【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1第一课时等差数列课件 新人教B版必修5
通项公式的活用
例2 (2011年三明高二检测)已知等差数列{an} 中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－ 10x＋16＝0的两个实根，求此数列的首项a1 和公差d. 【分析】 由条件可求得a3，a6，然后利用通 项公式列出方程组可求出a1，d.
【解】 由已知条件得 a3＝2，a6＝8， 又∵{an}为等差数列， ∴aa11＋ ＋25dd＝ ＝28 ，解得ad1＝＝2－2 .
2.2 等差数列
2.2.1 等差数列
学习目标 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项 公式． 2．运用等差数列的通项公式解决相关问题． 3．难点是能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系，并能用有关知识解决相应问题及了 解等差数列与一次函数的关系．
第一课时
课前自主学案
第
一 课
课堂互动讲练
时
由此联想点列{(n，an)}所在直线的斜率为d.
思考感悟 2．要确定一个等差数列的通项公式，需要知 道几个独立条件？ 提示：需要知道首项和公差这两个独立条 件．
3．用三种数学语言描述等差数列 (1)文字语言：从第2项起，每一项与它前一项的 差为同一常数． (2)符号语言：an－an－1＝d(常数)对任意的n≥2 都成立． (3)图形语言：(n，an)都在以d为斜率的直线上．
∴这个等差数列的首项为－2，公差是 2. 【点评】 在等差数列{an}中，首项a1与公差 d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题, 经常需要求出a1、d.
自我挑战2 在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝
45，a2＋a5＋a8＝29，则a3＋a6＋a9＝( )
AHale Waihona Puke 22B．20C．18
D．13
解析：选D.记a1＋a4＋a7＝45，
解：设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购 买每台售价不低于440元时，售价依台数n成 等差数列{an}． an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式an≥440,800－20n≥440，得n≤18. 当购买台数小于18时，每台售价(800－20n)元, 当购买台数大于或等于18时，每台售价440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝ 600(元)．
当购买n台时，两商场售价之差为： (800－20n)n－600n＝20n(10－n)． 当n＜10时，600n＜(800－20n)n； 当n＝10时，600n＝(800－20n)n； 当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n； 当n＞18时，440n＜600n. 所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花 费较少，当购买10台时，到两商场购买花费相 同，当购买多于10台时，到甲商场购买花费较 少．
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当自变量x∈N＋ 时，函数的图象是一群孤立的点，且各点均匀 地分布在直线上． 2．递推公式表示数列中项与项之间的关系．
知新益能
1．等差数列的定义 如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一 项的差都等于_同__一__个__常__数__ ，那么这个数列就 叫做等差数列，这个_常__数__叫做等差数列的公 差，通常用字母d表示．
自我挑战 1 正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－ an＋1＝an＋ an.
(1)数列{ an}是否为等差数列？说明理由； (2)求 an. 解：(1)数列{ an}是等差数列，理由如下： 由 an＋1－ an＋1＝an＋ an， 得 an＋1－an＝ an＋1＋ an，
即( an＋1＋ an)( an＋1－ an)＝ an＋1＋ an. 由于 an>0，故 an＋1＋ an>0， ∴ an＋1－ an＝1， 即数列{ an}是首项为 a1＝1，公差为 1 的等差 数列． (2)由上述可知， an＝ a1＋(n－1)·1＝n， ∴an＝n2.
①
a2＋a5＋a8＝29，
②
②－①得(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝29－45,
即3d＝－16.又由①式，得3a1＋9d＝45，∴3a1
＝93.
∴a3＋a6＋a9＝3a1＋15d＝93＋5×3d ＝93＋5×(－16)＝13.
等差数列应用实例 例3 甲虫是行动较快的昆虫之一．下表记录 了某种类型的甲虫的爬行速度.
课堂互动讲练
等差数列的判定
例1 已知数列的通项公式为an＝6n－1，问： 这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其 首项与公差分别是多少？ 【分析】 由等差数列的定义，只需判断an＋1 －an是否为常数．
【解】 ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1) ＝6， ∴{an}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5, 公差为6. 【点评】 证明或判断一个数列是否为等差 数列，通常用定义法．
当 l＝49 cm 时，t＝9l.8＝94.98＝5(s)．
【点评】 对于实际问题通常需要建立适当 的数学模型．本例能抽象出等差数列模型是 解题的关键，这需要根据表中的数据发现规 律．
自我挑战3 有一批影碟机(VCD)原销售价为 每 台 800 元 ， 在 甲 、 乙 两 家 家 电 商 场 均 有 销 售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780元，买两台单价为760元，依次类推，每 多买一台则所买各台单价均减少20元，但每 台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的 75% 销 售 ， 某 单 位 需 购 买 一 批 此 类 影 碟 机 ， 则去哪一家商场购买会使花费较少？
思考感悟 1．若把等差数列概念中的“同一个”去掉， 那么这个数列还是等差数列吗？ 提示：不一定．
2．通项公式 an＝ _a_1_＋__(_n_－__1_)d_ ， 推广：an＝ _A_n__＋__B_. 变式：a1＝ _a_n_－__(_n_－__1_)d_ ， d＝_a_n_＋_1_－__a_n_＝_a_nn_－－__ma_m_.
【解】 (1)由表可知：若将距离看作数列，则该 数列从第二项起，每一项与其前一项的差都是常 数 9.8，所以是一个等差数列模型． 因为 a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离 l 与 时间 t 的关系是 l＝9.8t； (2)当 t＝1 min＝60 s 时，l＝9.8t＝9.8×60＝ 588(cm)．
时间/s 1 2 3 … ？ … 60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和 时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型，计算甲虫1 min能爬多远? 它爬行49 cm需要多长时间？ 【分析】 解决本题的关键在于抓住已知表格 中的数据，分析爬行时间与移动距离的数量关 系，从而得出等差数列模型．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数 ⇔{an}是等差 通项法： 为常数)⇔ 通项法 ＋ 、 为常数 是等差 数列． 数列． 警示： ＋ 为常数， ∈ 对任意n∈ 警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意 ∈N 为常数 对任意 都要恒成立，不能几项成立便说{a 为等差数 ＋都要恒成立，不能几项成立便说 n}为等差数 列．
3.等差中项 等差中项 在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做 在由三个数 ， ， 组成的等差数列中， 叫做a 组成的等差数列中 叫做 的等差中项． 与b的等差中项．这三个数满足关系式 ＋b＝ 的等差中项 这三个数满足关系式a＋ ＝ ____ 2A.
思考感悟 2．任何两个实数都有等差中项吗？ ．任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：都有等差中项． 提示：都有等差中项．
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 名师点评】 方法有以下几种： 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 定义法： ＋ 为常数， ∈ 定义法 为常数 ⇔ 为等差数列． 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 等差中项法： ＋ 等差中项法 是等差数 ＋ 列．
2．2 等差数列 ． 2． 2．2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， ．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念， 深化认识并能运用． 深化认识并能运用．
2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
例2
之间顺次插入三个数a， ， 使这 在－1与7之间顺次插入三个数 ，b，c使这 与 之间顺次插入三个数
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列 第1课时 等差数列学业分层测评 新人教B版必修5
等差数列(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在等差数列{a n }中，a 3＝0，a 7－2a 4＝－1，则公差d 等于( ) A.－2 B.－12C.12D.2【解析】 ∵a 7－2a 4＝(a 3＋4d )－2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ，又∵a 3＝0，∴2d ＝－1，∴d ＝－12. 【答案】 B2.在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.6【解析】 ∵{a n }为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0. 【答案】 B3.在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )【导学号：18082083】A.50B.51C.52D.53【解析】 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53. 【答案】 D4.在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4＝( ) A.12 B.13 C.14D.16【解析】 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的公差为d ，由4d ＝1a 6＋1－1a 2＋1，得d ＝16，所以1a 4＋1＝1a 2＋1＋2×16，解得a 4＝12，故选A.【答案】 A5.下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】 对于(1)，取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错. 对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a＝2b＝2c，(2)正确； 对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4 ＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c，(4)正确.综上可知选B.【答案】 B 二、填空题6.中位数为 1 010的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为__________.【解析】 设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.【答案】 57.若x ≠y ，两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 4－b 3＝________.【解析】 设两个数列的公差分别为d 1，d 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4d 1， y －x ＝5d 2，∴d 1d 2＝54，∴a 2－a 1b 4－b 3＝d 1d 2＝54. 【答案】 548.在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 【解析】 设公差为d ，则a 5－a 2＝3d ＝6， ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 【答案】 13 三、解答题9.在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？【导学号：18082084】【解】 由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项. 10.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .【解】 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列.理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， 所以1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列.(2)由(1)可知，1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，所以a n ＝2n.[能力提升]1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3【解析】 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0.解得83<d ≤3.【答案】 C2.在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则( )A.a n ＝3nB.a n ＝3nC.a n ＝n － 3D.a n ＝3n 2【解析】 ∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ，∴a n ＝3n 2. 【答案】 D3.某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元.【解析】 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费.令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).【答案】 23.24.在数列{a n }中，已知a 1＝5，且a n ＝2a n －1＋2n－1(n ≥2，且n ∈N ＋). (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解】 (1)因为a 1＝5，所以a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列，则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，所以2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，即13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1. 当λ＝－1时，a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1]＝12n ＋1×2n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n为等差数列.。
数学必修Ⅴ人教新课标B版2-2-1等差数列课件(19张)
例题
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d .
解：由题意得：a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，
解之得：
a1 d
2 3
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
pn q ( pn p q) p 为常数
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
四个实例
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， 10 ，15 ，20 ，…
①
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项 目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位： kg）： 48 ，53，58，63. ②
8，5同.5.特点? ③
从第二项起，后一项与
前一项的差是-2.5。
等差数列的定义
• 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一
项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是5，5，-2.5。
从该例题中可以看出，等差数列的通项公 式其实就是一个关于 a1 、an 、d、n（独立 的量有3个）的方程；另外，要懂得利用 通项公式来判断所给的数是不是数列中的 项，当判断是第几项的项数时还应看求出 的项数是否为正整数，如果不是正整数， 那么它就不是数列中的项。
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5
【点评】 点评】
利用等差数列的定义巧设未知量， 利用等差数列的定义巧设未知量，
从而简化计算．一般地有如下规律： 从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数 的项数n为奇数时 列{an}的项数 为奇数时，可设中间一项为 ， 的项数 为奇数时，可设中间一项为a， 再用公差为d向两边分别设项： a－2d， 再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a 向两边分别设项 －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项 ， ， ＋ ， ＋ ， 时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为 可设中间两项为 － ， ＋ ， 2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a 向两边分别设项： 向两边分别设项 － ， － ， ＋ ， 这样可减少计算量． ＋3d，…，这样可减少计算量． ，
第二课时
课前自主学案 第 二 课 时
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1． 等差数列的定义 ： 如果一个数列从第 项 ． 等差数列的定义： 如果一个数列从第2项 起 ， 每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数， 那么这个数列叫做等差数列， 常数 ， 那么这个数列叫做等差数列 ， 这个常 数叫做等差数列的_____，通常用字母 表示 表示. 数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母d表示 － 2．等差数列的通项公式： _______________. ．等差数列的通项公式： an＝a1＋(n－1)d
64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. ＝ × 15 15 法二：因为 为等差数列， 法二：因为{an}为等差数列， 为等差数列 所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，其 也成等差数列， 为其第四项， 公差为 d，a15 为首项，则 a60 为其第四项， ， 为首项， ， ＝ 所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4. 所以 a75＝a60＋d⇒a75＝24. ⇒
高中数学等差数列教案新人教B版必修课件
２.2.１等差数列整体设计教学分析本节课将探究一类特殊的数列——等差数列.本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算．第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质．让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究．在问题探索过程中,先从观察入手,发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．其中例1是巩固定义,例2到例5是等差数列通项公式的灵活运用.在教学过程中，应遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位,很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用,而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫.教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材.三维目标1.通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型.同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程.2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念,通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式.通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．3.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：等差数列的概念,等差数列的通项公式,等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题.教学难点:概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式,并会解决一些相关的问题．课时安排2课时教学过程第１课时导入新课思路１.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式,可有意识地在黑板上（或课件中)出示几个数列，如:数列１,2,3,…,数列0，０,0，…，数列0,2,4，6,…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课.思路 2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想:在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢?由此导入新课.推进新课错误!错误!1回忆数列的概念,数列都有哪几种表示方法？2阅读教科书本节内容中的①②③３个背景实例,熟悉生活中常见现象,写出由３个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同特点？４根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？５什么是等差数列？怎样理解等差数列?其中的关键字词是什么?６数列①②③存在通项公式吗？如果存在，分别是什么?7等差数列的通项公式是什么?怎样推导？活动:教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点.然后引导学生阅读教材中的实例模型,指导学生写出这3个模型的数列:①２2,２2.５,２3，23.5,24，２４．５,…；②2,9,１6，23，３0;③8９,83,77,7１,6５,59，５3,4７.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列.观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多,如上节提到的堆放钢管的数列为100,9９,9８,97,…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排1５个座位，向后依次为1７,１9,21，2３，…,等等.以上这些数列的共同特征是：从第２项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差）．这就是我们这节课要研究的主要内容.教师先让学生试着用自己的语言描述其特征,然后给出等差数列的定义.等差数列的定义：一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示．教师引导学生理解这个定义:这里公差d一定是由后项减前项所得,若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因.显然3个模型数列都是等差数列,公差依次为０．5,7，-6.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念,能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件,这是学好数学及其他学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{a n}，若a n－ａｎ-1＝d(d是与n无关的常数或字母),ｎ≥2，n∈Ｎ＊,则此数列是等差数列．这是证明一个数列是等差数列的常用方法.点拨学生注意这里的“n≥2”，若ｎ包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起．若ｎ从3开始，则会漏掉ａ2-ａ１的差，这也不符合定义，如数列1,3,4，５，６,显然不是等差数列,因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①ａｎ=2１.5＋０．５n，②a n＝7n －5，③ａn＝－6n+９５.以上这几个通项公式有共同的特点,无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性.教师点拨学生探求,对任意等差数列ａ1，a２,a3,…,ａn，…，根据等差数列的定义都有：a2－a1=d,a3-a2＝d，a4-a3＝ｄ,……所以a２＝a1+d，a3=a2+d=(a1＋ｄ)＋ｄ=a1+２ｄ，a4=a3+d=(a１＋２d)+d=a1＋3ｄ.学生很容易猜想出等差数列的通项公式ａn=a1＋(n－1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识.教师可就此进一步点拨学生:数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它.数学中有很多著名的猜想,如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠,对于它的证明中国已处于世界领先地位.很多著名的数学结论都是从猜想开始的.但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用.这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式aｎ=ａ1+(ｎ－1)ｄ是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限,无法证明,所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现.教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如: 方法一(叠加法):∵{ａｎ}是等差数列，∴a n－ａn－1＝d,a n－１-a n-2=d，a n-２-a n-3＝d,……ａ２-a1＝d.两边分别相加得aｎ－ａ１=(n-１)d,所以aｎ＝ａ１+(n－1）d,方法二(迭代法)：{ａｎ}是等差数列，则有ａn＝ａn－１＋d,=aｎ-２＋d＋d＝a n-2＋2ｄ=ａn－3+d+2d＝a n-3＋3d……=a1＋(ｎ－１)d．所以ａn=ａ1+(ｎ-１)d.讨论结果:(1)~(4)略.(5）如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”.（6）三个数列都有通项公式，它们分别是：a n＝2１.５＋0.5n,aｎ＝7n-5,a n=－６ｎ+95.（7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式:a n=a1+（n-1)d.错误!例１(教材本节例2)活动:本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于ａｎ、a１、ｄ、ｎ(独立的量有3个)的方程,以便于学生能把方程思想和通项公式相结合,解决等差数列问题．本例中的（2)是判断一个数是否是某等差数列的项.这个问题可以看作(1)的逆问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数,所给数就是已知数列中的项,否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决,也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨.点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路．变式训练（１）1０0是不是等差数列2，9,１6,…的项，如果是,是第几项?如果不是,请说明理由;(2)－20是不是等差数列0，－3＼f（1,2）,－７,…的项,如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：(1）由题意，知a1=2，d＝９-２=7.因而通项公式为a n＝２+(n－1）×7=7ｎ-５.令７n －５＝100,解得n ＝15，所以10０是这个数列的第15项.(2)由题意可知a １=0，ｄ＝-3错误!,因而此数列的通项公式为a n =－错误!ｎ＋错误!. 令－＼ｆ(7,２)n+＼ｆ(７,２)=-20,解得n=错误!.因为－错误!n ＋错误!＝-２0没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.例2一个等差数列首项为错误!,公差ｄ＞0，从第10项起每一项都比１大,求公差ｄ的范围.活动:教师引导学生观察题意，思考条件“从第1０项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件?是否仅是a 10>1呢?d>0的条件又说明什么?教师可让学生合作探究，放手让学生讨论,不要怕学生出错.解:∵d＞0，设等差数列为{a n },则有ａ1＜a 2＜ａ3＜…<a ９<a 1０＜a １1<…，由题意，得错误!即错误!错误!解得错误!＜ｄ≤错误!.点评：本例学生很容易解得不完整,解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解．变式训练在数列{ａn ｝中，已知a 1＝1，错误!=错误!＋错误!（n∈N *)，求a 5０.解：已知条件可化为错误!－错误!＝错误!（n∈N *),由等差数列的定义，知｛＼ｆ(1,ａn )｝是首项为错误!=1,公差为d=错误!的等差数列，∴＼f （1，a 50)=1＋（５0－1)×13＝错误!. ∴a ５0=错误!.例３已知数列{a ｎ｝的通项公式ａn ＝pn+q ，其中ｐ、ｑ是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是，首项与公差分别是什么?活动：要判定{a n }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义,根据ａn -ａｎ-1(n>1)是不是一个与n 无关的常数．这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列．因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来.本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如a n＝pn＋ｑ的数列,一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质.在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点．解:当ｎ≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项ａn-1与ａn(n≥2)〕a n－a n-1=（ｐn＋q)－［p(n－1)+q］＝pn+ｑ－(pｎ-ｐ＋ｑ)＝p为常数，所以{aｎ｝是等差数列,首项a1=ｐ+q，公差为p.点评:(1）若p=０,则｛a n｝是公差为0的等差数列，即为常数列ｑ,q,q,….（2）若ｐ≠0，则a n是关于ｎ的一次式,从图象上看，表示数列的各点(n，a n）均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p,直线在y轴上的截距为q.（３）数列{aｎ}为等差数列的充要条件是其通项a n=pn+q(p、q是常数），称其为第3通项公式.变式训练已知数列的通项公式a n=6n－1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解:∵aｎ+1-a n＝[6（n+1)-1]-（6n－1)＝6(常数)，∴{a n}是等差数列,其首项为a1＝６×1-1＝5，公差为６.点评:该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容.需要向学生强调，若用aｎ-a n－１=d，则必须强调n≥2这一前提条件,若用a n＋1-a n=d，则可不对ｎ进行限制.错误!1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2）-４01是不是等差数列－5，－9，－1３，…的项?如果是,是第几项?2.求等差数列3,7,1１，…的第4项与第1０项．答案:１．解:（１)由a1=８，d＝5-8＝－3，n＝２0,得a2０＝８+(２０-１)×(-3)=－4９．(2)由ａ1=-５，d＝-9-(-５)=－4,得这个数列的通项公式为a n=-5－4(n-1)=－４n-1.由题意知,本题是要回答是否存在正整数ｎ,使得－４01＝－4ｎ-1成立．解这个关于n 的方程,得ｎ=10０,即－401是这个数列的第100项.2.解:根据题意可知ａ１＝3，d＝７-３＝４.∴该数列的通项公式为a n＝3+（n－１)×4,即aｎ=4n－1（n≥1,n∈N＊)．∴a4=4×４－１=1５，a10=4×10－1＝39.错误!1.先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识?要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法?你在这节课里最大的收获是什么?2.教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式,等差数列的基本性质是“等差”.这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法,要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．错误!习题２—２A组１、2.设计感想本教案设计突出了重点概念的教学,突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用.等差数列是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括,准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件．通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具.因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能．本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学,这是一种非常重要的学习方法;在问题探索求解中，常常是先从观察入手,发现问题的特点，形成解决问题的初步思路,然后用归纳方法进行试探，提出猜想,最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想.本教案设计突出了发散思维的训练.通过一题多解，多题一解的训练,比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质.只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通,创新思维才能与日俱增.(设计者:周长峰)第2课时导入新课思路1．(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义,让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子.接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现？比如,在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢?由此展开新课．思路 2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容:等差数列的定义以及等差数列的通项,之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课．推进新课错误!错误!错误!活动:借助课件,教师引导学生先回忆等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第２项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数，即aｎ－a n-1＝d(n≥2,n∈N*)，这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示）．再一起回顾通项公式,等差数列{aｎ}有两种通项公式:a n＝a m+(n－m）d或a n=pn＋q(p、ｑ是常数)．由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的方法：①ｄ=ａn－ａn－1;②d ＝错误!；③d=错误!.对于通项公式的探究,我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式．教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究:如果我们在数ａ与数b中间插入一个数A，使三个数a，Ａ，b成等差数列,那么数A应满足什么样的条件呢？由定义可得A-a=b-A,即A=错误!.反之,若A=＼ｆ(ａ＋b,2),则A-a＝b-A,由此可以得A＝错误!a，A,b成等差数列．由此我们得出等差中项的概念:如果三个数ｘ,A，y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.如果A 是x 和ｙ的等差中项,则A ＝x ＋y ２. 根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1,3，5,7,9，1１，13…中5是3与7的等差中项,也是1和9的等差中项． 9是7和1１的等差中项,也是5和13的等差中项．等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住ａ，A,b 成等差数列2Ａ＝a+b,以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a,Ａ，b 间的关系证得a,Ａ，b 成等差数列.根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列1，3，5,7,9,1１,13,…中,我们知道２a ５＝a 3+ａ7=ａ１＋a 9＝a ２+ａ8，那么你能发现什么规律呢？再验证一下，结果有ａ２+a 1０=a 3＋a 9=a 4＋a 8=a 5+a 7＝２a 6．由此我们猜想这个规律可推广到一般,即在等差数列{a n ｝中，若m 、n 、p 、q∈N *且m+n=p ＋q,那么a ｍ＋a n =a p ＋ａｑ，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的,没有严格证明,不能说它就一定是正确的．让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢?只要运用通项公式加以转化即可.设首项为ａ1,则a m ＋a n =ａ１＋(m －1)d+ａ１+(n-１)d ＝2ａ1＋(m+n －2)d ，ａp +a q ＝a 1＋(p-１）d+a 1＋(q －1)d=2a 1+（p ＋q-2)d ．因为我们有m ＋ｎ＝p ＋q ，所以上面两式的右边相等,所以ａｍ＋a n =a p ＋a ｑ.由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{a ｎ}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．另外，在等差数列中,若m ＋n ＝p ＋ｑ,则上面两式的右边相等,所以a m +a n =a p ＋a q .同样地,我们还有:若ｍ＋n=2ｐ,则a m +a n ＝2ａp .这也是等差中项的内容.我们自然会想到由ａm +a n ＝ａp +a ｑ能不能推出m+n=ｐ+ｑ呢？举个反例,这里举个常数列就可以说明结论不成立．这说明在等差数列中，ａm +a n =a p ＋a ｑ是m ＋ｎ＝p+q 成立的必要不充分条件.由此我们还进一步推出a n ＋1-a n ＝ｄ＝ａｎ+2-a ｎ＋1,即2a n+1＝a ｎ＋ａｎ+2，这也是证明等差数列的常用方法.同时我们通过这个探究过程明白:若要说明一个猜想正确,必须经过严格的证明,若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可.讨论结果:(1)（２）略.(3）如果三个数ｘ，A ，y 成等差数列，那么A 叫做ｘ和y 的等差中项，且A=＼f(x ＋y,2）.(4)得到两个重要结论:①在数列{a n }中,若２ａn+1＝a n +a n ＋2(n∈Ｎ*),则{a n }是等差数列． ②在等差数列中，若m+n ＝p+q （ｍ、n 、p 、ｑ∈N *),则ａm +a n ＝a p ＋ａq .错误!例1在等差数列{ａｎ}中，若ａ1＋a6＝９,ａ4＝7，求a3,a9.活动：本例是一道基本量运算题,运用方程思想可由已知条件求出a1，d，进而求出通项公式a n，则a3,a9不难求出．应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系.解:由已知,得错误!解得错误!∴通项公式为a n=a1＋(n－1）d=－8+5(ｎ－1)＝５n－13.∴a3=２，a9＝32.点评:本例解法是数列问题的基本运算,应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说,教师可引导探究一些其他解法，如ａ1+a６=a４＋a３=9.∴a3＝9－a4＝9-7＝2.由此可得ｄ＝ａ４－a３＝7－2=5.∴a9=a４+５d＝３2.点评:这种解法巧妙，技巧性大,需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解.变式训练已知数列{a n}对任意的p,q∈N*满足aｐ＋q=a p+a q,且a2=－6，那么a10等于( ）A．-16５Ｂ．－３3 C．－3０D.-21答案:C解析：依题意知，a2=a1＋a1＝2a1,a1=＼f(１，2)a2＝-3,a n+1＝a n＋a1=a n－3，可知数列{a n}是等差数列，a10=ａ1＋9d＝－3－9×3＝-30．例2(教材本节例5)活动：本例是等差数列通项公式的灵活运用.正如边注所说,相当于已知直线过点（1,17)，斜率为－０.6，求直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围．可放手让学生完成本例．变式训练等差数列｛a n｝的公差d<0，且a2·a4=12，a2＋a４＝8，则数列{a n｝的通项公式是…( )Ａ.ａn=2n-2（n∈N＊) B．a n＝2n+４(n∈Ｎ*)C.aｎ＝－2ｎ+１2(n∈N*）D.a n＝－２n+10(n∈Ｎ*)答案:D解析：由题意知错误!错误!错误!所以由a n=a1＋(n-1)d,得aｎ＝8+(ｎ－1）(-2）=－2ｎ+1０.例3 已知ａ、ｂ、ｃ成等差数列,那么ａ２（b+c)，b2（c＋a),ｃ2(a＋b）是否成等差数列？活动:教师引导学生思考a、b、c成等差数列可转化为什么形式的等式？本题的关键是考察在a＋ｃ＝2b的条件下，是否有以下结果：a２(b＋c)＋c2(a+b)＝2b2(ａ＋ｃ)．教师可让学生自己探究完成,必要时给予恰当的点拨．解：∵a、b、c成等差数列，∴ａ+c=2b.又∵a2（b+c)＋c2(a+b)-２b2(c＋a)＝a2b＋ａ２c+ａｃ2＋bｃ2－2b2c-２ab2=(a２ｂ－２ab２）+(ｂc2－２b2c）+(ａ2c+ac2）=ab(ａ-2b）＋bc(c－2b）＋aｃ(a＋ｃ)＝-abc－abc＋2ａbｃ＝0，∴a2(b+c)+c2(ａ＋b）＝2ｂ２（a+c)．∴a2(ｂ＋ｃ）,ｂ２（c＋a)，c２(ａ+b)成等差数列．点评：如果a、ｂ、c成等差数列,常转化为a+ｃ=2ｂ的形式,反之，如果求证a、ｂ、c 成等差数列,常改证a＋ｃ=2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功．例４在-１与7之间顺次插入三个数a、b、ｃ,使这五个数成等差数列，求此数列．活动:教师引导学生从不同角度加以考虑:一是利用等差数列的定义与通项；一是利用等差中项加以处理.让学生自己去探究,教师一般不要给予提示,对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示.解:(方法一)设这些数组成的等差数列为{a n｝，由已知,a1=-１,a5=7,∴7=-1＋(５－1）d，即ｄ＝2．∴所求的数列为-1,1,３,5，7.(方法二)∵－1，a，b,c,7成等差数列，∴b是－1,7的等差中项，a是-1,b的等差中项，ｃ是b,７的等差中项，即ｂ=＼ｆ(-1＋7,2)=3，a＝＼ｆ(-1＋b,2)=１,c=错误!=5．∴所求数列为-1，１,3,5,7.点评：通过此题可以看出，应多角度思考,多角度观察，正像前面所提出的那样,尽量换个角度看问题,以开阔视野，培养自己求异发散的思维能力．变式训练数列｛a n}中,a3＝2,ａ7=1,且数列｛错误!}是等差数列,则a１1等于( ）A．－错误! B.错误! C.错误!Ｄ．5 答案：B解析：设ｂｎ＝1a n＋1,则b3=错误!,b7=错误!,因为{＼f(１,a n＋1)｝是等差数列,可求得公差d=＼ｆ(１,24）,所以b11=ｂ7+(1１-７)d＝＼f(2,3),即a11=错误!-1＝错误!.例５某市出租车的计价标准为1．2元/km,起步价为10元，即最初的４千米(不含4千米)计费１０元.如果某人乘坐该市的出租车前往14 km处的目的地,且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费？活动：教师引导学生从实际问题中建立数学模型．在这里也就是建立等差数列的数学模型.引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的知识解决实际问题.解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于４ kｍ时，每增加１ km，乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列{ａn}来计算车费.令a1＝11.2表示4 ｋm处的车费,公差ｄ＝1.２，那么，当出租车行至1４ km处时，n＝1１，此时需要支付车费a11=11．2＋(１1－１)×1.2=2３．2(元).答:需要支付车费２３．2元.点评：本例中令ａ１＝１1．2，这点要引起学生注意，这样一来，前往14 km处的目的地就相当于n＝11，这点极容易弄错.错误!１．已知等差数列{ａｎ}中，a1＋a3＋ａ5＋a7=4,则ａ2＋a4＋a6等于（ )A.３Ｂ.4 C．5 Ｄ.62．在等差数列{a n}中，已知a1＝2,ａ2＋ａ3=１3，则a4+a５＋a６等于( )A.40B.42C.43D.45答案：１.解析：由a1＋a3＋a５+a７＝4，知4ａ4=4，即a4=1.∴a2+ａ4＋a6＝3a4＝３.答案：Ａ2．解析:∵a２+a３=13,∴2a1＋３d＝13.∵ａ1＝2，∴d＝３.而a4+a５＋ａ6=3a5=3(a1+4d)＝４２.答案:B错误!1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧知识来获取新知识的？你在这节课里最大的收获是什么？2.教师进一步画龙点睛,本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论,一个是等差数列的证明方法,一个是等差数列的性质，要注意这些重要结论的灵活运用．错误!课本习题2—2 A组5、6、7.设计感想本教案是根据课程标准、学生的认知特点而设计的,设计的活动主要都是学生自己完成的.特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆；本节课只是继续对等差数列进行这方面的探究.本教案除了安排教材上的两个例题外,还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练.为了学生的课外进一步探究,在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题,目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究，以开阔学生的视野．本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系．这不仅有利于知识的融会贯通,加。
高中数学人教B版必修五课件2.2.1 等差数列(一)ppt版本
2.2.1 等差数列(一)
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预习导学
挑战自我，点点落实
1234
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公 差d为( C )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
解析 由等差数列的定义，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1) －(3－2n)＝－2.
1234
2.在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( B ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析 因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差 中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝ 180°，从而B＝60°.
跟踪演练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( A ) 是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列.
2.2.1 等差数列(一)
8
要点二 等差中项及其应用 例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等 差数列，求此数列. 解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
2.2.1 等差数列(一)
13
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66. 求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
a1＋a2＋a3＝18， 解 依题意得
a1·a2·a3＝66， ∴3a1＋3d＝18，
a1·a1＋d·a1＋2d＝66，
a1＝11， a1＝1，
4.在等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值. 解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4， ∴d＝23.∴an＝13＋(n－1)×23＝23n－31. 由 an＝23n－13＝33，解得 n＝50.
高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列(二)课件 新人教
2.2.1 等差数列(二)
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预课当习堂导讲检学义测
规律方法
栏目索引
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解决本类问题CO一NTEN般TS P有AGE两种方法：一是运用等
差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap ＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项 公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通
－d)(a＋d)＝－24，
2.2.1 等差数列(二)
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预课当[预习堂习导讲检学义测导引] 1.等差数列的图象
栏目索引
CONTENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常 函数；当d≠0时，点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条 直线上的一列孤立的点.
(2)项的运算性质：在等差C数ONT列ENT{S aPAnG}E中，若m＋n＝p＋q(m，
n，p，q∈N＋)，则 am＋an ＝ap＋aq.
3.等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等
于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
2.2.1 等差数列(二)
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预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
跟踪演练1 在等差数列{aCnO}N中TEN：TS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝__1_5_；
解析 a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列名师讲义 新人教B
2.2 等差数列2．2.1 等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P35～38，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式a n－a n－1＝d(n≥2)a n＝a1＋(n－1)d3．等差中项如果三个数x ，A ，y 成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝x ＋y2.[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( ) A ．4－2n B ．2n －4 C ．6－2nD ．2n －6解析：选C ∵a 1＝4，d ＝－2， ∴a n ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 1＋2d ＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是________． 解析：lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项为： lg3＋2＋lg3－22＝lg[3＋23－2]2＝lg 12＝0.答案：0等差数列的通项公式及应用[典例] 在等差数列{a n }中， (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋15－1d ＝33，a 1＋61－1d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N ＋，所以153是所给数列的第45项.等差中项的应用[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式． [解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c2(或2b ＝a ＋c )，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)．[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________. 解析：由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21. 答案：21等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法] ∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n2a n －2， ∴b n ＋1－b n ＝a n 2a n －2－1a n －2＝a n －22a n －2＝12，为常数(n ∈N ＋)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二 等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n2a n －2. ∴b n ＋2＝a n ＋12a n ＋1－2＝4－4a n2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n2a n －2＝0.∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N ＋)， ∴数列{b n }是等差数列．等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列． 已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c，∴2b ＝a ＋c ac，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2.∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一 学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d＝12， 所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是数列的( ) A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项D ．第15项解析：选C a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 解析：因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .答案：3n8．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－129．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． 解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， 所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c b ＋c a ＋b ＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2， 所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋p －1d ＝q ， ①a 1＋q －1d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1 C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且∈N ＋)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2，且n ∈N ＋)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N ＋)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n是首项为a121＝12，公差d＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n2n＝12＋(n－1)×1＝n－12，∴a n＝⎝⎛⎭⎪⎫n－12·2n.8．数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝(λ－3)a n＋2n(n∈N＋)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝32.∴a3＝－32a2＋22，∴a3＝112.(2)∵a1＝2，a n＋1＝(λ－3)a n＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．第二课时等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？(2)等差数列的运算性质是什么？[新知初探]预习课本P38练习B第2题，思考并完成以下问题1．等差数列通项公式的推广2.若{a n}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列( )(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列( )(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2a n＋1＝a n＋a n＋2( )(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等( )解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )A．32 B．33C．－33 D．29解析：选B ∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝( )A ．90B ．270C ．180D ．360解析：选C 因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450， 所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为________．解析：∵a 2＋a 14＝2a 8，∴a 2＋2a 8＋a 14＝4a 8＝120，∴a 8＝30.∴2a 9－a 10＝(a 8＋a 10)－a 10＝a 8＝30.答案：30等差数列的性质应用[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列， 则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a 15≠a 7＋a 8，但a 6＋a 9＝a 7＋a 8；a 1＋a 21≠a 22，但a 1＋a 21＝2a 11.本例(2)应用了等差数列的性质：若{a n }，{b n }是等差数列，则{a n ＋b n }也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[活学活用]1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．12 C ．28D ．36解析：选C ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，则a 4＝4， 又a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝2a 4， 故a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.故选C.2．已知数列{a n }是等差数列，且a 1－a 5＋a 9－a 13＋a 17＝117，求a 3＋a 15的值．解：∵在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，∴a 1＋a 17＝a 5＋a 13.由条件等式，得a 9＝117.∴a 3＋a 15＝2a 9＝2×117＝234.灵活设元求解等差数列[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d a ＝6a ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d .[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例] 方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N ＋)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．利用等差数列解决实际问题的2个注意点(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型．(2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列，利用等差数列的性质解题．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )A．12 B．16C．20 D．24解析：选B 因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6C．8 D．10解析：选A 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是( )A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4， 即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6D ．12解析：选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＝59.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，则a 4＋a 8＝________.解析：根据等差数列的性质，可得a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，∴a 6＝13.∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.答案：239．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30,80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．∴30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80，∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.10．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．解：设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a －3d 2＋a －d2＋a ＋d2＋a ＋3d2＝94，a －da ＋d －a －3da ＋3d ＝18.化简可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋20d 2＝94，8d 2＝18∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝32，a ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝32，a ＝－72，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－32，a ＝－72，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－32，a ＝72.∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n }：0,20,40,60，…，则数列{a n＋b n }是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为20的等差数列C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列解析：选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33D ．－ 3解析：选D 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________. 解析：由已知得a 3＋a 10＝3. 又数列{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：36．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n }．a n ＝780＋(n －1)(－20)＝800－20n ，解不等式a n ≥440，即800－20n ≥440，得n ≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n )元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元． 作差：(800－20n )n －600n ＝20n (10－n )， 当n <10时，600n <(800－20n )n ， 当n ＝10时，600n ＝(800－20n )n ， 当10<n ≤18时，(800－20n )n <600n ， 当n >18时，440n <600n .即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．2．2.2 等差数列的前n项和(1)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(2)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d[点睛] 公式S n＝1n2常结合等差数列的性质应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.答案：(1)√(2)×(3)×预习课本P39～41，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n n ＋12解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n n －12×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝nn ＋12，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48 解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．已知数列的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. 解析：∵a n ＝－5n ＋2，∴数列{a n }是等差数列，且a 1＝－3，公差d ＝－5， ∴S n ＝n －3－5n ＋22＝－n 5n ＋12.答案：－n 5n ＋12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] n (1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n n －12d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8a 1＋a 82＝84＋a 82＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 8＝11，则S 9等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8， ∴S 9＝9a 2＋a 82＝9×142＝63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. (1)求{a n }的通项公式； (2)判断{a n }是否为等差数列？ [解] (1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2， ∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n－1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n－1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N ＋).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130B ．170C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．[解析] (1)利用等差数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.[答案] (1)C (2)10等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18 B ．17 C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，解得d ＝－2， [法一 公式法]S n ＝25n ＋n n －12×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N ＋，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A 设等差数列的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴2a 5＝－6，∴a 5＝－3. 又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2. ∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取得最小值，故选A.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5. ∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27 解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解：(1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，a 1＋2d ＝－3，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k2，解得k ＝2 016.故选C.3．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，所以193≤k ≤223.因为k ∈N ＋，所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选 D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －122n －1＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则满足S n <0的n 的最大值为________． 解析：因为a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，所以a 11>－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11>0， 所以S 20＝20a 1＋a 202>0.又因为a 10＋a 10<0，所以S 19＝19×a 10＋a 102＝19a 10<0，故满足S n <0的n 的最大值为19. 答案：197．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝S nn ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.。