定轴转动定律 转动惯量
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一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
12
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
刚体定轴转动定律 转动惯量
动力学中，常选质心为基点。
5
三、力矩
用来反映力对刚体产生转
动效应的物理量．
M F r sin F d
d : 力臂
z
M
r
Od
其中： r 是力的作用点到轴的垂直距离。
F
P*
6
讨论
（1）若力矢量不在转 动平面内. F Fz F
其中 F z对转轴的力矩为零
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内力矩之和等于零
刚体力学
一、刚体（rigid body）的概念 二、刚体的运动形式 三、刚体的力矩 四、刚体定轴转动定律
1
一. 刚体（rigid body）的概念
受力的作用时，其大小和形状都不发生变化的物 体------刚体
说明：（1）刚体是理想模型。
（2）特殊的质点系，其上各质点间的距离保持不变 。
二 . 刚体的运动形式
▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动
整个刚体绕过该定点的某 一瞬时轴线转动。
4
3.一般运动： 刚体不受任何限制的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲ 随基点O（可任选）的平动
▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
例如：
· O 或
O
· · · O
O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。
1.平动（translation）：连接刚体内任意两点的直 线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
刚体做平动时，可用质心 或其上任何一点的运动来代 表整体的运动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
3
2.转动（rotation）：
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和
5
三、力矩
用来反映力对刚体产生转
动效应的物理量．
M F r sin F d
d : 力臂
z
M
r
Od
其中： r 是力的作用点到轴的垂直距离。
F
P*
6
讨论
（1）若力矢量不在转 动平面内. F Fz F
其中 F z对转轴的力矩为零
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内力矩之和等于零
刚体力学
一、刚体（rigid body）的概念 二、刚体的运动形式 三、刚体的力矩 四、刚体定轴转动定律
1
一. 刚体（rigid body）的概念
受力的作用时，其大小和形状都不发生变化的物 体------刚体
说明：（1）刚体是理想模型。
（2）特殊的质点系，其上各质点间的距离保持不变 。
二 . 刚体的运动形式
▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动
整个刚体绕过该定点的某 一瞬时轴线转动。
4
3.一般运动： 刚体不受任何限制的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲ 随基点O（可任选）的平动
▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
例如：
· O 或
O
· · · O
O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。
1.平动（translation）：连接刚体内任意两点的直 线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
刚体做平动时，可用质心 或其上任何一点的运动来代 表整体的运动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
3
2.转动（rotation）：
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
10 刚体定轴转动 力矩 转动定律 转动惯量
若棒的质量均匀分布: M 1 mgl sin
2 解：
dMdm gxsin
O
x
2 x d x g x sin 2 g sin x 2 d x
ml
dmg
M 0 l2gsinx2dx2 3gl3sin
例 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,
水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所 示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通
i Fji
Fij
M ji
MijMji
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
M Fsrin Fd
d: 力臂
FM 对 转r轴F z的力矩
z
F
O
M r
d
P*
M 方向: 沿转轴，与刚体转动方向 构成右手螺旋关系的方向．
M 方向: 沿转轴， 与刚体转动方向构 成右手螺旋关系的 方向．
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F对转 轴的力矩
M zrF rF
z
F
k
O
r Fz
F
M zrF sink
（2）合 力矩 等于 各分力矩的矢量和 M M 1 M 2 M 3
M r F r F 1 F 2 . .F n . r F 1 r F 2 . .r . F n
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dmdV
：质量体密度
例 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
Or
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
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d
r dr R e
M r rμdmg μg rρredθdr
M r rμdmg μg rρredθdr
2 3 μgρe dθ r dr μgρeπR 0 0 3 2 2 M r μmgR m=eR 3 2 1 2 d 由定轴转动定律： mgR I mR
2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
作业：4.11、4.13、4.14
例4-3 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心C与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端O与棒垂直。 解：(1)
dm
C dx x
(2) O
dm
dx
x
可见，转动惯量因转轴位置不同而变，故必须指 明是关于某轴的转动惯量。
平行轴定理（parallel axis theorem）
刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心 的平行转轴的转动惯量 IC 加上刚体质量 m 乘以两平 行转轴间距离 d 的平方。
i i i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
F
i
内i
ri sin θi 0
2 i i i
F r sin (m r
i i i i
)
称为刚体对转轴的转动惯量。
d M z I I dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 与平动定律比较：
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。 3、在转轴方向确定后，力对转 轴的力矩方向可用正负号表示。 刚体所受的关于定轴的合力矩：
二、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
受外力 Fi 和内力 F i 内
Fi F内i Δmi ai
应用牛顿第二定律，可得
dv F ma m dt
三、转动惯量
定义： 单位( SI )：
刚体为质量连续体时：
（ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量 取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置。
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
d A C
dm
dx x
mxC 0
正交轴定理
薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的 转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
I Z I X IY
例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环：
dm
(2) 圆盘：
O r
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
刚体的回转半径
rG ：
2 2
I mi ri mrG
i
rG
I m
例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
§4-2 定轴转动定律 转动惯量
一、力矩
F 对O点的力矩：
M
M r F
F
r
大小： 说明
M rF sin
1、只有垂直转轴的外力分量才产生 沿转轴方向的力矩Mz ，而平行于转 轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被 轴承上支承力的力矩所抵消。
2、 M z
rF2 sin φ F2 d
采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin i F内i sini mi ait mi ri
Fi ri sin i F内i ri sini mi ri 2
对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Fi ri sin i F内i ri sini (mi ri 2 )
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT 2 m2 a FT 2 r FT1r M r I
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a，β 。
此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
例4-6 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙的 水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘最 初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它 经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm= red dr，e是盘的厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为