的证明 a－c· B sin B cos 例1 在△ABC 中，求证： ＝ . sin A b－c· A cos
【点评】 利用正弦定理、余弦定理可以实 现边角关系的互化．
自我挑战2
△ABC中，已知a－b＝c· (cosB－
cosA)，试判断△ABC的形状．
解：法一：(角化边)由余弦定理，得 a－b＝ a2＋c2－b2 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 c( － ) ＝ － 2ac 2bc 2a b2＋c2－a2 ， 2b 所以 2ab(a－b)＝b(c2＋a2－b2)－a[c2－(a2－b2)] ＝bc2＋b(a2－b2)－ac2＋a(a2－b2)＝(b－a)c2＋(b ＋a)(a2 －b2)＝－(a－b)c2 ＋(b＋a)2(a－b)＝(a－ b)[(b＋a)2－c2]，
1 解：(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝ ，∴cos(B＋C) 2 1 ＝ . 2 π 又∵0<B＋C<π，∴B＋C＝ . 3 2π ∵A＋B＋C＝π，∴A＝ . 3
(2)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc· cosA， 2π 得(2 3) ＝(b＋c) －2bc－2bc· cos ， 3
2 2
1 即 12＝16－2bc－2bc· )，∴bc＝4. (－ 2 1 1 3 ∴S△ABC＝ bc· sinA＝ · ＝ 3. 4· 2 2 2
思考感悟 在△ABC中，a2 ＋b2 ＞c2 ，那么△ABC是锐角 三角形吗？
提示：不一定，因为由a2 ＋b2 ＞c2 只能说明C
为锐角，不能说明A、B也为锐角．
2．余弦定理与三角函数的综合问题
课堂互动讲练
考点突破
三角形中边角恒等式的证明 a－c· B sin B cos 例1 在△ABC 中，求证： ＝ . sin A b－c· A cos
【点评】 利用正弦定理、余弦定理可以实 现边角关系的互化．
自我挑战2
△ABC中，已知a－b＝c· (cosB－
cosA)，试判断△ABC的形状．
解：法一：(角化边)由余弦定理，得 a－b＝ a2＋c2－b2 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 c( － ) ＝ － 2ac 2bc 2a b2＋c2－a2 ， 2b 所以 2ab(a－b)＝b(c2＋a2－b2)－a[c2－(a2－b2)] ＝bc2＋b(a2－b2)－ac2＋a(a2－b2)＝(b－a)c2＋(b ＋a)(a2 －b2)＝－(a－b)c2 ＋(b＋a)2(a－b)＝(a－ b)[(b＋a)2－c2]，
1 解：(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝ ，∴cos(B＋C) 2 1 ＝ . 2 π 又∵0<B＋C<π，∴B＋C＝ . 3 2π ∵A＋B＋C＝π，∴A＝ . 3
(2)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc· cosA， 2π 得(2 3) ＝(b＋c) －2bc－2bc· cos ， 3
2 2
1 即 12＝16－2bc－2bc· )，∴bc＝4. (－ 2 1 1 3 ∴S△ABC＝ bc· sinA＝ · ＝ 3. 4· 2 2 2
【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5
互动探究2
本题条件变为bcos A＝acos B，试判
断△ABC的形状．
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 解：∵cos A＝ ，cos B＝ ，则 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 b ＋c －a a ＋c －b 代入已知条件得：b· ＝a· . 2bc 2ac b2＋c2－a2－a2－c2＋b2 ∴ ＝0.则 2b2＝2a2，∴b＝ 2c a. ∴该三角形为等腰三角形．
同理可证：b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．余弦定理和勾股定理有何关系？ 提示：勾股定理是余弦定理的特例，对于a2＝b2 ＋c2－2bc· cosA，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
课堂互动讲练
考点突破 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边与一角求第三边，必须先判断 该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的 夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求 第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用 余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边 (也可以两次应用正弦定理求出第三边)．
2
2
2
1 法二：由 b＜c，B＝30° ，b＞csin 30° ＝3 3× ＝ 2 3 3 知本题有两解， 2 1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C＝ b ＝ ＝ ， 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当 C＝120° 时，A＝30° ，△ABC 为等腰三角形， ∴a＝3.
2．余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理
可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平
优化方案2012高中数学 第一章1.1第一课时正弦定理精品课.
sinA sinC ∴c＝a·ssiinnAC＝5·ssiinn13005°°＝5·sins6i0n°3＋0°45° ＝5·sin60°cos45si°n＋30c°os60°sin45° ＝52( 6＋ 2)．
题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形
• 已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题， 首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦 值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解， 是一解还是两解．
∴sinAcosA＝sinBcosB， ∴sin2A＝sin2B. ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝π2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
规律方法总结
常用的公式、结论 △ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c. (1)A＋B＋C＝180°； (2)a＜b⇔A＜B⇔2RsinA＜2RsinB⇔sinA＜sinB； (3)若角A为最小角，则0°＜A＜60°；若角A为最大角， 则A＞60°；
变式训练
• 3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断
△ABC的形状．
解：由已知得a2sinB＝b2sinA， cosB cosA
由正弦定理的变式得 a＝2RsinA，b＝2RsinB(R 为△ABC 的
外接圆的半径)，
∴4R2sin2AsinB＝4R2sin2BsinA，
cosB
cosA
过程．
• 3．正弦定理在解三角形中的作用 • (1)如果已知三角形的任意两个_角___与一_边___，由三
角形____内_角__和__为__1_8_0_°__，可以计算出三角形的另一 _角___，并由正弦定理计算出三角形的另两__边__． • (2)如果已知三角形的任意_对__角____与其中一边的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_边__和__角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角， 进而确定这个三角形其他的___两__边_____．
题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形
• 已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题， 首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦 值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解， 是一解还是两解．
∴sinAcosA＝sinBcosB， ∴sin2A＝sin2B. ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝π2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
规律方法总结
常用的公式、结论 △ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c. (1)A＋B＋C＝180°； (2)a＜b⇔A＜B⇔2RsinA＜2RsinB⇔sinA＜sinB； (3)若角A为最小角，则0°＜A＜60°；若角A为最大角， 则A＞60°；
变式训练
• 3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断
△ABC的形状．
解：由已知得a2sinB＝b2sinA， cosB cosA
由正弦定理的变式得 a＝2RsinA，b＝2RsinB(R 为△ABC 的
外接圆的半径)，
∴4R2sin2AsinB＝4R2sin2BsinA，
cosB
cosA
过程．
• 3．正弦定理在解三角形中的作用 • (1)如果已知三角形的任意两个_角___与一_边___，由三
角形____内_角__和__为__1_8_0_°__，可以计算出三角形的另一 _角___，并由正弦定理计算出三角形的另两__边__． • (2)如果已知三角形的任意_对__角____与其中一边的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_边__和__角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角， 进而确定这个三角形其他的___两__边_____．