浙江省台州市2019-2020学年上学期期末高三数学试题 Word版含解析
台州市2019-2020学年度第一学期高三年级期末质量评估试题数学 2020.01选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，,所以，故选B.2. 若复数（为虚数单位），则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,选C.3. 已知为锐角，且，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.4. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,但;所以“”是“”的必要不充分条件,选B.5. 已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C.6. 有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有种排法种数，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.7. 已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出表示的可行域，如图，表示可行域内的动点到距离的平方，由图可知在处取最小值，在处取最大值，取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在恰有两个不同的零点，等价于与的图象恰有两个不同的交点，画出函数的图象，如图，的图象是过定点斜率为的直线，当直线经过点时，直线与的图象恰有两个交点，此时，，当直线经过点时直线与的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点，斜率在内变化，所以，实数的取值范围是.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .9. 已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,，令,则，令，得当时，，当时，，当时，取得最大值，故选B.10. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】1，若，则，；,2，若，设，，（1）时，由得，在上递增，只需，得；（2）时，在上递增，在上递减，由，得，可得；（3）当时，在上递增，；3，若，（1）时，不合题意；（2），在上递减，在上递增，，可得，综上所述，，当时，，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 双曲线的离心率为_________，渐近线方程为__________.【答案】 (1). (2).【解析】双曲线中，，渐近线方程为，故答案为（1），（2）.12. 已知随机变量的分布列为：则=__________，=__________.【答案】 (1). (2).【解析】由题意，，，，故答案为（1），（2）.13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_________；表面为__________.【答案】 (1). (2).【解析】由三视图可知，该四面体的直观图为图中正方体的棱长，四面体的体积为，表面积为，故答案为（1），（2）.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 若的展开式中所有项的系数之和为256，则=__________，含项的系数是_________（用数字作答）.【答案】 (1). (2).【解析】的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是，故答案为（1），（2）.15. 当时，的最小值为3，则实数的值为_________.【答案】【解析】因为当时，，的最小值为，所以可得，故答案为.16. 在中，内角，，所对的边为，，，点是其外接圆上的任意一点，若，，则的最大值为_________.【答案】 【解析】以的中点为原点，以为轴，为轴，建立坐标系，则，可得外接圆圆心为，半径为，圆方程为，设，，，故答案为................... 17. 如图，在棱长为2的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为________.【答案】【解析】作于，连接，则为二面角的平面角，设中点为在的射影为为的中心），则也是二面角的平面角，，，即是到定点与定直线等距离的动点轨迹，即的轨迹是以为准线，以为焦点的抛物线，的中点是抛物线顶点，到的距离就是的最小值，由余弦定理可知，，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 已知函数（，，为常数），且，.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式化简，再代入角得关于a,b方程组，解得，利用配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数单调性求增区间（2）根据自变量确定正弦函数取值范围，进而得最值.试题解析：解：（1）由题得：，由，，得故，∴，当，时，的单调递增，可得，，∴的单调递增区间为；（2）由（1）得，由得：.∴，故在上的最大值为，最小值为.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 如图，正方形的边长为4，点，分别为，的中点，将，，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可得为与平面所成角，在△中，，从而可得与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则，，又平面，平面，，在△中，，与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，求出，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，，，解得或，为减函数，，解得，为增函数，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）在时恒成立，，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，．【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21. 已知椭圆:的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点，，.求证：以为直径的圆恒过交点，，并求出面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点在椭圆上，且△的面积为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，可证明，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，可得，进而可得结果.试题解析：（Ⅰ），，又点在椭圆上，，，解得，或（舍去），又，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ），，，方法一：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，，，，则以为直径的圆恒过焦点，，当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点，，，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，当的斜率存在且不为零时，，△面积为，又当直线的斜率不存在时，，△面积为，△面积的取值范围是．方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上，，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点，以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点，，，又，,△面积为，当，为短轴的两个端点时，，△面积为，△面积的取值范围是．22. 数列，中，为数列的前项和，且满足，，.（1）求，的通项公式；（2）求证：；（3）令，，求证：.【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得当时，，两式相减可化为，利用累乘法可得的通项公式，进而可得的通项公式；（Ⅱ）先证明，结合等比数列的求和公式，利用放缩法可证明；（Ⅲ）化简，先证明在上单调递增，所以，即，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ），当时，，，，，，（Ⅱ），，；（Ⅲ）（1）当时，左边右边，（2）当时，∵，∴，令x=，则，易知在上单调递增，所以，∴，由（1）（2）可知对于任意的，．。
浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估数学试题(解析版)
台州市2019届高三年级期末质量评估试卷数学 2019．01本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式：其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的表面积公式：球的体积公式：，其中表示球的半径选择题部分一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，N，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出后可得.【详解】，故，选C.【点睛】在集合的交并补的运算中，注意集合元素的属性，本题为基础题.2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法计算出后可得其对应的点所处的象限.【详解】，该复数对应的点为，它在第四象限中.故选D.【点睛】如果复数，那么它对应的复平面上的点为，复平面上的点与复数之间是一一对应的.3.已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可以得到等差数列的基本量的关系，再用基本量表示可得它们的比值.【详解】设公差为，由得到，整理得到，因，故，，所以，故选A.【点睛】等差数列或等比数列问题基本的处理策略有两类：（1）基本量方法，即把数学问题归结关于基本量或的关系式来处理；（2）利用等差数列或等比数列性质来处理，解题时需结合数列下标的特点或和式的特点来找合适的性质.4.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角换元把转化为关于的函数关系后可得取值范围.【详解】令，则，因，故，当且仅当时取最大值，当时取最小值，故选D. 【点睛】二元等式条件下的二元函数的范围问题，应利用换元或消元的方法把二元函数变为一元函数，再利用函数的手段计算函数的值域，注意尽量不要使用基本不等式，因为基本不等式往往只能求最大值或最小值.5.设不为1的实数，，满足：，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的单调性可以得到D是正确的.【详解】因为底数与的大小关系不确定，故B错；同理，C也错.取，则，从而，故A错，因为为上的增函数，而，故，故D正确.综上，选D.【点睛】不同的对数或指数比较大小，可根据底数的形式构建合适的单调函数，如果底数不能统一，则需要找中间数，通过它传递大小关系.6.在的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，故可通过求展开式中的的系数来求常数项.【详解】因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.7.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.8.设，为双曲线:的左右焦点，点为双曲线的一条渐近线上的点，记直线，，的斜率分别为，，．若关于轴对称的直线与垂直，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用直线的倾斜角的正切表示斜率，注意到的倾斜角的和为，故可得的倾斜角的正切值，从而得到双曲线的离心率.【详解】设为渐近线上的点且在第一象限内，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，所以，即，故，，故选B.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．9.已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为当时函数值为，所以函数的最小值为等价于在上恒成立，利用参变分离可以求得实数的取值范围．【详解】因为的最小值为且时，故恒成立，也就是，当时，有；当时，有，故，所以选C．【点睛】含参数的函数的最值问题可以转化为恒成立即：（1）在上的最小值为等价于恒成立且存在，使得；（2）在上的最大值为等价于恒成立且存在，使得．10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，的中点为，则折叠后有平面，在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，可用的三角函数表示的正切值，利用导数可求其最大值．【详解】取的中点，的中点为，因为为等腰三角形，故，同理，，所以有平面．因为平面，故平面平面．在四棱锥中过点作的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，连接．因为，平面，平面平面，故平面．因为平面，故，又，，故平面，又平面，故，所以为二面角的平面角．设，则，，，所以，其中．令，则，令且，当时，；当时，；所以，故，故选B．【点睛】二面角的平面角的大小或最值的计算，应先构造二面角的平面角，然后在可解的三角形（最好是直角三角形）中讨论该角．注意最值的计算可以通过目标函数的单调性讨论得到．非选择题部分二、填空题：本大题共7小题。
浙江省台州市2019-2020年高三数学期末质量评估试题 文 新人教A版
台州市 2019-2020级期末质量评估试题数 学（文）本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．Ⅰ 选择题部分（共50分）参考公式：球的表面积公式 24S πR = 柱体的体积公式 Sh V =球的体积公式 343V πR = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式121()3V h S S =锥体的体积公式 Sh V 31= 其中1S ，2S 分别表示台体的上底、下底面积， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 h 表示台体的高 如果事件A ,B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 复数31ii--等于 （A ）i 21+（B ）12i -（C ）2i +（D ）2i -2. 集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y R y x A =∈=∈，则A B =（A ）{}1（B ）{}1,2（C ）{}3,1,2-（D ）{}3,0,1-3．向量(1,1),(1,3a x b x =-=+，则“2x =”是“a ∥b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既不充分也不必要条件4. 已知点)1,1(-A 及圆 044422=++-+y x y x ，则过点A ，且在圆上截得最长的弦所在的直线方程是 （A ）01=-x（B ）0=+y x（C ）01=+y（D ）02=--y x5. 设函数)(x f 为偶函数，且当)2,0[∈x 时x x f sin 2)(=，当),2[+∞∈x 时x x f 2log )(=，则=+-)4()3(f f π（A ）23+-（B ） 1（C ）3（D ）23+6. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（第9题）（A ）16k ≥? （B ）8k <? （C ）16k <? （D ）8k ≥?7. 若函数()(1)(01)x x f x k a a a a -=-->≠且在R 上既是奇函（A ）3 （B ）12（C ）2 （D ）13 9. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是 侧面11C CDD 上的动点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面 11C CDD 所成角的正弦值构成的集合是（A ）{}2 （B ） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧552 （C ）|23t t ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（D ）|t t ⎧≤≤⎨⎩ 10. 定义在上R 的函数()f x 满足(6)1f =，'()f x 为()f x 的导函数，已知'()y f x =的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(32)1f a b +>，则11b a -+的取值范围是 （A ）1(,2)3-（B ）1(,)3-+∞ （C ）1(,)[0,)3-∞-⋃+∞ （D ）[2,)+∞Ⅱ 非选择题部分（共100分）二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11.在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的 0.040.030.020.01（第10题）成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩 在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的 有 ▲ 人．12．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ ．13.若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：1nmpp m n n p m b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论： ▲ .14.在1,2,3,4,5这五个数中，任取两个不同的数记作,a b ，则满足2()f x x ax b =-+有两个不同零点的概率是 ▲ ．15.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点,C D ,在某时刻观察到该航船在A 处，此时测得30ADC ∠=，3分钟后该船行驶至B 处，此时测得60ACB ∠=，45,60BCD ADB ∠=∠=，则船速为 ▲ 千米/分钟．16.已知圆22:(2)(1)5C x y -+-=及点B (0,2)，设Q P ,分别是直线02:=++y x l 和圆C 上的动点，则PQ PB +的最小值为 ▲ .17．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,分别在OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ∠=，则MC MD ⋅的取值范围是 ▲ ．俯视图正视图 侧视图（第12题）（第15题）C（第17题）BCDA三、解答题（本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（本题满分14分）已知函数2()cos 2cos f x x x x a ωωω=-+(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，最大值为3. （Ⅰ）求ω和常数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.19. （本题满分14分）已知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.数列{}n a 满足2log 311n n a b n =-+，n S 是{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求n S（Ⅱ）设同时满足条件：①21()2n n n c c c n N *+++≤∈；②n c M ≤(n N *∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n c 叫“特界”数列.判断（1）中的数列{}n S 是否为“特界”数列，并说明理由．20．（本题满分14分）如图,在三棱锥D ABC -中,ADC ABC ⊥平面平面,AD DCB ⊥平面,2,AD CD ==4,AB =M 为线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：BC ACD ⊥平面；（Ⅱ）求二面角A CD M --的余弦值．21. （本题满分15分）已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的极大值；（Ⅱ）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．22.（本题满分15分）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点()0,1K -的直线l 与C 相交于,A B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB ⋅=，求DBK ∠的平分线与y 轴的交点坐标. （第20题）ABCDM台州市 2019-2020年 第一学期 高三年级期末质量评估试题数 学（文）答题卷2012.01一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．11．________________________ 12．________________________ 13． 14．________________________ 15．________________________ 16．________________________ 17．________________________三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效…………………………………………装……………………………………订……………………………………线……………………………………台州市2019-2020年第一学期高三年级期末质量评估试题数学（文）参考答案及评分标准2012.1 一、选择题：1-10． C B A B D A A C D B 二、填空题：11．25 12．13π 13．()()()0p n m p n m m a a n a a p a a -+-+-= 14．920 15．6． ．31[,]82三、解答题：18．（本小题14分）（I ）解：2()cos 2cos f x x x x a ωωω=-+ ……………………………………1分2cos 21x x a ωω=--+2sin(2)16x a πω=-+-， ………………………3分由22T ππω==，得1ω=． ………………………5分又当sin(2)16x πω-=时，max 213y a =+-=，得2a =． (7)分（Ⅱ）解：由（I ）知()2sin(2)16f x x π=-+，由222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，9分 得63k x k ππππ-≤≤+， ………………12分故()f x 的单调增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z ． …………………14分 19．（本小题14分）（I ）解：1112n n n b b q --==, …………2分122log 311log 2311102n n n a b n n n -=-+=-+=-, …………4分21(1)92n n n S na d n n +=+=-+．…………7分（Ⅱ）解：由2211211()()102222n n n n n n n n n S S S S S S a a dS ++++++++-----====-<，得212n n n S S S +++<，故数列{}n S 适合条件①； …………………10分又229819()(*)24n S n n n n =-+=--+∈N ，故当4n =或5时，n S 有最大值20， 即n S ≤20，故数列{}n S 适合条件②． …………13分综上，数列{}n S 是“特界”数列. …………14分 20．（本小题14分）（Ⅰ）证:取AC 的中点O ，连接DO ，则DO AC ⊥， ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ． ………3分 又∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BC ． ………6分 ∵DO ∩AD =D ，∴BC ⊥平面ACD ．…………………7分 （Ⅱ）解：取CD 的中点N ，连接,,MO NO MN ,则MO ∥BC ，∴MO ⊥平面ACD ，∴MO ⊥CD ． …………………8分∵AD ⊥CD ，ON ∥AD ，∴ON ⊥CD ． 又∵MO ∩ON ＝O ，∴CD ⊥平面MON ， ∴CD ⊥MN ，∴∠MNO 是所求二面角的平面角． ………11分在Rt △MON中，12MO BC ==112ON AD ==， ∴MN ＝22NO MO +＝3，∴cos ∠MNO ＝MNNO＝33． ………………14分(其它解法相应给分) 21．（本题满分15分）（Ⅰ）解：23()ln 22f x x x x =--,2'321()(0)x x f x x x +-=->． ……………２分由'()0f x >，得103x <<，由'()0f x <，得13x >． ……………5分所以()y f x =存在极大值15()ln 336f =--． ……………7分（Ⅱ）解：2'21()(0)ax x f x x x +-=->，……………（第20题）O ACDMN8分依题意()0f x '<在(0,)+∞上有解，即2210ax x +->在(0,)+∞上有解． (9)分当0a ≥时，显然有解； ……………11分当0a <时，由方程2210ax x +-=至少有一个正根，得10a -<<； ……………14分所以1a >-． ……………15分另解：依题意()0f x '<在(0,)+∞上有解，即2210ax x +->在(0,)+∞上有解． ………9分 212x a x ->在(0,)+∞上有解，即2min 12x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， ………11分 由2min121x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1a >-． ……………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）解:设()()1122,,,A x y B x y ,11(,)D x y -，l 的方程为1y kx =-，由21,4,y kx x y =-⎧⎨=⎩得2440x kx -+=， 从而124x x k +=，124x x =． …………2分直线BD 的方程为()211121y y y y x x x x --=++，即()2121144x x x y x x --=+， 令0x =，得1214x x y ==，所以点F 在直线BD 上. …………6分（Ⅱ）解:因为 ()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+-- 284k =-，故28849k -=，解得43k =±， …………9分所以l 的方程为4330,4330x y x y --=++=．又由（Ⅰ）得21x x -==，故直线BD的斜率为214x x -=， 因而直线BD33330y y -+=+-=． ……12分设DBK ∠的平分线与y 轴的交点为()0,M t ，则()0,M t 到l 及BD 的距离分别为315t + ，314t -， 由313154t t +-=，得19t =，或9t =（舍去），所以D B ∠的平分线与y轴的交点为10,9M ⎛⎫⎪⎝⎭. ……15分。
浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估数学试卷
台州市2019届高三年级期末质量评估试卷数 学 2019．01本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：121()3V S S h = 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24πV R =球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4}A =，{B x =∈N |33}x -≤≤，则A B =A ．{1,2,3,4}B ．{3,2,1,0,1,2,3,4}---C ．{1,2,3}D ．{1,2}2．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则31S S 的值为 A.94 B. 94- C. 32D. 32-4．已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[2,0]-C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,2]-5．设不为1的实数a ，b ，c 满足：0a b c >>>，则 A ．log log c a b b >B ．log log a a b c >C ．a cb b >D ．b ba c >6．在341(2)x x x-+的展开式中常数项为A ．28B ．28-C ．56-D ．567．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则A. 12E E ξξ<，12D D ξξ<B. 12E E ξξ=，12D D ξξ>C. 12E E ξξ=，12D D ξξ<D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>8．设1F ，2F 为双曲线C :22221x y a b-=的左右焦点，点P 为双曲线C 的一条渐近线l 上的点，记直线1PF ，l ，2PF 的斜率分别为1k ，k ，2k ．若1PF 关于x 轴对称的直线与2PF 垂直，且1k ，2k ，2k 成等比数列，则双曲线C 的离心率为A ．2 B ． 2C D ．2 9．已知函数sin cos y x a x =+，π[0,]3x ∈的最小值为a ，则实数a 的取值范围是A ．B ．[C ．(-∞D ．(-∞ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为A B ．12C ．3D ．14非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019-2020学年浙江省台州市浙东人文综合中学高三数学理期末试题含解析
2019-2020学年浙江省台州市浙东人文综合中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，向量，且则等于（）A. 5B. 4C.D.参考答案：C【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算可求出利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可.【详解】因为所以，即，所以.故选C.【点睛】本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题.2. 如果全集，，，则U等于（）A． B．（2，4） C． D．参考答案：A3. 复数的共轭复数(A) (B) (C) (D)参考答案：B略4. 曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则曲线、直线、轴围成的图形面积为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（）A． B． C． D．参考答案：C6. 设曲线与x轴所围成的区域为D，向区域D内随机投一点，则该点落入区域{(x，y)∈D|}的概率是(A) (B) (C) (D)参考答案：A略7. 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是( )A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2参考答案：D【考点】映射．【专题】应用题．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．【点评】本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B 中都有唯一的确定的一个元素与之对应．8. 已知函数，构造函数的定义如下：当时，，当时，，则( )A．有最小值0，无最大值 B．有最小值－1，无最大值C．有最大值1，无最小值 D．无最大、最小值参考答案：B略9. 已知a=log2 0.3，b=30.2，c=0.32，则（）A10. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则=（）A. B. C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是．参考答案：略12. 已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为；参考答案：13. 已知且，则的值等于________.参考答案：－9【分析】由已知展开倍角公式求得，再由两角和与差的正切求解．【详解】解：由，且，得，解得（舍，．．故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题．14. 已知△的三个内角所对的边分别为，若△的面积为,则．参考答案：15. 函数的定义域为 .参考答案：（16. 已知函数f(x)是一次函数，且满足，则f(x)＝____ ___.参考答案：由，得，所以。
高三数学答案(1)
综上， a 2 ．
………………10 分
（III）证明：当 a 2 时，因为 x 1 ，所以函数 f x 的零点个数等价于
函数 h x ln x 1 ax 的零点个数，
x2
…………………11 分
由（Ⅰ）可得 h x
1 x 1
2a
x 22
x2
4 2a x 4 2a x 1x 2 2 Nhomakorabea，
设 g x x2 4 2a x 4 2a ，
因为二次函数 g x 在 x R 时， g 1 1 0 ， g 0 4 2a 0 ，
所以存在 x1 1, 0, x2 0, ，使得 g x1 0 ， g x2 0 ，
所以 bn 3n1 ．
………………………………８分
（Ⅱ）解法一：因为 n 2 时， 3n 1 1 2 n 1 11 2Cn1 2 2Cn2 2 n1 ，
根据“若 a b 0, m 0 ，则 b b m ” 可得 a am
an1 bn1 1
ea 1
a ea 1 a ea 1
a
2ea ea 1
0
，
所以 h x 在 ea 1, x1 存在一个零点；
当 x ea 1时， h
ea 1
a ea 1 a ea 1
a
ea
2
1
台州市 2019 学年 高三年级期末质量评估试卷 第一学期
数学参考答案
2020.01
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
2019-2020学年浙江省台州市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省台州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,5U =-，{}0,2,5A =，则U C A =（ ） A ．{}1- B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】C【解析】根据集合的补集运算，可以直接得到答案. 【详解】因为{1,0,1,2,5},{0,2,5}U A =-=，根据集合的补集运算有，{1,1}U C A =-. 故选：C本题主要考查集合的补集运算，属基础题. 2．sin120︒=（ ）A B ．12C ．D ．12-【答案】A【解析】利用诱导公式()sin 180sin x x ︒-=，可以得到本题答案. 【详解】因为()sin 180sin x x ︒-=，所以sin120sin 60︒︒==. 故选：A本题主要考查利用诱导公式求三角函数值，属基础题.3．函数1()2f x x =-的定义域为（ ） A ．()1,-+∞ B ．[)1,-+∞ C ．(1,2)(2,)-+∞U D ．[1,2)(2,)-+∞U【答案】D【解析】使函数各部分有意义，列出不等式组求解，即可得到本题答案. 【详解】因为函数1()2f x x =-，要使函数有意义，则1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠，所以函数1()2f x x =-的定义域为[1,2)(2,)-+∞U . 故选：D本题主要考查函数的定义域，属基础题. 4．下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A ．sin y x = B ．2xy =C ．2log y x =D ．21y x =【答案】C【解析】把4个函数的值域都写出来，即可得到本题答案. 【详解】因为sin y x =的值域为[1,1]-，2xy =的值域为(0,)+∞，2log y x =的值域为[0,)+∞，21y x=的值域为(0,)+∞. 故选：C本题主要考查具体函数的值域，属基础题.5．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B【解析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.6．函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象经过定点（ ） A ．()1,1-- B ．()1,0-C ．()2,2-D ．()2,0-【答案】A【解析】令21x +=，即可得到本题答案. 【详解】因为函数()log (2)1a f x x =+-，且有log 10a = (0a >且1a ≠)，令21x +=，则1x =-，1y =-，所以函数()f x 的图象经过点(1,1)--.故选：A本题主要考查对数函数()log a f x x =(0a >且1a ≠)恒过定点(1,0)，属基础题. 7．已知角α是锐角，若sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，则实数m 和n 一定满足（ ） A ．240m n -= B ．221m n =+C ．10m n ++≤D ．0mn >【答案】B【解析】由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方结合②式，即可得到本题答案. 【详解】因为sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方得，212sin cos m αα+⋅=③，②代③得，221m n =+. 故选：B本题主要考查韦达定理与三角函数的综合应用.8．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且()10f -=，则不等式(1)()0x f x -≤的解集为（ ） A ．{|10}x x -≤<B ．{|1}x x ≥-C ．{|10x x -≤< 或0}x >D ．{ | 0}x x >【答案】C【解析】根据题意画出函数的大概图象，分1x ≤和1x >两种情况解不等式，即可得到本题答案. 【详解】因为()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，在(0,)+∞上单调递减，且(1)0f -=，所以可以把下图当作()f x 的图象，那么要求(1)()0x f x -≤的解集，分两种情况即可，①当10x -≤时，()0f x ≥，解得11x -≤≤且0x ≠；②当10x ->时，()0f x ≤，解得1x >，综上，得1x -≤且0x ≠，所以不等式(1)()0x f x -≤的解集为 {|10x x -≤<或0}x >，故选：C本题主要考查利用函数的性质解不等式，数形结合是解决本题的关键. 9．若实数x 、y 满足2cos 1x y -=，则2cos x y +的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．[]1,10-C ．9,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】用x 表示cos y ，求21(1)2x x +-在[1,3]x ∈-的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】 由题意得，1cos (1)2y x =-，由cos [1,1]y ∈-，得[1,3]x ∈-，所以 222119cos (1)2416x y x x x ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭，当3x =时，取最大值10；当14x =-时，取最小值916-，所以2cos x y +的取值范围是9,1016⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D本题主要考查三角函数的值域以及二次函数在定区间的值域问题.10．设函数23cos ,10()23,02x x x f x ax x a x ⎧--≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若()f x 在区间[]1,2-上是单调函数，则（ ） A ．12a ≥-B ．1123a -≤≤ C ．13a ≥D ．102a -≤<或0a >【答案】B【解析】因为()cos f x x x =-在[1,0]-单调递增，所以2()23f x ax x a =+-在(0,2]也是单调递增，且31a -≥-，解不等式组，即可得到本题答案.【详解】当10x -≤≤时，()cos 2sin ,1,6666f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=--∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以此时函数()f x 在区间[1,0]-上单调递增，因为()f x 在区间[1,2]-上是单调函数，所以2()23f x ax x a =+-在区间(0,2]上单调递增，当0a >时，对称轴10x a=-<，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足31a -≥-，得103a <≤；当0a =时，()2,(0,2]f x x x =∈，符合题意；当0a <时，对称轴10x a=->，此时()f x 在(0,2]上单调递增，且需满足3112a a-≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩，得102a -≤<；综上得，1123a -≤≤.故选：B本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法.二、填空题11．已知23a =，2log 5b =，则2b =____________，2a b +=_____________. 【答案】5 15【解析】由2log 5b =，可得25b =，然后利用指数幂的运算性质可得本题答案. 【详解】由2log 5b =，得25b =，22215a b a b +=⋅=. 故答案为：5；15本题主要考查对数式化指数式以及指数幂的运算性质. 12．设函数1()2f x x =+，则()1f =____________；若1(())3f f x =，则x =____________.【答案】131- 【解析】（1）代入1x =，可得答案；（2）先用x 表示(())f f x ，解方程即可得到本题答案.【详解】 （1）因为1()2f x x =+，所以1(1)3f =；（2）因为1()2f x x =+，所以1121(())1225322x f f x f x x x +⎛⎫====⎪++⎝⎭++，解得1x =-.故答案为：13；-1 本题主要考查利用函数解析式求值的问题，属基础题.13cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα-=____________，2sin cos 2cos ααα+=_______.【答案】045【解析】（1）cos 04παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭化简可得本题答案；（2）联立sin 2cos αα=与22sin cos 1αα+=，求得2cos α，即可得到本题答案. 【详解】 （1）由题得，cos sin cos sin 2cos 0422πααααααα⎫⎛⎫--=--=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭；（2）由（1）得，sin 2cos αα=，联立22sin cos 1αα+=，得21cos 5α=，所以224sin cos 2cos 4cos 5αααα+==.故答案为：0；45本题主要考查三角函数的化简求值问题，涉及到和差公式以及同角三角函数的基本关系.14．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，02πϕ<<，则ω=__________，sin ϕ=______________.【答案】235【解析】由图知，,A T ，代入2T πω=，可求得ω，接着代入点6,25π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案. 【详解】由图知，2,22A T t t ππ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，所以22Tπω==，()2sin(2)f x x ϕ=+，又62sin()25f ππϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以3sin 5ϕ=.故答案为：2；35本题主要考查根据三角函数的图象求其解析式. 15．已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________. 【答案】0【解析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】 因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0本题主要考查利用幂函数的性质求参数的取值.16．已知函数()f x 的最小正周期为2，当[0,2]x ∈时，2()23f x x x =-++.若[2018,2020]x ∈-，则满足()4f x ≥的所有x 取值的和为_____________.【答案】2019【解析】由[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤与()4f x ≥，可得()4f x =，因为(1)4f =且函数()f x 的最小正周期为2，所以求出[2018,2020]-内所有奇数的和，即可得到本题答案. 【详解】在函数()f x 的一个周期内，即[0,2]x ∈时，22()23(1)44f x x x x =-++=--+≤,又因为()4f x ≥，所以()4f x =，且当且仅当1x =时取得(1)4f =，在[2018,2020]x ∈-内共有2019个周期，且每个周期内的x 取奇数时的函数值为4，故所有的x 值之和为(2017)(2015)(1)13201720192019-+-++-+++++=L L . 故答案为：2019本题主要考查函数的周期性.17．设函数()|1|2|2|f x x x =-+-，若不等式()a f x b ≤≤的解集为[],a b ，则是下列说法中，正确的序号是_______________.①b a a b >； ②11a b -<-； ③函数1()ln f x x x=-在(),a b 上有零点；④函数()log xb f x a x =-在(0,)x ∈+∞上单调递增.【答案】②③【解析】由()|1|2|2|f x x x =-+-的图象及不等式|1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[,]a b ，可以确定,a b 的取值，然后对①②③④逐一判断，即可得到本题答案.【详解】因为()|1|2|2|f x x x =-+-，所以当1x ≤时，()12(2)53f x x x x =-+-=-； 当12x <≤时，()12(2)3f x x x x =-+-=-；当2x >时，()12(2)35f x x x x =-+-=-，综上，得53,1()3,1235,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，因为不等式1|2|2|a x x b ≤-+-≤的解集为[,]a b ，可作图如下，由图可得，(),()f b b f a b ==，且有1,2a b <>，所以3553b ba b -=⎧⎨-=⎩，解得5652 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1b aa b<<得①不正确；13|1||1|62a b-=<=-，故②正确；显然1()lnf x xx=-时，556552ln0,ln0665225f f⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故在(,)a b上有零点，所以③正确；因为(0,1),1a b∈>，所以xy a=为减函数，log by x=为增函数，故()logxbf x a x=-为减函数，所以④不正确.故答案为：②③本题主要考查绝对值不等式与函数的综合应用，难度较大.三、解答题18．设集合{|12}A x x=-<<，{}2|230B x x x=+-<.（1）求A BI；（2）设集合{|20}C x x a=->，若A C⊆，求实数a的取值范围.【答案】（1）{|11}A B x x=-<<I（2）2a≤-【解析】（1）先求出一元二次不等式的解，然后根据集合的交集运算性质即可得到本题答案；（2）根据集合的包含关系，列出不等式求解即可得到本题答案. 【详解】（1）由2230x x +-<，得31x -<<，所以{|31}B x x =-<<，因为{|12}A x x =-<<,所以{|11}A B x x =-<<I ；（2）题意知{|20}{|}2aC x x a x x =->=>，由于A C ⊆，所以12a ≤-，即2a ≤-.本题主要考查集合的交集运算以及根据集合的包含关系确定参数的取值范围，属基础题.19．已知cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值；（2）设角β的终边与单位圆的交点为P y ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,)βπ∈，求2αβ-的大小.【答案】（1）45（2）24παβ-= 【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=，先算出sin α，然后代入二倍角公式即可得到本题答案；（2）由角β的终边与单位圆的交点为,10P y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，(0,)βπ∈ ，算得cos ,sin ββ，然后算得tan(2)1αβ-=，确定2αβ-的范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α==，所以4sin 22sin cos 5ααα==；（2）设角β的终边与单位圆的交点为10P y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos β=，因为(0,)βπ∈，所以sin 10β==，由（1）知4sin 25α=，223cos 2cos sin 5ααα=-= ，所以4tan 23α=，1tan 7β=，则tan 2tan tan(2)11tan 2tan αβαβαβ--==+，由cos 10β=得0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0,2(0,)2πααπ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以24παβ-=.本题主要考查任意角的三角函数，和差公式以及二倍角公式的综合应用. 20．已知函数1())(-=->x xf x a a a .（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】（1）()f x 在R 上是增函数，证明见解析（2）4 【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；（2）利用函数的单调性和奇偶性把对于任意的[1,3]x ∈，()21(5)0f x f mx -+-≥恒成立转为对任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-，即4m x x≤+恒成立，即可得到本题答案. 【详解】（1）()f x 在R 上是增函数，证明如下. 取任意的12,x x R ∈，且12x x < 则()()()()()112211222111xx x x x x x xf x f x a aa a a a a --+⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭，又1a >，12x x <，则120x x a a ->，12110x x a ++>，则()()210f x f x ->，故()f x 在R 上是增函数；（2）注意到()()f x f x =-，则()f x 为奇函数，则()()221(5)01(5)f x f mx f x f mx -+-≥⇒-≥-，由（1）可知，()f x 在R 上是增函数，则()221(5)15f x f mx x mx -≥-⇒-≥-，则原问题等价于对于任意的[1,3]x ∈，215x mx -≥-恒成立，求实数m 的最大值， 即[1,3]x ∈，4m x x≤+恒成立，易知当[1,3]x ∈时，min 44x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m 的最大值为4.本题主要考查利用定义法证明函数的单调性以及利用函数的单调性、奇偶性解不等式.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若把()f x 图象上所有的点向左平行移动3π个单位后，得到函数()g x 的图象（1）求函数()g x 的解析式，并写出()g x 的单调增区间；（2）设函数()()2()h x f x g x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求满足3(),22h x ⎡∈-⎢⎣⎦的实数x 的取值范围.【答案】（1）()cos2g x x =，,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z （2）,,231242πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦U U 【解析】（1）通过平移变换得到()cos2g x x =，令2202k x k πππ-+≤≤+，解不等式即可得到本题答案；（2）利用和差公式和辅助角公式，化简得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3(),22h x ⎡∈-⎢⎣⎦，即可确定x 的取值范围.【详解】（1）由题意，得()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令2202k x k πππ-+≤≤+，得2k x k πππ-+≤≤，则单调增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . （2）由题意，得3()()2()sin 22cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又3(),22h x ⎡∈-⎢⎣⎦，得到1sin 2232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，解得2233x ππ+=-，或2336x πππ-≤+≤，或542633x πππ≤+≤，即2x π=-，或312x ππ-≤≤-，或42ππx ≤≤，即,,231242x πππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤∈---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦U U .本题主要考查三角函数的平移变换、利用和差公式与辅助角公式化简，以及三角函数图象与性质的应用.22．如图，AB 是半圆的直径，C ，D 是半圆上的两点，AB CD ∥，2AD BC ==，设2(2)AB x x =>，四边形ABCD 的周长为()f x .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）记ABC V 的面积为()g x 是否存在实数a ，对于任意的1[2,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得()()124f x g x a -≥+成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1()41f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,)x ∈+∞（2）717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）存在，2102]【解析】（1）在Rt ACB ∆中，利用2BC BE BA =⋅，求得2BE x=，即可得到本题答案； （2）由12()4f x m x -=，得31m x x -=-或11m x x-=+，结合图象即可确定m 的取值范围；（3）由题意得，min min (()4)()f x g x a -≥+，分1a ≥-231a <<-两种情况考虑，即可得到本题答案. 【详解】（1）如图，在Rt ACB ∆中，过点C 作CE AB ⊥于点E ，则2BC BE BA =⋅，所以2BE x =，42CD x x =-，所以1()41f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，(2,)x ∈+∞；（2）由[2,4]x ∈，12()4f x m x -=，得121x m x x-+-=， 所以121x m x x -+-=±，即31m x x -=-或11m x x-=+， 由方程12()4f x m x-=在区间[]2,4上有两个不相等的实数根，结合图象可得， 得513124m ≤-≤，即实数的取值范围是717,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）2()21g x x =-，2x >2()2()1g x a x a +=+-由题意知min min (()4)()f x g x a -≥+，因为1()44f x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭在[]2,3上单调递增，所以()4(2)6f x f -≥=.所以min ()6g x a +≤，假设存在实数a 满足条件，则至少存在一个2x 满足22x a +32a +>23a >，又2()10x a +-≥，所以当1a ≥-时，在[2,3]x ∈上，2()10x a +-≥恒成立，所以()g x a +在[]2,3上单调递增，2()(2)243g x a g a a a +≥+=++，所以22436a a ++≤，解得102102a ≤≤，所以1102a -≤≤；31a <<-时，存在23x =，使得()()2222106x a x a g x a ⎧+>⎪⎪+-≥⎨⎪+≤⎪⎩都满足，所以符合.综上，实数a的取值范围是2].本题主要考查利用函数解决实际问题，数形结合以及分类讨论是解决本题得关键.。
2019-2020学年浙江省台州市高三上学期期末考试数学试卷带讲解
A.2B. C. D.
B
【分析】根据离心率求得 ，从而可求得渐近线方程，结合图像求出 ， ，从而可求的答案.
【详解】解：由双曲线的离心率 ，得 ，即 ，所以 ，渐近线方程为 ，如图， ， ，
①. ②.
【分析】
利用三角函数的定义，求得 的值，在利用二倍角公式求得 的值，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解点 的横坐标，得到答案．
【详解】由题意，点 为锐角 的终边与单位圆的交点， 逆时针旋转 得 ， 逆时针旋转 得 ，……， 逆时针旋转 得 ，
根据三角函数的定义，可得 ，
故 ，
点 的横坐标为
．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力．
16.有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用 表示两名老师之间的学生人数，则 对应的排法有______种； ______；
①. 36 ②.；1.
【点睛】本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得到数列前后项所满足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象来进行表现，属于难题.
11.已知复数z满足z=（4–i）i，其中i为虚数单位，则z的实部为__________，|z|=__________.
【详解】 ， ， ，
又 ， ， ，
对于 ，若 ，则 ， ，
， ， 错误；
对于 ，若 ，则 ，
，即 ， ， 错误；
对于 ，设 ，则 ，
考虑函数 与 的图象，如下图所示：
2020届浙江省台州市高三上学期期末数学试题解析
绝密★启用前2020届浙江省台州市高三上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}0,1,3B =，若全集U A B =⋃，则()U A B =I ð（ ） A ．{}2,3 B ．{}0,1 C ．{}0,1,2,3D ．∅答案：A先求出{0,1,2,3},{0,1}U A B =⋂=，再结合补集的运算，即可求解． 解：由题意，集合{}0,1,2A =，{}0,1,3B =，则全集{0,1,2,3},{0,1}U A B =⋂=， 所以()U A B =I ð{}2,3． 故选：A ． 点评：本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念与运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 2．已知2log 48a =，223b=，则a b +=（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7答案：B根据指数式与对数的互化，求得232log b =，再利用对数的运算性质，即可求解．解：由题意，因为2log 48a =，223b=，所以232log b =，所以2322222log 48log log (48)log 3253a b +⨯==+==． 故选：B ． 点评：本题主要考查了指数式与对数式的关系，以及对数的运算性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知实数x ，y 满足23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．145D ．2答案：B作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 解：由题意，作出不等式组23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域，如图所示，目标函数z x y =+，可化为y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+过点B 时，此时直线y x z =-+的截距最大，目标函数取得最大值，又由2360x y x +=⎧⎨=⎩，解得(3,0)B ，所以目标函数的最大值为303z =+=． 故选：B ．点评：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 4．二项式()912x -的展开式中6x 的系数为（ ） A ．69C B ．69C -C ．669C 2⋅D ．6296C C -⋅答案：C求得二项展开式的通项，令6r =，即可求解． 解：由二项式()912x -的展开式的通项为199(2)(2)r r r r rr T C x C x +=⋅-=-⋅， 令6r =，可得666792T C x =⋅，所以展开式中6x 的系数为6692C ⋅．故选：C ． 点评：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．5．函数()()sin f x x x π=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的符号，结合选项，即可求解． 解：由题意，函数()()sin f x x x π=+的定义域为R ， 且()()()()sin [sin ]f x x x x x f x ππ-=-+-=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ； 当1x =时，()()11sin 10f π=+=>，排除B ． 故选：D ． 点评：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的基本性质和特殊点的函数值求解是解答的关键，着重考查了推理与识别能力．6．已知点F 为椭圆C ：22195x y +=的右焦点，点P 为椭圆C 与圆()22216x y ++=的一个交点，则PF =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．答案：A求出椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义进行转化，即可求解． 解：由题意，点F 为椭圆C ：22195x y +=的右焦点，则(2,0)F ，左焦点为1(2,0)F -，圆()22216x y ++=的圆心坐标为(2,0)-，半径为4， 可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，又由P 为椭圆C 与圆()22216x y ++=的一个交点， 根据椭圆的定义可得1126,4PF PF a PF +===， 所以12642PF a PF =-=-=． 故选：A ． 点评：本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想，以及计算能力，属于基础题．7．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 解：由题意，a ，b R ∈，1a b +<，可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的；反之11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩，可得1111a b a b -<+<⎧⎨-<-<⎩，即1a b +<，所以必要性是成立的，综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩成立的充要条件．故选：C ． 点评：本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 8．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =则异面直线1A B ，1AC 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 答案：D根据题意，得到11111111112,2,,23AA A B AC AA B AAC B AC ππ===∠=∠=∠=，再结合向量的数量积的运算，求得110A B AC ⋅=u u u r u u u u r ，得到11A B AC ⊥u u u r u u u u r，即可求解． 解：由题意，在111ABC A B C -中，的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 且11111111112,2,,23AA A B AC AA B AAC B AC ππ===∠=∠=∠=,所以11111111()()A B AC A B A A AC A A ⋅=+⋅-u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 211111111111122202A B AC A B A A A A AC A A =⋅-⋅+⋅-=⨯⨯-=u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 所以11A B AC ⊥u u u r u u u u r ，所以异面直线1A B ，1AC 所成角的大小为2π． 故选：D ． 点评：本题主要考查了利用向量求解异面直线所成的角的方法，以及向量的线性运算和向量的数量积的运算等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力． 9．已知双曲线C 的离心率233e =，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N，则MF NF=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．23答案：B画出图象，利用已知条件、双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，即可求解． 解：由题意，双曲线C 的离心率233e =，即233c a =，可得22243a b a +=， 所以3b a =，所以双曲线的渐近线方程为3y x =±，如图所示，可得30,(,0)MOF F c ∠=o，则223,3(3)c MF b OM a ===+，所以3MN a =，所以31323333a MF NF a ba a ===--． 故选：B ．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想，数形结合思想，以及推理与计算能力．。
浙江省台州市黄岩城关中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析
浙江省台州市黄岩城关中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A．24π B．32π C.48π D．64π参考答案：C如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为3.现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，当截面距离下底面的高度为h时，设橄榄状的几何体对应的截面平径为R，圆柱对应截面的小圆半径为r，则由可得，则橄榄状的几何体对应的截面面积.由相似可得：，即，圆柱对应的截面的面积，则，由祖暅原理可得几何体的体积为：.本题选择C选项.2. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是()参考答案：C略3.设奇函数的定义域为Ｒ，最小正周期，若，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：答案： C棱长为3的正四面体内切球的表面积为（）A．27 B．3C．12D．48参考答案：答案：B5. 已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b为常数，a≠0,x∈R)在处取得最小值，则函数是A.偶函数且它的图象关于点对称B.偶函数且它的图象关于点对称C.奇函数且它的图象关于点对称D.奇函数且它的图象关于点对称参考答案：D6. 已知函数在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：7. 若（），则在中，值为零的个数是（）A．143 B．144 C．287D．288参考答案：D由题意得即在一个周期里有两个为零，因为，所以值为零的个数是选D.8. 若，则（）参考答案：C9. 函数的图象可能是参考答案：A略10.如图，在正方体中，M、N分别为棱和中点，则异面直线CM与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为 .参考答案：12. 若过点p（1，）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B两点，则|AB|= ．参考答案：【考点】圆的切线方程．【分析】根据题意画出相应的图形，由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出|OA|与|OB|的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的长，同时得到∠APO=30°，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆的方程x2+y2=1，得到圆心O（0，0），半径r=1，∴|OA|=|OB|=1，∵PA、PB分别为圆的切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP为∠APB的平分线，∵P（1，），O（0，0），∴|OP|=2，在Rt△AOP中，根据勾股定理得：|AP|==，∵|OA|=|OP|，∴∠APO=30°，∴∠APB=60°，∴△PAB为等边三角形，则|AB|=|AP|=．故答案为：．13. 计算的值为________________.参考答案：14. 在等差数列中，若则参考答案：-115. 如果，则的最小值为．参考答案：1略16. 公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（参考数据：，）参考答案：24【知识点】算法和程序框图因为；输出所以，故答案为： 2417. 如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有天．参考答案：28考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，利用频率=，求出对应的频率与频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；该市11月份空气污染指数在100内的频率为1﹣×10=，∴该市11份空气质量为优或良的天数有：30×=28．故答案为：28．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
台州市2019学年第一学期高三年级期末质量评估数学试题
台州市2019学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，,所以，故选B.2. 若复数（为虚数单位），则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,选C.3. 已知为锐角，且，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.4. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,但;所以“”是“”的必要不充分条件,选B.5. 已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C.6. 有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有种排法种数，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.7. 已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出表示的可行域，如图，表示可行域内的动点到距离的平方，由图可知在处取最小值，在处取最大值，取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在恰有两个不同的零点，等价于与的图象恰有两个不同的交点，画出函数的图象，如图，的图象是过定点斜率为的直线，当直线经过点时，直线与的图象恰有两个交点，此时，，当直线经过点时直线与的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点，斜率在内变化，所以，实数的取值范围是.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .9. 已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,，令,则，令，得当时，，当时，，当时，取得最大值，故选B.10. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】1，若，则，；,2，若，设，，（1）时，由得，在上递增，只需，得；（2）时，在上递增，在上递减，由，得，可得；（3）当时，在上递增，；3，若，（1）时，不合题意；（2），在上递减，在上递增，，可得，综上所述，，当时，，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 双曲线的离心率为_________，渐近线方程为__________.【答案】 (1). (2).【解析】双曲线中，，渐近线方程为，故答案为（1），（2）.12. 已知随机变量的分布列为：则=__________，=__________.【答案】 (1). (2).【解析】由题意，，，，故答案为（1），（2）.13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_________；表面为__________.【答案】 (1). (2).【解析】由三视图可知，该四面体的直观图为图中正方体的棱长，四面体的体积为，表面积为，故答案为（1），（2）.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 若的展开式中所有项的系数之和为256，则=__________，含项的系数是_________（用数字作答）.【答案】 (1). (2).【解析】的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是，故答案为（1），（2）.15. 当时，的最小值为3，则实数的值为_________.【答案】【解析】因为当时，，的最小值为，所以可得，故答案为.16. 在中，内角，，所对的边为，，，点是其外接圆上的任意一点，若，，则的最大值为_________.【答案】【解析】以的中点为原点，以为轴，为轴，建立坐标系，则，可得外接圆圆心为，半径为，圆方程为，设，，，故答案为. ..................17. 如图，在棱长为2的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为________.【答案】【解析】作于，连接，则为二面角的平面角，设中点为在的射影为为的中心），则也是二面角的平面角，，，即是到定点与定直线等距离的动点轨迹，即的轨迹是以为准线，以为焦点的抛物线，的中点是抛物线顶点，到的距离就是的最小值，由余弦定理可知，，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 已知函数（，，为常数），且，.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式化简，再代入角得关于a,b方程组，解得，利用配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数单调性求增区间（2）根据自变量确定正弦函数取值范围，进而得最值.试题解析：解：（1）由题得：，由，，得故，∴，当，时，的单调递增，可得，，∴的单调递增区间为；（2）由（1）得，由得：.∴，故在上的最大值为，最小值为.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 如图，正方形的边长为4，点，分别为，的中点，将，，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可得为与平面所成角，在△中，，从而可得与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则，，又平面，平面，，在△中，，与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，求出，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，，，解得或，为减函数，，解得，为增函数，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）在时恒成立，，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，．【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21. 已知椭圆:的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点，，.求证：以为直径的圆恒过交点，，并求出面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点在椭圆上，且△的面积为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，可证明，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，可得，进而可得结果.试题解析：（Ⅰ），，又点在椭圆上，，，解得，或（舍去），又，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ），，，方法一：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，，，，则以为直径的圆恒过焦点，，当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点，，，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，当的斜率存在且不为零时，，△面积为，又当直线的斜率不存在时，，△面积为，△面积的取值范围是．方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上，，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点，以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点，，，又，,△面积为，当，为短轴的两个端点时，，△面积为，△面积的取值范围是．22. 数列，中，为数列的前项和，且满足，，.（1）求，的通项公式；（2）求证：；（3）令，，求证：.【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得当时，，两式相减可化为，利用累乘法可得的通项公式，进而可得的通项公式；（Ⅱ）先证明，结合等比数列的求和公式，利用放缩法可证明；（Ⅲ）化简，先证明在上单调递增，所以，即，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ），当时，，，，，，（Ⅱ），，；（Ⅲ）（1）当时，左边右边，（2）当时，∵，∴，令x=，则，易知在上单调递增，所以，∴，由（1）（2）可知对于任意的，．。